均值不等式在中学数学中的应用(二稿)
目录
摘要 ............................................................................................................................................... I Abstract ...................................................................................................................................... II 第一章绪论 (1)
1.1 引言 (1)
第二章均值不等式 (1)
2.1 均值不等式代数背景 (1)
2.2 均值不等式几何背景 (2)
2.3均值不等式及其变形模型 (3)
第三章求解最值问题 (4)
3.1求解函数最值 (4)
3.1.1 拼凑法求解函数最值 (4)
3.1.2 分离法求解函数最值 (6)
3.1.3整体代换的方法求函数最值 (6)
3.1.4 换元法求最值 (7)
3.1.5 取平方 (8)
3.1.6 参数法 (8)
3.2 求参数最值 (9)
3.3 生活中的最优化问题 (10)
3.4 几何中的最值问题 (12)
第四章比较大小 (14)
4.1 分析法 (14)
4.2 缩放法 (14)
第五章证明不等式 (15)
5.1 拆项法 (15)
5.2 分析法 (15)
5.3 添项法 (16)
5.4 综合法 (17)
5.5 比较法 (17)
第六章结束语 (18)
参考文献 (18)
均值不等式在中学数学中的应用
学生：唐沁指导老师:郑凤霞
摘要：均值不等式是高二教材的一个教学内容，在中学数学中占有一席之地，是数学学科在初级甚至于高级阶段应用范围比较大的一类重要的不等式，理解它比较容易，但能够灵活运用它解决问题却是有些难度的，需要深刻体会均值不等式的含义，抓住关键的题型，掌握相关技巧，若能在恰当的时候引入它，对于解决某些问题是一个很好的辅助工具，可达到事半功倍的效果，使其具有研究的重大意义。本文就均值不等式的证明过程，历史起源，以及在各种题型中的应用进行举例说明，并进行归纳总结。
关键词：均值不等式；应用；技巧
APPLICATION OF MEAN V ALUE INEQUALITY IN
MATHEMATICS TEACHING IN HIGH SCH00L
Student: Tang Qin Instructor: Zheng Fengxia
Abstract the mean value inequality is a teaching content high schooltextbooks, occupy a space for one person in the middle school mathematics,mathematics subject in primary and even is the advanced stage of the application range is a large class of important inequality, it is easier tounderstand, but can be flexibility in the use of it to solve the problem is difficult, need to deeply understand the mean inequality meaning, to seize the key questions, master the relevant skills, if you can introduce it at the right time, to solve some problems is a very good tool, can achieve a multiplier effect, so that it has the great significance of research. This paper proves thatthe mean value inequality process, historical origin, and used in various typesof illustrated, and summary.
Keywords: mean inequality; application; skill
第一章 绪论
1.1 引言
与等量关系一样，不等量关系也是自然界中存在着的基本数量关系，它们在现实世界和日常生活中大量存在，不等式主要研究的是数的不等关系，而且和数、式、方程、函数、三角等都有着密切关系，在解决各类实际问题上也有着一定的作用，因此，不等式是进一步学习数学的基础，均值不等式作为不等式的一个重要组成部分，包含的等量关系和非等量关系大量存在于自然界中，理应对其有所理解掌握，新课标改革后，均值不等式虽部分有较大精简，但作为在数学科目中应用较为广泛的一类不等式，因此利用均值不等式求解仍是是高考易考查的，在均值不等式的推导过程中，我们不但看到了它代数背景，同时还看到了它的几何背景，数与形的结合开拓了我们的研究思路，但在实际应用时，我们应因题而宜地进行变换，达到解题的目的，应用时必须注意以下几点：
（1）注意运用不等式的条件；（2）注意公式的逆用和变用；（3）注意应用过程中的变形. 本文就均值不等式在求最值，比较大小，求变量范围，证明不等式，解决实际问题等方面举例进行说明.
