上海高考解析几何试题
近四年上海高考解析几何试题
一．填空题:
1、双曲线116922=-y x 的焦距是 .
2、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=?，则点P 轨迹方程 ___。
3、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是()0,10，则双曲线的方程是__________。
4、将参数方程??
?=+=θ
θ
sin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
5、已知圆)0()5(:2
22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共
点，则r 的取值范围是 .
6、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 .
7、已知圆2
x －4x －4＋2y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ； 8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；
10、曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条是 ． 11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x .
12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m .
13、若直线1210l x my ++=：
与直线231l y x =-：平行，则=m ． 14 、以双曲线1542
2=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． 16 、已知P 是双曲线22
219
x y a -
=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF =
17、已知(1,2),(3,4A B
，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设i P 是
i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是
二．选择题:
18、过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在 19、抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( ) （A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.
20、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程
13
322
=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.
（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.
21 、已知椭圆
22
1102
x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ ） （A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题
22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、
两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步
骤，并在图中标出椭圆的中心.
23、（本题满分14分）如图，点A 、B 分别是椭圆
22
13620
x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．
（1）求点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于
MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器
运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
125
10022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）
后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、??
? ??
764,0M 为顶点的抛物线的实线
部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．
（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--?OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体
积
316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为3
16
，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为3
16
，求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个
有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
评分说明：
(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.
x
y
27 (14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为(
)
1,2M .
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.
28（本题满分18分）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成
的曲线称作“果圆”，其中2
22c b a +=，0>a ，0>>c b ．
如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．
（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；
（2）当21A A >21B B 时，求a
b
的取值范围；
29在平面直角坐标系xOy 中，
A B 、分别为直线2x y +=与x y 、轴的交点，C 为AB 的中点. 若抛物线22(0)y px p =>过点C ，求焦点F 到直线AB 的距离.
30 、已知z 是实系数方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为
(Re ,Im )z P z z .
（1）若(,)b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C ：2
2
(1)1x y -+=上；
（2）给定圆C ：222
()x m y r -+=（R m r ∈、，0r >），则存在唯一的线段s 满足：①若z
P 在圆C 上，则(,)b c 在线段s 上；② 若(,)b c 是线段s 上一点（非端点），则z P 在圆C 上. 写出线段s 的表达式，并说明理由；
近四年上海高考解析几何试题
一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分. 1、双曲线116922=-y x 的焦距是 .
6
5 2、直角坐标平面xoy 中，定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=?，则点P 轨迹方程 ___。解答：设点P 的坐标是(x,y)，则由4=?OA OP 知04242=-+?=+y x y x
3、若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是
()0,10，则双曲线的方程是__________。
解答：由双曲线的渐近线方程为x y 3±=，知3=a
b
，它的一个焦点是()0,10，知102
2
=+b a ，
因此3,1==b a 双曲线的方程是19
2
2
=-y x 4、将参数方程??
?=+=θ
θ
sin 2cos 21y x （θ为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
解答：4)1(22=+-y x 5、已知圆)0()5(:2
22>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 若圆C 与直线l 没有公共
点，则r 的取值范围是 . )10,
0(
6、已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则三角形OAB 面积的最小值为 . 4.
7、已知圆2
x －4x －4＋2
y ＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是 ； 解：由已知得圆心为：(2,0)P
，由点到直线距离公式得：d ； 8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；
解：
已知22222224
2,161164(b a b c y x a a b c
F =??==????=?+=?
?-=???-??为所求；
10、若曲线2
y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件
是 ．
解：作出函数2
1,0
||11,0x x y x x x +≥?=+=?-+
的图象，
如右图所示：所以，0,(1,1)k b =∈-；
11、在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6， 则点P 的横坐标=x . 5.
12、在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则 实数=m . 2.
