数理方程习题综合
例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。
解 原方程可以写成
e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得
v y =￠（y ）+1/2 x 2Y ,
其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为
v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2
=f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2
其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。
例1.1.2
即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η),
其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。
例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始
小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。
取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L
两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。
在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有张力和外
力。可以证明，张力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。
事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长
dx u x
x x x ??++=?21s ≈x ?。
这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，张力T 与
时间t 无关。
因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即
T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0.
由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故张力T 与x 无关。于是，张力是一个
与位置x 和时间t 无关的常数，仍记为T. 作用于小弧段'MM 的张力沿u 轴方向的分量为
Tsin α’-T sin α≈T(u x (x+x ?,t)-u x (x,t)).
设作用在该段弧上的外力密度函数为F （x,t ）那么弧段'MM 在时刻t 所受沿u 轴方向
的外力近似的等于F(x,t)x ?.由牛顿第二定律得
T （u x (x+x ?,t)-u x (x,t)+F(x,t)x ?=ρx ?tt u , 其中ρ是线密度，由于弦是均匀的，故ρ为常数。这里tt u 是加速度tt u 在弧段'MM 上
的平均值。设u=u(x,t)二次连续可微。由微分中值定理得
Tu zz （x+θx ?，t)x ?+F(x,t)x ?=ρtt u x ?, 0<θ<1.
消去x ?，并取极限x ?→0得
Tu xx （x,t ）+F(x,t)=ρu tt ,
即
u tt =ɑ2
u xx +?(x,t), 0
其中常数ɑ2=T/ρ，函数?（x,t ）=F(x,t)/ρ表示在x 处单位质量上所受的外力。
上式表示在外力作用下弦的振动规律，称为弦的强迫横振动方程，又称一维非齐次波
动方程。当外力作用为零时，即?=0时，方程称为弦的自由横振动方程。
类似地，有二维波动方程
u tt =ɑ2（u xx +u y y ）+?（x.y.t ）, (x,y)Ω∈,t>0,
电场E 和磁场H 满足三维波动方程 E c E 2222t ?=??和H c H 2222t
?=??, 其中c 是光速和
22
22222
x z y ??+??+??=?=???=?。 例1.2.2设物体Ω在内无热源。在Ω中任取一闭曲面S （图1.2）。以函数u(x,y,z,t)表示
物体在t 时刻，M=M(x,y,z)处的温度。根据Fourier 热传导定律，在无穷小时段dt 内流过物体的一个无穷小面积dS 的热量dQ 与时间dt ，曲面面积dS 以及物体温度u 沿曲面的外法线n 的方向导数三者成正比，即
dSdt n u k -??,
其中k=k(x,y,z)是在物体M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。我们规定外法线n 方向所
指的那一侧为正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低得地方。故当0n u >??时，热量实际上是向-n 方向流去。 对于Ω内任一封闭曲面S ，设其所包围的空间区域为V ，那从时刻
t 1到时刻t 2经曲面
流出的热量为
1Q =dSdt n
u k
S ?????21t t - 设物体的比热容为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V 内，温度由u(x,y,z,1t )到u(x,y,z)
所需的热量为
[]dvdt t
u c dv t z y x u t z y x u c t t V V ??=-=???????21),,,(),,,(Q 122ρ
ρ. 根据热量守恒定律，有
12Q Q -=
即
[]dSst n
u k
dv t z y x u t z y x t t S ????????=-2
1),,,(),,,u c 12V （ρ 假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，那么由
高斯公式得
0][2
1t =??
? ??????-???? ??????-???? ??????-??????dvdt z u k z y u k y y u k x t u c t V ρ
. 由于时间间隔[]21t ,t 及区域V 是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t ，在
Ω内任意一点都有
??? ??????+???? ??????+???? ??????=??z u k z y u k y y u k y x u ρ
c
(1.2.6)
设弦在x 0点受到横向力T 作用后发生的位移为h,则弦的初始位移为 hx, 0≤x ≤x 0,
u(x,0)= x 0
h(L-x), x 0≤x ≤L,
L-x 0
其中h 待求。由牛顿第二定律得
F-Tsin α1-Tsin α2=0， 在微小振动的情况下，
Sin α1≈tan α1= h , sin α2≈tan α2= h ,
x 0 L-x 0 所以 F=Th +Th
x 0 L-x 0
因此 h=Fx 0(L-x 0) .
TL F(L-x 0) , 0≤x ≤x 0,
从而初始位移为u(x,0)= TL Fx 0(L-x) , x 0≤x ≤L. TL 而初始速度u t (x,0)=0. u tt =a 2u xx , 0
u(x,0)=L
b x, u t （x,0)=0, 0≤x ≤L, u(0,t)=0, u x (L,t)=0, t ≥0.
（P17）例1.3.2 ：长为L 的均匀弦，两端x=0和x=L 固定，弦中张力为T ，在x=x0
处以横向力F 拉弦，达到稳定后放手任其振动。试写出初始条件。
解：建立如图坐标系。
(P18)例1.3.3考虑长为L 的均匀细杆的热传导问题。若（1）杆的两端保持零度；（2）杆的
两端绝热；（3）杆的一端为恒温零度，另一端绝热。试写出该绝热传导问题在以上三种情况下的边界条件。
解：设杆的温度为u(x,t),则
（1） u （x,t ）=0，u(L,t)=0.
（2） 当沿杆长方向有热量流动时，由Fourier 实验定律得
L x x x u
k q x u
k q ==??-=??=201,'
其中q1,q2分别为x=0和x=L 处的热流强度。而杆的两端绝热，这就意味着杆的两端与
外界没有热交换，亦没有热量的流动，故有q1=q2=0和
,
0),0(=t x u 0),(=t L u x . (3)显然，此时有
0),(,0),0(==t L u t u x .
