数理方程习题综合
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e/ex(ev/ey) =xy 两边对x 积分,得 v y =¢(y )+1/2 x 2Y ,
其中¢(y )是任意一阶可微函数。进一步地,两边对y 积分,得方程得通解为
v (x,y )=∫v y dy+f (x )=∫¢(y )dy+f (x )+1/4 x 2y 2
=f (x )+g (y )+1/4 x 2y 2
其中f (x ),g (y )是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2
即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),
其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦,平衡时沿直线拉紧,在受到初始小扰动下,作微小横振动。试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴,弦的长度为L ,两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动,故u x ≈0.因此α≈0,cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外力。可以证明,张力T 是一个常数,即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上,因为弧振动微小,则弧段'MM 的弧长
dx u x
x x
x ?
?++=?2
1s ≈x ?。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律,张力T 与
时间t 无关。
因为弦只作横振动,在x 轴方向没有位移,故合力在x 方向上的分量为零,即
T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0.
由于co's α’≈1,cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故张力T 与x 无关。于是,张力是一个与位置x 和时间t 无关的常数,仍记为T.
作用于小弧段'MM 的张力沿u 轴方向的分量为 Tsin α’-T sin α≈T(u x (x+x ?,t)-u x (x,t)).
设作用在该段弧上的外力密度函数为F (x,t )那么弧段'MM 在时刻t 所受沿u 轴方向的外力近似的等于F(x,t)x ?.由牛顿第二定律得
T (u x (x+x ?,t)-u x (x,t)+F(x,t)x ?=ρx ?tt u ,
其中ρ是线密度,由于弦是均匀的,故ρ为常数。这里tt u 是加速度tt u 在弧段'MM 上的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得
Tu zz (x+θx ?,t)x ?+F(x,t)x ?=ρtt u x ?, 0<θ<1. 消去x ?,并取极限x ?→0得 Tu xx (x,t )+F(x,t)=ρu tt , 即
u tt =ɑ2
u xx +?(x,t), 0
其中常数ɑ2
=T/ρ,函数?(x,t )=F(x,t)/ρ表示在x 处单位质量上所受的外力。 上式表示在外力作用下弦的振动规律,称为弦的强迫横振动方程,又称一维非齐次波动方程。当外力作用为零时,即?=0时,方程称为弦的自由横振动方程。
类似地,有二维波动方程
u tt =ɑ2
(u xx +u y y )+?(x.y.t ), (x,y)Ω∈,t>0, 电场E 和磁场H 满足三维波动方程
E c E 2222t ?=??和H c H 2
22
2t
?=??, 其中c 是光速和
22
22222
x z
y ??+??+??=?=???=?。
例1.2.2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S (图1.2)。以函数u(x,y,z,t)表示
物体在t 时刻,M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier 热传导定律,在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间dt ,曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比,即
dSdt n u
k
-??,
其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数,取正值。我们规定外法线n 方向所指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当
0n
u
>??时,热量实际上是向-n 方向流去。
对于Ω内任一封闭曲面S ,设其所包围的空间区域为V ,那从时刻t 1
到时刻t
2
经曲面
流出的热量为
1Q =dSdt n
u
k
S
?????2
1t t - 设物体的比热容为c(x,y,z),密度为ρ(x,y,z),则在区域V 内,温度由u(x,y,z,1t )到u(x,y,z)所需的热量为
[]
dvdt t
u
c dv t z y x u t z y x u c t t V
V
??=-=???????2
1),,,(),,,(Q 122ρ
ρ. 根据热量守恒定律,有
12Q Q -=
即
[]dSst n
u
k
dv t z y x u t z y x t t S
????????=-2
1),,,(),,,u c 12V
(ρ 假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z 具有二阶连续偏导数,关于t 具有一阶连续偏导数,那么由高斯公式得
0][2
1t =??
? ??????-???? ??????-???? ??????-??????dvdt z u k z y u k y y u k x t u c t V
ρ
. 由于时间间隔[]21t ,t 及区域V 是任意的,且被积函数是连续的,因此在任何时刻t ,在Ω内任意一点都有
??
? ??????+???? ??????+???? ??????=??z u k z y u k y y u k y x u ρ
c
(1.2.6)
方程称为非均匀的各向同性体的热传导方程。如果物体是均匀的,此时k,c 及ρ均为常数,令2
a =
ρ
c k
,则方程(1.2.6)化为 u a z u y u x u ?=???
? ????+??+??=??2
222222
2a t u , (1.2.7) 它称为三维热传导方程
若物体内有热源,其热源密度函数为,则有热源的热传导方程为
),,,(a u 2t t z y x f u +?= (1.2.8)
其中ρ
c F f =
类似地,当考虑的物体是一根均匀细杆时如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同,那么温度只与有关,方程变成一维热传导方程
xx u 2t a u = (1.2.9)
同样,如果考虑一块薄板的热传导,并且薄板的侧面绝热,则可得二维热传导方程 )
yy 2t u (u +=xx u a (1.2.10)
(P16)例1.3.1一长为L 的弹性杆,一端固定,另一端被拉离平衡位置b 而静止,放手任其振动。试写出杆振动的定解问题。
解 取如图1.3所示的坐标系。
O L L+b x
泛定方程就是一维波动方程(杆的纵振动方程) u tt =a 2
