分式及分式方程解法讲义.

分式及分式方程

一、知识讲解 1．分式

用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子A

就叫做分式．

2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0. 3．分式的基本性质

A B =,A M A A M

B M B B M

?÷=

?÷（其中M 是不等于零的整式） 4．分式的符号法则

a b =a a a b b b

--=-=---． 5．分式的运算

（1）加减法：

,a b a b a c ad bc

c c c b

d bd ±±±=±=

．（2）乘除法：a b ·,c ac a c a d ad

d bd b d b c bc

=÷==

g （3）乘方（a b

）n =n

n a b （n 为正整数）

6．约分

根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 7．通分

根据分式的基本性质，?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．

易混,易错点分析:

1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式.

3,分式计算的最后结果必须是最简形式.

重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简. 二、例题解析例1 填空题：

（1）若分式224

x x x ---的值为零，则x 的值为________；

（2）若a ，b 都是正数，且

1a －1b =222,ab a b a b

+-则，则=______．【解答】解题要点:分式的分子为零,且分母不为0.（1）由x 2

=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x 2

－x －2=4－2－2=0，

把x=－2?代入分母，得x 2

－x －2=4+2－2=4≠0，故答案为－2．（2）由整体代换法：把

1a －1b =22b a a b ab a b

-=++化为，b 2－a 2=2ab ，即a 2－b 2

=－2ab ，代入22

2ab

ab ab

a b

a b ab =

---中得=

，故答案为1

2．

例2 选择题：

（1）已知两个分式：A=

411

,422B x x x

=+-+-，其中x ≠±2，那么A 与B 的关系是（）

A ．相等

B ．互为倒数

C ．互为相反数

D ．A 大于B （2）已知23,2

3a b c a b c a b c

+-=

-+则

的值为（）

A ．－

57 B ．57 C ．97 D ．－9

【解答】（1）B=22

112(2)4

2244

x x x x x x --+-==-+---， ∴A+B=0，A ，B 互为相反数，选C ．（2）设234

a b c

===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，代入

232399,3377

a b c a b c k a b c

a b c

k +-+-==-+-+中可得

，选C ．

例3先化简再求值：

222141

2211

a a a a a a --÷+-+-g ，其中a 满足a 2－a=0．【解答】原式=

1(2)(2)(1)(1)2(1)1

a a a a a a a -+--++-g g =（a －2）（a+1）=a 2

－a －2

由a 2

－a=0得原式=－2

（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：2

1x x -(x

x 1

-－2),其中x =2. 【答案】解：方法一：21(2)1x x x x ---=2212

x x x

x x x -?-?--=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -?-+-+- =121(1)(1)x x x x -++-=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+-+-=12(1)(1)x x x x --+-=121(1)(1)(1)(1)x x x

x x x x ----=

+-+- =

(1)(1)(1)x x x -++-=1

x --

当x =2时，1

x --=121--=-1 方法二：21(2)1x x x x ---=212()1x x x x x x ---=2

121

x x x x x --?-=1(1)(1)x x x x x --?+- =

(1)(1)(1)x x x x x -+?

+-=1

x -- 当x =2时，1

x -

-=121--=-1. 分式方程

一、知识点.

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法分式方程???→去分母

换元

整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项列分式方程解应用题的一般步骤为：

①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；

②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；

③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．

注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，

还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．二、例题解析例1 解方程：

2x x ++22x x +-=284

x -．【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．【解答】去分母，得x （x －2）+（x+2）=8． x 2