第二章 均值不等式
2.1 均值不等式代数背景
利用不等式的性质，直接进行推导，得出)0,(2
≥+≤
b a b
a ab
ab
b a b ab a b a 2020)(2≥+∴≥+-∴≥- 2.2 均值不等式几何背景
（1）北京召开的第24届国际数学家大会的会标，利用其相关面积间存在的数量关系，抽象
出不等式ab b a 22
2≥+，在此基础上从三种不同角度认识均值不等)0,(2
≥+≤
b a b
a a
b ；
（图1）
在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边的长为a,b,那么正
方形的边长为2
2b a +，这样，4个直角三角形的面积和为ab 2，正方形的面积为22b a +。
由于4个直角三角形的面积和小于正方形ABCD 的面积，则得到了一个不等式ab b a 22
2≥+。 当直角三角形变为等腰直角三角形时，也即是b a =时，正方形EFGH 所为一个点，这时有
ab b a 222≥+。
①当0,0>>b a 时，在不等式ab b a 22
2
≥+中，以
b a ,分别代替b a ,,得到
)0,(2
≥+≤
b a b
a a
b ； ②初中阶段已熟知的几何图形，探究不等式)0,(2
≥+≤b a b
a a
b 的几何解释，通过数与形的结合，赋予不等式)0,(2≥+≤b a b a ab 几何直观，明白)0,(2
≥+≤b a b
a a
b 成立条件，以及什么时候取等号；
③在不等式)0,(2
≥+≤
b a b
a a
b 的证明过程中，以填空形式突出体现了证明的关键步骤，在探究的基础上体会分析法的证明思路，加大证明不等式)0,(2
≥+≤b a b
a a
b 的探究力度。通过实际问题分析该不等式的使用价值，感受数学的应用价值。
（2）如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD.
(图2) 容易看出圆的半径等于
2b a +，利用三角形ACD 与三角形DCB 相似，得ab CD =2
，即ab CD =（图中的ab y b a x =+=,2），从图中易知y x ≥，即)0,(2
≥+≤b a b
a a
b 。 2.3均值不等式及其变形模型
均值不等式（本文主要利用算术平均数与几何平均数大小关系解决问题，且以二维形式和三维形式出现）及其变形的形式化写法为： （1）ab b
a R
b a ≥+∈*
2
,,则
若；（当且仅当a=b 时取“=”） （2）ab b a R b a 2,,≥+∈*则若；（当且仅当a=b 时取“=”） （3）ab b a R b a 2,,22≥+∈则若；（当且仅当a=b 时取“=”）
（4）2
,,2
2b a ab R b a +≤∈则若；（当且仅当a=b 时取“=”）
（5）2
2,,??
?
??+≤∈*b a ab R b a 则若；（当且仅当a=b 时取“=”）
（6）若*
∈R c b a ,,，则abc c b a 33
3
3
≥++；（当且仅当a=b=c 时取“=”）
（7）若*
∈R c b a ,,，则33abc c b a ≥++；（当且仅当a=b=c 时取“=”）
（8）
2≥+b
a
a b ；（a,b 同号且不为0） 说明：（1）第一个式子称为均值不等式或基本不等式，第三式称为重要不等式 （2）我们称
2
b
a +为算数平均数，a
b 为几何平均数，因此该不等式用文字语言可叙述为：两个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数。 （3）“当且仅当”的含义是等价。
从均值不等式还可看出：当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值；当两个正数的和为定值时，可以求它们积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”。但应注意： ①使用均值不等式的前提条件：函数式中的各项都必须是正数，在各项是异号时不能用均值不等式，在各项均为负号时可以用过提取负号，把各项都转化为正号，进而再运用均值不等式；
②在一些不能一眼就能看出可用均值不等式解决的题型里，可通过加减的方式凑成能够使用几何平均数与算数平均数的形式；
③当题目中出现关于“1”的等式时，注意“1”的代换；④等号是否能取到，只有等号成立时，才能使函数式取到最大值或最小值，否则不能运用均值不等式求最值，只能用函数的单调性求最值。综上：可得到运用均值不等式的口诀；一正二定三相等。
第三章 求解最值问题
3.1求解函数最值
利用均值不等式求函数最值的题型是高考的热门考点之一，通过分析均值不等式在求函数最值中的应用,提供了求函数最值新的方法,给函数最值求解注入了新鲜的血液,但在用均值不等式时的先决条件“一正二定三相等”，有时在解题过程中是需要拼凑，分离，代换等多种手段实现的，所以掌握一定的求函数最值的技巧是必要的。
3.1.1 拼凑法求解函数最值
例3.1.1.1求函数40),28()(<<-?=x x x x f 的最大值. 解：由40<
进而可用均值不等式得，162282)28(22
=??