u xx , 0 在初始时刻(即放手之时),杆振动的速度为零,即u t (x,0)=0,0≤x ≤L. 而在x=L 端拉离平衡位置,使整个弹性杆伸长了b 。这个b 是来自整个杆各部分伸长后的贡献,而不是x=L 一端伸长的贡献,故整个弹性杆的初始位移为 u|0=t = L b x, 0≤x ≤L. 再看边界条件。一端x=0固定,即该端位移为零,故有u(0,t)=0,0≤x ≤L.另一端由于放手任其振动时未受外力,故有u x (L,t)=0,t ≥0.所以,所求杆振动的定解问题为 设弦在x 0点受到横向力T 作用后发生的位移为h,则弦的初始位移为 hx, 0≤x ≤x 0, u(x,0)= x 0 h(L-x), x 0≤x ≤L, L-x 0 其中h 待求。由牛顿第二定律得 F-Tsin α1-Tsin α2=0, 在微小振动的情况下, Sin α1≈tan α1= h , sin α2≈tan α2= h , x 0 L-x 0 所以 F=Th +Th x 0 L-x 0 因此 h=Fx 0(L-x 0) . TL F(L-x 0) , 0≤x ≤x 0, 从而初始位移为u(x,0)= TL Fx 0(L-x) , x 0≤x ≤L. TL 而初始速度u t (x,0)=0. u tt =a 2 u xx , 0 L b x, u t (x,0)=0, 0≤x ≤L, u(0,t)=0, u x (L,t)=0, t ≥0. (P17)例1.3.2 :长为L 的均匀弦,两端x=0和x=L 固定,弦中张力为T ,在x=x0处以横向力F 拉弦,达到稳定后放手任其振动。试写出初始条件。 解:建立如图坐标系。 (P18)例1.3.3考虑长为L 的均匀细杆的热传导问题。若(1)杆的两端保持零度;(2)杆的两端绝热;(3)杆的一端为恒温零度,另一端绝热。试写出该绝热传导问题在以上三种情况下的边界条件。 解:设杆的温度为u(x,t),则 (1) u (x,t )=0,u(L,t)=0. (2) 当沿杆长方向有热量流动时,由Fourier 实验定律得 L x x x u k q x u k q ==??-=??=20 1,' 其中q1,q2分别为x=0和x=L 处的热流强度。而杆的两端绝热,这就意味着杆的两端与外界没有热交换,亦没有热量的流动,故有q1=q2=0和 , 0),0(=t x u 0),(=t L u x . (3)显然,此时有 0),(,0),0(==t L u t u x . 例1.5.1求Poisson 方程Uxx +Uyy =X^2 +XY+Y^2的通解 解:先求出方程的一个特解V=V (x ,y),使其满足 Vxx +Vyy=X^2 +XY+Y^2 由于方程右端是一个二元二次齐次多项式,可设V (x ,y) 具有形式 V(x,y)=aX^4 +bX^3 Y+cY^4,其中a,b,c 是待定常数 Vx=4aX^3+3bX^2 Y Vy=bX^3+4cY^3 Vxx=12aX^2+6bXY Vyy=12cY^2 得Vxx+Vyy=12aX^2 +6bXY+12cY^2=X^2 +XY+Y^2 比较两边系数,可得 a=1/12,b=1/6,c=1/12 于是V (x,y)=1/12(X^4 +2X^3 Y+Y^4) 下面求函数W=W(x,y),使其满足Wxx+Wyy=0.作变量代换e=x,n=iy(以下的偏导的符号记为d) Ue=du/de=du/dx=Ux Un=du/dn=du/dy *dy/dn=-iy Uee=dUe/de=Uxx Unn=-Uyy 可得Wee-Wnn=0 再作变量代换 s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+Ut Un=du/dn=Us-Ut Uee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2Ust Unn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust 那么方程进一步化为Wst=0 其通解为W=f(s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中f,g 是任意两个二阶可微函数。那么根据叠加原理,方程的通解为u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X^4+2X^3 Y+Y^4) (P32)例2.1.1 判断方程U xx +2U xy -3U yy +2U x +6U y =0(2.1.22)的类型,并化简。 解: 因为a 11= 1,a 12= 1,a 22= -3,所以 =a 212-a 11a 22=4>0,故方程为双曲型方程。对应的特征方程组为 ,31122 1112212=-+ =a a a a a d d x y .111 22 1112212-=--=a a a a a d d x y 该方程组的特征曲线(即通解)为 .,321c x y c x y =+=-作自变量变换 x y x y +=-=ηξ,3则 ;3ηξu u u xx +-= ,ηξu u u y += ,69ηηξηξξu u u u xx +-= ,23ηηξηξξu u u u xy +--= .2ηηξηξξu u u u yy ++= 将上述各式带入方程(2.1.22),得第一种标准形式 .02 1 =- ηξηu u (2.1.23) 若令,2 ,2 η ξη ξ-= += t s 则得到第二种标准形式 .0=+--t s tt ss u u u u (2.1.24) 下面对式(2.1.24)进一步化简。令,t s Ve u μλ+=则 . 22)2(,)2(, )()(t s t tt tt t s s ss ss t s t t t s s s e V V V u e V V V u e V V u e V V u μλμλμλμλμμλλμλ++++++=++=+=+=, 代入方程,得 . 0)()21()12(22=-+-+-+-+-V V V V V t s tt ss λμμλμλ 我们取,2 1= =μλ则式(2.1.24)化简为 ,0=-tt ss V V (2.1.25) 该方程不含一阶偏导数项。 例2.1.2 例 2.1.4 求值问题 4y2v xx+2(1-y2)v xy-v yy-2y/(1+y2) (2v x-v y)=0,xεR1,Y>0 V(X,0)=φ(X),V Y(X,0)=¢(X),XεR1 的解,其中φ(x)是已知任意二阶可微函数,¢(x)是任意一阶可微函数。 解先把所给方程化为标准型。特征方程组为 dy/dx =-1/2,dy/dx=1/2y^2. 其通解为 x+2y=C1,x-2y^3/3=C 做自变量变换 ξ=x+2y,п=x-2y^3/3, 这样给定的方程化为标准型 V ξп=0 依次关于п和ξ积分两次,得通解v=F(ξ)+G(п).代回原自变量x,y得原方程得通解 v?(x,y)=F(x+2y)+G(x-2y^2/3) 其中F,G是任意两个可微函数。进一步,由初始条件得 φ(x)=v(x,0)=F(x)+G(x),¢(x)=V Y(x,0)=2F’(x) 从而求出 F(x)=F(0)+1/2∫x0¢(t)dt,G(x)=φ(x)-F(0)-1/2∫x0¢(t)dt. 所以原定解问题的解为 v(x,y)=φ(x-2y^3/3)+1/2∫x+2y x-2y^3/3¢(t)dt. 例2.1.3 设常数A,B,C满足B^2-4A C≠0,m1,m2是方程 Am^2+Bm+C=0 ① 的两个根。证明二阶线性偏微分方程 Au xx+Bu xy+Cu yy=0 ② 的通解具有如下形式: u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m2x+y), ③ 其中f,g是任意两个二阶可微函数。 证不失一般性,设A≠0和B^2-4AC>0.其它情况可以类似的处理。 令ξ=m1x+y,η=m2x+y.则 U x=m1uξ +m2uη,u y=uξ+uη,U xx=m1^2uξξ+2m1m2uξη+m2^2uηη u yy=uξξ+2uξη+uηη ,u xy=m1uξξ+(m1+m2)uξη+uηη 上述式代入②得: (Am1^2+Bm1+C)uξξ+(Am2^2+Bm2+C)uηη+(2Am1m2+B(m1+m2)+2C)uξη=0④ 由题意得 Am1^2+Bm1+C=0,Am2^2+Bm2+C=0,m1+m2=B/A, m1m2=C/A 上述式代入④得 (1/A)(4AC-B^2)uξη=0 又由题意得4AC-B^2≠0 故uξη=0 对该方程两边分别关于和积分,得通解u=f(ξ)+g(η),代回自变量x,y,得方程②的通解是 u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m2x+y), ③ 其中f,g是任意两个二阶可微函数。证毕。 端点自由的半无限长的均匀弦振动的定解问题 ()()()()()().0, 0,0,0,0,0,0,,0,,2≥+∞<≤>+∞<? ? ??===+=t x t x t u x x u x x u t x f u a u x t xx tt ?φ (3.1.22) 因为()0,0=t u x ,我们对函数?φ,,f 关于x 做偶延拓。定义()()x t x F φ,,和()x ?如下: ()()().0, 0,,<≥?? ?-=x x x x x φφφ ()()()?? ?<-≥=. 0,, 0,x x x x x ??? ()()()? ? ?≥<-≥≥=.0,0,,, 0,0,,,t x t x f t x t x f t x F 函数()()()x x t x F ?φ,,,在+∞<<∞-x 上是偶函数。由推论 3.1.1,()t x U ,是关于x 的偶函数,且()().0,0,0==t U t u x x 这样得到定解问题(3.1.22)的解 ()()).0,0(,,≥≥=t x t x U t x u 所以, 当at x ≥时, ()()()()()()() () ???-+--+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x t x u 0,21 2121,τττξτξξξ?