－2x+x 2

+4x+4=8 整理，得x 2

+x －2=0．解得x 1=－2，x 2=1．

经检验，x 1=1为原方程的根，x 2=－2是增根． ∴原方程的根是x=1．

【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．例2 已知关于x 的方程2x 2

－kx+1=0的一个解与方程21

1x x

+-=4的解相同．（1）求k 的值；

（2）求方程2x 2

－kx+1=0的另一个解．【分析】解分式方程必验根．【解答】（1）∵

1x x

+-=4， ∴2x+1=4－4x ，

∴x=

．经检验x=12是原方程的解．把x=12

代入方程2x 2

－kx+1=0，解得k=3．

（2）解2x 2

－3x+1=0，得x 1=12

，x 2=1．

∴方程2x 2

－kx+1=0的另一个解为x=1．

【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的．

课后作业

一选择（36分）

1 下列运算正确的是（） A -40

=1 B （-3）-1

1 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -1

2 分式

8,9,12z

x xy z x x z y -+-的最简公分母是（） A 72xyz 2

B 108xyz

C 72xyz

D 96xyz 2

3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4

写成小数是（）

A 0.00036

B -0.0036

C -0.00036

D -36000 4 如果把分式

x x

232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（）

A 扩大3倍

B 不变

C 缩小3倍

D 扩大2倍 5 若分式

522+--x x x 的值为0，则x 的值为（）

A 2

B -2

C 2或-2

D 2或3 6 计算??

??-+÷??? ??-+

1111112

x x 的结果是（） A 1 B x+1 C

x x 1+ D 1

-x 7 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①

3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-x

上述所列方程，正确的有（）个A 1 B 2 C 3 D 4

8 在m

a y x xy x x 1

,3,3,21,

21,12+++π中，分式的个数是（） A 2 B 3 C 4 D 5 9 若分式方程

a x

a x +-=+-321有增根，则a 的值是（） A -1 B 0 C 1 D 2 10 若

3,111--+=-b

a a

b b a b a 则的值是（） A -2 B 2 C 3 D -3

11 把分式方程

12121=----x

x ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（） A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2 12 已知

k b

a c

c a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二填空（21分）

1 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式

2 ()a b

ab ab a 233222

2=++ 3 7m

=3,7n

=5,则7

2m-n

4 一组按规律排列的式子：()0,,,,4

38252≠--

ab a b a b a b a b K ，其中第7个式子是第n 个式子是

5 ()231200841

-+??

??--+-=

6 方程

04142=----x

x x 的解是 7 若2

2,2b

a b ab a b a ++-=则= 三化简（12分）

1 ()d cd b a c

ab 23

4322222-?-÷

2 1

1122----÷-a a a a a a

3 ??

??---÷--225262x x x x

四解下列各题（8分）

1 已知b

ab a b ab a b a ---+=-2232,311求

的值 2 若0

,61-=+求的值

五（5）先化简代数式()()n m n m mn

n m n m n m n m -+÷???

? ??+---+222222，然后在取一组m,n 的值代

入求值

六解方程（12分） 1 12332-=-x x 2 1

12112

-=-++x x x

七（7）2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？

参考答案

一 CACBB CCBCA DB

二 1 如1

12-+x x ，2 3b ， 3 59 ， 4 -()n

n n a b

a b 1

37201,--， 5 2， 6 3，7 53 三 1

ac 1 ， 2 1-a a ， 3 3

+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。值为53

241,01,10,241,324112

2-=-∴<-∴<<±=-=-??? ?

+=??? ??-x x x x x x x x x x x Θ

五化简得m+n ，当m=2,n=1时m+n=3

六 1 x=-7 ,2 x=1是增根，原方程无解七设第一天捐款x 人，由题意得方程

6000

4800+=

x x 解得 x=200，经检验x=200是符合题意的解，所以两天捐款人数为x+(x+50)=450 人均捐款4800÷x=24。答（略）

八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点及典型例习题.doc

【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲分式方程》知识点和典型例习题题型一：用常规方法解分式方程【例 1】解下列分式方程（ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程【例 2】解下列方程（ 1） x 4 x 4 4 ；（ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3

【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题练习： 1．解下列方程：（ 1） x 1 2x 0 ；（2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ；（4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程：（ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1

分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高）责编：杜少波【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；

