古典概型和几何概型计数原理
古典概型和几何概型计数原理
古典概型和几何概型是计数原理中的两种基本方法。它们可以用来解决各种计数问题，包括排列、组合、多重集合等问题。在本文中，我们将介绍这两种方法的基本原理和应用。
古典概型
古典概型是指一个试验中所有可能的结果都是等可能的。例如，掷一枚硬币的结果只有两种可能：正面和反面，每种结果的概率都是1/2。同样地，掷一颗骰子的结果有六种可能，每种结果的概率都是1/6。
古典概型的计数原理是：如果一个试验有m种可能的结果，而我们要选择n种结果，且选择的顺序不重要，那么选择的方案数为C(m,n)。其中，C(m,n)表示从m个元素中选择n个元素的组合数，其计算公式为C(m,n)=m!/n!(m-n)!。
例如，从一副扑克牌中选择5张牌，不考虑花色和顺序，共有
C(52,5)=2,598,960种不同的选择方案。
几何概型
几何概型是指一个试验中所有可能的结果都可以用几何图形表示。例如，从一个正方形网格中选择两个点，可以用一条线段连接这两个点来表示结果。同样地，从一个圆形网格中选择三个点，可以用三条线段连接这三个点来表示结果。
几何概型的计数原理是：如果一个试验的结果可以用一个几何图形表示，而我们要计算这个图形的数量，那么我们可以使用面积或体积的方法来计算。例如，从一个正方形网格中选择两个点，可以用一条线段连接这两个点来表示结果。因此，选择的方案数等于正方形中线段的数量。对于一个n×n的正方形，线段的数量为n(n-1)/2。
例如，从一个n×n的正方形网格中选择两个点，共有n(n-1)/2种不同的选择方案。
应用举例
古典概型和几何概型可以用来解决各种计数问题。以下是一些应用举例：
1. 从一个集合中选择k个元素的所有不同方案数为C(n,k)。
2. 从一个集合中选择k个元素的所有不同方案数，且选择的元素顺序不重要，为C(n,k)/k!。
3. 从一个集合中选择k个元素的所有不同方案数，且选择的元素可以
重复，为C(n+k-1,k)。
4. 从一个n×n的正方形网格中选择两个点，共有n(n-1)/2种不同的
选择方案。
5. 从一个n×n的正方形网格中选择三个点，共有n(n-1)(n-2)/6种不
同的选择方案。
总结
古典概型和几何概型是计数原理中的两种基本方法。它们可以用来解
决各种计数问题，包括排列、组合、多重集合等问题。在实际应用中，我们可以根据问题的特点选择合适的方法来求解。
高考一轮总复习-082.古典概型与几何概型(基础)-知识讲解
高考总复习：古典概型与几何概型 【考点梳理】 知识点一、古典概型 1. 定义 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型： （1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； （2）每个基本事件出现的可能性相等。 2. 古典概型的基本特征 （1）有限性：即在一次试验中，可能出现的结果，只有有限个，也就是说，只有有限个不同的基本事件。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式 由于古典概型中基本事件发生是等可能的，如果一次试验中共有n 种等可能的结果，那么每一个基本事件的概率都是 1n 。如果某个事件A 包含m 个基本事件，由于基本事件是互斥的，则事件A 发生的概率为其所含m 个基本事件的概率之和，即n m A P =)(。 所以古典概型计算事件A 的概率计算公式为： 试验的基本事件总数 包含的基本事件数事件A A P =)( 4.求古典概型的概率的一般步骤： （1）算出基本事件的总个数n ； （2）计算事件A 包含的基本事件的个数m ； （3）应用公式()m P A n =求值。 5．古典概型中求基本事件数的方法： （1）穷举法； （2）树形图； （3）排列组合法。利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理，必须做到不重复不遗漏。 知识点二、几何概型
1. 定义： 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。 2.几何概型的两个特点： （1）无限性，即在一次试验中基本事件的个数是无限的； （2）等可能性，即每一个基本事件发生的可能性是均等的。 3.几何概型的概率计算公式： 随机事件A 的概率可以用“事件A 包含的基本事件所占的图形面积（体积、长度）”与“试验的基本事件所占总面积（体积、长度）”之比来表示。 所以几何概型计算事件A 的概率计算公式为：Ω=μμA A P )( 其中μΩ表示试验的全部结果构成的区域Ω的几何度量，A μ表示构成事件A 的区域的几何度量。 要点诠释：用几何概型的概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法. 【典型例题】 类型一、古典概型 例1(2014 四川高考)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取 错误!未找到引用源。 次，每次抽取 错误!未找到引用源。 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。． (1) 求“抽取的卡片上的数字满足 错误!未找到引用源。 ”的概率； (2) 求“抽取的卡片上的数字 错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。 不完全相同”的概率． 【解析】 (1) 由题意，错误!未找到引用源。 的所有可能为 共 错误!未找到引用源。 种．
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型 一）古典概型 （1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ；P （A ）= n m 。 二）几何概型 1．随机数的概念 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。 2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）= 积） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积） 的区域长度（面积或体 构成事件A 。 5．