例1.5.1求Poisson 方程Uxx +Uyy =X^2 +XY+Y^2的通解
解:先求出方程的一个特解V=V （x ，y),使其满足
Vxx +Vyy=X^2 +XY+Y^2 由于方程右端是一个二元二次齐次多项式，可设V （x ，y)
具有形式
V(x,y)=aX^4 +bX^3 Y+cY^4,其中a,b,c 是待定常数
Vx=4aX^3+3bX^2 Y Vy=bX^3+4cY^3
Vxx=12aX^2+6bXY Vyy=12cY^2
得Vxx+Vyy=12aX^2 +6bXY+12cY^2=X^2 +XY+Y^2
比较两边系数，可得
a=1/12,b=1/6,c=1/12
于是V （x,y)=1/12(X^4 +2X^3 Y+Y^4）
下面求函数W=W(x,y),使其满足Wxx+Wyy=0.作变量代换e=x,n=iy(记为d)
Ue=du/de=du/dx=Ux Un=du/dn=du/dy *dy/dn=-iy
Uee=dUe/de=Uxx Unn=-Uyy
可得Wee-Wnn=0
再作变量代换
s=e+n,t=e-nUe=du/de(s,t)=Us+Ut Un=du/dn=Us-Ut
Uee=dUe/de=d(Us+Ut)/de=Uss+Utt+2Ust
Unn=dUn/dn=d(Us-Ut)/dn=Uss+Utt-2Ust
那么方程进一步化为Wst=0
其通解为W=f(s)+g(t)=f(e+n)+g(e-n)=f(x+iy)+g(x-iy),其中f,g 是任意两个二阶可微函数。
那么根据叠加原理，方程的通解为u(x,y)=V+W=f(x+iy)+g(x-iy)+1/12(X^4+2X^3 Y+Y^4)
(P32)例2.1.1 判断方程U xx +2U xy -3U yy +2U x +6U y =0（2.1.22）的类型，并化简。
解： 因为a 11= 1,a 12= 1,a 22= -3,所以 =a 212-a 11a 22=4>0,故方程为双曲型方程。对应的特
征方程组为
,311221112212=-+=a a a a a d d x y .111
221112212-=--=a a a a a d d x y 该方程组的特征曲线（即通解）为.,321c x y c x y =+=-作自变量变换
x y x y +=-=ηξ,3则
;3ηξu u u xx +-= ,ηξu u u y +=
,69ηηξηξξu u u u xx +-= ,23ηηξηξξu u u u xy +--= .2ηηξηξξu u u u yy ++=
将上述各式带入方程（2.1.22），得第一种标准形式
.02
1=-ηξηu u （2.1.23） 若令,2,2η
ξη
ξ-=+=t s 则得到第二种标准形式
.0=+--t s tt ss u u u u （2.1.24）
下面对式（2.1.24）进一步化简。令,t s Ve u μλ+=则
.
22)2(,
)2(,
)()(t s t tt tt t s s ss ss t s t t t s s s e V V V u e V V V u e V V u e V V u μλμλμλμλμμλλμλ++++++=++=+=+=，
代入方程，得 .0)()21()12(22=-+-+-+-+-V V V V V t s tt ss λμμλμλ 我们取，2
1==μλ则式（2.1.24）化简为 ,0=-tt ss V V （2.1.25）
该方程不含一阶偏导数项。
例2.1.2
例 2.1.4 求值问题
4y2v xx+2(1-y2)v xy-v yy-2y/(1+y2) (2v x-v y)=0,xεR1,Y>0
V(X,0)=φ（X）,V Y（X,0）=￠（X）,XεR1
的解，其中φ（x）是已知任意二阶可微函数，￠（x）是任意一阶可微函数。
解先把所给方程化为标准型。特征方程组为
dy/dx =-1/2,dy/dx=1/2y^2.
其通解为
x+2y=C1,x-2y^3/3=C
做自变量变换
ξ=x+2y,п=x-2y^3/3,
这样给定的方程化为标准型
V
ξп=0
依次关于п和ξ积分两次，得通解v=F（ξ）+G（п）.代回原自变量x,y得原方程得通解
v？（x,y）=F（x+2y）+G（x-2y^2/3）
其中F,G是任意两个可微函数。进一步，由初始条件得
φ（x）=v（x,0）=F（x）+G（x）,￠（x）=V Y（x,0）=2F’（x）
从而求出
F（x）=F（0）+1/2∫x0￠（t）dt,G（x）=φ（x）-F（0）-1/2∫x0￠（t）dt.
所以原定解问题的解为
v（x,y）=φ（x-2y^3/3）+1/2∫x+2y x-2y^3/3￠（t）dt.
例2.1.3 设常数A,B,C满足B^2-4A C≠0,m1,m2是方程
Am^2+Bm+C=0 ①
的两个根。证明二阶线性偏微分方程
Au xx+Bu xy+Cu yy=0 ②
的通解具有如下形式：
u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m2x+y), ③
其中f,g是任意两个二阶可微函数。
证不失一般性，设A≠0和B^2-4AC>0.其它情况可以类似的处理。
令ξ=m1x+y,η=m2x+y.则
U x=m1uξ +m2uη，u y=uξ+uη，U xx=m1^2uξξ+2m1m2uξη+m2^2uηη
u yy=uξξ+2uξη+uηη ,u xy=m1uξξ+(m1+m2)uξη+uηη
上述式代入②得：
（Am1^2+Bm1+C）uξξ+（Am2^2+Bm2+C）uηη+(2Am1m2+B(m1+m2)+2C)uξη=0④
由题意得
Am1^2+Bm1+C=0，Am2^2+Bm2+C=0，m1+m2=B/A, m1m2=C/A
上述式代入④得
(1/A)(4AC-B^2)uξη=0
又由题意得4AC-B^2≠0
故uξη=0
对该方程两边分别关于和积分，得通解u=f(ξ)+g（η），代回自变量x,y,得方程②的通解是
u=u(x,y)=f(m1x+y)+g(m2x+y), ③
其中f,g是任意两个二阶可微函数。证毕。
端点自由的半无限长的均匀弦振动的定解问题
()()()()()().0,
0,0,0,0,0,0,,0,,2≥+∞<≤>+∞<
???===+=t x t x t u x x u x x u t x f u a u x t xx tt ?φ (3.1.22) 因为()0,0=t u x ,我们对函数?φ,,f 关于x 做偶延拓。定义()()x t x F φ,,和()x ?如下：
()()().0,0,,<≥?
??-=x x x x x φφφ ()()()???<-≥=.
0,,0,x x x x x ??? ()()()?
??≥<-≥≥=.0,0,,,0,0,,,t x t x f t x t x f t x F 函数()()()x x t x F ?φ,,,在+∞<<∞-x 上是偶函数。由推论 3.1.1，()t x U ,是关于x
的偶函数，且()().0,0,0==t U t u x x 这样得到定解问题（3.1.22）的解()()).0,0(,,≥≥=t x t x U t x u 所以，
当at x ≥时，
()()()()()()()
()???-+--+-++-++=t t a x t a x at
x at x d d f a d a at x at x t x u 0,212121,τττξτξξξ?φφ（3.1.23） 当at x <≤0时，
()()()()()()()()()()()()
()???????--+------+-++??????????????????++??
