高二数学等差数列单元测试题

【等差数列】

本卷共100分，考试时间90分钟

一、选择题 (每小题4分，共40分)

1. 数列 ,1,0,1,0,1的一个通项公式是 （ ）

A. ()2

111

+--=

n n a B. ()2

111

+-+=

n n a C. ()2

11--=n

n

a D. ()2

11n

n

a

---=

2. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是 （ ）

A. 递增数列

B. 递减数列

C. 常数列

D. 摆动数列 3. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是 （ ）A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 4. 设}{n a 是公差为正数的等差数列，若321321,15a a a a a a =++=80，则

131211a a a ++=

（A ）120 （B ）105

（C ）90 （D ）75

5. 等差数列{}n a 中，前n 项23

12

2

n a S n n =+

，则3a 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）

A.3

B.4

C.5

D.2 7. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则 （ ） A ．24

B ．22

C ．20

D ．-8

8. 已知等差数列{}n a 中，72=a ，154=a ，则前10项和10S = （A ）100 （B ）210 （C ）380 （D ）400

9. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=

（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5

10. 已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ） A.21 B.20 C.19 D.18

二、填空题 (每小题4分，共16分)

11. 数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，则n a = 。

12. 已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ．

13. 已知椭圆

4

2

x +

3

2y =1上有n 个不同的P 1,P 2,P 3,……P n ,设椭圆的右

焦点为F ，数列{|FP n |}的公差不小于1

1004

的等差数列，则n 的最大值为 ．

14. 某单位用3.2万元购买了一台实验仪器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为49()10

n n N *+∈元,若使用这台

仪器的日平均费用最少，则一共使用了 天．

三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)

15.（本小题满分10分） 已知数列}{n a 中，531=a ，),2(1

21

+-∈≥-=N n n a a n n ，

数列}{n b 满足

)(1

1

+∈-=

N n a b n n ； （1） 求证：数列}{n b 是等差数列；

（2） 求数列}{n a 中的最大值和最小值，并说明理由

16. （本小题满分10分） 在数列{}n a 中，n n n a a a 22,111+==+ （1）设,2

1

-=

n n

n a b 证明{}n b 是等差数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。

17. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项为1,4,2,a a -记前

n 项和为n S ．

(Ⅰ)设2550k S =，求a 和k 的值； (Ⅱ)设n

n S b n

=

，求371141n b b b b -+++???+的值． 18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为

11,10,910n n n S a a S +==+。

（I ）求证：{lg }n a 是等差数列； （Ⅱ）设n T 是数列13

(lg )(lg )n n a a +?

??

???

的前n 项和，求n T ；

（Ⅲ）求使21(5)4

n T m m >-对所有的n N *∈恒成立的整数m 的取值集合。

答案

一、选择题 1. B 2. A 3. B 4. B 5. C 6. A 7. A 8. B 9. D

10. 解析：由题设求得：34135,332,39412n a a d a a n ==?=-=?=-，

20211,1a a ==-， 所以当20n =时n S 最大。故选B

二、填空题 11. 45n a n =- 12. －2

1；

13. 2018 14. 800 三、解答题 15. 解析： (1)1

1)12(111111

-=--=-=

---n n n n n a a

a a

b ,而1111-=

--n n a b ,

∴),2(11+-∈≥=-N n n b b n n ,25111

1-=-=a b ；故数列}{n b 是首项为2

5

-，公差为1的等差数列；

（2）由（1）得2

7-=n b n ，则722

11

1-+

=+=n b a n

n ；设函数7221)(-+=x x f ，

函数7221)(-+=x x f 在)27,(-∞和),2

7

(+∞上均为减函数，当3≤x 时，1)3()(-=≥f x f ；当4≥x 时，3)4()(=≤f x f ；且5

3

)1(=f ，当n 趋向于+∞时，)(x f 接

近1，

∴1)(3min -==a a n ，3)(4max ==a a n ．

16. 解析：（1）由已知n n n a a 221+=+得

112

22221

11

+=+=+==-++n n n

n n n n n n b a a a b ， 又111==a b

∴{}n b 是首项为1，公差为

1的等差数列；

（2）由（1）知

1

1

2,2

--?=∴=n n n n n a n a 12223221-?++?+?+=n n n S n n n S 223222232?++?+?+=

两式相减得n n n n S 222221132?-++++=--

12)1(+?-=∴n n n S

17. 解析：(Ⅰ)由已知得1231,4,2a a a a a =-==，又1322a a a +=， (1)28,a a ∴-+=即3a =． …………………………（2分）

12a ∴=，公差212d a a =-=． 由1(1)

2

k k k S ka d -=+，得 …………………………（4分）

(1)

2225502

k k k -+

?= 即225500k k +-=．解得50k =或51k =-(舍去)． 3,50a k ∴==． …………………………（6分）

(Ⅱ)由1(1)

,2

n n n S na d -=+

得 2(1)

22.2n n n S n n n -=+?=+ …………………………（8分） 1n n S

b n n

∴==+ …………………………（9

分）

{}n b ∴是等差数列．

则371141(31)(71)(111)(411)n b b b b n -+++

+=++++++

+-+

(44)2

n n

+=

………………………(11分)

237114122n b b b b n n -∴+++

+=+ ……………………(12分)

18. 解析：（I ）依题意，21910100a c =+=

故

2

1

10a a = 当2n ≥时，1910n n a S +=+ 1910n n a S -=+ ①-②得：

1

10n n

a a += 故{}n a 为等比数列，且1110()n n n a a q n N -*==∈，

lg n a n ∴=

1lg lg (1)1a n a a n n +∴-=+-=

即{lg }an 是等差数列 （Ⅱ）由（I ）知，1113(

)1223(1)

n T n n =++∧+??+ 111113

3(1)322311

n n n =-+-+∧+-=-

++ （Ⅲ）3

31

n T n =-

+ ∴当1n =时，n T 取最小值32

依题意有23

1(5)2

4

m m >- 解得16m -<<

故所求整数m 的取值集合为{0，1，2，3，4，5}