分式方程解法的标准

分式方程解法的标准一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ● 分式方程的概念以及解法； ● 分式方程产生增根的原因； ● 分式方程的应用题。重点难点： ● 重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系． ● 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．学习策略： ● 经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。二、学习与应用（一）什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有的叫做方程．使方程两边相等的的值，叫做方程的解．（二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质．用式子表示是： M B M A B A M B M A B A ÷÷=??=,（其中M 是不等于0的整式）． “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或（除数不能为0），所得的结果仍是等式。（四）解下列方程：（1）9－3x ＝5x ＋5；（2）5 2221+-=--y y y 知识点一：分式方程的定义里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是；②含有；③分母里含有。（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有（不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是，不含有未知数的方程是方程，如：关于x 的方程 x x =-21和12723+=-x x 都是方程，而关于x 的方程x x a =-21和d c b x =+1都是方程。知识点二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化为方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）解分式方程的一般方法和步骤（1），即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。（2）解这个方程。（3）：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的。注：分式方程必须；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID ：#tbjx5#233542

分式方程的解法与技巧_知识精讲

分式方程的解法与技巧【典型例题】 1. 局部通分法：例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法：例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=

当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法：例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法：例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。

分式方程的解法及应用(提高)

分式方程的解法及应用（提高）一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标： ●了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． ●会列出分式方程解简单的应用问题．学习策略： ●解分式方程去分母是关键； ●解分式方程的应用注意找等量关系，最后要验根. 二、学习与应用 1.一艘轮船在静水中的速度是20km/h,水流速度为v km/h，则轮船顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，顺流航行100km所用的时间为，逆流航行60km所用的时间为 . 2. 解方程 21101 1 36 x x ++ -=时，去分母，去括号后为 . 3.将方程 11111 24396 x x x x +++=去分母后得到方程________. 要点一、分式方程的概念分母中含有的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对要点梳理——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID：#45981#405285 知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

分式方程的概念及解法

分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。 (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。规律方法指导 1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义 1、下列各式中，是分式方程的是（） A．B．C．D．举一反三：

解分式方程的特殊方法与技巧

分式方程意义及解法一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解．检验根的方法：（1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．

用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答．注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

分式方程的概念解法及应用

分式方程的概念，解法及应用目标认知学习目标： 1．使学生理解分式方程的意义，掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法． 2．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧． 3．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 4．能够利用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系，体会方程与实际问题的联系； 5．通过实际问题的解决，使分析问题和解决问题的能力得到培养和训练，进一步体验“问题情景——建立模型——求解——解释和应用”的过程；重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象出数量关系．难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析．知识要点梳理

要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于

的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2．解分式方程的一般方法和步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2)解这个整式方程。

分式方程解题技巧(提高)

分式方程解题技巧例一，一般结构的分式方程解方程：x x x x x ++-=-2227115 解：（分解因式以便确定最简公分母）原方程变形为： ) 1(7)1)(1(1)1(5++-+=-x x x x x x )1(7)1(5-+=+x x x 4=x 检验：把4=x 代入0)1)(1(≠-+x x x 所以4=x 是原方程的解。例1：解方程：) 4)(1(52)3)(2(1)2)(1(1+++=+++++x x x x x x x 分析：一般解法，最简公分母为)4)(3)(2)(1(++++x x x x ，此题直接去分母较为复杂。经观察发现，左边分母两个因式的差等与分子，右边分母两个因式的和等与分子。故考虑将分式拆开。解：原方程变形为： 4 11131212111+++=+-+++-+x x x x x x 4 132+=+-x x 2 7-=x 经检验27- =x 是原方程的根。例2：解方程：