????++-++=t a x t t a x t a x a x t x t a t a x x at at x d d f a d d f d f a d d a x at at x t x u τττττξτξτξτξξτξξξ?ξξ?φφ.,21,,212121,00000 （3.1.24） 例4.2.3
端点固定的半无限长的均匀弦振动的定解问题
考虑定解问题
求解上述问题的基本思路是以某种方式延拓函数使其在上也有定义，，这样把半无界区域上的问题转变成上的初值问题。然后利用达朗贝尔公式（3.1.15），求出在上的解u（x,t）。同时使此解u（0,t)满足u（0，t)=0.这样当x限制在上就是我们所要求的半无界区域上的解。
由微积分知识可知，如果一个连续可微函数g（x)在上是奇函数，则必有g（0）=0.因此要使解u=u（x,t)满足u（0,t)=0，只要u(x,t)是x的奇函数便可。而由推论3.1.1，只
要f(x,t),
是x 的奇函数。因此对函数f 和关于x 作奇延拓。我们定义F
（x,t),和如下：
显然函数F 和在上是奇函数。然后考虑初值问题
（3.1.17）
由（3,1,15)，问题（3.1.17)的解是
（3.1.18）
所以问题（3.1.16)的解u （x,t)在上的限制。于是当时，
（3.1.19) 当时，
（3.1.20）
例2.2.1确定下列方程标准型
(1)u xx +2u xy -2u xz +2u yy +6u zz =0
(2).0244=++--z y yz xy xx u u u u u
解:(1)方程对应的系数矩阵是
.60102
1111????
? ??--=A ,06222=++-+zz yy xz xy xx u u u u u 利用线性代数中把对称矩阵化为对角型的方法,我们可选取
?????? ?
?--=21211011001
B , 则令为三阶矩阵这里,E ,E BAB T =
.0 .
22=++??????? ?
?+--=????? ??=????? ????ηηξξ?ηξu u u z y x x y x z y x B 则给定的方程化简为
(2)方程对应的系数矩阵是
.010102
024????
? ??----=A 因为
,100010
001????
? ??-=T BAB 其中
'112101210021???????
? ??--=B 所以取
.222
???????? ??+--+=????? ??=????? ??z y x y x x z y x B ?ηξ 则给定的方程化简为
.0=++-η??ηηξξu u u u
例3.1.1 求解下列初值问题
,0,,9>+∞<<-∞-=--t x e e u u x x xx tt
()().,sin 0,,0,+∞<<-∞==x x x u x x u t
解：利用达朗贝尔公式（3.3.15）得
()()()()()()()()???-+--+-++-++=t t a x t a x at x at x d d f a d a
at x at x t x u 0,212121,τττζτζζζψφφ
()()
()()τζζζττζζd d e e d t x t x t t x t x t
x t x ???-+---+--++-++=0333361sin 61
3321 ,3cosh sinh 9
2sinh 923sin sin 31t x x t x x +-+= 易见，解()t x u ,关于x 是奇函数。
4.2.1波动方程的初边值问题
例4.2.1 设边长为L 的弦，两端固定，作微小横振动。已知初位移为φ（x ）,初始速度为ψ（x ）,试求弦的运动规律。
解： 该物理问题可归为下列定解问题：
?????
??????><<=====0
,0,20),(),0()()0,(),()0,(t L x xx u a tt u t L u t u x x t u x x u ψφ [1] 设上述问题有非零变量分离解 u(x,t)=X(x)T(t).代入上述问题[1]中得：
X(x)T ``(t)= a 2 X ``(x) T(t)，
由此设： T ··(t)∕a 2 T(t) = X ··(x) ∕X(x) =-λ（记-λ为比值常
数），并得：
T ··(t)+ λa 2 T(t) =0 [2] X ··(x)+ λX(x) = 0, [3]
再根据边界条件 u(0,t)=u(L ,t)=0,得：X(0) T(t)= X(L)T(t)=0 , T(t)≠0,则 X(0)= X(L)=0，
由上分析，得：
[4]{0)()"(0
)()0(=+==x X x X L X X λ （1）λ=-β2＜0时，方程组[4]的通解为：X(x)=C 1e βx +C 2 e -βx ,代入X(0)= X(L)=0，
解得常数C1=C2=0,即得零解X(x)=0（u=0），不合初设u 为非零解，舍去；
（2）λ=0时，方程组[4]的通解为： X(x)= C 1 x+ C 2, 代入 X(0)= X(L)=0，解得零解X(x)=0（u=0），舍去；
（3）λ=β2 ＞0时，方程组［4］的通解为：X(x)= C 1cos βx+C 2sin βx.代入X(0)= X(L)=0，
解得C 1=0, C 2sin βL=0
则 λ=λn =βn 2=（n π/L ）2 ,n=1,2,...
对应λn 的特征函数为： X n （x ）=C n sin L x
n π , n=1,2,..［5］
将特征值λn 代入［2］得： T ``(t)+ λn a 2 T(t) =0通解为
T n (t)=A n cos
L at n π+B n sin L at n π ［6
］ 综上可
知定解问题的变量分离特解为： u n （x ，t ）=（a n cos L at n π+b n sin L
at n π ）sin L x n π ［7］ 其中，a n = A n C n ,b n =B n C n 为任意常
数，n=1,2… 根据线性叠加原理，将特解u n （x ，t ）叠加起来，得到通解：
u(x,t)=∑∞=1),(n n t x u =
L
x n L at n b L at n a n n n πππsin )sin cos
(1+∑∞=. [8] 由原定解问题： Φ（x ）=u(x,0)=∑∞=1sin
n n L
x n a π Ψ (x) =u t (x,0)=L
x n L a n b n n
ππsin 1∑∞=， 可将Φ（x ），Ψ (x)看作是[0,L]上的傅里叶级数，则有：
???????==L dx L x n x a dx L x n x a n b L n L n πφπ?π00sin )(2sin )(2
把上面得到的a n ,b n 代入[8]中，得级数通解
u(x,t)=∑∞=1
),(n n t x u =
L x n L at n b L at n a n n n πππsin )sin cos (1+∑∞= ,其中 ???????==L dx L x n x a dx L x n x a n b L n L n πφπ?π00sin )(2sin )(2
经检验，得到的通解u （x,t ）满足关于x 和t 逐项微分二次后一致收敛，因而满足定
解问题[1]中方程和相应条件，即通解u （x,t ）存在，是定解问题的解
例4.2.2设长为L ，且两端自由的均匀细杆，作纵振动，且初始位移为φ（x ），初始速
度为ψ（x ）。试求杆做自由纵振动的位移规律。
解：
()()()()()()2tt xx t =a ,0,t 0=,0,00,,0,t 0x x x L x x x x L t L μμμφμψ
μμ??<<>??=≤≤????=≥??