φφ(3.1.23) 当at x <≤0时, ()()()()()()()()()()()()()???????--+------+-++?? ???????????????? ++?? ???? ++-++=t a x t t a x t a x a x t x t a t a x x at at x d d f a d d f d f a d d a x at at x t x u τττττξτξτξτξξτξξξ?ξξ?φφ.,21,,212121,0000 0 (3.1.24) 例4.2.3 端点固定的半无限长的均匀弦振动的定解问题 考虑定解问题 求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数使其在上也有定义,,这样把半无界区域上的问题转变成上的初值问题。然后利用达朗贝尔公式(3.1.15),求出在上的解u(x,t)。同时使此解u(0,t)满足u(0,t)=0.这样当x限制在上就是我们所要求的半无界区域上的解。 由微积分知识可知,如果一个连续可微函数g(x)在上是奇函数,则必有g(0)=0.因此要使解u=u(x,t)满足u(0,t)=0,只要u(x,t)是x的奇函数便可。而由推论3.1.1,只 要 f(x,t),是x 的奇函数。因此对函数 f 和关于x 作奇延拓。我们定义F (x,t), 和 如下: 显然函数F 和 在 上是奇函数。然后考虑初值问题 (3.1.17) 由(3,1,15),问题(3.1.17)的解是 (3.1.18) 所以问题(3.1.16)的解u (x,t)在 上的限制。于是当 时, (3.1.19) 当 时, (3.1.20) 例2.2.1确定下列方程标准型 (1)u xx +2u xy -2u xz +2u yy +6u zz =0 (2).0244=++--z y yz xy xx u u u u u 解:(1)方程对应的系数矩阵是 .60102 1111??? ? ? ? ?--=A ,06222=++-+zz yy xz xy xx u u u u u 利用线性代数中把对称矩阵化为对角型的方法,我们可选取 ???? ? ? ? ?--=212 11011 001B , 则令为三阶矩阵这里,E ,E BAB T = . 0 .22=++? ?????? ? ?+--=????? ??=????? ????ηηξξ?ηξu u u z y x x y x z y x B 则给定的方程化简为 (2)方程对应的系数矩阵是 .01 0102 024 ???? ? ? ?----=A 因为 ,10 0010 001 ???? ? ? ?-=T BAB 其中 '11 2 10121 0021 ??????? ? ??--=B 所以取 . 22 2 ?????? ?? ? ?+--+=???? ? ??=????? ??z y x y x x z y x B ?ηξ 则给定的方程化简为 .0=++-η??ηηξξu u u u 例3.1.1 求解下列初值问题 ,0,,9>+∞<<-∞-=--t x e e u u x x xx tt ()().,sin 0,,0,+∞<<-∞==x x x u x x u t 解:利用达朗贝尔公式(3.3.15)得 ()()()()()()() () ?? ?-+--+-++ -++=t t a x t a x at x at x d d f a d a at x at x t x u 0 ,21 21 21,τττ ζτζζζψφφ ()() () ()τζζζττζζ d d e e d t x t x t t x t x t x t x ??? -+---+--+ +-++= 0333361sin 6 13321 ,3cosh sinh 9 2 sinh 923sin sin 31t x x t x x +-+ = 易见,解 ()t x u ,关于x 是奇函数。 4.2.1波动方程的初边值问题 例4.2.1 设边长为L 的弦,两端固定,作微小横振动。已知初位移为φ(x ),初始速度为ψ(x ),试求弦的运动规律。 解: 该物理问题可归为下列定解问题: ? ???? ? ?????><<=====0,0,2 0),(),0()()0,(),()0,(t L x xx u a tt u t L u t u x x t u x x u ψφ [1] 设上述问题有非零变量分离解 u(x,t)=X(x)T(t).代入上述问题[1]中得: X(x)T ``(t)= a 2 X `` (x) T(t), 由此设: T ··(t)∕a 2 T(t) = X ·· (x) ∕X(x) =-λ(记-λ为比值常数),并得: T ··(t)+ λa 2 T(t) =0 [2] X ·· (x)+ λX(x) = 0, [3] 再根据边界条件 u(0,t)=u(L ,t)=0,得:X(0) T(t)= X(L)T(t)=0 , T(t)≠0,则 X(0)= X(L)=0, 由上分析,得: [4] { )()"(0 )()0(=+==x X x X L X X λ (1)λ=-β2 <0时,方程组[4]的通解为:X(x)=C 1e βx +C 2 e -βx ,代入X(0)= X(L)=0, 解得常数C1=C2=0,即得零解X(x)=0(u=0),不合初设u 为非零解,舍去; (2)λ=0时,方程组[4]的通解为: X(x)= C 1 x+ C 2, 代入 X(0)= X(L)=0,解得零解X(x)=0(u=0),舍去; (3)λ=β2 >0时,方程组[4]的通解为:X(x)= C 1cos βx+C 2sin βx.代入X(0)= X(L)=0,解得C 1=0, C 2sin βL=0 则 λ=λn =βn 2=(n π/L )2 ,n=1,2,... 对应λn 的特征函数为: X n (x )=C n sin L x n π , n=1,2,..[ 5] 将特征值λn 代入[2]得: T ``(t)+ λn a 2 T(t) =0通解为 T n (t)=A n cos L at n π+B n sin L at n π [6] 综上可 知 定 解 问 题 的 变 量 分 离 特 解 为 : u n (x ,t )=(a n cos L at n π+b n sin L at n π )sin L x n π [7] 其中,a n = A n C n ,b n =B n C n 为任意常 数 , n=1,2… 根据线性叠加原理,将特解u n (x ,t )叠加起来,得到通解: u(x,t)= ∑∞ =1 ),(n n t x u = L x n L at n b L at n a n n n πππsin )sin cos (1 +∑∞ =. [8] 由原定解问题: Φ(x )=u(x,0)= ∑∞ =1 sin n n L x n a π Ψ (x) =u t (x,0)= L x n L a n b n n ππsin 1 ∑∞ =, 可将Φ(x ),Ψ (x)看作是[0,L]上的傅里叶级数,则有: ?? ?????==L dx L x n x a dx L x n x a n b L n L n πφπ?π00 sin )(2sin )(2 把上面得到的a n ,b n 代入[8]中,得级数通解 u(x,t)=∑∞ =1 ),(n n t x u = L x n L at n b L at n a n n n πππsin )sin cos (1 +∑∞ = ,其中 ? ? ?????==L dx L x n x a dx L x n x a n b L n L n πφπ?π00sin )(2sin )(2 经检验,得到的通解u (x,t )满足关于x 和t 逐项微分二次后一致收敛,因而满足定解问题[1]中方程和相应条件,即通解u (x,t )存在,是定解问题的解 例4.2.2设长为L ,且两端自由的均匀细杆,作纵振动,且初始位移为φ(x ),初始速度为ψ(x )。试求杆做自由纵振动的位移规律。 解: ()()()()()()2tt xx t =a ,0,t 0=,0,00,,0,t 0x x x L x x x x L t L μμμφμψμμ??<<>? ? =≤≤??? ?=≥?? x ,0, 令()()(),x t X x T t μ=,代入上式得: ()()() () ''''2 T t X x a T t X x λ==- 得到两个独立的常微分方程 ()()()()''2'' 0X 0 T t a T t x X x λλ+=+= 又由边界条件,得()()' ' 00.X X L ==所以特征值问题为 ()()()()'''' 0,000.X x X x x L X X L λ??==<???==???? 当λ<0时,上述问题只有零解。当λ=0时,可得非零的常数解()000X x A =≠.当 2,0λββ=>时,边值问题中方程的通解为 ()cos sin X x A x B x ββ=+ 由 边 界 条 件 ()()''00,B 0Asin L 0 X X L β====得和.因为 0=,0,1,2,..... n A n L π β ≠=,所以。