几种常见的几何概型 （1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与 线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度 （2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积 题型一 古典概型 类型1 骰子硬币型 1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ） A ． P1=P2 第三节 古典概型与几何概型 引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可能性均为10 1. 这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象. 内容分布图示 ★ 引例 ★ 古典概型 ★ 计算古典概率的方法 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 几何概型 ★ 例7 ★ 例8 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-3 内容要点: 一、古典概型 我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。 1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同. 因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为: 在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件A 包含其样本空间S 中k 个基本事件, 即 },{}{}{21k i i i e e e A = 则事件A 发生的概率 .)()()(11中基本事件的总数 包含的基本事件数S A n k e P e P A P k j i k j i j j ====∑== 称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题. 二、 计算古典概率的方法 基本计数原理： 1. 加法原理：设完成一件事有m 种方式,其中第一种方式有1n 种方法，第二种方式有 课题 古典概型与几何概型 教学目标 1、理解古典概型及其概率计算公式。 2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 3、了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 4、了解几何概型的意义。 重 点 理解古典概型，几何概型的概念 难 点 掌握古典概型，几何概型的概率公式 【知识点梳理】 一、古典概型 1．基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果,称为一个基本事件。 基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件。基本事件有以下两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的； （2）任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 2．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，这种事件叫等 可能性事件 3．古典概型：具有以下两个特征的随机试验的概率模型称为古典概型。 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件出现的可能性相等。 4．古典概型的概率计算公式： 对于古典概型，若试验的所有基本事件数为n ，随机事件A 包含的基本事 件数为m ，那么事件A 的概率定义为()m P A n = 。 二、几何概型 1. 几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成正比，则称这样的概率模型为几何概型。 2. 几何概型试验的两个基本特征：（1）无限性：指在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；（2）等可能性：每个结果的发生具有等可能性。 3. 几何概型事件的概率计算公式： 积） 的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A A P = )( 作业 古典概型与几何概型 古典概型和几何概型是概率论中的两个重要概念，它们被广泛应用于统计学、数学和其他科学领域。本文将从古典概型和几何概型的定义、特点和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。 1. 古典概型 古典概型是指在确定试验中，每个基本事件发生的概率相等的情况。简单来说，就是试验的结果可以列举出来，并且每个结果发生的可能性相同。比如，投掷一个均匀的骰子，每个点数出现的概率都是1/6，这就是一个典型的古典概型。 古典概型的特点是简单明确，适用于具有确定结果的试验。它可以用于求解事件的概率、计算期望值等问题。古典概型在实际应用中有着广泛的应用，比如扑克牌、硬币、骰子等常见的游戏和赌博问题都可以用古典概型进行分析和计算。 2. 几何概型 几何概型是指试验的结果在几何空间中的分布情况。与古典概型不同的是，几何概型中的基本事件并不一定具有相等的概率。几何概型常用于描述连续型随机变量的分布情况，比如长度、面积、体积等。 几何概型的特点是可以用几何图形来表示，更加直观直观形象。在 几何概型中，我们可以通过计算几何形状的面积、体积等来求解概率和期望值。几何概型在实际应用中有着广泛的应用，比如连续型随机变量的概率密度函数和分布函数的计算等。 3. 古典概型与几何概型的联系与区别 古典概型和几何概型都是概率论中常用的概念，它们都可以用于描述试验结果的概率分布情况。但是古典概型强调的是试验结果具有相等的概率，而几何概型则不一定具有相等的概率。 古典概型适用于离散型随机变量的分析，一般用于计算排列组合、事件概率等问题。而几何概型适用于连续型随机变量的分析，一般用于计算几何空间的面积、体积等问题。 古典概型和几何概型在实际应用中常常结合使用。例如，在计算连续型随机变量的概率时，可以先用几何概型计算几何形状的面积或体积，然后再根据总体积或面积计算概率。 4. 古典概型与几何概型的应用举例 古典概型和几何概型在实际应用中有着广泛的应用。以下举两个例子进行说明： （1）例子1：投掷两个均匀的骰子，求两个骰子之和为7的概率。这是一个典型的古典概型问题。由于每个骰子的点数出现的概率都是1/6，所以两个骰子之和为7的概率可以计算为1/6。 