x ，0，
令()()(),x t X x T t μ=，代入上式得：
()()()()
''''2T t X x a T t X x λ==- 得到两个独立的常微分方程
()()()()''2''0
X 0
T t a T t x X x λλ+=+= 又由边界条件，得()()''00.X X L ==所以特征值问题为
()()()()''''0,000.X x X x x L X X L λ??==<
当λ<0时，上述问题只有零解。当λ=0时，可得非零的常数解()000X x A =≠.当
2,0λββ=>时，边值问题中方程的通解为
()cos sin X x A x B x ββ=+
由边界条件()()''00,B 0Asin L 0X X L β====得和.因为
0=
,0,1,2,.....n A n L πβ≠=，所以。因此得到一系列特征值和对应的特征函数列 ()2,cos ,n 0,1,2,...n n n n n x X x A L L ππλ??=== ???
将n λ代入前式，得到相应的
()00,0cos sin ,n 1,2,...n n n C D t n T t n at n at C D L L ππ+=????=??+=????
因此函数
()()()00+,n 0,cos sin cos ,1,2,...n n n n n a b t x t T t X x n at n at n x a b n L L L μπππ=????==????+= ???????
设所求的形式解为
()001,cos sin cos ,n n n n at n at n x x t a b t a b L L L
πππμ∞=?
?=+++ ???∑ 其中系数中的初始条件确定，即 ()()01,0cos
,n n n x x x a a L πφμ∞
===+∑
()()01,0cos t n n n a n a x x b b L L
ππψμ∞===+∑
从而得（n=1,2,…）
()()()()00000012,cos ,12,cos L L
n L
L n n x a x dx a x dx L L L n x b x dx b x dx L n a L πφφπψψ
π??
==??
????
??==????
????
例 4.2.4 设有一均匀细杆，长为L ，两端点坐标分别为X=0和X=L.杆的表面绝热，
再X=0端保持零度，在X=L 端热量自由发散到温度为零度的介质中去，已知初始温度为(x),Φ求杆上温度分布规律
解： 设U(x,t)表示在x 处，时刻t 时的温度，那么由第1章可知，所给物理问题可以归
结为求解下列定解问题：
2x , 0,0,
(x,0)(x),0,u(0,t)0,u (L,t)hu(L,t)0,t 0,
t xx u a u x L t u x L φ= <<>= ≤≤ (4.2.38)=+= ≥
其中常数h>0,函数(x)φ 在[0,L] 满足狄利克雷条件。我们仍然用分离变量法解这个问
题。设(x,t)X(x)T(t).u = 将其代入到（4.2.38）方程中，得
2'(t)
''(x)
.(4.2.39)(t)(x)T X a T X λ==-
从而得到关于(t),X(x)T 的常微分方程
2'(t)a (t)0,(4.2.40)
X''(x)X(x)0,x 4.2.41)T T λλ+= += 0<< (L.由（4.2.38）
中的边界条件，得
(0)0,X'(L)h (L)0.(4.2.42)X X = +=
下面求解由方程（4.2.41）和边界条件（4.2.42）组成的特征值问题当0λ≤ 时，边值问
题（4.2.41）和（4.2.42）只有零解。当2,0λββ=> 时，方程（4.2.41）的通解为
(x)Acos x Bsin x X ββ=+
由边界条件（4.2.42），得
0,(cos L hsin L)0.A B βββ= +=
为求特征值和特征函数，设0.B ≠ 所以
cos sin 0,L h L βββ+=
记,L λβ= 则上式可表示为
1tan ,.hL
γαγα= =- 方程（4.2.43）的根可以看作切曲线1tan y γ= 与直线2y αγ= 的交点的横坐标，见图
4.6.
由此可见，他们交点有无穷多个，他们关于原点对称，设方程（4.2.43）的无穷多个正根依次为
120,n γγγ<<<<<
于是边值问题（4.2.41）和（4.2.42）的特征值n λ和相应的特征函数
(x)n X 为 22n n 2,(x)B sin x,n 1,2,(4.2.44)n
n n n X L γλββ== = =
现在证明特征函数系{}12sin ,sin ,,sin ,n x x x βββ 在[0,L] 是正交系.记n (x)sin x,n 1,2,n φβ= = 则m (x),(x)n φφ 分别满足
n n m m ''(x)(x)0,0x L,(4.2.45)
(x)(x)0,0x L (4.2.46)
n m φλφφλφ+= << += << 和边界条件（4.2.42）.用m φ 乘以（4.2.46），然后（4.2.46），然后两式相减，并且在[0,L] 上积分，得
n m n m m n 00n m m n n m m n 0
n m n m n m n ()(x)(x)((x)''(x)(x)''(x))((x)'(x)(x)'(x))'dx ((x)'(x)(x)'(x))|0'(L)(L)(L)'(L)h (L)(L)h (L)(L)0L
L n m L m dx dx L λλφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ-=-=-=- =-=-+=???因为当n m ≠ 时，n m λλ≠ .所以
m 0(x)(x)dx 0,n m.(4.2.47)L
n φ
φ= ≠ ?
即特征函数系
}{sin |1n x n β∞ = 是[0,L] 上的正交函数系. 下面将n λλ= 代入到方程（4.2.40），得解
2n (t)A e ,1,2,
(4.2.48)n n a t T n λ-= = 由此得到满足方程（4.2.38）中的方程和边界条件的一组特解 2n n n (x,t)X (x)T (t)C e sin ,1,2,
,n n n a t x n u λβ-== = 其中任意常数,1,2,
n n n C A B n = = ,由于方程和边界条件是其次的利用叠
加原理，可设定解问题（4.2.38）的形式解为 2n 11(x,t)(x,t)C e sin (4.2.50)n n n n n a t u u x λβ∞∞
-====
∑∑ 用sin m x β 乘以式（4.2.50），并且利用}{sin |1n x n β∞
= 是[0,L] 上的正交函数性，我们得到 m 01(x)sin xdx,1,2,(4.2.51)
L m m
C m L φβ= = ?这里 20sin ,L
m m L xdx β= ?
