平行线间拐点问题知识点匹配
题目：已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B ＋∠D ＋∠F ＝∠E ＋∠G.
题型：解答题
难度：4.0
方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题
思路启发：这里出现了平行线间的“拐点”，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线，利用平行线的性质可证得结论.
解答过程：证明：如图，分别过点E 、F 、G 作AB 的平行线EH 、FM 、GN ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥EH ∥FM ∥GN ∥CD ，
∴∠B ＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠D ，
∴∠B ＋∠D ＋∠3＋∠4＝∠1＋∠2＋∠5＋∠6，
即∠B ＋∠D ＋∠EFG ＝∠BEF ＋∠FGD.
答案：略
归纳总结：本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，解题的方法是利用经过平行线间的“拐点”，作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.
题目：如图，点A 、B 分别在直线CM 、DN 上，CM ∥DN.
(1)如图1，连接AB ，则∠CAB ＋∠ABD ＝____；
(2)如图2，点1
P 是直线CM 、DN 内部的一个点，连接1AP 、1BP .则1CAP D、1APB D、1PBD D之和是多少？并说明.
(3)如图3，点1P 、2
P 是直线CM 、DN 内部的点，连接1AP 、12PP 、2P B .试求1CAP D＋∠12APP ＋12PP B D＋2P BD D的度数；
(4)按以上规律，请直接写出1CAP D＋12APP D＋…＋5P BD
D的度数(不必写出过程). 题型：解答题
难度：4.2
方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题
思路启发：(1)直接根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论；
(2)过点1P 作1P H CM ∥，然后根据平行的性质得到
11=180180CAP +?+=?
∠∠1，∠2∠DBP ，结合图形，根据112APB +=∠∠∠即可得到结论；
(3)利用(2)的方法，分别过“拐点12,P P ”作CM 、CN 的平行线即可得到结论；
(4)用上面题目得到的规律直接写出答案即可.
解答过程：(1)∵CM ∥DN.
∴∠CAB ＋∠ABD ＝180°；
(2)点1
P 作平行于CM 和DN 的平行线1P H ， ∴
11=180180CAP +?+=?∠∠1，∠2∠DBP ，
∴1111112180180360CAP APB PBD CAP PBD ???????+=?；
(3)过点1P 、2
P 作平行于CM 和DN 的平行线， 根据(2)的求解可知，平行线间有一个“拐点”时，内角和的度数为(1+1)×180°，
这里有两个“拐点”，则1CAP D＋∠12APP ＋12PP B D＋2P BD
D=3×180°＝540°；
(4)由上可得，1125CAP APP P BD
???…＝6×180°＝1080°. 答案：
(1)180°
(2)360°
(3)540°
(4)1080°
归纳总结：对于本题考查了平行线的性质，这里解题的关键是根据题目中有平行线间的“拐点”，那么求解问题的方法就是经过“拐点”作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”求解问题.
题目：如图，直线AB ∥CD ，∠EFA ＝30°，∠FGH ＝90°，∠HMN ＝30°，∠CNP ＝50°.试求∠GHM 的大小.
题型：解答题
难度：4.5
方法技巧：巧用平行线的性质添辅助线，解决拐点问题
思路启发：根据AB ∥CD ，利用旋转的思想，得到AB 经过分别以F 、G 、H 、M 、N 为旋转中心，分别旋转得到EG ，GH 、HM 、MN 、CD ，然后根据顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度相等得到关于∠GHM 的方程求解.
解答过程：解：设∠GHM=x ：
∵AB 以点F 为旋转中心顺时针旋转30°得到EG ，
FG 以点G 为旋转中心逆时针旋转90°得到GH ，
HG 以点H 为旋转中心顺时针旋转x 得到HM ，
HM 以点M 为旋转中心逆时针旋转30°得到MN ，
MN 以点N 为旋转中心顺时针旋转50°得到CD ，
又AB ∥CD ，
∴上述旋转过程中顺时针旋转的角度=逆时针旋转的角度，
∴30°+x+50°=90°+30°，解得x=40°，
∴∠GHM=40°.
