解析几何常用结论

解析几何的经典结论

解析几何的经典结论

点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 2 2 x y x)x y 0 y 2 2= 1上，则过P °的椭圆的切线方程是 ~2 ~2 1. a b a b 2 2 第+打=1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是辱+_^?=1. a 2 b 2 a 2 b 2 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 MN 两点，_则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和氏Q 交于点M AP 和AQ 交于点N,则MF 丄NF. 二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△ PF .F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 . 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 2 2 5. 若F 0(X 0,y °)在双曲线 务…占=1 ( a> 0,b > 0 )上，则过F 0的双曲线的切线方程是 x -出^=1. a b a b 2 2 x y 6. 若P 0(x 0,y 0)在双曲线 — 2 =1 (a > 0,b > 0 )外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为 R 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线 a b 方程是彎一智九 有关解析几何的经典结论 、椭 圆 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. x 2 y 2 椭圆 2 =1 (a > b> 0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点.F 1PF^ '■，则椭圆的焦点角形的面积为 b 2 1 2 2 =b ta n 2 2 y_ 2 a 2 S F 1PF 2 X 2 椭圆二 2 =1 ( a> b > 0)的焦半径公式： a b I MF 1 | = a ex o , IMF 2 | = a - ex o ( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)). 若F 0(x °, y °)在椭圆 若F 0(x °, y °)在椭圆 2 2 AB 是椭圆x 匕 2 . 2 a b =1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB = b 2 即K AB b x ° 2 a y ° F 0(x °, y °)在椭圆 _ _ 2 x y x)x y 0y x 0 2 2 =1内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 ~2 - b a b 2 _ a 2 F 0(x °, y °)在椭圆 2 x ~~2 a 2 2 2 ■占 二1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 —2 ■ ^2 b 2 a 2 b 2 X 0X y °y a 2 b 2

解析几何的结论

解析几何的结论 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1 、P 2 ，则切点弦P 1P 2 的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1 ，F 2 ，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦 点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交 于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2 OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是2200222 2x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

解析几何经典例题

解析几何经典例题 圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用 例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从 的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。 图1 解析：易知故 在中， 则点M的轨迹方程为。 二、双曲线定义的深层运用 例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。 图2 解析：不妨设P点在双曲线的右支上， 延长F1M交PF2的延长线于N， 则， 即 在 故点M的轨迹方程为 三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3 解析：易知抛物线的准线l：， 作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M” 则 即M到直线的最短距离为2 故M到直线y＝－1的最短距离为。 评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。一般地， 求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。 四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） 图4 ②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|， 而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ| 即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝ 故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B。 ②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用 例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。①若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点P的轨迹方程；②若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。

解析几何的经典结论

有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是002 21x x y y a b +=. 6. 若000 (,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1 、P 2 ，则切点弦P 1 P 2 的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12 F PF γ ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2 OM AB b k k a ?=-， 即0 2 02y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002 222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b += +. 二、双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）

解析几何归纳总结

解析几何归纳总结 1、直线与圆的方程 对于直线方程，要理解直线的倾斜率和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是直线方程的几种形式 对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法，如求解圆的方程的待定系数法、圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的几何法、求圆的切线的基本方法等 例1：若直线 1x y a b +=通过点M （cos α,sin α）,则 A 221a b +≤ B 221a b +≥ C 22111a b +≤ D 22111a b +≥ 2、圆锥曲线的定义、标准方程 圆锥曲线的定义一般涉及焦半径、焦点弦、焦点三角形和准线，利用余弦定理解三角形等。 例2：（1）已知12,F F 为双曲线C ：22 2x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，122PF PF =,cos 12F PF ∠=___________________ （2）已知12,F F 为双曲线C: 22 1x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?，则P 到x 轴的距离为___________ （3）已知12,F F 为双曲线C: 22 1927 x y -=的左、右焦点，点A 在C 上，M （2，0），AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF =____________________ （4）已知抛物线C ：2 4y x =的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos AFB ∠=___________ 3、圆锥曲线的离心率 求离心率的值（或其取值范围）的问题是解析几何中常见的问题，常规求值问题需要找等式，求范围问题需要找不等式：其归纳结底是利用定义寻求关于a,b,c 的相应关系式，并把式中的a,b,c 转化为只含有a,c 的齐次式或不等式，再转化为含e 的关系式，最后求解。小题中常涉及焦半径等，可利用第二定义来解决，避免了复杂的运算。 例3（1）已知F 为椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交在C 于点 D ，且2BF DF = ,则C 的离心率为_____________ （2）已知抛物线C ：2 2y px =（p>0）的准线为l ，过M （1，0l 交于点A ，与C 的一个交点为B,若AM MB = ，则p=_______________ 4、直线与圆锥曲线问题的常规解题方法

有关解析几何的经典结论

有关解析几何的经典结 论 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+.