将是（4.2.51）代入（4.2.49），即得原定解问题（4.2.38）的形式解.
例4.4.1解下列非齐次边界的定解问题
)(u 2tt x f u a xx += 0
)0,(x u =)(x φ,)0,(x u t =)(x ψ, 0≤x ≤L,
,),(,),0(B t L u A t u == t ≥0。
其中A ，B 是常数。
解：设u （x,t ）=),(t x υ +)(x ω,将其带入到上述的方程中，得
tt u =[]).()(2x f x a xx +''+ωυ
研究生数理方程期末试题-10-11-1-A-答案
北京交通大学硕士研究生2010-2011学年第一学期 《数学物理方程》期末试题(A 卷) (参考答案) 学院__________ 专业___________ 学号 __________ 姓名____________ 1、( 10分)试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 玫［I h .丿&」V h .丿& 其中E是圆锥体的杨氏模量，「是质量密度，h是圆锥的高(如下图所示) 【提示：已知振动过程中，在x处受力大小为ES ，S为x处截面面积。】 ex 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是r1和r2，如图所示。于是，我们有 2、：：u(x dx,t) 2 u(x,t) — 2 u2(x,t) E( D) E( * ) ( A )dx 于 x x t r1 = (h「x)tan : r2= (h _(x dx)) tan : 上式化简后可写成
2 2 ：：U(X,t) 2 :：u(x,t) 2, ；u (x,t) E[(h -x) 卜亠 & -(h -'X) 〔x J - - (h -'X)dx 2 从而有 E ：：[(^x)2；：U(x ,t)H-(^x)2：：u2(x,t) .x :X :t 或成 2 ::[(1「)2汽("]“2(1「)小叩) .x h ：：x h ；：t 其中a^E ，证明完毕。 2、 (20分)考虑横截面为矩形的散热片， 它的一边y=b 处于较高温度U ，其它三边y=0. x = 0和x = a 则处于冷却介质中，因而保持较低的温度 u o 。试求该截面上的稳定温度 分布u(x,y)，即求解以下定解问题: u|y 卫二 %, u|y 生二 U, 0 x a. 【提示：可以令u(x, y)二u 0 v(x, y)，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令u(x, y) v(x, y)，则原定解问题变为 Wl x￡=0, V=0, 0cy 一、填空题 1．二阶线性偏微分方程xx xy yy x y Au Bu C u D u Eu Fu G +++++=（其中各系数均为x 和y 的函数）在某一区域的性质由式子：24B AC -的取值情况决定，取值为正对应的是（ 双曲 ）型，取值为负对应的是（ 椭圆）型，取值为零对应的是（ 抛物 ）型。 2．在实际中广泛应用的三个典型的数学物理方程： 第一个叫（ 弦自由横振动 ），表达式为（2tt xx u a B u =），属于（双曲）型； 第二个叫（ 热传导 ），表达式为（ 2t xx u a B u =），属于（ 椭圆 ）型； 第三个叫（拉普拉斯方程和泊松方程），表达式为（0 x x y y u u +=， (,)xx yy u u x y ρ+=-），属于（椭圆）型； 二、选择题 1．下列泛定方程中，属于非线性方程的是［ B ］ (A) 260t xx u u xt u ++=； (B) sin i t tt xx u u u e ω-+=； (C) ( )22 0y xx xxy u x y u u +++=； (D) 340t x xx u u u ++=； 2. 下列泛定方程中，肯定属于椭圆型的是［ D ］ (A)0xx yy u xyu +=； (B) 22x xx xy yy x u xyu y u e -+=； (C)0xx xy yy u u xu +-=； (D)()()()22sin sin 2cos xx xy yy x u x u x u x ++=； 3. 定解问题 ()()( )()()()2,0,00,,0 ,0,,0tt xx x x t u a u t x l u t u l t u x x u x x ?φ?=>< 第九章定解问题的物理意义 基本要求与教学内容： 1、理解波动方程、热传导方程、Poison方程和Laplace方程的物理意 义, 根据物理问题写出其相应的方程(不需要推导方程)。 2、第一、第二类边界条件的物理意义。根据具体物理问题，掌握确 定这两类边界条件的方法。 3、初始条件的意义及确定。 本章重点： 掌握由具体的物理问题写出其相应的定解问题方法，即泛定方程和定解条件。 第十章利用积分变换解无界问题 基本要求与教学内容： 1、熟练掌握利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程，理 解其解的物理意义。 2、了解一维无界非齐次波动方程的通解形式及计算。 本章重点： 利用d'Alembert公式计算一维无界的齐次波动方程 第十一章一维有界问题的分离变量 基本要求与教学内容： 1、理解分离变量法的基本概念：方法、条件、不同定解问题的通解 形式。 2、熟练准确写出第一、第二类齐次边界条件的本征值和本征函数。 3、熟练掌握用分离变量法求解一维有界问题的解：1）分离变量得到 的两个方程；2）由本征值问题确定相应的本征值和本征函数；3）确定关于)(t T方程的解（或者与其对应变量方程的解）；4）定解问题的通解；5）由定解条件确定待定系数（通过系数比较方法确定系数是一种重要的方法）。 4、熟练掌握利用本征函数展开解一维有界非齐次方程：1)对应齐次 方程和齐次边界条件的本征函数的确定；2)非齐次项和初始条件按本征函数的展开, 方程的解按本征函数的展开；3)求解关于)(t T 方程的解；4)定解问题的解。 5、掌握非齐次边界条件的齐次化。 本章重点： ?第二类齐次边界条件的本征值和本征函数 ?用分离变量法求解一维有界问题的解 ?利用本征函数展开解一维有界非齐次方程 ?非齐次边界条件的齐次化 2013-2014学年度第二学期数理方程（B ）期末考试试题 考后回忆版本 一、求下列偏微分方程的通解),(y x u u =（16分） （1）y x y x u 22=???（2）xy x u y x u y =??+???2二、求下列固有之问题的解。要求明确指出固有值及其所对应的固有函数（10分） ?????=′+∞<<<=+′+′′.0)2(,)0()20(,022y y x y x y x y x λ三、求第一象限}0,0|),{(2 >>∈=y x R y x D 的第一边值问题的Green 函数。（12分） 四、用积分变换法求解下列方程。（12分）???=>+∞<<<=).21(),0(,)(),0(. 1)1,(,0)0,()0,10(,4x x u x x x u t u t u t x u u t xx tt δ?七、用分离变量法求解下列方程。（15分） ?????=<++=++=++0|)1(,1 222222z y x zz yy xx u z y x z u u u 八、求解下列定解问题。（5分） ?????==>+∞< 《数学物理方程》期末试题（A 卷） （参考答案） 学院 专业 学号 姓名 1、 （10分）试证明：圆锥形枢轴的纵振动方程为： 其中E 是圆锥体的杨氏模量，ρ是质量密度，h 是圆锥的高（如下图所示）： 【提示：已知振动过程中，在x 处受力大小为u ES x ??，S 为x 处截面面积。】 【证明】在圆锥体中任取一小段，截面园的半径分别是1r 和2r ，如图所示。于是，我们有 上式化简后可写成 从而有 或成 其中2 E a ρ = ，证明完毕。 2、 （20分）考虑横截面为矩形的散热片，它的一边y b =处于较高温度U ，其它三边0y =， 0x =和x a =则处于冷却介质中，因而保持较低的温度0u 。试求该截面上的稳定温度 分布(,)u x y ，即求解以下定解问题： 【提示：可以令0(,)(,)u x y u v x y =+，然后再用分离变量方法求解。】 