答案：40°
归纳总结：本题考查了平行线的性质，旋转的定义.要注意区别，这里不是一般的“平行线中间有拐点”的问题.这里可以利用“扭转直线”的方法得到顺时针扭转的角度和=逆时针扭转的角度和来建立方程求解.
平行线拐点问题六种模型题型
初一下学期，平行线拐角模型之猪蹄、臭脚、骨折模型，模型解题 平行线拐角模型除铅笔模型外，本章介绍拐角模型剩下的三个模型：猪蹄模型、臭脚模型和骨折模型，以及利用这三个模型进行解题。 01“猪蹄”模型 该模型类似英文字母“M”，我们称之为M模型，也类似猪蹄，又称之为“猪蹄”模型。满足的条件为：点P在直线BC的左侧，在直线AB与直线CD的内部。结论为：若AB∥CD，则∠P=∠B+∠C。证明的方法与上一篇“铅笔”模型类似，我们提供一种思路进行验证。
02“臭脚”模型 “臭脚”模型需要满足的条件为：点P在直线BC的右侧，在直线AB、CD外部。结论为：∠P=∠ABP-∠DCP或∠P=∠DCP-∠ABP。要证明这个结论，需要用到的知识点有：平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和。 当然，也可以利用作平行线的方法来进行证明。
03“骨折”模型
“骨折”模型需满足的条件：点P在直线BC左侧，在直线AB与直线CD外部。结论为：∠P=∠DCP-∠ABP。证明的方法与前三种模型类似，这边不再重复证明，可以作任意一边的平行线为辅助线，也可以利用平行线的性质与三角形的外角等于两个不相邻的内角和来进行证明。 04模型应用 例题1：（2019秋金凤区校级期末）如图1，已知AB∥CD，∠B=30°，∠D=120°；（1）若∠E=60°， 则∠F=______°；（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
例题2：（2019春梁园区期末）如图1，AB∥CD，点E是直线AB、CD之间的一点，连接EA、EC．（1）探究猜想：①若∠A=20°，∠C=50°，则∠AEC=______．②若∠A=25°，∠C=40°，则∠AEC= ______．③猜想图1中∠EAB、∠ECD、∠AEC的关系，并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，AB∥CD，线段MN把ABCD这个封闭区域分为I、Ⅱ两部分（不含边界），点E是位于这两个区域内的任意一点，请直接写出∠EMB、∠END、∠MEN的关系.
平行线知识点归纳及典型题目练习.doc
第五章相交线与平行线 1、两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角， 互为 _____________。 2、两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线， 具有这种关系的两个角，互为__________ 。对顶角的性质：___________________________________ 。3、两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质：⑴过一点_____________________________ 一条直线与已知直线垂直。 ⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_____________________________________ 。 4、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做_______________________________________ 。 5、两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线 的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________ 。 6、在同一平面内，不相交的两条直线互相___________。 同一平面内的两条直线的位置关系只有________与 _________两种。 7、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线________________ 。 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_______________________________ 。 8、平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： ____________________________________ 。 ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成： _________________________________________ 。 ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成： ________________________________________ 。 9、在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_________________ 。 10、平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： __________________________________ 。⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________ 。⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：____________________________________ 。
平行线间的拐点问题
平行线中的拐点问题 学习目标： 1.能正确解决常见的拐点问题。 2.灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。 复习回顾： 1.如图（1），AB//CD ,那么∠B +∠ E+∠D=( ) . A、1800 B、 2700 C、 3600 D、5400 2.如图（2），AB∥CD，则x，y，z之间的关系是（） A、x+y+z=360° B、x-y+z=180° C、x+y-z=180° D、y+z-x=180° B A E C D 和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。 合作探究一： （1）已知：如图1，AB∥CD，求证：∠B+∠D=∠BED； （2）已知：如图2，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由． （3）已知：如图3，AB∥CD，试探求∠B、∠D与∠E之间的数量关系，并说明理由．