解析几何基本结论

解析几何基本结论 理论1、 2 设P （x °,y °）为抛物线y =2px,（p . 0）上一定点，PA 、PB 为它的任意两条弦, 宀，2分别是PA 、PB 的倾斜角，则（1 ）当tan:1 tan 〉2二定值t 时，直线AB 过定点 2）当tan:-1 - tan:? 2二定值t 时，直线 AB 过定点 （注意：这里，我把（％ ? y 2）和y i y 2看成是两个参数团，只要找到这两个参数团的关系, 从而把两个参数团减少为一个，就可以得到定点问题。 对于（i ），我们可以得到下面的过程： 对于（2），完全可仿照上面过程。 对于（3），则要麻烦一些。由tant =tan （：^ ：■ 2）（先讨论tan ： i ,ta n ： 2,tan （〉i 匕辽）都 存在的情况），知道： 2p 2p y o y i y 。 y 2 2p （2y 。 ％ y ?） tant 2 2 i _ 2p ______ 2p y o +y °（y i 十丫2）十丫』2 —4p y o y i y o y ? 2p x 0 …，- y o )；( X o 2y o ，一 y 或有定向k = P ； （ 3）当①亠二2二定值t 时，直线AB 过定点 y o X o 一2% tant ，一y o 2P tant ）或有定向 k = —P 。 y o 证明思路：设 A （x i ,y i ）, B （x 2,y 2），则 k AB 二 2p y i y 2 所以 I AB ： y - y i = 2p (x_x i ) 化简：（％ ⑴-価2二2px (*) k PA k PB 2p 2p y o y i y o y ? 2 y o y o (y i y ?) yy 4p 2 F 面只需把 --y 。2 - y o (y i y 2) 代入（*）即可。

二级结论在解析几何中的作用

二级结论在解析几何中的作用 一 椭圆、双曲线的“垂径定理” 1.（14浙江理）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________. 2. 已知点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆于点 ，垂直 于轴，直线交椭圆于点，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率__________. 3. 设动直线与椭圆交于不同的两点与双曲线 交于不同的两点 且则符合条件的直线共有______条. 4.已知某椭圆的焦点是过点 并垂直于轴的直线与椭圆的一个交 点为，且 .椭圆上不同的两点 满足条件： 成等差数列. （1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦 的垂直平分线的方程为 ，求的取值范围. 5.（16四川）已知椭圆：22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点，点在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段 的中点为，直 线 与椭圆交于 ，证明： 二 圆锥曲线的共圆问题 6. （11全国）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F

且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 7. 已知抛物线C ：y 2 =2px （p ＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与C 的交点为Q ， 且|QF|=|PQ|． （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 二 抛物线的性质 8. （14四川）已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C 、 172 8 D 、10 9.（15新课标）在直角坐标系中，曲线C ：y =2 4 x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两 点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 9. （14山东）已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10. 点到点 及直线 的距离都相等，且这样的点只有一个，求值. 三 椭圆、双曲线的性质 11. 已知两点1(1,0)F -及2(1,0)F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭 O 1F 2F x y l M N