【解】令0(,)(,)u x y u v x y =+，则原定解问题变为 分离变量： 代入方程得到关于X 和Y 的常微分方程以及关于X 的定解条件： 可以判定，特征值 特征函数 利用特征值n λ可以求得 于是求得特征解 形式解为 由边界条件，有 得到 解得 最后得到原定解问题的解是 3、 （20分）试用行波法求解下列二维半无界问题 【解】方程两端对x 求积分，得 也即 对y 求积分，得 也即 由初始条件得 也即 再取0x =，于是又有 从而得 于是 将这里的()g x 和()h y 代入(,)u x y 的表达式中，即得 4、 （20分）用积分变换法及性质，求解无界弦的自由振动问题： 【提示：可利用逆Fourier 积分变换公式：11 ,||sin []20, ||x at a t F a a x at ωω-? 第一章曲线论 §1 向量函数 1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。 略 2. 求证常向量的微商等于零向量。 证：设，为常向量，因为 所以。证毕3. 证明 证： 证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。 证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有 其中，，介于与之间。从而 上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。如果在区间上处处有，则在区间上处处有 ，从而，于是。证毕 5. 证明具有固定方向的充要条件是。 证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。 充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是 因为，故，从而 为常向量，于是，，即具有固定方向。证毕 6. 证明平行于固定平面的充要条件是。 证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。 充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是， 其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。证毕 §2曲线的概念 1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。 解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为： 法平面的方程为 2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。 解：，当时，，， 于是切线的方程为： 法平面的方程为 3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。 证： 令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则 天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷（B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3． 设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为零，又没有外力 作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ，并由此求 出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n π sin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n = 为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7． 证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 [证明] 设),(),,(y x Q y x p 在D+C 上有一阶连续偏导数，n 为C 的外法线方向，其方向余弦为βαcos ,cos ，则有 再设u,v 在D 内有二阶连续偏导数，在D+C 上有一阶连续偏导数，令 得到 交换u,v ，得到 上面第二式减去第一式，得到 证毕。 8． 证明关于Bessel 函数的等式： 例 1.1.1 设v=v(线x,y),二阶性偏微分方程v xy =xy 的通解。 解 原方程可以写成 e／ex（ev／ey） =xy 两边对x 积分，得 v y =￠（y ）+1/2 x 2 Y, 其中￠（y ）是任意一阶可微函数。进一步地，两边对y 积分，得方程得通解为 v （x,y ）=∫v y dy+f （x ）=∫￠（y ）dy+f （x ）+1/4 x 2y 2 =f （x ）+g （y ）+1/4 x 2y 2 其中f （x ）,g （y ）是任意两个二阶可微函数。 例1.1.2 即 u(ξ,η) = F(ξ) + G(η), 其中F(ξ),G(η)是任意两个可微函数。 例1.2.1设有一根长为L 的均匀柔软富有弹性的细弦，平衡时沿直线拉紧，在受到初始小扰动下，作微小横振动。试确定该弦的运动方程。 取定弦的运动平面坐标系是O XU ,弦的平衡位置为x 轴，弦的长度为L ，两端固定在O,L 两点。用u(x,t)表示弦上横坐标为x 点在时刻t 的位移。由于弦做微小横振动，故u x ≈0.因此α≈0，cos α≈1,sin α≈tan α=u x ≈0,其中α表示在x 处切线方向同x 轴的夹角。下面用微元法建立u 所满足的偏微分方程。 在弦上任取一段弧'MM ,考虑作用在这段弧上的力。作用在这段弧上的力有力和外力。可以证明，力T 是一个常数，即T 与位置x 和时间t 的变化无关。 事实上，因为弧振动微小，则弧段'MM 的弧长 dx u x x x x ? ?++=?2 1s ≈x ?。 这说明该段弧在整个振动过程中始终未发生伸长变化。于是由Hooke 定律，力T 与时间 t 无关。 因为弦只作横振动，在x 轴方向没有位移，故合力在x 方向上的分量为零，即 T(x+x ?)cos α’-T(x)cos α=0. 由于co's α’≈1，cos α≈1,所以T(X+?x)=T(x),故力T 与x 无关。于是，力是一个 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上 长沙理工大学考试试卷 ………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 数学物理方程与特殊函数 课程代号 专 业 层次（本、专） 本 科 考试方式（开、闭卷） 闭卷 一．判断题：（本题总分25分，每小题5分） 1．二阶线性偏微分方程062242=+++-y x yy xy xx u u u u u 属于椭圆型； （ ） 2．定解问题的适定性包括解的稳定性、解的唯一性和解的存在性； （ ） 3．如果格林函数),(0M M G 已知，且它在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数，又若狄利克雷 问题???=Ω∈=?Γ ).,,(|,),,(0z y x f u z y x u 在Γ+Ω上具有一阶连续偏导数的解存在，那么其解可 表示为=)(0M u dS n G z y x f ??Γ??-) ,,(； （ ） 4．设)(x P n 为n 次Legendre 多项式，则0)()(1 1 1050358?-=dx x P x P ； （ ） 5．设)(x J n 为n 阶Bessel 函数，则 [])()(021ax xJ a ax xJ dx d =． （ ） 二．解答题：（本题总分65分） 1．（本小题15分）设有一根长为l 的均匀细杆，它的表面是绝热的，如果它的端点温度为1),0(u t u =，2),(u t l u =，而初始温度为0T ，写出此定解问题． 2．（本小题20分）利用固有函数法求解下面的定解问题 ???????====><<+=. 0),(,0),0(,0)0,(,0)0,(),0,0(cos sin 2t l u t u x u x u t l x l x t A u a u x x t xx tt πω 其中ω,A 是常数． 3．（本小题15分）求出方程xy u u yy xx =+的一个特解． 