因此得到一系列特征值和对应的特征函数列 ()2 ,cos ,n 0,1,2,...n n n n n x X x A L L ππλ?? === ??? 将n λ代入前式,得到相应的 ()00,0cos sin ,n 1,2,...n n n C D t n T t n at n at C D L L ππ+=?? ?? =??+=???? 因此函数 ()()()00+,n 0,cos sin cos ,1,2,...n n n n n a b t x t T t X x n at n at n x a b n L L L μπππ=?? ??==?? ??+= ??? ???? 设所求的形式解为 ()001,cos sin cos ,n n n n at n at n x x t a b t a b L L L πππμ∞ =? ?=+++ ?? ?∑ 其中系数中的初始条件确定,即 ()()01 ,0cos ,n n n x x x a a L πφμ∞ ===+∑ ()()01 ,0cos t n n n a n a x x b b L L ππψμ∞ ===+∑ 从而得(n=1,2,…) ()()()()00000012,cos ,12,cos L L n L L n n x a x dx a x dx L L L n x b x dx b x dx L n a L πφφπψψπ??==????????==???? ???? 例 4.2.4 设有一均匀细杆,长为L ,两端点坐标分别为X=0和X=L.杆的表面绝热,再X=0端保持零度,在X=L 端热量自由发散到温度为零度的介质中去,已知初始温度为(x),Φ求杆上温度分布规律 解: 设U(x,t)表示在x 处,时刻t 时的温度,那么由第1章可知,所给物理问题可以归结为求解下列定解问题: 2x , 0,0, (x,0)(x),0,u(0,t)0,u (L,t)hu(L,t)0,t 0, t xx u a u x L t u x L φ= <<>= ≤≤ (4.2.38)=+= ≥ 其中常数h>0,函数(x)φ 在[0,L] 满足狄利克雷条件。我们仍然用分离变量法解这个问题。设(x,t)X(x)T(t).u = 将其代入到(4.2.38)方程中,得 2 '(t)''(x) .(4.2.39)(t)(x) T X a T X λ==- 从而得到关于(t),X(x)T 的常微分方程 2'(t)a (t)0,(4.2.40)X''(x)X(x)0,x 4.2.41) T T λλ+= += 0<< (L.由(4.2.38) 中的边界条件,得 (0)0,X'(L)h (L)0.(4.2.42)X X = += 下面求解由方程(4.2.41)和边界条件(4.2.42)组成的特征值问题当0λ≤ 时,边值问 题(4.2.41)和(4.2.42)只有零解。当 2 ,0λββ=> 时,方程(4.2.41)的通解为 (x)Acos x Bsin x X ββ=+ 由边界条件(4.2.42),得 0,(cos L hsin L)0.A B βββ= += 为求特征值和特征函数,设0.B ≠ 所以 cos sin 0,L h L βββ+= 记,L λβ= 则上式可表示为 1tan ,.hL γαγα= =- 方程(4.2.43)的根可以看作切曲线1tan y γ= 与直线2y αγ= 的交点的横坐标,见图 4.6. 由此可见,他们交点有无穷多个,他们关于原点对称,设方程(4.2.43)的无穷多个正根依次为 120,n γγγ<<<<< 于是边值问题(4.2.41)和(4.2.42)的特征值n λ和相应的特征函数 (x)n X 为 22 n n 2 ,(x)B sin x,n 1,2,(4.2.44)n n n n X L γλβ β== = = 现在证明特征函数系{}12sin ,sin ,,sin , n x x x βββ 在[0,L] 是正交 系.记n (x)sin x,n 1,2, n φβ= = 则m (x),(x)n φφ 分别满足 n n m m ''(x)(x)0,0x L,(4.2.45) (x)(x)0,0x L (4.2.46) n m φλφφλφ+= << += << 和边界条件(4.2.42).用m φ 乘以(4.2.46),然后(4.2.46),然后两式相减,并且在[0,L] 上积分,得 n m n m m n 0 n m m n n m m n 0n m n m n m n ()(x)(x)((x)''(x)(x)''(x))((x)'(x)(x)'(x))'dx ((x)'(x)(x)'(x))| 0'(L)(L)(L)'(L)h (L)(L)h (L)(L)0 L L n m L m dx dx L λλφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ-=-=-=- =-=-+=???因为当 n m ≠ 时,n m λλ≠ .所以 m 0 (x)(x)dx 0,n m.(4.2.47)L n φ φ= ≠ ? 即特征函数系}{sin |1n x n β∞ = 是[0,L] 上的正交函数系. 下面将n λ λ= 代入到方程(4.2.40),得解 2n (t)A e ,1,2, (4.2.48)n n a t T n λ-= = 由此得到满足方程(4.2.38)中的方程和边界条件的一组特解 2 n n n (x,t)X (x)T (t)C e sin ,1,2, , n n n a t x n u λβ- == = 其中任意常数,1,2,n n n C A B n = = ,由于方程和边界条件是其次的利用叠 加原理,可设定解问题(4.2.38)的形式解为 2n 1 1 (x,t)(x,t)C e sin (4.2.50)n n n n n a t u u x λβ∞ ∞ -=== = ∑∑ 用sin m x β 乘以式(4.2.50),并且利用}{sin |1 n x n β∞ = 是[0,L] 上的 正交函数性,我们得到 m 1 (x)sin xdx,1,2,(4.2.51) L m m C m L φβ = = ?这里 2 sin ,L m m L xdx β= ? 将是(4.2.51)代入(4.2.49),即得原定解问题(4.2.38)的形式解. 例4.4.1解下列非齐次边界的定解问题 )(u 2tt x f u a xx += 0 )0,(x u =)(x φ,)0,(x u t =)(x ψ, 0≤x ≤L, ,),(,),0(B t L u A t u == t ≥0。 其中A ,B 是常数。 解:设u (x,t )=),(t x υ +)(x ω,将其带入到上述的方程中,得 tt u =[]).()(2x f x a xx +''+ωυ 复变函数与积分变换 综合试题(一) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设cos z i =,则( ) A . Im 0z = B .Re z π= C .0z = D .argz π= 2.复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为( ) A .443(cos ,sin )55i ππ- B .443(cos ,sin )55i ππ- C .44 3(cos ,sin )55i ππ D .44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3.设C 为正向圆周|z|=1,则积分 ?c z dz ||等于( ) A .0 B .2πi C .2π D .-2π 4.设函数()0z f z e d ζ ζζ=?,则()f z 等于( ) A .1++z z e ze B .1-+z z e ze C .1-+-z z e ze D .1+-z z e ze 解答: 5.1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的( ) A . 3阶极点 B .4阶极点 C .5阶极点 D .6阶极点 6.下列映射中,把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为( ) A .4411z w z +=- B .44-11z w z =+ C .44z i w z i -=+ D .44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ) A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析,(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+,则(,)uxy = ( ) A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y - 一、填空题 1.