13、若直线1210l x my ++=：
与直线231l y x =-：平行，则=m ． 3
2
- 14 、以双曲线15
42
2=-y x 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．)3(122+=x y
16 、已知P 是双曲线22
219
x y a -
=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为30x y -=. 设12F F 、分别为双曲线的左、右焦点. 若23PF =，则1PF = 5.
17 (2008春季12) 已知(1,2),
(3,4)A B ，直线1l ：20,:0x l y ==和3:l x +3y 10-=. 设
i P 是i l (1,2,3)i =上与A 、B 两点距离平方和最小的点，则△123PP P 的面积是
3
2
二．选择题:
18、过抛物线x y 42
=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ B ）
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
解答：x y 42
=的焦点是(1，0)，设直线方程为0)1(≠-=k x k y (1)将(1)代入抛物线方程可得0)42(2
2
2
2
=++-k x k x k ，x 显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是
3
32435422
2
2±=?=?=+k k k k ，选B 19、抛物线x y 42=的焦点坐标为 ( B )
（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.
20、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程
13
322
=+--k y k x 表示双曲线”的 ( A ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.
（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.
21 、已知椭圆
22
1102
x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 （ D ）
（A ）4. （B ）5. （C ）7. （D ）8. 三．解答题
22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C 的方程是122
22=+b
y a x )0(>>b a . 设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A B 、
两点，AB 的中点为M . 证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；
（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步
骤，并在图中标出椭圆的中心.
[解]（1）设椭圆的标准方程为122
22=+b
y a x ，0>>b a ，
∴ 42
2
+=b a ，即椭圆的方程为142
22
2
=++b y b x ， ∵ 点（2,2--）在椭圆上，∴
12442
2=++b b ，解得 42=b 或22
-=b （舍），
由此得82
=a ，即椭圆的标准方程为14
82
2=+y x . …… 5分 [证明]（2）设直线l 的方程为m kx y +=， …… 6分
与椭圆C 的交点A (11,
y x )、B (22,
y x )，则有???
??=++=12
222b y a x m kx y ，
解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ，
∵ 0>?，∴ 2222k a b m +<，即 222222k a b m k a b +<<+-.
则 2
2222121222
2212,2k a b m
b m kx m kx y y k a b km
a x x +=+++=++-=+，
∴ AB 中点M 的坐标为???
?
??++-22222222,k a b m b k a b km a . …… 11分
∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. …… 13分
[解]（3）
如图，作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和D C 、，并分别取AB 、CD 的中点N M 、，连接直线MN ；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于1A 、1B 和11D C 、，并分别取11B A 、11D C 的中点11N M 、，连接直线11N M ，那么直线MN 和11N M 的交点O 即为椭圆中心. …… 18分
23、（本题满分14分）如图，点A 、B 分别是椭圆
22
13620
x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥．
（1）求点P 的坐标；
（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于
MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．
[解]（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）
设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得
.623,018920
)4)(6(120
36222
2-===-+??
???=+-+=+
x x x x y x x y x 或则 由于).32
5,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==
> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是
2
|
6|+m ， 于是
,2,66|,6|2
|
6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d 有 ,15)2
9
(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d
由于.15,2
9
,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-
24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器
运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
125
10022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、??? ?
?
764,0M 为顶点的抛物线的实线
部分，降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器. （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
[解]（1）设曲线方程为7
642+=ax y ， 由题意可知，764640+
?=a . 71
-=∴a .……4分 ∴ 曲线方程为7
64
712+-=x y . ……6分
（2）设变轨点为),(y x C ，根据题意可知
???
???
?+-==+)
2(,76471)1(,125100222x y y x
得 036742=--y y ， 4=y 或4
9
-=y （不合题意，舍去）.
4=∴y . ……9分 得 6=x 或6-=x （不合题意，舍去）. ∴C 点的坐标为)4,6(， ……11分
4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时，应向航天器发出变轨指令. ……14分
25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点．
（1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--?OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).
当直线l 的钭率不存在时,l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).