第 1 页（共 2 页） 2012、11、10、09年电子科技大学研究生数理方程期末试卷 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 14点 至 16 点 ，共 2小时） 课程名称 数理方程与特殊函数 教师 学时60 学分 3 教学方式 闭卷 考核日期 2012年 12 月 28 日 成绩 考核方式： （学生填写） 1．把方程 22222320u u u x x y y ???++=????化为标准型，指出其 类型，求出其通解. (10分) 2. 设定解问题：(10分) 2000(),0,0,,0(),(),0. tt xx x x l t t t u a u f x x l t u A u B t u x u x x l ?ψ====?-=<<>?? ==>??==≤≤?? 将该定解问题化成可直接分离变量求解的问题(不需要求出解的具体形式)。 学 号 姓 学 院 教 座位 ……………………密……………封……………线……………以…………… 第 1页 3． 长为l 的均匀细杆，其侧面与左端保持零度，右端绝热，杆内初始温度分布为()x ?，求杆内温度分布 (,)u x t . (20分) 4．求下面的定解问题：（10分） 22 009,(,0)18,sin 18 t tt xx t t t u u x e x R t u x x u x ==?-=∈>??=++=+??. 第2页 5．求22 cos()a e x d ?τ??+∞-?.（10分） 6． 222 23()(22)(25) s s F s s s s s ++=++++，求Laplace 逆变换1 (())L F s -.（10分） 一. (10分)填空题 1.初始位移为)(x ?,初始速度为)(x ψ的无界弦的自由振动可表述为定解问题: ?????==>+∞<<∞-===).(),(0,,00 2 x u x u t x u a u t t t xx tt ψ? 2.为使定解问题 ???? ???=======0 ,000 02t l x x x xx t u u u u u a u （0u 为常数） 中的边界条件齐次化,而设)(),(),(x w t x v t x u +=,则可选=)(x w x u 0 3.方程0=xy u 的通解为)()(),(y G x F y x u += 4．只有初始条件而无边界条件的定解问题,称为柯西问题. 5．方程y x u xy 2=满足条件1cos ),0(,)0,(2-==y y u x x u 的特解为 1cos 6 1),(22 3-++= y x y x y x u 二. (10分)判断方程 02=+yy xx u y u 的类型，并化成标准形式． 解：因为)0(02≠<-=?y y ，所以除x 轴外方程处处是椭圆型的。 ……2分 它的特征方程是 022 =+??? ??y dx dy …… 5分 即iy dx dy ±= 特征线为 21ln ,ln c ix y c ix y =+=- 作变换：???==x y ηξln …… 7分 求偏导数 ????? ???? ??-====)(1 1 2ξξξξ ηηηu u y u u y u u u u u yy y xx x 将二阶偏导数代入原方程，便可得到标准形式 ξηηξξu u u =+ …… 10分 三. (10分)求解初值问题 ?????==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020 解：x x x x a cos )(,)(,22===ψ? 利用达朗贝尔公式 ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x u ξξψ??)(21)]()([21),( … …5分 得 一． 判断题（每题2分）. 1. 2u u x y x y x ??+=???是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( ) 3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( ) 4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( ) 5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ?= 的解.( ) 二． 填空题（每题2分）. 1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程. 2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________. 3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________. 4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________. 5. []()____________.at m L e t s = 三．求解定解问题（12分） 200sin ; 0,0;0. t xx x x x x l t u a u A t u u u ω===-==== 四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分） （1） 001,0,0; 1,1. xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.t t t y y y e y y =='''+-='== 五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分） 南京信息工程大学数理方程期终考试试卷 A 2008年 12月 任课教师 学生所在系 专业 年级 班级 学生姓名 学号 一、 填空题（共60分） 1. 方程44442242(,)u u u f x y x x y y ???++=????是 四 阶 线性 （“线性”或“非线性”） 非齐次 （“齐次”或“非齐次”）偏微分方程（3分）； 2. 方程222220u u a t x ??-=??的全部解可写为(,)u x y =()()f x at g x at ++-（,f g 是任意二阶连续可微函数） ；（3分） 3. 二维Laplace 方程22220u u u x y ???=+=??的基本解为(,)u x y =12π（3分） 4. 若(,)i u x t 是非齐次波动方程22222(,)i u u a f x t t x ??-=??的解，则1 (,)i i i c u x t ∞=∑满足的微分方程是222221 (,)i i n u u a c f x t t x ∞=??-=??∑；（3分） 5. 方程2222223260u u u u u x x y y x y ?????+-++=??????的类型属于 双曲型或波动方程 ，其特征方程为3dy dx =或1dy dx =-，特征曲线为 13y x c -=和 2y x c +=，可以将其化为标准型的自变量变换为3y x y x ξη=-??=+?，若要消去一阶导数项，可以通过函数变换 (,)(,) u v e λξμηξηξη+=（其中,λμ待定）；（5分） 6. 定解问题2,0(,0)(),(,0)() tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?=-∞<<∞>?==-∞<<∞?属于初值 问题（“初值”或“边值”），其解的表达式为(,)u x y = 11[()()]()22x at x at x at x at d a ??ψξξ+-++-+?；定解问题0u x u f x n ?=∈Ω????=∈Γ???属于 数理方程练习题一(2009研 1. 设(,u u x y =,求二阶线性方程 20u x y ?=?? 的一般解。 解先把所给方程改写为 (0u x y ??=?? 2分两边对x 积分,得 (0((u u dx dx y y y x y ?????==+=????? 4分这里, (y ?是任意函数。再两边对y 积分,得方程的一般解为y ((((u u dy y dy f x f x g y y ??==+=+?? ? 6分这里,(,(f x g y 是任意两个一次可微函数。 2. 设 u f = 满足Laplace 方程 222 2 0u u x y ????+ = 求函数u. 解 : ,.r x r y r x r x r ??===?? ''(,(.u x u y f r f r x r y r ???==?? 