合作探究二： 已知：如图，AB//CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2=______； （2）∠1+∠2+∠3=_____； （3）∠1+∠2+∠3+∠4=_____； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（）。 跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角∠A是105度，第二次拐的角∠B是135度，第三次拐的角是∠C，这时的 道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么 ∠C=． 课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？ 当堂检测： 1．如图，直线l 1∥l 2 ，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（） A．30°B．35°C．36°D．40° 2.如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=35°，则∠AEB 等于 （） A．30°B．45°C．65°D．75°
相交线与平行线知识点
一、本章共分4大节共14个课时；（2.16～3.7第1、4周） 二、本章有四个数学基本事实 1.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 2.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直； 3.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行； 4.两直线平行，同位角相等. 三、本章共有19个概念 1.对顶角 2.邻补角 3.垂直 4.垂线 5.垂足 6. 垂线段7.点到直线的距离8.同位角9.内错角 10.同旁内角11.平行12.数学基本事实13.平行公理14.命题15.真命题16.假命题 17.定理18.证明19.平移 四、转化的数学思想 遇到新问题时，常常把它转化为已知（或已解决）的问题.P14 五、平移 1.找规律 2.转化求面积 3.作图 （2009年安徽中考）学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加d cm ，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°． （1）若d ＝26，则该纹饰要231个菱形图案，求纹饰的长度L ； 【解】 （2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？ 【解】 第19题图
相交线与平行线知识点 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角. ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线. 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线； ②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上. 画法：⑴一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上， ⑵二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上， A B C D O
平行线拐点专题
第二讲平行线的拐点问题 （一）情景引入 1、设计情景： 2、知识点归纳： 我们把实际问题图形抽象成几何图形，来看看∠A、∠B、∠C之间有什么数量关系下面我们就来研究下。（二）新课教学： 师：观察以上几个图形，由题目所给的平行线我们能否利用所学的平行线的性质得角度的关系 师：如果不行，是什么原因 师：有两直线却没有截线，下面老师来给大家演示增添一条辅助线，使得平行线都有截线。 师：通过过拐点A作平行线，我们可以把原本的两直线平行转化为多组两直线平行，从而运用平行线的性质来找∠A、∠B、∠C之间的数量关系。 板书： 解析：以（1）为例： 过A点做AD∥EB ∴∠B=∠BAD ΘEB∥FC ，AD∥EB ∴AD∥FC ∴∠C=∠CAD ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C （2）∠A+∠B+∠C=180° （3）∠A+∠B=∠C （4）∠A+∠C=∠B 归纳总结：上述是常见的平行线拐点问题的基本模型，证明方法都是过拐点作平行线。 巩固练习：
答案：B 解析：过B点作BF∥CD，则可以得出两组同位角，其中∠ABC的一部分等于90°，另外一部分和∠BCD 互补。
答案：155°或115° 解析：画出图形，过P点作出平行线求解，注意P的不同位置，两种情况。 师：图中有没有我们刚刚讲过的平行线拐点基本图形 师：同学们习惯于看水平方向的平行线，对于非水平的平行线，可以转动书本变成熟悉的水平平行线来看。师：看懂图形后，谁知道该如何求解 2 解析：过C点作CH∥AE ，易得∠C=∠1-∠2= 3 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点求值问题。
师：平行线的判定的有哪些根据题目所给条件我们应该用哪个判断来证明平行 师：题目中有没有点H没有我们就需要先画出图形。 师：H点到底在D点的左边还是右边我们需要分类讨论； 板书： （1）ΘBE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠EDB Θ∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=180°∴AB∥CD （2）分析：根据双角平分线可设参数x,y，然后用含x,y的代数式表示∠EBI和∠BHD ①当H点在D点右侧时：2∠EBI+∠BHD=180° ②当H点在D点左侧时：∠BHD=2∠EBI 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。 巩固练习： 师：下面大家仿照前面所讲的例题自己来证明； 答案： （1）①∠ABE+∠E=∠D；②∠D－∠E+∠BFD=∠ABE