?
??-+≤-?x x x x
因此有，8162
1
)]28(2[21)28()(=?≤-?=
-?=x x x x x f ， 当且仅当x x 282-=即2=x 时，等号成立 所以当2=x 时，函数)(x f 取得最大值8
评注：对于该小题，可以用函数的单调性进行求解，不过，通过巧妙地为函数凑上一个系数，使得)28(2x x -+的和为定值，进而运用均值不等式，更简便地求出函数最值. 例3.1.1.2 求函数4
31
23)(-+-=x x x f 的最大值。
解：注意到034,3
4
0>-<
)341 ()34(22]341 )34[(2431)34(243123)(=-?--≤-+--=-+--=-+ -=x x x x x x x x x f 当且仅当x x 341 34-= -，即1=x 时，等号成立. 所以当1=x 时，原函数)(x f 取到最大值0 例3.1.1.3 求函数2 2 216 4x x y ++ =的最小值。 解：88)216)(2(428216)2(42 2 22 =-++≥-++ +=x x x x y （当且仅当6±=x 时取等号）所以原函数的最小值为8. 评注：求目标和的最值，尽可能凑到定积，使得含变量的因式的次数和为零，同时取到等号，是解决本小题的关键。 例3.1.1.4 （2010年高考四川文科卷第11题）设0>>b a ,则) (1 12 b a a ab a -++的最小值？ 解： 4 22) (1 )(1) (11)(1122=+≥-+-++=-+++-=-++ b a a b a a ab ab b a a ab ab ab a b a a ab a 当且仅当1)(,1=-=b a a ab 时取等号，如取2 2 ,2= =b a 时就满足 所以原式的最小值为4. 3.1.2 分离法求解函数最值 例3.1.2.1求出函数1 1 3)(2 ++-= x x x f x 的最小值，其中1->x . 解：因为1->x ，所以01>+x ，将函数进行分拆可得 5 5251 5 )1(25 1 5115)1(5)1()(2-=-+?+≥-+++=+++-+=x x x x x x x x f 当且仅当1 5 1+= +x x 时，即15-=x 时取等号 所以当15-=x 时，原函数)(x f 取到最小值552-. 评注：本小题看似无法运用均值不等式解答，但对于这样分式类型的函数，可以先通过对分子进行配方，出现分母的项，然后分拆，即化为)0,0() ()(>>++ =B A B x g A x mg y ,)(x g 恒正或恒负的形式，这样就能用均值不等式，求出函数最值. 3.1.3整体代换的方法求函数最值 例3.1.3.1 已知0,0>>y x ，并且81 1=+y x ，求二元函数y x y x f +=),(的最小值 解：由题意可得： x y y x y x f y x ++=?+2),()11(， 又因为 811=+y x ，可知)(8),()1 1(y x y x f y x +=?+，② 结合①②式知：)(82y x x y y x +=++ ， ③ ③式左边依据均值不等式得：4222=?+≥++ x y y x x y y x 所以，4)(8≥+y x ，即2 1 ≥ +y x ，当且仅当x y y x =取等号，再结合811=+y x 可知当4 1 = =y x 时，二元函数),(y x f 取到最小值21. 评注：本小题巧妙地利用数字9进行整体代换，进而建立等式，联系均值不等式求出二元函数的最值. 3.1.4 换元法求最值 例3.1.4.1求17 44 ++= x x y 的最大值. 解：通过换元可得： 令4+= x t ，则42-=t x （0≥t ），原式可化为 )0(1 42 ≥+= t t t y ，当0=t 时，0=y ；当0>t ，根据均值不等式得 411421141= ? ?≤ + = t t t t y 当且仅当t t 14=，即2 1 =t 时，取等号. 综上当433 -=x 时，4 1 max =y . 评注：通过换元的技巧，把原先看起复杂的式子转换成分式型求函数最值问题，观察积为定值，为能用均值不等式创造有利条件. 例3.1.4.2 求函数4 52 2++= x x y 的值域。 解：由上式形式可令)2(42 ≥+=t x t ， 则4 622++=x x y =)2(1 4 1 422 ≥+=++ +t t t x x 因为11,0=?>t t t ，但是t t 1=解得1±=t 不在区间),2[+∞，故等号不成立，所以得考虑单调性，又因为t t y 1+=为对勾函数，所以t t y 1+=在区间),1[+∞上单调递增，则在其子区间),2[+∞上也是单调递增的，故25≥ y ，所以，所求函数的值域为),2 5 [+∞。 评注：切莫忽略利用均值不等式求最值时相等这一条件，若遇到等号取不到的情况，结合函数x a x x f + =)(的单调性解决。 3.1.5 取平方 例3.1.5.1求x x y 3513-+-=（ 3 5 31≤≤x ）的最大值. 