二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=(其中各系数均为x 和y 的函数)在某一区域的性质由式子:24B AC -的取值情况决定,取值为正对应的是( 双曲 )型,取值为负对应的是( 椭圆)型,取值为零对应的是( 抛物 )型。 2.在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程: 第一个叫( 弦自由横振动 ),表达式为(2tt xx u a B u =),属于(双曲)型; 第二个叫( 热传导 ),表达式为( 2t xx u a B u =),属于( 椭圆 )型; 第三个叫(拉普拉斯方程和泊松方程),表达式为(0 x x y y u u +=, (,)xx yy u u x y ρ+=-),属于(椭圆)型; 二、选择题 1.下列泛定方程中,属于非线性方程的是[ B ] (A) 260t xx u u xt u ++=; (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=; (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=; (D) 340t x xx u u u ++=; 2. 下列泛定方程中,肯定属于椭圆型的是[ D ] (A)0xx yy u xyu +=; (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=; (C)0xx xy yy u u xu +-=; (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=; 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=>< ==??==?的形式解可写成[ D ] (A) ()01 ,cos cos 2 n n a n at n x u x t a l l ππ∞ == + ∑ (B) ()001 ,cos cos n n n at n x u x t a b t a l l ππ∞ ==++∑ 第一部分分离变量法 一、(1) 求解特征值问题 (2) 验证函数系关于内积 正交,并求范数 二、用分离变量法求解定解问题 的解的表达式,写出具体的分离变量过程. 进一步,当时,求和时的 值. 三、(方程非齐次的情形)求定解问题 四、(边界非齐次的情形)求定解问题 五、(Possion方程)求定解问题 六、求定解问题: 注意: 1、考试只考四种边界条件,即还有以下三种: 2) 3) 4) 2、以上均为抛物型方程,还可以考双曲型方程(相应的初值条件变为两个)和椭圆型方程(无初值条件); 3、考试中除特别要求(如以上的第二题)外,不要求必须用分离变量法、特征函数法等方法求解,你可以自己选择方法(如上面的第三题)可以用Laplace 变换求解。 第二部分 积分变换法 一、请用下面三种方法求解无穷限波动问题 ()()2222200 ,, 0,,t t u u a x t t x u x x u x x t ?ψ==???=-∞<<∞>?????=-∞<<∞????=-∞<<∞??? (1) 用积分变换法推导达朗贝尔公式 (2) 用特征线法推导达朗贝尔公式 (3) 用降维法推导达朗贝尔公式 二、用积分变换法求解定解问题 22301,1, 0 ,1cos ,0y x u x y x y x y u x x u y y ==??=>>?????=≥??=>??? 注意:只考应用Fourier 变换和Laplace 变换求解方程的问题 第三部分 特征线问题 一、判断方程 的类型. 二、从达朗贝尔公式出发,证明在无界弦问题中 (1) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为奇函数,则(),00u t = (2) 若初始位移()x ?和初始速度()x ψ为偶函数,则(),00x u t = 三、请用下列方法求解定解问题 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院: 理学院 ,考试时间: 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式:闭卷√、开卷□,允许带 计算器 入场 考生姓名: 学号: 专业: 班级: 1.某人射击时,中靶的概率为4 3 ,若射击直到中靶为止,则射击次数为3的概率为( ). (A) 43412?)( (B) 343)( (C) 41432?)( (D) 34 1)( 2.n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为( ). (A ) a ,2n b (B )a ,n b (C)a ,n b 2 (D )n a ,b 3.若100张奖券中有5张中奖,100个人分别抽取1张,则第100个人能中奖的概率为( ). (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是( ). (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5.已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E ( ). 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证:设,为常向量,因为 所以。证毕3. 证明 证: 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。 证:设,为定义在区间上的向量函数,因为在区间上可导当且仅当数量函数,和在区间上可导。所以,,根据数量函数的Lagrange中值定理,有 其中,,介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式,其中。如果在区间上处处有,则在区间上处处有 ,从而,于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证:必要性:设具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,于是。 充分性:如果,可设,令,其中为某个数量函数,为单位向量,因为,于是 因为,故,从而 为常向量,于是,,即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证:必要性:设平行于固定平面,则存在一个常向量,使得,对此式连续求导,依次可得和,从而,,和共面,因此。 充分性:设,即,其中,如果,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,任取一个与垂直的单位常向量,于是作以为法向量过原点的平面,则平行于。如果,则与不共线,又由可知,,,和共面,于是, 其中,为数量函数,令,那么,这说明与共线,从而,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,作以为法向量,过原点的平面,则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解:,点对应于参数,于是当时,,,于是切线的方程为: 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解:,当时,,, 于是切线的方程为: 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证: 令为切线与轴之间的夹角,因为切线的方向向量为,轴的方向向量为,则 南昌航空大学2009—2010 学年第二学期期末考试 课程名称:数 理 方 程 闭 卷 A (B )卷 分钟 一、 解答题(共40 分) 1、 当n 为正整数时,讨论()n J x 的收敛范围。(5分) 2、解一维热传导方程,其初始条件及边界条件为: 0t u x ==, 0x u x =?=?, 0x l u x =?=? (10分) 3、有一均匀杆,只要杆中任一小段有纵向位移或速度,必导致邻段的压缩或伸长, 这种伸缩传开去,就有纵波沿着杆传播。试推导杆的纵振动方程。(10分) 4、写出01(),(),()n J x J x J x (n 是正整数)的级数表示式的前5项。(15分) 二、计算题(共60分) 1、求方程:22,1,0u x y x y x y ?=>>??, 满足边界条件: 2 0y u x ==,1cos x u y ==的解。 (10分) 2、就下列初始条件及边界条件解弦振动方程: (,0)0,0u x x l =≤≤; (,0) (),0u x x l x x l t ?=-≤≤?; (0,)(,)0,0u t u l t t ==> (15分) 3、试确定下列定解问题: 2 2200(),0,0,,,0, (),0x x l t u u a f x x l t t x u A u B t u g x x l ===???