浙教版平行线知识点整理
第一章平行线知识点整理 一、平行线 1、平行线的概念： 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线a与直线b互相平行，记作________． 2、两条直线的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：⑴______；⑵_______。 因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们______；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线） 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线______； ②无公共点，则两直线______； ③两个或两个以上公共点，则两直线______（理由：________________） 3、平行公理――平行线的存在性与惟一性 经过直线外一点，___且_____一条直线与这条直线平行 4、*平行公理的推论： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相_______ 二、同位角、内错角和同旁内角 5、三线八角 两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了_______、________与__________。 如图，直线b a,被直线l所截 ①同位角（位置相同）有_____对， 分别是： ②内错角（位置在内且居截线两侧）有______对， 分别是： ③叫做同旁内角（位置在内且居截线同旁）有______对， 分别是： ④三线八角也可以成模型中看出。同位角是“F”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。 6、如何判别三线八角 判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，也可用模型（FZU型）判断。 【例】1.∠1与∠B是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角; 2.∠2与∠A是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角; 3.∠3与∠B是直线____和直线____被直线_____所截而成的_________角; 思考：∠2与∠B是同位角、内错角还是同旁内角？为什么？【练】1．如右图，按各角的位置，下列判断错误的是（）（A）∠1与∠2是同旁内角（B）∠3与∠4是内错角 （C）∠5与∠6是同旁内角（D）∠5与∠8是同位角 2.下列4个图中，∠1与∠2不是同位角的是（） （B）（C ）（D） (A) 三、平行线的判定与性质 7、平行线的判定与性质 平行线的性质与判定是互逆的关系： 两直线平行 同位角相等； 两直线平行 内错角相等； 两直线平行同旁内角互补。 注意：⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其 “数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。 (2)请同学们注意书写的顺序以及前因后果：平行线的判定是由角相等（互补），然后得出平行；平行线的判定是写 角相等（互补），然后写平行。 【例】在下面的解题过程的横线上填空，并在括号内注明理由． 如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE． 解：∵∠A=∠F（已知） ∴____∥_____（） ∴∠D=∠___（） 又∵∠C=∠D（已知） ∴∠____=∠C（） ∴BD∥CE（） 练习题 1.已知两个角的两边分别平行，其中一个角为52°，则另一个角为_______. 2．两条平行直线被第三条直线所截时，产生的八个角中，角平分线互相平行的两个角是（） A.同位角 B.同旁内角 C.内错角 D. 同位角或内错角 3.如右图，如果AB∥DE，∠B=30°，∠D=25°，则∠BCD的度数为( )． A.45° B.50° C. 55° D. 60° a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 B E 1 2 3 4 5 67 8 第3题 第1页共2页
八年级数学上册第7章小专题_巧解平行线中的拐点问题(北师大版)
小专题12 巧解平行线中的拐点问题 【教材母题】（教材P186复习题T15（1））已知：如图，直线//AB ED .求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠. 【解答】 变式1，当点C 运动到如图所示的位置 如图，直线//AB ED B BCD ∠∠，，，D ∠之间的关系是______________. 【拓展】（商丘柘城中学月考）（1）如图1，若//AB CD ，则12B D E E ∠+∠+∠+∠的度数为_____________； （2）如图2，若//AB CD ，则123B D E E E ∠+∠+∠+∠+∠的度数为_________； （3）如图3，若//AB CD 猜想12n B D E E E ∠+∠+∠+∠+???+∠的度数为_________. 变式2 当点C 运动到如图所示的位置 已知//AB ED ，点C 为AB ，ED 之外任意一点. （1）如图1，B BCD D ∠∠∠，，之间的关系是______________； （2）如图2，B EDC C ∠∠∠，，之间的关系是______________. 方法指导 解决平行线的拐点间题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点”的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论.