解：观察到两个根号里面的式子的和为定值，因此 8 44)35)(13(23513)3513(22=+≥--+-+-=-+-=x x x x x x y 又0>y ，所以220≤ 当且仅当1,3513=-=-x x x 时取等号. 故22max =y 评注：本小题将式子两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式求解做下铺垫. 结语：均值不等式形式多样，在有些题中可直接套用，但对于一些求函数最值的题中，必须观察题目中已知条件的特点以及注意“一正二定相等”的条件，进而进行巧妙变形后，才能运用均值不等式解决，并且应该注意一题多法，多法结合，这样才能熟练掌握变形技巧，更加简便地求解. 3.1.6 参数法 例3.1.6.1 设0,0≥≥y x ，12 2 2 =+y x ，则21y x +的最大值？ 解：令)2 0(sin 2,cos π θθθ< <==y x ，则 4 2 3]2)sin 21(cos 2[2121)sin 21(cos 2sin 21cos 12222 2 2 2 = ++?≤?+=+=+θθθθθθy x 当θθ2sin 212cos 2+=，即6 π θ= ，所以当2 2,23== y x 时，21y x +取得最大值4 2 3。 例3.1.6.2 求x x y sin 4 sin + =（π< x sin 4sin =，即2sin ±=x 时才取得等号，但对于正弦函数，它的范围是11<<-x ，所以该题的等号是取不到的。 设x t sin =，则]10(4)(<<+ =t t t t y ，这是一个对勾函数，t t t y 4 )(+=在]1,0(上单调递减，所以51/41)1()(min =+==y t y ，所以原式最小值为5. 评注：这是一道容易错用均值不等式求最值的题，原因就在于忽视了等号成立的条件，这时得用相关函数的单调性进行解决了。 3.2 求参数最值 例3.2.1已知且 19 1=+y x 0,0>>y x ，若不等式m y x ≥+是恒成立的，求实数m 的最大值。 解：根据题意可令n y x =+，又因为0,0>>y x ，19 1=+y x 所以199991=+++=+= +ny y x nx y x ny n nx n y x ， 由上式可得 110 9=++n ny x nx y ，且0>n n ny x nx y 1019-=+，左边式子可利用均值不等式的 n ny x nx y ny x nx y 6929=?≥+，即n n 6101≥-，所以16≥n 最后求出m 最大值是16. 评注：灵活的运用关于“1”的恒等式以及不等式a x f ≥)(恒成立?a x f ≥min )(， 使该题有了一个突破口。 例3.2.2若对任意的 m x x x x ≤++>1 3,02 是恒成立的，则m 的最小值是？ 解：,21 ,0≥+ ∴>x x x 当且仅当1=x 时取等号 51 321311132 =+≤++=++x x x x x 当且仅当1=x 取等号 所以原分式的最大值是5 1 ，则m 的最小值是51。 评注：联系到不等式a x f ≤)(恒成立?a x f ≤max )(，再通过把分式的分子与分母同时除以x ，得到能用均值不等式所能解决的问题。 例3.2.3若对任意正实数y x ,，不等式y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是？ 解：要使 y x a y x +≤+恒成立，即使y x y x a ++≥ 恒成立，所以 max )( y x y x a ++≥，因为21212)( 2=+++≤++=+++= ++y x y x y x xy y x xy y x y x y x 所以 2≤++y x y x ，当且仅当y x =时取等号，所以2≥a ，故2min =a 。 评注：求恒成立的问题的方法较多，本小题利用的是分离变量法，再结合均值不等式进行放缩，从而求得实数a 的最小值。 3.3 生活中的最优化问题 均值不等式在解决现实生活最优化问题中也有着较为广泛的应用，要解决它，就需要运 用到数学模型，而数学模型就常用到不等式的知识，尤其是均值不等式，如果能够把均值不等式与实际问题恰当地联系起来，对于某些问题也就能迎刃而解了，在用均值不等式解答问题时可遵循以下步骤： ①阅读题目，理解题意，设合适的变量（比如设变量时一般把要求最值的变量定为函数）； ②根据题意建立起相应的函数关系式，把实际问题转化成函数的最大值或最小值问题，从数学角度解决； 注意函数的定义域以及前提条件； ④利用均值不等式求出函数的最值，写出正确答案。 例3.3.1某工厂用木料制作如下图所示的框架，框架的下部是边长分别为x,y （单位：m ）的长方形，上部是等腰直角三角形。规定 框架所围成的总面积是82 m ,求x,y 分别为多少时所要材料最少？ 解：根据题意可知8221=??+x x xy 把x,y 分离开得：x x y 482- =，其中（240< 2 64)223 (16216)223(22222+=+≥++=?++=x x x y x l 当且仅当x x 16 )223 (= +，即248-=x ，等号成立，此时22=y ； 则828.2,343 .2≈≈y x 故当x 约为2.343，y 约为2.828时用料最少。 