古典概型与几何概型 【知识要点】 一、古典概型 1、基本事件 （1）基本事件的定义 一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件我们称为基本事件. （2）基本事件的特点 ①任意两个基本事件都是互斥的. ②任何事件都可以表示成基本事件的和. 2、古典概型 （1）古典概型的定义 我们将具有上述这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型. （2）古典概型的特征 古典概型是一种特殊的概率模型，其特征有以下两个： ①有限性. 即在一次试验中，所有可能出现的结果只有有限个，或者说在一次试验中，只有有限个不同的基本事件. ②等可能性. 即每个基本事件发生的可能性都是相等的，或者说所有结果出现的可能性都是相等的. 【注】古典概型必须满足两个条件：①有限性；②等可能性，只有这两个条件都满足时才是古典概型. 3、基本事件数的探求方法 （1）列举法：此法适合于较简单的试验. （2）树状图法：此法是一种常用方法，适合于较复杂问题中基本事件的探求. 4、有放回的抽样与无放回的抽样 在古典概型的概率计算中，将涉及两种不同的抽样方法，下面举例来说明. 设一个口袋内有n 个不同的球，现从袋内依次摸球，且每次只摸一只，则有如下两种摸球的方法： （1）有放回的抽样 每次摸出一只后，放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样. 显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复出现，且摸球可以无限次地进行下去. （2）无放回的抽样 每次摸出一只后，不放回袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球的方法称为无放回的抽样. 显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次. 5、古典概型的概率计算公式 在古典概型中，事件A 的概率的计算公式如下： ()A m P A n = 事件所包含的基本事件的个数试验的基本事件的总数. 【注1】()m P A n = 既是概率的古典定义，又是求古典概型的概率的基本方法. 求()P A 时，要首先判断是否是古典概型，具体计算步骤如下： Step 1：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意； Step 2：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ； 课题：古典概型与几何概率 考纲要求： ① 理解古典概型及其概率计算公式；② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率；③了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；④了解几何概型的意义. 教材复习 1.古典概型：把同时具有： “()1每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的，每次试验只出现其中一个结果；()2每一个结果出现的可能性相同”的两个特征的随机试验的数 学模型称为古典概型： 基本步骤：①计算一次试验中基本事件的总数n ；②事件A 包含的基本事件的个数m ； ③由公式n m A P = )(计算. 注：必须在解题过程中指出等可能的.. 2.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成事件的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型. 特性：每一次试验中所有可能出现的结果都是无限的，每一个结果出现的可能性都是相等的. 基本步骤：（1）构设变量（2）集合表示（3）作出区域（4）计算求解. 几何概型的计算：()P A = 积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积） 的区域长度（面积或体构成事件A 3.随机数：是在一定范围内随机产生的数，并且在这个范围内得到每一个数的机会相等. 随机数的一个重要应用就是用计算机产生随机数来模拟设计实验. 模拟是利用模型来研究某些现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力、物力. 典例分析： 考点一 古典概型的概念 问题1．判断下列命题正确与否： ()1 掷两枚硬币，可能出现“两个正面” ，“两个反面”，“一正一反”3种结果；()2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能行相同；()3从4,3,2,1,0,1,2----中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同； ()4分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表， 那么每个同学当选的可能性相同； ()55人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同. 古典概型和几何概型计数原理 古典概型和几何概型是计数原理中的两种基本方法。它们可以用来解决各种计数问题，包括排列、组合、多重集合等问题。在本文中，我们将介绍这两种方法的基本原理和应用。 古典概型 古典概型是指一个试验中所有可能的结果都是等可能的。例如，掷一枚硬币的结果只有两种可能：正面和反面，每种结果的概率都是1/2。同样地，掷一颗骰子的结果有六种可能，每种结果的概率都是1/6。 古典概型的计数原理是：如果一个试验有m种可能的结果，而我们要选择n种结果，且选择的顺序不重要，那么选择的方案数为C(m,n)。其中，C(m,n)表示从m个元素中选择n个元素的组合数，其计算公式为C(m,n)=m!/n!(m-n)!。 例如，从一副扑克牌中选择5张牌，不考虑花色和顺序，共有 C(52,5)=2,598,960种不同的选择方案。 几何概型 几何概型是指一个试验中所有可能的结果都可以用几何图形表示。例如，从一个正方形网格中选择两个点，可以用一条线段连接这两个点来表示结果。同样地，从一个圆形网格中选择三个点，可以用三条线段连接这三个点来表示结果。 几何概型的计数原理是：如果一个试验的结果可以用一个几何图形表示，而我们要计算这个图形的数量，那么我们可以使用面积或体积的方法来计算。例如，从一个正方形网格中选择两个点，可以用一条线段连接这两个点来表示结果。