针对训练 1.（随州中考）如图，在平行线12,l l 间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点A ，B 分别在直线12,l l 上.若∠1=65°，则∠2的度数是（ ） A. 25 B. 35 C. 45 D. 65? ??? 2.（聊城中考）如图，直线//AB EF ，点C 是直线AB 上一点，点D 是直线AB 外一点.若95BCD ?∠=，25CDE ?∠=，则DEF ∠的度数是（ ） .110?A .115?B C.120? D.125? 3.（莱芜中考）如图，//61AB CD BED ?∠=，，ABE ∠的平分线与CDE ∠的平分线交于点F ，则DFB ∠=（ ） .149?A .149.5?B C.150? D.150.5? 4.如图1，已知//30120AB CD B D ??∠=∠=，，. （1）若60BEF ?∠=，则EFD ∠=____________； （2）探索BEF EFD ∠∠与之间满足的数量关系，并说明理由； （3）如图2，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数.
相交线与平行线知识点总结
相交线与平行线知识点总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
相交线与平行线 一：相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交 （4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3， ∠2和∠4是对顶角. （5）邻补角：只有一条公共边，它们的 另一边互为反向延长线，具有这种关系 的两个角，互为邻补角． 如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角. （6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4） （7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（如图∠1＋∠2＝180°） （8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。 二、垂线 （1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足． 如图，OD⊥AB，垂足为O （2）、垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“过一点”的点在直线上或直线外都可以。 （3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外 一点到这条直线所作的垂线段最短．它 是相对于这点与直线上其他各点的连线 而言． （如图，PA,PB,PC等线段中，PO最短） （4）、点到直线的距离（如图，PO的长） （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的 长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形， 也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或 求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 三、平行线 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行 和相交． （1）平行线的定义:在同一平面内,不相 交的两条直线叫平行线． 记作：a∥b；读作：直线a平行于直线 b． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相 交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． （3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线 与这条直线平行． 如图，过点P只有直线a 与直线 b 平行 （4）平行公理中要准确理解“有且只 有”的含义．从作图的角度说，它是“能 但只能画出一条”的意思． （5）平行公理的推论：如果两条直线 都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行． 如图，如果a∥c，b∥c，那么a∥c 2、同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角 中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线 （截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和∠8，∠2和 ∠6. （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角 中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线 （截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．例如∠3 和∠5，∠4和∠6. （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角 中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线 （截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。例如 ∠4和∠5，∠3和∠6. （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或 同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决 定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入 手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直 线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所 在的直线即为被截的线． 3、平行线的判定 （1）定理1：同位角相等，两直线平行． ∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等，两直线平行） （2）定理2：内错角相等，两直线平行． ∵∠2=∠3，∴a∥b（内错角相等，两直 线平行） （3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平 行． ∵∠2＋∠4=180°，∴a∥b（同旁内角互补，两 直线平行） （4）定理4：两条直线都和第三条直线 平行，那么这两条直线平行． 如图，如果a∥c，b∥c，那么a∥c （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直 于同一条直线，那么这两条直线平行． 如图，如果a⊥c，b⊥c，那么a∥b 4、平行线的性质 （1）、平行线性质定理 定理1：两直线平行，同位角相等． ∵ a∥b，∴∠1=∠2（两直线平行，同 位角相等） 定理2：简单说成：两直线平行，同旁内 角互补． ∵ a∥b，∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 定理3：简单说成：两直线平行，内错角相等．