例3.3.2某水利电站有一废弃的堤坝，就堤坝总长12m,现准备在该地方重建堤坝，平面 图形为矩形，面积是1122 m ，估计（1）修复1m 旧堤坝的费用是建造1m 新堤坝费用的25%；（2）拆去1m 旧堤坝用以改造建成1m 新堤坝的费用是建1m 新堤坝的50%；（3）为了预防洪水，需在堤坝的适当处留出1m 的缺口。试问：这里建造的新堤坝应怎样利用留下来的旧堤坝，才能让所需费用最少？ 解：由题意要想费用最少，得使旧堤坝全部利用起来，并把缺口留在新堤坝处最好，设修复成新堤坝的旧堤坝为x m ,则拆改成新堤坝的旧堤坝为（12-x ）m 所以还需要建造新堤坝的长是13224 2)12()1(1122-+=---+? x x x x x 再设建造1m 新堤坝需用a 元，建造堤坝的总造价为y 元 则 )7228()722447( )13224 2(%50)12(%25-≥-+=-+ +??-+??=a x x a a x x a x a x y 当且仅当 x x 22447=，也即是28=x 时取等号 故拆除改造旧堤坝为2812-米时，总造价最少。 例3.3.3 （人教版普通高中课程标准试验教科书必修5）某工厂要建造一个长方体形无盖储水池，其容积为48003 m ，深为3m,如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少? 分析：水池是长方体形，高是3m,地面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应该考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。 解：设底面的长为x m,宽为y m,水池总造价为z 元。由题意，有 ) (720240000) 3232(1203 4800 150y x y x z ++=?+?+? = 由容积为48003m ，可得48003=xy ，因此1600=xy 由基本不等式与不等式的性质，得 xy y x 2720240000)(720240000?+≥++即 297600 16002720240000≥?+≥z z 当y x =，即40==y x ，等号成立。 所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。 3.4 几何中的最值问题 在平面几何和立体几何求解最值问题中也体现出了均值不等式这一工具的重要性，往往 先根据题干例出相关等式，再利用均值不等式进行由“等式”到“不等式”的转化，进而求解最值。 例3.4.1如果圆柱轴截面的周长l 为定值,那么圆柱体积的最大值是? 解:由题意可设圆柱底面半径为r ,高为h ,则l r h =+42,即2 2l r h =+; 所以ππππ332 )6 ()3( l h r r h r r h r V =++≤??==, 故圆柱体积的最大值是π3)6 (l . 例3.4.2 （2010年高考全国I 卷第11题）已知圆O 的半径为1，PA,PB 为该圆的两条切线，A,B 为两切点，那么PB PA ?的最小值？ 解：如图所示： 2 2 11sin ,1PO ,2APB ,),0(x x APO x x PB PA +=+==∠=∠>==ααα则设 1 1)1()sin 21(2cos 22 42222 2 +-=+-=-=?=?x x x x x x x PB PA PB PA αα 令y PB PA =?，则1 22 4+-=x x x y ，令0,12>+=t x t 则32232 23)1()1(22-≥-+=+-=---=t t t t t t t t y 当且仅当2t t =，即2=t 时等 号成立。故223)(min +-=?PB PA 。 第四章 比较大小 比较代数式的大小，最基本的方法有作差比较法，作商比较法，缩放法等，均值不等式自身也体现出了两个式子的大小关系，因此在某些题型中，让均值不等式适时地穿插其中，可得到意想不到的结果，甚至对不能用基本方法解答的，也会迎刃而解。 4.1 分析法 例4.1.1 )2 lg(),lg (lg 21,lg lg b a L b a N b a M +=+=?=其中1>>b a ，则M,N,L 的大小关系是？ 解：0lg lg ,1>>∴>>b a b a M N L N ab ab b a L M b a b a N >>∴==>+==?>+=lg 2 1lg )2lg(lg lg )lg (lg 2 1 评注：均值不等式作为中学数学中重要的一类不等式，在判断大小关系上可充分发挥一定的作用，本小题中，又联系到对数相关知识的转换，使均值不等死灵活运用到其中，最终解决问题. 4.2 缩放法 例4.2.1已知2>a ，求证：)1(log log )1(+>-a a a 解： ) 1(log )] 1([log )]1([log 1) 1(log ) 1(log 1 )1(log log )1(-+?--= +--= +--a a a a a a a a a a a a a a 因为2>a ，所以0)1(log ,0)1(log >+>-a a a a ，则 1 4 log 4)1(log ] 2 )1(log )1(log [ )]1([log )]1([log 2 2 2 2 =<-= ++-≤+?