全等三角形几种类型

板块 考试要求

A 级要求

B 级要求

C 级要求

全等三角形的性质及判

定

会识别全等三角形

掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题

会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题 全等三角形的认识与性质

全等图形：

能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形：

能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边对应边、全等多边形的对应角相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

A'

B'

C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：

能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角．

(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．

要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．

全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 判定三角形全等的基本思路：

SAS HL SSS →??

→??→?

找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASA AAS

SAS AAS ??

??

??

????

?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA

AAS →??→?

找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型

⑵ 对称全等型

⑶ 旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴ 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵ 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)． ⑷ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸ 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

⑹ 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺ 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等； ⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式： 1． 由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2． 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形， 3． OA OB =，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B O

P

P

O

B A

A B O

P

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的

基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL 的判定是整个直角三角形的重点

难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，

要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，

若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．

2

1E O

D

C

B

A

【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三

角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

F

A

E P D

C

B

板块二、三角形全等的判定与应用

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：

AF BD =．

F

E

D

C

B

A

【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．

O

D

C

B

A

【巩固】如图，AC 、BD 相交于O 点，且AC BD =，AB CD =，求证：OA OD =．

A

B

C

D

O

【例4】 (哈尔滨市2008 年初中升学考试)已知：如图，B 、E 、F 、

C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：OA O

D =．

F E O

D

C

B A

【例5】 已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．

F E C

B

A

【例6】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．

P

F

E

D

C

B

A

【巩固】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：

BG CF BC +=．

G

A B

C D

E

F

【例7】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．

M E

D

C B A

板块三、截长补短类

【例1】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=?，

射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?

N

E

B M A D

【巩固】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC ∠外角的平分线交于

点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？

N

C

D

E

B M A

【例2】 如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ，DM =CM =a ，AD =h ，CB =k ，∠AMD =75°，∠BMC =45°，则AB

的长为 ( )

A . a

B . k

C .

2

k h

+ D . h M

D

C

B

A

【例3】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .

F

E

D

C

B

A

【例4】 如图所示，ABC ?是边长为1的正三角形，BDC ?是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点

作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ?的周长．

N

M D

C

B

A

【例5】 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE

C

E

D

B A

板块四、与角平分线有关的全等问题

【例1】 如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且

3OD =，求ABC ?的面积．

【例2】 在ABC ?中，D 为BC 边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =．

【例3】 已知ABC ?中，AB AC =，BE 、CD 分别是ABC ∠及ACB

∠平分线．求证：CD BE =．

E

D C

B A

【例4】 已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判

断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

O

E

D C

B

A

【例5】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =．

E D

C B A

4

32

1

【例6】 (“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，

EF ⊥ED 交AB 于F ，则EF =__________．

A

D

O

C

B

D C B

A

F

E

D

C

B

A

【例7】 如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．

DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥AB

F

A C

D E B

【巩固】如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，

交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为BAC ∠的角平分线．

F G

E D

C

B

A

【巩固】在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：

AB AC PB PC ->-．

C

D B P

A

【例8】 如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=．

D

C B A

【例9】 如图所示，在ABC ?中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的平分线，若CF AD

⊥且交AD 的延长线于F ，求证()1

2

MF AC AB =-．

M

F

D C

B A

【巩固】如图所示，AD 是ABC ?中BAC ∠的外角平分线，C D A D ⊥于D ，E 是BC 的中点，求证

D E A B

∥ 且1

()2

DE AB AC =+． E D

C

B A

【巩固】如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=．

M

D C

B

A

【例10】 如图，ABC ?中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE

⊥于E ．求证：AD AE =．

H

G D A

B C E

【巩固】已知：AD 和BE 分别是ABC △的CAB ∠和CBA ∠的外角平分线，CD AD ⊥，CE BE ⊥，求

证：⑴ DE AB ∥；⑵ ()1

2

DE AB BC CA =++．

E

B

A D C

【例11】 在ABC ?中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABE ∠、ACF ∠的角平分线，AM BM ⊥，

AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1

2

MN AB AC BC =++

F

E

N M C

B

A

【巩固】在ABC ?中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN

⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()1

2

MN AB AC BC =+-

N M

C

B

A

【巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作E AB CE 于⊥，

并且)(2

1

AD AB AE +=

，则ADC ABC ∠+∠等于多少？

E

D

C

B

A

【例12】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上．

① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．

E

D

C

B A

版块一、倍长中线

【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1

()2

AM AB AC <+．

M

C

B A

【例2】 如图，ABC ?中，

D

C

B

A

【例3】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，

AF EF =，求证：AC BE =．

F

E

D

C B

A

【例4】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底

BC 于G ，求证GD =GE ．

G

E

D

C

B

A

【例5】 已知AM 为ABC ?的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：

BE CF EF +>．

M

F

E

C

B

A

【例6】 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且

ED FD ⊥．以线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

F E

D

C

B

A

【巩固】如图所示，在ABC ?中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2

2

2

2

BM CN DM DN +=+，

求证()2221

4

AD AB AC =+．

N

M

D

C

B

A

【例7】 (2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在Rt ABC ?中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别

在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．

F

E

D

C

B

A

版块二、中位线的应用

【例8】 AD 是ABC ?的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：1

3

AE AC =．

F

A

D

E C

B

【例9】 如图所示，在ABC ?中，AB AC =，延长AB 到D ，使BD AB =，E 为AB 的中点，连接CE 、

CD ，求证2CD EC =．

E

D

C

B A

【巩固】已知△ABC 中，AB =AC ，BD 为AB 的延长线，且BD =AB ，CE 为△ABC 的AB 边上的中线．求

证CD =2CE

E D

B C

A

【例10】 已知：ABCD 是凸四边形，且AC

交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点． 求证：∠GMN >∠GNM ．

N

M G

F

E

D

C

B

A

【例11】 在ABC ?中，90ACB ∠=?，1

2

AC BC =

，以BC 为底作等腰直角BCD ?，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．

E

D

C

B

A

【例12】 如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=?，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：

BF EF =．

E

D

F

C

B

A

【例13】 (“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题)如图所示，P 是ABC ?内的一点，

PAC PBC ∠=∠，过P 作PM AC ⊥于M ，PL BC ⊥于L ，D 为AB 的中点，求证DM DL =．

L

P

M

D C

B

A

【例14】 (全国数学联合竞赛试题) 如图所示，在ABC ?中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点

E 、

F ，使DE DF =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证： (1) DEM FDN ??≌； (2) PAE PBF ∠=∠．

M

N

M

A

D

E

P

P

F

E

D C

B

A

【习题1】如图，已知AC BD =，AD AC ⊥，BC BD ⊥，求证：AD BC =．

D

C B

A

【习题2】点M ，N 在等边三角形ABC 的AB 边上运动，BD =DC ，∠BDC =120°，∠MDN =60°，求证MN =MB +NC ．

N

M D

C

B

A

【习题3】在ABC △中，3AB AC =，BAC ∠的平分线交BC 于D ，过B 作BE AD ⊥，E 为垂足，求证：AD DE =．

C E

D

B A

【习题4】如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠．

D

C B A

【习题5】如图，在等腰ABC ?中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．

求证：EDB FDC ∠=∠．

D

F

E

C

B

A

【习题6】如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =，延长BE 交

AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？

F

E

D C

B

A

【习题7】如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

E D C

B A