2021年中考复习 第01讲—平行线的五大拐点模型
2021中考数学易错题平行线铅笔头模型探究试题 模型一：铅笔头模型基础 （1）如图，若CD AB //，此时，E D B ∠∠∠,,之间有什么关系？请证明 解答：如图，过点E 作AB l //得证 360=∠+∠+∠E D B （2）反之，如图，若 360=∠+∠+∠E D B ，直线AB 与CD 有什么位置关系？请证明 解答：如图，过点E 作AB l //得证CD l //则CD AB // 总结： ①辅助线：过拐点作平行线 ②若CD AB //，则 360=∠+∠+∠E D B
③若 360=∠+∠+∠E D B ，则CD AB // 模型一：铅笔头模型进阶 如图，两直线CD AB ,平行，则= ∠+∠+∠+∠+∠+∠654321 解答：如图，过F 作AB l //1，过G 作12//l l ，过H 作23//l l ，过I 作34//l l 得证 900654321=∠+∠+∠+∠+∠+∠
总结： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②)1(180121-=∠+∠+???+∠+∠-n A A A A n n 【2-n 个拐点】 模型二：锯齿模型基础 （1）如图，若CD AB //，则E D B ∠=∠+∠，你能说明为什么吗？ 解答：如图，过点E 作AB l //得证E D B ∠=∠+∠
（2）在图中，CD AB //，G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系？ 解答：如图，过点E 作AB l //1，过点F 作AB l //2，过点G 作AB l //3得证 G E ∠+∠=D F B ∠+∠+∠ （3）在图中，若CD AB //，又得到什么结论？ 解答：同理可得n n E E E D F F F B ∠++∠+∠=∠+∠++∠+∠+∠- 21121 总结： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ②所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和
初一第五章相交线与平行线知识点整理
相交线与平行线知识点整理 摘要：注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果αβ∠∠与是对顶角，那么一 定有αβ∠=∠；反之如果αβ∠=∠，那么αβ∠∠与不一定是对顶角，⑶如果αβ∠∠与互为邻补角，则一定有180αβ∠+∠=?；反之如果180αβ∠+∠=?，则αβ∠∠与不一定是邻补角。⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 5.1相交线 1、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 注意点：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。 ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。 2、垂线 ⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) ⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 3、垂线的画法： ⑴过直线上一点画已知直线的垂线；⑵过直线外一点画已知直线的垂线。 注意：①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。 A B C D O
平行线知识点汇总(实用型)
相交线和平行线知识点总结 在平面不重合的两条直线相交与平行的两种位置关系：相交与平行。在初中，我们会更加深入地研究角度的关系。角度的关系和直线的位置关系密切相关。
相交线 一、邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：
相关测试： （1）若三条直线交于一点，则共有对顶角(平角除外)( ) A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 （2）下列各图中，1∠与2∠是对顶角的是( ) （3）直线AB 、CD 相交于点O ， ⑴如果100AOC BOD ∠+∠=o ，那么____AOD ∠=o ； ⑵如果BOC AOC ∠∠比 的2倍大30o ，那么___AOC ∠=o
两线垂直 ⑴定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 符号语言记作： 如图所示：AB ⊥CD ，垂足为O ⑵垂线性质1：在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) A B C D O
⑶垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。 相关测试： （1）如图，点O 是直线CD 上一点，AO OB ⊥，2AOD BOC ∠=∠，求BOC ∠的度数． （2）三角形ABC 中，90C ∠=o ，6AC =cm ,8BC =cm,10AB =cm.那么点B 到直线 AC 的距离是___________，A 、B 两点的距离是________. 如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 ⑴垂线与垂线段
(完整版)平行线拐点问题
如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分． 当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由 过点P作EF∥AC，如图2 因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作）， 所以EF∥BD______． 所以∠BPE=∠PBD______． 同理∠APE=∠PAC． 因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD______， 即∠APB=∠PAC+∠PBD． （1）当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由． （2）当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论． （3）当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