-a a a a a a a a a a a a 所以0)1(log log )1(>+--a a a a ，命题得证。 评注：该小题同时考察了对数的相关运算以及均值不等式的变形模型 2 )2 ( b a ab +≤，运用该模型作为桥梁得以放缩，让问题有了新突破口。 第五章 证明不等式 我们知道在中学中要证明不等式，通常分析法，综合法以及缩放法等，但在合适的时候结合均值不等式进行处理会让问题变得较容易求解。 5.1 拆项法 例5.1.1 已知0>n ，求证：34 2 ≥+n n 。 解：因为0>n ，所以3422342243222=??≥++=+n n n n n n n n （当且仅当n=2时等号成立）。 例5.1.2 证明b a b a 22222+≥++ 解：因为222222112+++=++b a b a ，又b b a a 21,212222≥+≥+ 所以b a b a 22222+≥++。 5.2 分析法 例5.2.1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，证明：ca bc ab c b a ++>++222 解：因为R c R b R a ∈∈∈,,，且c b a ,,两两不相等 则有均值不等式可得 ac c a bc c b ab b a 2,2,2222222≥+≥+≥+ 再把上面三个不等式的左边，右边分别相加可得 ca bc ab c b a ++≥++222，当且仅当c b a ==时取等号 所以 ca bc ab c b a ++>++222 原式得证 评注：注意到题目中的条件以及结合所要证明的不等式的形式，可以判断用均值不等式的变形即可解决，且应谨记ab b a 222≥+和 ab b a ≥+2 成立的条件是不同的，前者要求b a ,是实数，后者要求b a ,是正数，切莫混为一谈。 5.3 添项法 例 5.3.1对于),...2,1(* n R x i ∈，则n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- (211) 2 21322221。 （1984年全国高中数学联赛题） 解：因为),...2,1(*n R x i ∈，所以联系到均值不等式得到： n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x 22... 2211 2121 23322 122 2 1 ≥+≥+≥+≥+-- 将以上不等式的左边和右边分别累加并移项得到： n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- (211) 2 21322 221原式得证。 评注：重要不等式),(22 2 R b a ab b a ∈≥+可变形为)0(22 >≥+b a b b a ，注意到题目 中的左边的式子正是重要不等式的变形，所以联想用均值不等式解决。 例 5.3.2 （第15届全俄数学奥林匹克竞赛题）设0,0,0≥≥≥c b a 且 运用均值不等式的八类拼凑方法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。 一、 拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。 解：()()()()()()2 2 2111111y x x x x x x x =-+++=+-=+- ()()3 11111322241422327x x x x x x ++?? ++- ?++=???-≤= ? ? ?? 。 当且仅当 112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。故max 32 27 y =。 评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系， 求“积”的最大值。 例2 求函数)01y x x =<<的最大值。 解： y == 因()()3 2222221122122327x x x x x x ??++- ???-≤= ? ? ? ?? ， 当且仅当()2212x x =-，即3 x =时，上式取“= ”。故max 9y =。 评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。 例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。 解：() ()()2 2 2 222236418244y x x x x x =-=?-- ()()3 2223 24418818327x x x ??+-+-???≤=???? 。 《不等式》的说课稿 各位领导、老师们大家好： 今天我说课的内容是北师版数学高中教材必修五第三章第一二三节，我将从八个方面（教材、学情、教学模式、教学设计、板书、评价、开发、得失，出示ppt）说我对此课的思考和我的教学。 