3分因此有 222''' 223222 ''' 223 ((((u x y f r f r x r r u y x f r f r y r r ?=+??=+? 3分原方程化为:'''1((0f r f r r += 2分故有 :1212(ln r u f r c c c c ==+= 2分 例1 求Cauchy 问题 2 20 00(,(0,cos tt xx t t t u a u x t u x u x x ==?-=∈?∞??==∈??R R 的解. 解由定理3.1得 22222((1u(x, tcos 221 cos sin x at x at x at x at d a x a t x at a ξξ+-++-=+=++? 例2 求解Cauchy 问题 200cos (,(0,cos 010tt xx t t t u a u t x x t x x u x u x ==?-=∈?∞?≥?? ==?? 2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入， 设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是()2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .?????????===>< 222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)： ???????==??=??=+=-).()(0 022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： 1. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ?θ?θ?=?? ??=?? ??=???? ""的形式。 (1) ()sin sin cos sin θθθ?+ (2) sin sin θ? (3) ()6cos 1sin cos θθ?+ 2. 将下列函数展开为球函数()()sin 0,1,2,,cos cos 0,1,2,3,m m l l m m l Y P m l ?θ?θ?=?? ??=?? ??=???? ""的 形式。 (1) ()3sin 2sin cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 21θ?θ?θ?????++? (2) sin cos θ? (3) ()13cos sin cos θθ?+ 3. 如图所示，长为l 的弦，两端固定，弦中张力为T ，在弦的中间点以横向力0F 把弦拉开，然后突然撤除这力，求解弦的振动。 4. 求解细杆导热问题，杆长l ，两端保持为零度，初始温度分布 ()20t u bx l x ==? 5. 在球坐标系下将三维波动方程220tt u a u ??=分离变量。其中，拉普拉斯算符在球坐标系下的形式为 22 222222 111sin sin sin u u u u r r r r r r θθθθθφ??????????=++ ????????????? ()()()()()()()()(),,,,;,. u r T t v v R r Y Y θφθφθφθφ===ΘΦr r 求出()T t ，()R r ，(),Y θφ，()θΘ，()φΦ分别满足的本征方程以及通解的形式。 6. 在柱坐标系下将三维输运方程220t u a u ??=分离变量。其中，拉普拉斯算符在柱坐标系下的形式为 222 22211u u u u r r r r r z φ???????=++???????? ()()()()()()(),,,. u r T t v v R r Z z θφφ==Φr r 求出()T t ，()R r ，()φΦ，()Z z 分别满足的本征方程以及通解的形式。 7. 在半径为0r 的球的(1)内部，(2)外部求解定解问题 2222 0, 1cos cos cos .3r r u u r θ??=??=? ??=?+??? 8. 均匀中空介质球壳，内半径为1r ，外半径为()21r r >，壳层内介电常数为ε，壳层外和中间空心部分为真空。把介质球壳放在点电荷04q πε的电场中，球心跟点电荷相距()2d r >，求解介质球壳外、介质球壳区域、和中间空心区域内的静电场中的电势。 ()0cos ,1l l l h P h θ∞ ==<∑ 数理方程期末试题B答 案 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 北 京 交 通 大 学 2007-2008学年第二学期《数理方程与特殊函数》期末考试试卷 （B ） （参考答案） 学院_ ____________ 专业___________________ 班级________ ____ 学号_______________ 姓名___________ __ 一、 计算题（共80分，每题16分） 1． 求下列定解问题（15分） 2． 用积分变换法及性质，求解半无界弦的自由振动问题：（15分） 3．设弦的两端固定于0x =及x l =，弦的出示位移如下图所示。初速度为 零，又没有外力作用。求弦做横向振动时的位移(,)u x t 。 [ 解 ] 问题的定解条件是 由初始条件可得 4． 证明在变换, x at x at ξη=-=+下，波动方程xx tt u a u 2=具有形式解0=n u ξ， 并由此求出波动方程的通解。 5． 用分离变量法解下列定解问题 [ 提示：1) 可以直接给出问题的固有函数，不必推导；2) 利用参数变易法。] [ 解 ] 对应齐次方程的定解问题的固有函数是x l n πsin ，其解可以表示成 把原问题中非齐次项t x t x f l a l π π22sin sin ),(=按照固有函数展开成级数 因此有 利用参数变易法，有 于是 6． 用Bessel 函数法求解下面定解问题 [ 解 ] 用分离变量法求解。令)()(),(t T R t u ρρ=，则可得 以及 设0ρβλn n =为Bessel 函数)(0x J 的正零点，则问题（II ）的特征值和特征函数分别为 问题（I ）的解为 于是原问题的解是 由初始条件 得到 故 于是最后得到原问题的解是 二、 证明题（共2分，每题10分） 7．证明平面上的Green 公式 其中C 是区域D 的边界曲线，ds 是弧长微分。 一、 Mathematical methods for physics 二、 单项选择题（每小题2分） 1．齐次边界条件0),(),0(==t u t u x x π的本征函数是_______。 A) 3,2,1 sin =n nx B) ,2,1,0 cos =n nx C) 2,1,0 )2 1 sin(=+n x n D) 2,1,0 )2 1 cos(=+n x n 2．描述无源空间静电势满足的方程是________。 A) 波动方程 B)热传导方程 C) Poisson 方程 D)Laplace 方程 3．半径为R 的圆形膜，边缘固定，其定解问题是??? ? ? ????====?-??===)(| ),(|0|0),(),(0t 02 22 2ρψρ?ρρρt t R u u u t u a t t u 其解的形式为∑∞ == 1 0)()(),(m m m k J t T t u ρρ，下列哪一个结论是错误的______。 A) )()()()(2 2 2 2t T k a t T dt d t T m m m m -=满足方程 B ）圆形膜固有振动模式是)sin(0t ak m 和)cos(0 t ak m C ）0 m k 是零阶Bessel 函数的第m 个零点。 D ）)()(00ρρm m k J R =满足方程0)(2 202=+'+''R k R R m ρρρ 4．)(5x P 是下列哪一个方程的解_________。 A ）0202)1(2=+'-''-y y x y x B ）0252)1(2=+'-''-y y x y x C ）0302)1(2=+'-''-y y x y x D ）052)1(2=+'-''-y y x y x 5．根据整数阶Bessel 函数的递推公式，下列结论哪一个是正确的________。 A ）)(2)()(120x J x J x J '=- B ）)()()(111x J x x J x xJ '=+数理方程练习题(1)
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