2、如图，已知直线a ∥c,且c 和a,、b 分别交于M 、N 两点,点P 在AB 上. ①试找出∠1,∠2,∠3之间的关系,并说出理由. ②如果点P 在A,B 两点之间运动,问∠1,∠2,∠3的关系是否变化. ③如果点p 在线段AB 外侧运动时,试探究∠1,∠2,∠3之间的关系,不用说理由（点P 和A,B 不重合） b a A B N M d c b a A B N M d c P b a A B N M d c
平行线拐点问题六种模型题型
平行线常见四种易错题型分析 七年级下学期，平行线常见四种易错题型分析:过拐点作已知直线的平行线。本篇内容，我们接着介绍平行线中常见的六种易错题型，早掌握避免遇到时出错。平行线间拐点问题基本模型有三种: 第一种铅笔模型；第二种M型；第三种猪手模型。 我们还介绍了平行线四大拐点模型：“铅笔”模型、“猪蹄”模型、“臭脚”模型、“骨折”模型，这四类模型的共通点是需要做辅助线，做辅助线的方法比较多，通用的方法为：过拐点作已知直线的平行线。 一、性质定理与判定定理的区分 要分清它们，只要注意：（1）由角得到直线平行，是判定定理，选择①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行，这三个定理之一。（2）由平行的直线得到角的关系，是性质定理，选择①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补，这三个定理之一。 【分析】先由垂直的定义得到：∠2=∠3，然后由同位角相等，两直线平行得到：EF∥BD，再由两直线平行，同位角相等得到：∠4=∠5，然后根据等量代换得到：∠1=∠5，再根据内错角相等，两直线平行得到：DG∥BC，最后由两直线平行，同位角相等即可证∠ADG=∠C．
二、三线八角理解不透彻 很多学生遇到两条平行线被第三条直线所截时，会找同位角、内错角、同旁内角，但是遇到两条相交线被第三条直线所截时，却不会找了，主要原因就是对“三线八角”理解不透彻。要想准确地解决这类问题，首先要明确三种角的位置特点，在前一篇文章中我们特地介绍过，七年级下学期，三线八角、平行线的性质与判定定理，掌握解题诀窍其次要搞清楚被哪条直线所截。 【分析】∠A与∠B的共边线为直线AB，那么直线AB为截线，即直线AC与直线BC被第三条直线AB所截，那么∠A与∠B是同旁内角，正确；∠1与∠2是邻补角，错误；∠2与∠A的共边线为直线AC，是同位角，错误；∠2与∠3是内错角，错误。 三、对平行线的概念理解不透彻
相交线与平行线知识点归纳总结培训讲学
4 2 3 1 A B 《相交线与平行线》知识点总结 一：相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交 （4）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角. （5）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图：∠1和∠2，∠2和∠3是邻补角. （6）对顶角的性质：对顶角相等．（如图∠1＝∠3，∠2＝∠4） （7）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （如图∠1＋∠2＝180°） （8）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的。 二、垂线 （1）、垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 如图，OD ⊥AB ，垂足为O （2）、垂线的性质 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以。 （3）、垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （4）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （如图，PA,PB,PC 等线段中，PO 最短） （4）、点到直线的距离（如图，PO 的长） （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一 个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线 段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 三、平行线 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交． （1）平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线． 记作：a ∥b ； 读作：直线a 平行于直线b ． （2）同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交，对于这一知识的理解过程中要注意： ①前提是在同一平面内； ②对于线段或射线来说，指的是它们所在的直线． （3）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图，过点P 只有直线a 与直线 b 平行 （4）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思． （5）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 如图，如果a ∥c ，b ∥c ，那么a ∥c 2、同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 例如∠1和∠5，∠3和∠7，∠4和 ∠8，∠2和∠6. （2）内错角：两条直线被第三条直线所 截形成的角中，若两个角都在两直线的之 间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．例如∠3和∠5，∠4和∠6. （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角。 例如∠4和∠5，∠3和∠6. （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线． 