∴OB OA ?=3；
当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，由22(3)
y x
y k x =??=-?
得 2122606ky y k y y --=?=- 又 ∵ 22112211,22
x y x y ==，
∴2121212121()34
OA OB x x y y y y y y =+=+=，
综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么?=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果?=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(
2
1
,1)，此时OA OB =3, 直线AB 的方程为：2(1)3
y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；
说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ?=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2， 如果y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；
如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体
积
316后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为3
16
，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为3
16
，求所有侧面面积之和的最小值”.
试给出问题“在平面直角坐标系xOy 中，求点)1,2(P 到直线043=+y x 的距离.”的一个
有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.
评分说明：
(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定. (ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分. [解] 点)1,2(到直线043=+y x 的距离为24
3|1423|2
2
=+?+?. …… 4分
“逆向”问题可以是：
(1) 求到直线043=+y x 的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 [解] 设所求轨迹上任意一点为),
(y x P ，则
25
|
43|=+y x ， 所求轨迹为01043=-+y x 或01043=++y x . …… 14分 (2) 若点)1,2(P 到直线0:=+by ax l 的距离为2，求直线l 的方程. …… 10分 [解]
2|2|2
2=++b a b a ，化简得0342=-b ab ，0=b 或b a 34=，
所以，直线l 的方程为0=x 或043=+y x . …… 14分 意义不大的“逆向”问题可能是：
(3) 点)1,2(P 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为
24
3|1423|2
2
=+?+?，
所以点)1,2(P 是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (4) 点)1,1(Q 是不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为
25
7
43|1413|2
2≠=
+?+?，
x
y
x
y 所以点)1,1(Q 不是到直线043=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 (5) 点)1,2(P 是不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点？ …… 6分 [解] 因为
213
22
125|11225|2
2≠=
+?+?， 所以点)1,2(P 不是到直线0125=+y x 的距离为2的一个点. ……10分 27 、(14分) 如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆
)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左右两个焦点 分别为21F F 、. 过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为(
)
1,2M .
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设椭圆C 的一个顶点为),0(b B -，直线2BF 交椭圆C 于另一点N ，求△BN F 1的面积.
[解] (1) [解法一] x l ⊥ 轴，2F ∴的坐标为
(
)
0,2.…… 2分
由题意可知 ?????=-=+,
2,
112
2222b a b
a 得 ???==.
2,
42
2b a ∴ 所求椭圆方程为12
42
2=+y x . …… 6分 [解法二]由椭圆定义可知
a MF MF 221=+. 由题意12=MF ，121-=∴
a MF . …… 2分
又由Rt △21F MF 可知 ()
12
2)12(2
2+=-a ，0>a ，
2=∴a ，又22
2
=-b a ，得22
=b . ∴ 椭圆C 的方程为12
42
2=+y x . …… 6分 (2)直线2BF 的方程为2-=x y . …… 8分
由 ??
?
??=+-=,124,
222y x x y 得点N 的纵坐标为32. …… 10分
又2221=F F ，3822322211=????
? ??+
?=
∴?BN F S . …… 14分
28（本题满分18分）我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆122
22=+c
x b y (0)x ≤合成
的曲线称作“果圆”，其中2
22c b a +=，0>a ，0>>c b ．
如图，点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 分别是“果圆”与x ，y 轴的交点．
（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求 “果圆”的方程；
（2）当21A A >21B B 时，求a
b
的取值范围；
（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦．试研究：是否存在实数k ，使斜率为k 的“果圆”
平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的k 值；若不存在，说明理由．
解：（1）
(
(012(0)00F c F F ，
，，，，
021211F F b F F ∴
=
==，，
于是222
23744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为 2241(0)7x y x +=≥，
224
1(0)3
y x x +=≤．
（2）由题意，得 b c a 2>+，即a b b a ->-222． 2222)2(a c b b =+> ，2
22)2(a b b a ->-∴，得
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