高中数学必修《解析几何》常用公式结论

设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++?? ???一定在直线0Ax By C ++=上，且直线'PP 与直线0Ax By C ++=的斜率互为负倒数，即0 01y b A x a B -?? ?-=- ?-?? ，联立解出对称点'P ()00,x y 。 ⑷直线关于直线对称： 直线关于直线对称可转化为点关于直线对称解决，在1l 上任取两点1P 、2P ，求出1P 、2P 关于l 的对称点1P ‘ 、 2P ‘，再用两点式求出1l 关于l 对称的直线2l 的方程。 10、圆的两种方程：⑴圆的标准方程 222 ()()x a y b r -+-=（圆心为(,)a b ，半径为r ）. ⑵圆的一般方程 2 2 0x y Dx Ey F ++++= (22 40D E F +->). （圆心为(,)22 D E --，半径为2 r = ） 11、圆系方程： ⑴过直线l :0Ax By C ++=与圆C :2 2 0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数． ⑵过圆1C :22 1110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数． ⑶过两个相交圆公共点的直线方程的求法：只需将两圆的方程相减，消去2 2 x y 、，即可得到所求方程。 12、点与圆的位置关系： 点00(,)P x y 与圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的位置关系有三种，若d = d r >?点P 在圆外；d r =?点P 在圆上；d r ?=?????r r d ；⑵条公切线外切321??+=r r d ; ⑶条公切线相交22121??+<<-r r d r r ；⑷条公切线内切121??-=r r d ; ⑸无公切线内含??-<<210r r d 15、圆的切线方程：⑴已知圆2 2 0x y Dx Ey F ++++=． ①过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线． ②斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． ③若已知切点00(,)x y 在圆上，则只一条切线，方程为0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++++=. ⑵已知圆222 x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±. 16、空间两点间的距离公式： 12 PP ｜1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z ） 特别的：点(,,)P x y z 到坐标原点(0,0,0)O 的距离为：||OP =

数学 解析几何 经典例题 附带答案

数学解析几何经典例题~ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线x 22－y 21 ＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1) C ．(3，0)，(－3，0) D ．(0，3)，(0，－3) 解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3. ∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C. 答案： C 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立； 当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1. 所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件． 答案： C 3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＋2x ＝0 B ．x 2＋y 2＋x ＝0 C ．x 2＋y 2－x ＝0 D ．x 2＋y 2－2x ＝0 解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D. 答案： D 4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( ) A ．椭圆、双曲线、圆 B ．椭圆、双曲线、抛物线 C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线 D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线 解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线． 答案： C 5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2 所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．－x ＋2y ＋4＝0 D ．x ＋2y ＋4＝0 解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直． 又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)． 故所求直线方程为y ＋2＝－12 (x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0. 答案： D 6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为 ( ) A.32 B.34 C ．2 5 D.355

高考中圆锥曲线常见结论

高考中解析几何有用的经典结论 一、椭 圆 1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 3. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 4. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 5. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 6. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 7. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 8. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 22002222x x y y x y a b a b +=+. 二、双曲线 1. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程 是00221x x y y a b -=. 2. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线

平面解析几何初步复习总结

教学内容： 平面解析几何初步复习 教学目的 1. 复习《平而解析几何初步》的相关知识及基本应用 2. 掌握典型题型及其处理方法教学重点、难点 平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类以及重点题型的处理方法 知识分析 (-)平面直角坐标系中的基本公式 主要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点的距离公式、 平面上两点的距离公式、线段中点的坐标公式。这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线 一空间亶角坐标系一空间两点间的距离公式 要理解它们之间的内在联系，既能运用这些公式进行简单的计算，又能运用这些公式 解决较为复杂的数学 问题，这就需要对问题进行适当的转化。 通过由数轴上的基本公式到坐标系中的基本公式的研究，逐步掌握由简单到复杂的认识方 法；通过点与坐标的对应关系，感受形与数的统一，领会数形结合的思想，培养数形转化的意 识和能力；由数轴上和坐标系中的基本公式的特点，感受数学世界既丰富多彩又和谐统一，领 略数学的对称之美、简洁之美、和谐之美。 (二)直线的方程 1. 直线的方程和方程的直线 若直线1的方程记为f(x, y) 0 ,则需满足两条： 1)直线1上的每一个点，其坐标都是方程 f (x, y) 0 的解； (2) 坐标满足方程 f "x ‘ y)°的点都在直线1上。 2. 直线的方程 (1) 直线方程的几种特殊形式 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方 程的特殊形式。在特 殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推 出。 以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的 写出其直线方程，所 直线与圆.SI 与圜的位■关系］ 的基础,

焦点相关的常用结论

解析几何中焦点相关的常用结论 解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定 则 与 C1 而 的距离等于⊙C的半径，∴⊙C与y轴相切。 结论3、以抛物线y2=2px (p>0)的焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切，且A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。 证明：分别过点A、B、C向抛物线的准线l作垂线，垂足记为A1、B1、C1，与y轴交于A2、

B 2， C 2，则C 到l 轴的距离|CC 1|=2 | |||11BB AA +，由第二定义得：|AA 1|=|AF|，|BB 1|=|BF|，∴ |AA 1|+|BB 1|=|AB|，∴|CC 1|= 2 | |AB ，即点C 到准线l 的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与准线相切。 当直线AB 斜率存在时，设AB 的方程为：y=k(x － p ),代入 |y 1B 4tg 2 x 1结论5、设AB 是椭圆12222=+b y a x 的焦点弦，则当AB 垂直x 轴时|AB|min =c b 2 2。