3、平行线的判定 （1）定理1：同位角相等，两直线平行． ∵ ∠1=∠2， ∴a ∥b （同位角相等，两直线平行） （2）定理2：内错角相等，两直线平行． ∵ ∠2=∠3，∴a ∥b （内错角相等，两直线平行） （3 ）定理3：同旁内角互补，两直线平行． ∵ ∠2＋∠4=180°，∴a ∥b （同旁内角互补，两直线平行） （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 如图，如果a ∥c ，b ∥c ，那么a ∥c （5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 如图，如果a ⊥c ，b ⊥c ，那么a ∥b 4、 平行线的性质 （1）、平行线性质定理 定理1：两直线平行，同位角相等． ∵ a ∥b ，∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 定理2：简单说成：两直线平行，同旁内角互补． ∵ a ∥b ，∴ ∠2=∠3（两直线平行，内错角相等） 定理3：简单说成：两直线平行，内错角相等． ∵ a ∥b ，∴ ∠2＋∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）、两条平行线之间的距离处处相等 （3）、平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）、平行线之间的距离：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 四、平移 1、 平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动， 这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、 平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一 致，并且移动的距离相等． 3、 确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的 方向和距离 4、平移的性质 （1）平移的条件： 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等。 A B O C A B C D
平行线知识点+四大模型
平行线四大模型 平行线的判定与性质 I、平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行. 判定方法I : 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2: 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简称：内错角相等，两直线平行， 判定方法3: 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简称：同旁内角互补，两直线平行， 若已知/仁/2,则AB//CD（同位角相等，两直线平行）； 若已知/仁/3,则AB//CD（内错角相等，两直线平行）; 若已知/ 1+ / 4= 180。，贝U AB// CD（同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行： 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2、平行线的性质 禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质. 性质1： 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简称：两直线平行，同位角相等 性质2： 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简称：两直线平行，内错角相等 性质3： 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补
模型二“猪蹄”模型（ M 模型） 点P 在EF 左侧，在 AB CD 内部 | “猪蹄”模型 结论 1 :若 AB// CD 则Z P =Z AEF +Z CFR 结论 2:若Z P =Z AEP Z CFP 贝U AB// CD 模型三 “臭脚”模型 A 3 A z C / c F 点P 在EF 右侧，在 AB CD 外^ “臭脚”模型 结论 1 :若 AB// CD 则 Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 结论 2 :若Z P =Z AEP Z CFP 或Z P =Z CFP Z AEP 贝U AB// CD 模型四“骨 折”模型 ”8 A _________ D C P 在EF 左侧，在 _________ 1 点 圧AB CD 外部 ? L F “骨折”模型 结论 1 ：若 AB// CD 则 Z P =Z CFP Z AEP 或Z P =Z AEP Z CFP 本讲进阶 平行线四大模型 结论 2 :若/ P +Z AEP Z PF(= 360。，贝U AB// CD
平行线间的拐点问题复习进程
平行线间的拐点问题
平行线中的拐点问题 学习目标： 1. 能正确解决常见的拐点问题。 2. 灵活应用平行线的性质与判定解决相关问题。复习回顾： 1. 如图(1), AB//CD ,那么/ B + / E+ / D=( ). A、1800 B > 2700 C、360°D 540° 2. 如图(2), AB//CD,则x, y, z之间的关系是( ) A、x+y+z=360° B、x-y+z=180 ° C、x+y-z=180 ° D y+z-x=180 ° A B D 方法指导：解决平行线中的拐点问题，常用方法为：根据题目中已知的平行线和“拐点“的情况，在“拐点”处作已知平行线的平行线，然后根据平行线的性质得到相应的结论。 合作探究一: (1) 已知：如图1, AB // CD,求证：/ B+ / D= / BED; (2) 已知：如图2, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说 明理由. (3) 已知：如图3, AB // CD,试探求/ B、/ D与/E之间的数量关系，并说合作探究二：
已知：如图，AB//CD,试解决下列问题： (1)_______________ Z 1+Z 2= ; (2)__________________ Z 1+Z 2+Z 3= ; (3)______________________ Z 1+Z 2+Z 3+Z 4= ; (4)试探究Z 1+Z 2+Z 3+Z 4+??+Z n=( ) 跟踪练习：如图，一条铁路修到一个村子边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角ZA是105度，第二次拐的角ZB是135度，第三次拐的角是Z C,这时 课堂小结：如何解决平行线中的拐点问题？ 当堂检测： 1 ?如图，直线I 1 //l，Z A=125，Z B=85，则Z 1+Z 2=( ) A. 30° B. 35° C. 36° D. 40° 2.如图，已知AC// BD Z CAE=30，Z DBE=35。，贝UZ AEB等于( ) A. 30° B. 45° C. 65° D. 75° 明理由.