=+<<>????? ==>?? =≤≤??? (15分) 解的一般形式。 4、(20分)求下列柯西问题: 22222200 2 80,0,3,0,y y u u u y x x x y y u u x x y ==????+-=>-∞<<+∞?????? ? ??==-∞<<+∞??? 的解。 (20分) 例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e/ex(ev/ey) =xy 两边对x 积分,得 v y =¢(y )+1/2 x 2 Y, 其中¢(y )是任意一阶可微函数。进一步地,两边对y 积分,得方程得通解为 v (x,y )=∫v y dy+f (x )=∫¢(y )dy+f (x )+1/4 x 2y 2 =f (x )+g (y )+1/4 x 2y 2 其中f (x ),g (y )是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦,平衡时沿直线拉紧,在受到初始小扰动下,作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴,弦的长度为L ,两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动,故u x ≈0.因此α≈0,cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明,力T 是一个常数,即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上,因为弧振动微小,则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律,力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动,在x 轴方向没有位移,故合力在x 方向上的分量为零,即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1,cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是,力是一个 第二章 定解问题与偏微分方程理论 习题2.1 1. 密度为ρ均匀柔软的细弦线x =0端固定,垂直悬挂,在重力作用下,于横向拉它一下,使之作微小的横振动。试导出振动方程。 2. 长为L ,均匀细杆,x = 0端固定,另一端沿杆的轴线方向被拉长b 静止后(在弹性限度内)突然放手,细杆作自由振动。试写出振动方程的定解条件。 3. 长为L 、密度为ρ的底半径为R 的均匀圆锥杆(轴线水平)作纵振动,锥的顶点固定在x =0处。导出此杆的振动方程。 4. 一根长为L 、截面面积为1的均匀细杆,其x =0端固定,以槌水平击其x =L 端,使之获得冲量I 。试写出定解问题。 习题2.2 1. 一半径为r ,密度为ρ,比热为c ,热传导系数为k 的匀质圆杆,如同截面上的温度相同,其侧面与温度为u 1的介质发生热交换,且热交换的系数为k 1。试导出杆上温度u 满足的方程。 4. 设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆,它的初始温度为)(x ?,两端满足下列边界条件之一: (1)一端(x =0)绝热,另一端(x = L )保持常温u 0; (2)两端分别有热流密度q 1和q 2进入; (3)一端(x =0)温度为u 1(t ),另一端(x = L )与温度为)(t θ的介质有热交换。 试分别写出上述三种热传导过程的定解问题。 习题2.4 1. 判断下列方程的类型: (1)04=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ; (2)02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ; (3)02222=+++++u au bu au au au y x yy xy xx ; (4)0=+yy xx xu u 。 2. 求下列方程的通解 (1)0910=++yy xy xx u u u ; (3)0384=++yy xy xx u u u 。 第三章 分离变量法 习题3.1 2. 求解下列定解问题 第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ,假设它在同一截面上的温度是相同的,杆的表面和周围介质发生热交换,服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ,比热为c ,热传导系数为k ,试导出此时温度u 满足的方程。 解:引坐标系:以杆的对称轴为x 轴,此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。由假设,在任意时刻t 到t t ?+内流入 截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换,可看作一个“被动”的热源。由假设,在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??--=??--=111124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得: ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??,再令0→?x ,0→?t 得精确的关系: ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解:在扩散介质中任取一闭曲面s ,其包围的区域 为Ω,则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质,由dsdt n u D dM ??-=,其中D 为扩散系数,得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等,由奥、高公式得: ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程: ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量,称为水化热,在它浇筑后逐渐放出,放热速度和它所储藏的水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量,0Q 为初始时刻所储的热量,则Q dt dQ β-=,其中β为常数。又假设砼的比热为c ,密度为ρ,热传导系数为k ,求它在浇后温度u 满足的方程。 解: 可将水化热视为一热源。由 Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设,放热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量,因此,由原书71页,(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。 1u x ?=?,0v y ?=?, u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明:令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或:()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。 证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??, 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上 数理方程第二版课后 习题答案 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证:设,为常向量,因为 所以。证毕 3. 证明 证: 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明:如果向量在某一区间内所有的点其微商为零,则此向量在该区间上是常向量。 证:设,为定义在区间上的向量函数,因为 在区间上可导当且仅当数量函数,和在区间上可导。所以,,根据数量函数的Lagrange中值定理,有 其中,,介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式,其中。如果在区间上处处有,则在区间上处处有 ,从而,于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证:必要性:设具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,于是。