证明略。 想一想：在抛物线及椭圆的焦点弦中，当该弦垂直于抛物线的对称（或椭圆的长轴）时，弦|AB|取得最小值，那么在双曲线中是否有相同的结论？ 结论6、过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 作倾斜角为θ（θ≠0）的直线，且与抛物线交于A 、 B ???|结论8、我们把离心率等于黄金比215-的椭圆称为“优美椭圆”，设122 22=+b y a x 是优美椭 圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个端点，则∠ABF= 2 π 。 证明略。

二级结论在解析几何中的作用

二级结论在解析几何中的作用 一 椭圆、双曲线的“垂径定理” 1.（14浙江理）设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-b y a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________. 2. 已知点是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的右焦点，过原点的直线交椭圆于点 ，垂 直于轴，直线交椭圆于点，PB PA ⊥，则该椭圆的离心率__________. 3. 设动直线 与椭圆 交于不同的两点 与双曲线 交于不同的两点且则符合条件的直线共有______条. 4.已知某椭圆的焦点是过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交 点为 ，且 .椭圆上不同的两点 满足条件： 成等差数列. （1）求该椭圆方程； （2）求弦中点的横坐标； （3）设弦 的垂直平分线的方程为 ，求的取值范围. 5.（16四川）已知椭圆：22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形 的三个顶点，点 在椭圆上. (Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设不过原点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，线段的中点为，直 线与椭圆交于，证明：

二 圆锥曲线的共圆问题 6. （11全国）已知O 为坐标原点，F 为椭圆2 2 :12 y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++= （Ⅰ）证明：点P 在C 上； （Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 7. 已知抛物线C ：y 2 =2px （p ＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与C 的交点为 Q ，且|QF|=|PQ|． （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程． 二 抛物线的性质 8. （14四川）已知F 为抛物线2 y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， 2OA OB ?=（其中O 为坐标原点），则ABO ?与AFO ?面积之和的最小值是（ ） A 、2 B 、3 C 、 8 D 9.（15新课标）在直角坐标系中，曲线C ：y =2 4 x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与M ,N 两 点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。 9. （14山东）已知抛物线2 :2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ?为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）ABE ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

解析几何圆锥曲线结论

六.圆锥曲线 1. 椭圆 (!)椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是.cos sin x a y b θθ =??=? (2)椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 10PF a ex =+， 20PF a ex =-.()12,F F 分别为左右焦点 (3)椭圆22 2 2 1(0)x y a b a b + =>>的准线方程为2 a x c =±,椭圆22 2 2 1(0)x y a b b a + =>>的准 线方程为2 a y c =± (4)椭圆 22 221(0)x y a b a b +=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为 22b a (5)P 是椭圆2 2 1(0)x y a b a b +=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ ,则 △P F 1 F 2的面积=2 tan 2 b θ , 当点P 与椭圆短轴顶点重合时21PF F ∠最大；P 是 椭圆22 2 2 1(0)x y a b a b + =>>上一点,A,B 是长轴的两端点,当点P 在短轴端点时,APB ∠最大. (6)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,则112m n ep += 2. 双曲线 (1)双曲线 22 22 1(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为 2a x c =± 双曲线 22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2 a y c =± (2) 双曲线2 2 2 2 1(0,0)x y a b a b - =>>的渐近线方程为0x y a b ±=,双曲线2 2 2 2 1(0,0)x y a b b a - =>>的的渐近线方程为0x y b a ±= (3) P 是双曲线22 1(0,0)x y a b a b - =>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2 =θ则△P F 1 F 2的面积=2 cot 2 b θ (4)若AB 是过焦点F 的弦,设,AF m BF n ==,P 表示焦准距,AB 交在同支时, 112m n ep +=,AB 交在两支时,112m n ep -= (设m n <) （5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过