因此，选择的方案数等于正方形中线段的数量。对于一个n×n的正方形，线段的数量为n(n-1)/2。 例如，从一个n×n的正方形网格中选择两个点，共有n(n-1)/2种不同的选择方案。 应用举例 古典概型和几何概型可以用来解决各种计数问题。以下是一些应用举例： 1. 从一个集合中选择k个元素的所有不同方案数为C(n,k)。 2. 从一个集合中选择k个元素的所有不同方案数，且选择的元素顺序不重要，为C(n,k)/k!。 古典概型与几何概型 一、古典概型 1、定义 （1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。 比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。 2、古典概型中事件概率的计算 设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件 两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1 }{n i n P i ==ω 若事件A 包含m 个样本点，即{} ωωωi i i A m ,,,21 =， 则有 ： 中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数 发生的基本事件数使A = n m = 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.75 2．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是 A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 3.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 . 版块一：古典概型 1．古典概型： 如果一个试验有以下两个特征： ⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义： 随机事件A 的概率定义为()P A = A 事件包含的基本事件数 试验的基本事件总数 ． 版块二：几何概型 几何概型 事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型． 几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ =，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量． 题型一 基础题型 【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一 位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先 到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____ 【例2】 （2010崇文一模） 从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______． 【例3】 （2010上海卷高考） 从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B = （结果用最简分数表示）． 典例分析 知识内容 板块一.古典概型 【例4】 （2010湖北高考） 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A ．512 B ．12 C ．712 D ．3 4 【例5】 甲、乙、丙三人随意坐下一排座位，乙正好坐中间的概率为（ ） A ．12 B ．1 3 C ．14 D ．16 【例6】 甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是 （ ） A ．16 B ． 14 C ．1 3 D ．12 【例7】 今后三天每一天下雨的概率都为50%，这三天恰有两天下雨的概率为多少？ 【例8】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随 意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【例9】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通 晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组． ⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率． 排列组合 计数原理：完成一件事有多少种可能 1，分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =+++ 种方法 2，分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 12n N m m m =??? 种不同的方法． 两者区别：分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 通常先分类后分步。 排列：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。 排列数：即所有排列的可能个数。记作m n A =n(n-1)……(n-m+1)。 全排列：即将n 个元素全取出排列记作n n A =n(n-1)……1.所以排列数也可写成 ! ()! n n m - 组合：从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 组合数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中 取出m 个元素的组合数。记作：(1)! !!m m n n m m A n n n C A m m -=== …(n-m+1)（n-m ）! 组合的一些特点：m n m n n C C -=，1 1m m m n n n C C C -+=+。 常见解题技巧： 1，若有特殊元素——>特殊优先法（先排特殊元素，再排一般元素） 例一：1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种． 分析：老师是特殊元素，先排老师。