充分性:如果,可设,令,其中为某个数量函数,为单位向量,因为,于是 因为,故,从而 为常向量,于是,,即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证:必要性:设平行于固定平面,则存在一个常向量,使得,对此式连续求导,依次可得和,从而,,和共面,因此。 充分性:设,即,其中,如果,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,任取一个与垂直的单位常向量,于是作以为法向量过原点的平面,则平行于。如果,则与 不共线,又由可知,,,和共面,于是,其中,为数量函数,令,那么,这说明与共线,从而,根据第5题的结论知,具有固定方向,则可表示为,其中为某个数量函数,为单位常向量,作以为法向量,过原点的平面,则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解:,点对应于参数,于是当时,, ,于是切线的方程为: 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy …… 5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换:???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ (10) 分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得 矢量分析与场论,数理方程与特殊函数总复习题 矢量和矢性函数 1、 求下列两个矢量的加法、减法、标量积(点乘)和矢量积(叉乘) k j i A 32++= k j i B 654++= 2、 求下列两个矢性函数的加法、减法、标量积(点乘)和矢量积(叉乘) ()k t j t i t t A ++=sin cos , ()k t j e i t t B t 2++= 3、设k t j i t A 23+-=,k j i B 22+-=,k j t i C -+=3,求() C B A ?? 4、如果 ()k t j t i t t A ++=sin cos ,()k t j e i t t B t 2++= 求 ()dt t A d 和 ()dt t B d 5、如果 ()j i e ???sin cos += ① 求 ()()? ??d e d e =1 , ② 证明 ()?e ⊥()?1e . 6、如果 ()j i e ???cos sin 1+-= 证明 ()()?? ?e d e d -=1 7、求不定积分 ()? ??d e , ()? ??d e 1 。 8、计算不定积分 () ? +???d e 122 . 9、求矢量 k j i r -+=22的单位矢量 0r 。 方向导数和梯度 1、求 k j i l 22++= 的方向余弦 2、写出矢径 k z j y i x r ++=的单位矢径0r ,用方向余弦表示0r 3、求矢性函数 () k z j xy i x z y x l 4232,,+-= 的方向余弦 4、求函数2 2 2 z y x u ++=在() 1,0,1M 处沿k j i l 22++=的方向导数 5、求数量场 z y z x u 2 322+= 在点 () 1,0,2-M 处沿 k z j xy i x l 4232+-= 方向的方向导数 6、求下列数量场的梯度 ① 2 2 2 z y x r ++=, ② ??? ? ? ?++=2 221 1z y x r , ③ 223z xy z x u +-= ③ 3 2 z y x u =, ④ xz yz xy u ++=, ⑥ z y x xy z y x u 623322 2 2 --++++=. 工程数学 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u (0u 为常数) 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4.只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5.方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型,并化成标准形式. 解:因为)0(02≠<-=?y y ,所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+?? ? ??y dx dy ……5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换:???==x y ηξln ……7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程,便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ ……10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解:x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( ……5分 得 )] 2sin()2[sin(4 1 4cos 41])2()2[(21),(222222t x t x t x d t x t x t x u t x t x --+-+=+-++=?+-ξ ξ t x t x 2sin cos 2 1 422++= ……10分 四. (15分)用分离变量法解定解问题 2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷 电子科技大学研究生试卷 (考试时间: 14点 至 16 点 ,共 2小时) 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式: (学生填写) 1.把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型,指出其 类型,求出其通解. (10分) 2. 设定解问题:(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以…………… 第 1页 3. 长为l 的均匀细杆,其侧面与左端保持零度,右端绝热,杆内初始温度分布为()x ?,求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4.求下面的定解问题:(10分) 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??. 第2页 5.求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.(10分) 6. 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++,求Laplace 逆变换1 (())L F s -.(10分) 数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程 222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题 2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==??? R 解由公式错误!未找到引用源。得 []00( 0( 南京信息工程大学数理方程考试试题A 2008年 11月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、(9分) 判断下列方程的类型 (1) 230xx xy yy u u u ++= (2) 22cos (3sin )0xx xy yy y u xu x u yu --+-= (3) 220xx yy x u y u -= 二、(20分)设二阶偏微分方程450xx xy yy u u u ++= (1) 写出特征方程,并求特征线; (2) 将偏微分方程进行化简. 三、(10分)用D ’Alembert 公式求解下列弦振动方程; 22 ,0 (,0),(,0)cos tt xx t u a u x t u x x u x x x ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞? 四、(20分)用分离变量法求解下列方程; (1) 20,0 (0,)0,(,)00 (,0),(,0)0tt xx t u a u x l t u t u l t t u x x u x l x x l ?=<<>? ==≥??==-≤≤? 