一、说教材 基本不等式是本章最后一节，是继一元二次不等式、简单线性规划之后又一工具性的知识, 它是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。 本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式,在此基础上探究基本不等式的证明,了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想,进一步培养学生的抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,既有逻辑推理,又有直观的几何图形,使得不等式的证明成为本节课的核心部分,自然也是本节课的重点。 二：说学情 学生在此之前,已经具备了圆和三角形的基本知识,熟知了三角函数的定义,掌握了不等式的性质和比较法证明不等式。由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明中线段间的关系比较隐蔽，学生不易发现。因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。 三：说教学设计 《课程标准》对本节课有以下两个方面的要求： 1．探索并了解基本不等式的证明过程； 2．会用基本不等式解决简单的最值问题； 结合“课标”的要求和学生的实际，我将本节课的教学目标确定为以下三点： 1.通过观察背景图形，抽象出基本不等式； 2.了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景； 3．体会数形结合的数学思想，培养学生的抽象能力和推理能力； 四：、说教学模式 首先从背景图象出发，抽象出基本不等式，再从代数、几何两个方面进行证明，然后通过例题理解基本不等式的初步应用；最后通过课堂小结提高学生认识，加深印象。 五：教学媒体设计 为了顺利完成教学任务，实现教学目标，帮助学生理解教学难点，在媒体的使用上我做了以下安排： 制作了多媒体课件，借助几何画板动态地展示了知识的背景，增加了学生的感性认识，分解了难点； 六：教学过程设计 本节课我设计了以下六个步骤： 步骤一：创设问题情景，抽象重要不等式 新的教学理念更加注重知识产生的背景，重点体现知识的形成过程。为此，我设置了 《一元一次不等式组的应用》典型例题 例题1车站有待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，原计划用50节B A,两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为0.5万元，每节B型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货箱，按此要求安排B A,两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？ 例题2幼儿园大班分苹果，若每人分3个，则余8个，若前面每人分5个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足3个，求有多少个小朋友和多少个苹果？ 例题3某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的10名学生，已知笔记本的单价是3.5元，钢笔的单价是8元，且购买奖品的金额不超过70元．问至多能买几支钢笔？ 例题4某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间5人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间3人，房间不够，每间4人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？ 例题5幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人3件，那么还余59件，如果每人分5件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？ 例题6某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组； （2）如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计． 高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用 拉格朗日MJ 兰三中 摘要：从凸函数出发证明cauchy不等式、radon不等式等一系列常用不等式，并举例应用。 关键词：cauchy不等式、radon不等式。 一、不等式的引入 数学教育的理论研究在近二十年中经历了非常重要的转变。自90年代以来，数学教育的现代研究明显表现出多样化、多方位的新特点，而且还表现出多学科的相互渗透与整合这一趋势，与国际教育界的现代发展潮流也完全吻合。其中不等式的学习也变得尤为重要。