20 7245361121330163223223+++++=+++++x x x x x x x x x x 分析：经观察发现直接去分母计算量非常可观，而且分母用公式法或十字相乘法都不能分解成两个因式的积。但是，同时也发现分子的最高次项的次数都比分母的最高次项高。我们知道假分数可以转化为带分数，故考虑将假分式变为真分式。解：原方程变形为： 20 72522134222+++++=+++++x x x x x x x x 20 725213422+++=+++x x x x x x 解得：5=x 经检验5=x 是原方程的根。例3：解方程：02)1(2122=++-+x x x x 分析：此题借用关系式2)1(122 2-+=+x x x x 较为简单。解：原方程变形为：0)1 (2)1 (2=+-+x x x x 设x x y 1+= 则022=-y y 0=y 或2 当0=y 时，01=+x x ，则方程无解。当2=y 时，21=+ x x ，即0122=+-x x ，则1=x 经检验：1=x 是原方程的解。例4：解方程：5 26423234=+-+-+x x x x 分析：根据题目特点，利用下面关系式解题较为简单，若c c x x 11+=+（c 为常数），则X=C 或c 1。

(完整版)分式方程的解法及应用(基础)

分式方程及应用【典型例题】类型一、判别分式方程 1、下列方程中，是分式方程的是（）． A ．3214312x x +--= B ．124111x x x x x -+-=+-- C ．21305x x += D ．x a x a b +=，（a ，b 为非零常数）类型二、解分式方程 2、解分式方程（1） 10522112x x +=--；（2）225103x x x x -=+-．举一反三：【变式】解方程：21233x x x -=---．．类型三、分式方程的增根 3、m 为何值时，关于x 的方程 223242 mx x x x +=--+会产生增根？举一反三：【变式】如果方程11322x x x -+=--有增根，那么增根是________．（二）分式方程的特殊解法一、交叉相乘法例1．解方程：231+= x x 二、化归法例2．解方程： 01 2112=---x x 三、左边通分法

例3：解方程： 87178=----x x x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a x b b x a a ≠+=+ 五、观察比较法例5．解方程： 417425254=-+-x x x x 六、分离常数法例6．解方程： 87329821+++++=+++++x x x x x x x x 七、分组通分法例7．解方程：4 1315121+++=+++x x x x （三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程 x m x x -=--221无解，求m 的值。例2．若关于x 的方程 11122+=-+-x x x k x x 不会产生增根，求k 的值。例3．若关于x 分式方程 432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。例4．若关于x 的方程 1151221--=+-+-x k x x k x x 有增根1=x ，求k 的值。．类型四、分式方程的应用例、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树? 举一反三：

分式方程的解法

分式方程的解法多年的教学，总结了一下分式方程的解法，供大家参考，希望对大家有所帮助。方法1：计算法例解方程 32 223=-++x x x 解：移项，得 ()() ()()是原方程的根时，检验：当计算，得 4,022440 164022164-032 223=≠-+===+-=-++=--++x x x x x x x x x x x x 原理：分式的值为0，分子为0，分母不为0.方法是把所有的项集中于方程左边，右边为0 ，从而利用分式的值为0求出未知数。方法2：分式相等法例解方程 32 223=-++x x x 解：原方程化为 ()()()()()()()() ()()()() 4 16 412344322322232222322222322=-=--=+--+=++--+-+=-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 经检验，x=4是原方程的解。原理：两分式相等，分母相等，分子也相等。方法3：等式性质法例解方程 32 223=-++x x x 解：方程两边同乘()()22-+x x 得 ()()()() 4 16 412 3443223222322=-=--=+--+=++-x x x x x x x x x x 经检验，x=4是原方程的解。原理：利用等式性质，去分母化为整式方程。方法2结合方法3，降低去分母的难度。

方法4：比例式法例解方程 41 5+=x x 解：两外项的乘积等于两內项的乘积 () 5 55 54154-==-+=+=x x x x x x 经检验，x=-5是原方程的解。

分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含标准答案】

分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根．产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程；（5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.