五、(20分) 用Green 函数法求解下列定解问题; 00 |(,) xx yy zz z u u u z u f x y =++=>?? =? 六、(21分) (1) 写出下列定解问题的Fourier 变换之后的形式 ?? ? ??∞≤≤∞-=>∞<<∞-+=x x x u t x t x f u a u xx t )()0,(0,),(2? (2)求出函数|| ()(0)a x f x xe a -=>的Fourier 变换 (3)求出出上述问题的形式解. 。。。。 (本卷共六大题) 2010年6月 一、填空题(20分) 1、微分方程的固有值为 ____________,固有函数为____________。 2、勒让德多项式的母函数为________________________。 3、一长为的均匀直金属杆,x=0端固定,x=l端自由,则纵向震动过程中的边界条件为 ________________________。 4、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 5、微分方程,在条件下的拉氏变换表 达式为____________________________________。 6、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 7、函数是区域内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则 ____________. 8、定解问题的解为________________________。 9、在第一类奇次边界条件下=____________。 10、=____________,=____________。 二、证明题(10分) 三、建立数学物理方程(10分) 一长为l、截面积为s、密度为、比热容为的均匀细杆,一端保持零度,另一端有恒定的热量q流入,初始温度为试建立热传导方程,写出定界条件(要有必要的步骤)。四、写出下列定解问题的解(35分) 1、 2、 3、 五、将函数展开为广义傅里叶级数(25分) 1、设是的正零点,试将函数展开成的傅里叶贝塞尔级数。 2将函数按埃尔米特多项式展开成级数。 2009年6月 一、填空题(20分) 11、微分方程的固有值为 ____________,固有函数为____________。 12、勒让德多项式的母函数为________________________。 13、一长为的均匀直金属杆,x=0端温度为零,x=l端有恒定的热流流出,则热传导过 程中的边界条件为________________________。 14、二阶线性偏微分方程属于____________型方程。 15、微分方程,在条件下,其拉氏 变换表达式为____________________________________。 16、埃尔米特多项式的微分表达式为____________________________________。 17、函数是区域内的调和函数,它在上有一阶连续偏导数,则 ____________. 18、定解问题的解为 ________________________。 19、在第一类奇次边界条件下=____________。 20、=____________,=____________。 二、证明题(10分) 数学物理方法习题精选 §8-3 1. ??? ?? ???? +===><<=-===.2sin 52,2)0;0(020 202x x l u l u t a u t l x u a u t l x x x xx t π, 2. 222222220200 0,(0)0,1315cos cos cos 0 23252x x x l t t t u u a x l t x u u l a t x x x u x u l l l πππ====???-=<????==+?? ?=+++=?? , 3. 22222020 0,(0)0, 21315cos cos cos , 0 35x x x x l t t t u u a x l t x u u l x x x u x u l l l πππ====???-=<???? ==?? ?=+++=?? 222),(t a x t x v += ),(),(),(t x w t x v t x u += ??? ? ??? =++====-0 )0,(,5cos 513cos 31cos )0,(0 ),(,0),0(02x w l x l x l x x w t l w t w w a w t x x xx tt πππ 4. ?? ? ?? ? ??? +=====-==x l A x l l a A x u x u t l a A u u u a u t l x x xx tt ππππsin 2sin 2)0,(,0)0,(2sin ,0002 5. ?? ? ? ? ? ??? -=====-==x l Aa x u x u at l A u u u a u t l x x x xx tt ππsin )0,(,0)0,(sin ,0002 概率论与数理统计试卷 试卷号:B010001 校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________ (请考生注意:本试卷共 页) 一、选 择 题 ( 在 下 列 各 题 中 都 设 有 代 码 为 A 、 B 、 C 、 D 的 四 个 备 选 答 案 ,请 选 出 最 合 适 的 答 案。 ) (本大题分3小题, 每小题6分, 共18分) 1、设 ξ ~ N ( 3,4 ) ,η 服 从 参 数 λ = 0.2 的 指 数 分 布,则 下 列 各 式 错 误 的 是 ( )。 ( A ) ()8=+ηξE ( B ) ()29=+ηξD ( C ) () 6322=+ηξE ( D ) 02552=?? ? ??-+ηξE 2、 对 于 总 体 分 布 的 假 设 检 验 问 题 : ),()(:00x F x F H =),()(:01x F x F H ≠下 列 结 论 中 错 误 的 是 ( ) (A) χ2 - 拟 合 检 验 法 只 适 用 于 )(0x F 为 正 态 分 布 函 数 的 情 形 (B) 若 )(0x F 中 含 有 未 知 参 数,则 要 先 对 未 知 参 数 作 极 大 似 然 估 计 (C) -2 χ拟 合 检 验 法 应 取 形 如 }{212αχχ-≥x 的 拒 绝 域 (D) -2χ拟 合 检 验 法 的 理 论 依 据 是 所 构 造 的 统 计 量 渐 近 于 -2χ 分 布 3、 设 对 一 元 线 性 回 归 模 型:).,0(~ ,210σββN e e x y ++= 用 7 次 观 测 数 据 算 的 ∑∑===-==-=7 1 271 2 82.7)?( ,5.8)(i i i R i T y y S y y S . 现 对 检 验 假 设 0 :10=βH 进 行 F 检 验, 下 列 的 推 测 正 确 的 是 ( )。 ( A ) 由 61.65.575>== e R S S F , 可 以 认 为 Y 与 X 有 显 著 的 线 性 关 系 ( B ) 由 61.66.45<== T R S S F , 不 可 以 认 为 Y 与X 无 显 著 的 线 性 关 系 ( C ) 由 59.544.67>== T R S S F ,可 以 为 Y 与 X 有 显 著 的 线 性 关 系 ( D ) 由 59.55.807>== e R S S F ,可 以 为 Y 与 X 有 显 著 的 线 性 关 系 二、填 空 题 ( 在 下 列 各 题 中 , 把 最 恰 当 的 解 答 填 在 横 线 上 方 的 空 白 处 ) (本大题分3小题, 每小题5分, 共15分) 1、设 样 本 空 间 U = {1, 2, 10 }, A ={2, 3, 4, }, B={3, 4, 5, } , C={5, 6, 7}, 则 ()C B A 表 示 的 集 合 =_______{1,2,5,6,7,8,9,10}_______________。 2、 设 ),,,(21n Y Y Y 是 来 自 总 体 Y 的 样 本, Y 的 分 布 密 度 为 ? ???<<=-)1,0( 01 0 ),(1x x x x f θθθ 则 参 数 θ的 矩 法 估 计 为θ?=__________。 3、 设 样 本 n X X X ,,,21 来 自 总 体),(~2 σμN X , μ已 知, 要 对 2 σ作 假 设 检 验, 统 计 假 设 为20 212020:,:σσσσ≠=H H , 则 要 用 检 验 统 计 量 为_______, 给 定 显 著 水 平α, 则 检 验 的 拒 绝 域 为_________________。 三、计 算 下 列 各 题 。 (本大题共3小题,总计25分) 1、(本小题6分)数学物理方法综合试题及答案
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