一共5个位置，两头不能排，有三种位置，再排学生，则是分布计数。则共有72种。 例二：乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有多少种 分析：主力是特殊元素，先拍特殊，A33，再从7名中选择两名（注意顺序），分步计数，则共有252种。 2，有必须相邻的元素——>捆绑法（即将相邻元素看作一个元素，别忘了内部排列） 例一：7名学生站成一排，甲、乙必须站在一起有多少不同排法？ 分析：将甲乙看做一个元素，则可能有A66种，不要忘了甲乙内部的排序A22.则共有1440 古典概型与几何概型的异同点 一、背景和定义 1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。 2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。 二、相同点 1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。 2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。 三、不同点 1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。 2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。 3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。 4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。 5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。 6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。 7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。 四、例子 1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。 2. 几何概型例子：在一段长度为1的线段上随机选择一个点，选择的点落在任意一个特定长度区间的概率是该区间的长度除以整个线段的长度；在一个面积为1的圆内随机选择一个点，选择的点落在任意一个特定面积区域的概率是该区域的面积除以整个圆的面积。这些例子中，概率是通过与某个几何量的关联来定义的。 五、应用领域 1. 统计学：在统计学中，古典概型和几何概型都是用于描述数据分布的概率模型。古典概型通常用于描述离散数据的分布，而几何概型则用于描述连续数据的分布。 2. 物理科学：在物理科学中，这两种模型也都有应用。例如，在量子力学中，波函数是一种描述粒子状态的几何概型；而在经典力学中，粒子运动轨迹的概率可以通过几何概型来描述。 3. 工程学：在工程学中，这两种模型也都有应用。例如，在通信工程中，信号传输的质量可以通过几何概型来描述；而在电子工程中，电路的工作状态可以通过古典概型来描述。 4. 社会科学：在社会科学中，这两种模型也有应用。例如，在经济学中，股票价格的波动可以通过几何概型来描述；而在心理学中，人类的决策行为可以通过古典概型来描述。 古典概型与几何概型 【学习目标】 1．能说明古典概型的意义并会求解古典概型的概率； 2．能说明几何概型的意义并会求解几何概型的概率． 【学习重点】 古典概型与几何概型的概率求解． 【学习过程】 一、知识梳理 1．知识要点 （1）古典概型 ○ 1定义：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；且每个基本事件出现的可能性相等．我们将这样的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ○ 2古典概型计算任何事件的概率计算公式为： ○ 3古典概型的特征： (ⅰ) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (ⅱ) 每个基本事件出现的可能性相等． （2）几何概型 ○ 1定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． ○ 2几何概型中事件A 的概率计算公式为: 积等） 的区域长度（面积或体 试验的全部结果所构成 积等） 的区域长度（面积或体 构成事件）（A A P = ． ○ 3几何概型的两个特征： (ⅰ)试验结果有无限多； (ⅱ)每个结果的出现是等可能的． 二、 基础自测 1．知集合A={}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8-----,在平面直角坐标系0x y 中,点(),x y 的坐标,x A y A ∈∈,点(),x y 正好在第二象限的概率是 ( C ) A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 25 2．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A ） 136 （B ）19 （C ）536 （D ）16 【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有3 35 5 6A A ⋅⨯（种），所以33 55446 6 616 A A P A A ⋅⨯= = ⋅． 3．A 是圆上固定的一定点,在圆上其他位置任取一点B,连接A 、B 两点,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为 ( B ) A ． 12 B ． 23 C ． 32 D ． 14 4．如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则 （1）P （A ）= _____________； （2）P （B|A ）= ． 【答案】（1） 2 π ，（2）14 5．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为 ．（结果用最简分数表示） 【答案】28 145 三、典例解析 例1某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （I ）没有人申请A 片区房源的概率； （II ）每个片区的房源都有人申请的概率． 思路启迪：这是古典概型的概率计算问题． 