56分式方程的解法及应用(提高)知识讲解

分式方程的解法及应用（提高）【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题．【要点梳理】要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；（2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；（4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根；（6）写出答案. 【典型例题】

分式方程的概念-解法及应用

分式方程的解法及应用一、目标与策略爭抡明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：分式方程的概念以及解法；分式方程产生增根的原因；分式方程的应用题。重点难点：重点：分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想，用分式方程解决实际问题，能从实际问题中抽象岀数量关系. 难点：检验分式方程解的原因，实际问题中数量关系的分析. 学习策略：经历“实际问题一一分式方程一一整式方程”的过程，发展分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养数学的应用意识。二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾一一复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？*答：含有的叫做方程. 使方程两边相等的............... …的值，叫做方程的解. （二）分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质?用式子表示是: A A M A A M（其中M是不等于0的整式）

（三）等式的基本性质：等式的两边都乘（或除以）同一个数或 ................... （除数不能为0），所得的结果仍是等式。（四）解下列方程：（1）9—3x= 5x+ 5; （2）y y 12 y 2 2 5 I -- 知识要点一一预习和课堂学习■认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。课堂笔记或者其它补w 充填在右栏。详细内容请参看网校资源ID : #tbjx5#233542 - 知识点一：分式方程的定义 .......... 里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是_______________ ;②含有 ____________ ;③分母里含（2 ）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有__________________ （不是一般的字母系数），分母中含有未知数的方程是__________________ ，不含有未知数的方程是 _ 方程，女口：关于X的方程1 2 x和—卫7都是_____________ 方程，而关于X的 x x 2 2x 1 方程Lx 2 x和x 1d都是_______________________ 方程。 a be 粒：|知识点二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化为_________ 方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）解分式方程的一般方法和步骤（1）________ ，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。（2）解这个______ 方程。（3） _____ :把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的 ________________ 。注：分式方程必须_____________ ;增根一定适合分式方程转化后的整式方程，

分式方程的概念及解法

变式】方程中，x 为未知量，a,b 为已知数，且，则这个方程是( ) 分式方程的概念，解法知识要点梳理要点一：分式方程的定义分母里含有未知数的方程叫分式方程。要点诠释： 1 ．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。 2 ．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数 ( 不是一般的字母系数 ) ，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。要点二：分式方程的解法 1. 解分式方程的其本思想把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。 2 ．解分式方程的一般方法和步骤 (1) 去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。 (2) 解这个整式方程。 (3) 验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根。注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零。 3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。规律方法指导 1 ．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为 0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解．经典例题透析：类型一：分式方程的定义举一反三：1、下列各式中，是分式方程的是( A ． C ．和 B ． D ．

解分式方程的特殊方法与技巧

解分式方程的特殊方法与技巧分式方程意义及解法一、内容综述: 1(解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程(即分式方程整式方程 2(解分式方程的基本方法 (1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程(但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因: 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解( 检验根的方法: (1)将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 (2)为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根;如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去( 注意:增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0( 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母，将分式方程转化为整式方程;

(ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决(辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法(换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程( 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值; (iv)检验做答( 注意: (1)换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 (2)分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 (3)无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。二、例题精析: 例1(解分式方程:。分析:解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解:方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得

培优专题分式方程及其应用(含答案)

12、分式方程及其应用【知识精读】 1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。【分类解读】例1. 解方程：x x x --+=121 1 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x +-11，得 x x x x x x x x x 22221112123 2 32--=+---=--∴== ()()()，即，经检验：是原方程的根。例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x ++++6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为： x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 1671236723836 9 2 ()()()() ()()()() x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即经检验：原方程的根是x =- 92。例3. 解方程：121043323489242387161945 x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。解：由原方程得：3143428932874145 - -++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=--- 于是，所以解得：经检验：是原方程的根。 189861810878986810871 1()()()() ()()()() x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：612444444 0222 2y y y y y y y y +++---++-=2 分析：此题若用一般解法，则计算量较大。当把分子、分母分解因式后，会发现分子与分母有相同的因式，于是可先约分。解：原方程变形为：62222222022 2 ()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202 y y y y y y +-+-++-=()()