解析几何常用结论

《直线和圆》常用结论 1、倾斜角的定义及范围：当直线非水平线时，x 轴的正方向绕这条直线和x 轴的交点逆时针转到和直线重合的位置所转过的最小正角.倾斜角的取值范围是：[0,л) 2、直线的斜率定义和斜率公式： 斜率定义：tan k α=（α是直线的非直角倾斜角）斜率公式：过点112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠的直线的斜率为：21 21 y y k x x -= -.斜率的几何意义：非竖直直线上的任一个点向右运动一个单位， 纵方向的改变量. 3、把垂直于直线的向量叫做直线的法向量，平行于直线的向量叫方向向量.利用法向量与方向向量很容易写出直线的一般式方程. 已知点1122(),(,)P x y Q x y ，则 （1）与向量2121(,)PQ x x y y =--平行的直线的方程可设为： 2121 x y C x x y y -=--; （2）与向量2121(,)PQ x x y y =--垂直的直线的方程可设为：2121()()x x x y y y C -+-=. 口诀：相量垂直，相乘相加;向量平行 相除相减. 4、点00(,)P x y 关于点(,)Q s t 的对称点的坐标为：00(2,2)s x t y --.特别地，点00(,)P x y 关于原点的对称点的坐标为：00(20,20)x y ?-?-，即00(,)x y --. 5、直线0Ax By C ++=关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2)(2)0A u x B v y C -+-+=. 直线0Ax By C ++=关于原点、x 轴，y 轴对称的直线的方程分别为：()()0A x B y C -+-+=， ()0Ax B y C +-+=，()0A x By C -++=. 6、直线0Ax By C ++=关于直线,x u y v ==对称的直线的方程分别为： (2)0A u x By C -++=，(2)0Ax B v y C +-+=. 7、曲线(,)0f x y =关于点(,)P u v 对称的直线的方程为：(2,2)0f u x v y --=. 8、点00(,)P x y 关于直线0Ax By C ++=的对称点的坐标为：00022(2Ax By C A x A B ++-++（）， 00022 (2))Ax By C B y A B ++-++.特别地，当||||0A B =≠时，点00(,)P x y 关于直线0 Ax By C ++=的对称点的坐标（x,y ）满足方程组0000 00By C x Ax By C A Ax By C Ax C y B +?=- ?++=?????++=+??=-??，即坐标为： 00(,)By C Ax C A B ++--.点(,)P s t 关于x 轴、y 轴，直线x u =，直线y v =的对称点的坐标分 别为：(,),(,),(2,),(,2)s t s t u s t s v t ----. 9、过点00(,)P x y 作直线0Ax By C ++=的垂线段，垂足的坐标为： 00022((1)Ax By C A x A B ++?-++，00022(1))Ax By C B y A B ++?-++. 10、圆的四种方程:（1）圆的标准方程 222 ()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 22 0x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).

解析几何中焦点相关的常用结论

解析几何中焦点相关的常用结论 解析几何中跟焦点及焦半径（椭圆、双曲线、抛物线上的一点与焦点的连线）、焦点弦（经过焦点的弦）有关的的问题是一类基本的、常见的问题，这于这类问题，我们一般利用第一、第二定义、正、余弦定理等方法求解，熟练掌握有关结论并能加以灵活运用，将有效提高解题速度。 结论1、焦半径公式： 10 设P 是椭圆122 22=+b y a x 上的一点，则焦半径|PF 1|、|PF 2|的长 分别为a ±ex 0。其中a 为长半轴长，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标（图1）。 20 设P 是双曲线122 22=-b y a x 上的一点，则焦半径|PF 1|、|PF 2| 的长分别为ex 0±a 。其中a 为实半轴长，e 为离心率，x 0为点P 的横坐标。 证明：对本题的证明只要根据定义，下面以椭圆为例加以证明：设点P 到左准线的距离为d ， 则d=x 0+c a 2,由第二定义得d PF ||1=e ，∴|PF 1|=d ·e= (x 0+c a 2 )·e= e x 0 +a 。同理可证|PF 2|= a －e x 0。 结论2、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦半径|PF|为直径的圆（⊙C ）与y 轴相切（图2）。 证明：分别过点P 、C 、F 向抛物线的准线作垂线，垂足记为P 1、C 1、F 1，与y 轴交于P 2、C 2，O ，则C 到y 轴的距离|CC 2|= 2 | |||2FO PP +， 而|PF|=|PP 1|=|PP 2|+|P 2P 1|=|PP 2|+|FO|，∴|CC 2|= 2 | |PF ，即点C 到y 轴的距离等于⊙C 的半径，∴⊙C 与y 轴相切。 结论3、以抛物线y 2=2px (p>0)的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，且A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值（图3）。 证明：分别过点A 、B 、C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足记为A 1、B 1、C 1，与y 轴交于A 2 、