解：（I ）所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A 片区房源”的申请方式有24 种．记“没有人申请A 片区房源”为事件A ，则 44 216().81 3 P A = = （II ）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有 1 2 1 2 3 34243()C C C C C 或种．记“每个片区的房源都有人申请”为事件B ，从而有 一、 古典概型 1）基本事件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为基本事件． 2）基本事件的特点： ① 任何两个基本事件是互斥的； ② 任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和． 3）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是： ① 有限性：即在一次试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． ② 等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型． 4）基本事件的探索方法： ① 列举法：此法适用于较简单的实验． ② 树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的基本事件探索． 5）在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，下列举例来说明：设袋中有n 个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法： ① 有放回的抽样 每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进行下去． ② 无放回的抽样 每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次． 二、 古典概型计算公式 1）如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n ； 2）如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率()m P A n =． 3）事件A 与事件B 是互斥事件()()()P A B P A P B =+ 4）事件A 与事件B 可以是互斥事件，也可以不是互斥事件 ()()()()P A B P A P B P A B =+-． 古典概型注意： ① 列举法：适合于较简单的试验． ② 树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时， (),x y 可以看成是有序的，如()1,2与()2,1不同；有时也可以看成是无序的，如()1,2与 （江苏专用）2018版高考数学专题温习 专题10 计数原理、概率与统计 第72练 古 典概型与几何概型练习 理 训练目标 (1)理解古典概型的概念、会求古典概型的概率；(2)会利用几何概型的计算公式求几何概型的概率． 训练题型 (1)求简单古典概型的概率；(2)与其他知识交汇求古典概型的概率及古典概型的应用；(3)长度型、面积型、体积型几何概型；(4)几何概型的应用． 解题策略 (1)对于古典概型：读懂题目，抓住解决问题的实质，即确定基本事件个数及所 求事件包含基本事件的个数．(2)对于几何概型：①理解并会应用计算公式；② 利用图形的几何性质求面积、体积，复杂图形可利用分割法、补形法. 1点，则直线OA 与y ＝x 2 ＋1有交点的概率是________． 2．(2016·徐州质检)设a ∈{1,2,3,4}，b ∈{2,4,8,12}，则函数f (x )＝x 3 ＋ax －b 在区间[1,2]上有零点的概率为________． 3．如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM ＜1的概率为________． 4．已知椭圆x 2 4＋y 2 ＝1的左，右核心别离为F 1，F 2，在长轴A 1A 2上任取一点M ，过M 作A 1A 2的垂线交椭圆的于点P ， 则使得PF 1→·PF 2→ ＜0的点M 的概率为________． 5．将一颗骰子掷两次，观看显现的点数，并记第一次显现的点数为m ，第二次显现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )， q ＝(3,6)，则向量p 与q 共线的概率为________． 6．咱们把日均收看体育节目的时刻超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________． 7．抛掷两枚均匀的骰子，取得的点数别离为a ，b ，那么直线x a ＋y b ＝1的斜率k ≥－1 2 的概率为________． 8．(2016·昆明一模)小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机排并摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是_______． 9．(2016·徐州模拟)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 10．(2016·扬州二模)设a ，b 均随机取自集合{1,2,3}，则直线ax ＋by ＋3＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝1有公共点的频率是________． 11．(2016·苏北四市质检)在△ABC 的边AB 上随机取一点P ，记△CAP 和△CBP 的面积别离为S 1和S 2，则S 1＞2S 2的概率是________． 第五节 古典概型与几何概型 一、基础知识 1.古典概型 (1)古典概型的特征： ①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的. 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性. (2)古典概型的概率计算的基本步骤： ①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A ； ②分别计算基本事件的总数n 和所求的事件A 所包含的基本事件个数m ； ③利用古典概型的概率公式P (A )＝m n ，求出事件A 的概率. (3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计 算公式 频率计算中的m ，n 均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算了一个比值m n 古典概型的 概率计算公式 m n 是一个定值，对同一个随机事件而言，m ，n 都不会变化 2.