matlab二分法和Newton迭代法算法比较实验报告

湖南大学电气与信息工程学院 《数值计算》课程 上机实验报告

姓名： 班级： 学号： 日期：20130414

指导老师：

本次实验题号：第 1 次实验

一. 实验目的：

了解二分法和Ｎewton 迭代法算法实现求任意方程的根。并比较方法的优劣。

分别用二分法或newton 迭代法求R,方程

[]

001.001.0200005.0cos e 20.005R -=--R ,的解,要求误差小于0.0001%，并比较两种方法的收敛速度。（R 的初值取200Ω）

二. 实验内容：

（1）在区间[0,1]上用二分法求方程

[]

001.001.0200005.0cos e 20.005R -=--R 的近似根，要求误差不超过0.0001%。

（2）取初值

R0=200Ω，用牛顿迭代公式

()

()k k k k x f x f x x '1-

=+，求方程

()=x f []

001.001.0200005.0cos e 20.005R -=--R 的近似根。要求误差不超过0.0001%。

三. 算法介绍或方法基础

1) 二分法：

对方程()0=x f 在[a ，b]内求根。将所给区间二分，在分点

2a

b x -=

判断是否

()0=x f ；若是，则有根

2a

b x -=

。否则，继续判断是否()()0

b =否则令x a =。重复此过程直至求出方程()0=x f 在[a,b]中的近似根为止。

2)牛顿迭代法：

是

()0=

x

f非线性方程，一般较难解决，多采用线性化方法．取初值，利用迭代公

式

()

()

k

k

k

k x

f

x

f

x

x

'

1

-

=

+

进行求解，重复此过程直至求出方程

()0=

x

f求出近似根为止。

四.程序

1)二分法：

function erfen

%UNTITLED1 Summary of this function goes here

% Detailed explanation goes here

clear;

f=inline('exp(-0.005.*R).*cos(0.05.*(sqrt(2000-R^2.*0.01)))-0.01' );

a=200;

b=1000;

dlt=1.0e-5;

k=1;

err=abs(b-a);

ErfenDATA=fopen('c:\\ErfenDATA.txt','w');

while abs(b-a)>dlt

c=(a+b)/2;

if(c)==0

break;

elseif f(c)*f(b)<0

a=c;

else

b=c;

end

k=k+1;

err=abs(b-a);

fprintf(ErfenDATA,'k=%d x=%10.6f err=%10.6f ',k,c,err); %下面的输出到屏幕上

fprintf('k=%d x=%10.6f err=%10.6f\n ',k,c,err);

end

2)牛顿迭代法：

dfun_R.m

function y=dfun_R(R)

y=(R.*sin((2000-R.^2./100).^(1/2)./20))./(2000.*exp(R./200).*(200 0-R.^2./100).^(1/2))-cos((2000-R.^2/100).^(1/2)/20)/(200.*exp(R./ 200));

fun_R.m

function y=fun_R(R)

y=exp(-0.005.*R).*cos(0.05.*(sqrt(2000-R.^2.*0.01)))-0.01;

Newton.m

function

[xvect,xdif,fxvect,nvect]=Newton(delta,eps,x0,fname1,fname2)

n=1;

nvect=[]; %存储迭代次数

xvect=[]; %存储自变量迭代值

fxvect=[]; %存储函数迭代值

xdif=[]; %存储每一次迭代后的误差

fx=fname1(x0);dfx=fname2(x0);

x1=x0-fx/dfx;err=abs(x1-x0);

nvect=[nvect;n];

xvect=[xvect;x0];

fxvect=[fxvect;fx];

xdif=[xdif;err];

while ((abs(fx)>delta)|(err>eps)) % ((err>eps))

n=n+1;

fx=fname1(x1);

dfx=fname2(x1);

x2=x1-fx/dfx;

nvect=[nvect;n];

xvect=[xvect;x1];

fxvect=[fxvect;fx];

xdif=[xdif;err];

err=abs(x2-x1);

x1=x2;

end

Return

Newton_tu.m

clear;%clf;hold off

delta=10^(-6);eps=10^(-6);R0=200; %初始化

[R,dis,fR,n]=Newton(delta,eps,R0,@fun_R,@dfun_R); %调用Newton函数

%输出到 NewtonDATA.txt文件中

NewtonDATA=fopen('c:\\NewtonDATA.txt','w');

% %下面的输出到屏幕上

fprintf(NewtonDATA,' k R fR dis=x(k+1)-x(k)\n');

for i=1:length(n)

fprintf(NewtonDATA,'%10.0f %10.6f %10.6f %10.6f\n',n(i),R(i

),fR(i),dis(i));

i=i+1;

end

五. 实验结果

二分法：

牛顿迭代法：

六. 结果分析与解释

由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=28次，牛顿迭代法要迭代k=5次才能达到精度为0.0001%的要求，

而且方程

[]0

01

.0

01

.0

2000

05

.0

cos

e2

0.005R

-=

-

-R的精确解经计算，328.151429 ，计

算量从大到小依次是:二分法,牛顿迭代法。由此可知，牛顿迭代法的精确度要优越于二分法。而这二种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。可是迭代法是局部收敛的，其收敛性与初值R0有关。二分法收敛虽然是速度最慢，但也有自己的优势，可常用于求精度不高的近似根。牛顿迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。对与不同的题目，可以从二种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。