几何概型 (1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型. (2)几何概型的基本特点： ①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等. (3)计算公式： P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型应用中的关注点 1关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率. 2确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性. 考点一 古典概型 [典例精析](1)(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23. 在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.1 12 B.114 C.115 D.118 (2)(2019·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( ) A.736 B.12 C.1936 D.518 [解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝345＝115 . (2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ 1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *，所以a 和b 的组合有36种. 若方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解， 则Δ＝b 2－4a ≥0，所以b 2≥4a . 当b ＝1时，没有a 符合条件；当b ＝2时，a 可取1；当b ＝3时，a 可取1,2；当b ＝4时，a 可取1,2,3,4；当b ＝5时，a 可取1,2,3,4,5,6；当b ＝6时，a 可取1,2,3,4,5,6. 满足条件的组合有19种，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率P ＝1936. [答案] (1)C (2)C [题组训练] 1.(2019·益阳、湘潭调研)已知a ∈{－2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数f (x )＝(a 2－2)e x ＋b 为减函数的概率是( ) A.310 B.35 C.25 D.15 大学概率论知识点归纳总结 概率论是数学的一个重要分支，研究随机事件的发生规律和概率的 计算方法。作为大学数学课程中的一门核心内容，概率论具有广泛的 应用领域，如统计学、金融、物理学等。本文将对大学概率论的知识 点进行归纳总结，以帮助读者系统地理解和掌握这一学科。 一、概率的基本概念及性质 1.1 随机试验和样本空间 在概率论中，随机试验是指具有不确定性的实验，样本空间是指 所有可能结果的集合。 1.2 事件和事件的关系 事件是样本空间的子集，包含了几个样本点。事件之间有包含关系、互斥关系等。 1.3 概率的定义与性质 概率是描述某个事件发生可能性大小的数值，它具有非负性、规 范性、有限可加性等性质。 二、概率的计算方法 2.1 古典概型 古典概型是指各个基本事件发生的可能性相等的情况，如掷骰子、扑克牌等。 2.2 几何概型和计数原理 几何概型是指基于几何图形的概率计算问题，计数原理用于计算可行结果的数量。 2.3 频率与概率的关系 频率是通过实验统计得到的事件发生的相对次数，当试验次数增多时，频率趋于概率。 2.4 条件概率与乘法定理 条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，乘法定理用于计算条件概率。 2.5 独立性与乘法定理的应用 两个事件的独立性意味着其相互不影响，乘法定理可用于计算独立事件联合发生的概率。 三、随机变量及其分布 3.1 随机变量的概念 随机变量是指具有随机性的数值变量，可以是离散型或连续型。 3.2 离散型随机变量及其分布 离散型随机变量只取有限或可列个值，其分布由概率质量函数描述，如二项分布、泊松分布等。 3.3 连续型随机变量及其分布 古典概型和几何概型计数原理 引言 在组合数学中，有两个重要的计数原理，即古典概型和几何概型计数原理。这两个原理可以帮助我们计算一系列事件的可能性或可能的组合数量。它们在计算组合、排列、概率等问题时经常被使用。本文将详细解释古典概型和几何概型计数原理的基本原理，并提供一些示例来帮助理解。 古典概型计数原理 古典概型计数原理主要用于计算事件的可能性。它的基本原理可以归纳为以下三点：1.对于一个有序的实验空间，假设实验空间中有m个互不相同的事件，每个事 件发生的可能性都是相同的。如果第一个事件有n1种可能的结果，第二个 事件有n2种可能的结果，…，第m个事件有nm种可能的结果，那么整个实 验空间中的总结果数为n1 * n2 * … * nm。 2.对于一个有序的实验空间，每个事件的发生可能性可能不相同。如果第一个 事件有n1种可能的结果，第二个事件有n2种可能的结果，…，第m个事件 有nm种可能的结果，那么整个实验空间中的总结果数为n1 * n2 * … * nm。 3.对于一个无序的实验空间，假设实验空间中有m个互不相同的事件，每个事 件发生的可能性都是相同的。如果每个事件发生的次数都是相同的，那么整 个实验空间中的总结果数为(m!)^n，其中n为每个事件发生的次数。 为了更好地理解古典概型计数原理，我们来看几个示例： 示例1 假设有一支笔，由4个字母A、B、C、D组成。如果要从中选择2个字母，这些字 母的排列和组合的可能性分别是多少？ 根据古典概型计数原理的第一个原理，每个位置都有4种可能的选择，因为每个位置都可以选择A、B、C、D中的任意一个字母。所以排列的可能性是4 * 4 = 16。古典概型与几何概型大学数学教案2
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