近年来，不等式在中学中的应用范围不断地扩大，但在初等数学这一领域应用的同时也需要更多的数学知识和技巧，学习起来也颇为不易。所以，不等式的内容主要被列入高中数学课程。高中这一阶段接触的基本不等式有：绝对值不等式，平均值不等式等，其中一些重要的不等式（比如柯西不等式、伯努利不等式等）和解绝对值不等式内容也被列入了高中数学教学要求。对于不等式的证明问题，由于各类题型非常多变，而方法又十分灵活多样，具有极强的技巧性，通常也没有固定的程序可循，这不是单单用一种方法就可以解决的，它需要多种方法的巧妙应用。不等式的概念和性质是证明不等式和解决不等式问题的主要依据，同时也是各类数学思想方法的集中体现。要提高证明不等式的能力，必须熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式并能灵活运用不等式的各种常用的证明方法。还有一些大学中相对比较常用的不等式，如Radon不等式，Jensen不等式等等。在实际的问题解决过程中，综合法和分析法往往是交织起来使用的，利用分析法试误证明思路和方法，用综合法整理或形成证明过程。有时候，上述的各种方法往往相互结合起来，再配上一些特殊技巧和策略来证明不等式的相关问题。 二、不等式在数学问题中求解的重要性 不等式这个知识模块是数学竞赛的热门考点之一，从国际数学奥林匹克竞赛来看，到现在为止已经举行了47届，几乎每届都有不等式的题目，此外还有不少题涉及到不等式。 不等式一直是非常活跃而又有吸引力的研究领域，其研究的深度和广度都在迅速扩大。高等数学中又接触了各式各样的“穿马甲”的不等式。从数学分析到初等数学研究，从竞赛数学到相似微积分，我们都能看到不等式的身影。其中较常用的不等式有均值不等式、Jensen不等式、Cauchy不等式、排序不等式、Radon 不等式、伯努利不等式、young不等式、加权幂平均不等式等等。 不等式一直是非常活跃的研究领域，这里我主要选了Jensen不等式、Cauchy 不等式、Radon不等式这三类不等式就定理的证明和初步应用做了稍加解说。从凸函数的性质我们知道Jensen不等式的便利，站在高一点的数学基础上，我们能较轻松地解决很多复杂的初等数学的问题。而Cauchy不等式的推导从简单的初等数学中得来又应用到初等数学中解决了许多用普通几何和代数也许碰得头破血流也无法解决的问题。Radon不等式则是指数函数的Jensen不等式的特例而已。利用凸函数的jensen不等式，我们可以证明很多难度较高的初等不等式，可见，凸函数在不等式证明中具有相当重要的作用。 均值不等式应用（技巧） Wekede 整理 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2 b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥ +2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2 ≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=” ） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取 “=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a + ≥+ ≥+ ≤即 或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 ( 2 2 2 b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54 x < ，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404 x x < ∴-> ，1 1425434554y x x x x ? ?∴=-+ =--+ + ?--? ? 231≤-+= 当且仅当15454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，m ax 1y =。 2．2《不等式的性质》说课稿 一、教材分析 1、教材所处的地位和作用： 不等式基本性质是八年级下册第二章第二节内容。不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。本节课是建立在学生已认识了不等关系基础上来学习的，也是为进一步学习解不等式及应用不等关系解决实际问题的重要依据，因此本节课内容在不等关系这一章占有重要位置。本节课的教学指导思想是从学生实际认知水平及知识结构出发，让学生自主获取知识。 二、教学目标 （1）知识与技能 1、经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。 2、掌握不等式的基本性质，并能初步运用不等式的基本性质把比较简单的不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。 2）过程与方法： 1. 经历探索不等式基本性质的过程，体验数学学习探究的方法 2.通过观察、类比、猜想、验证、归纳总结等数学学习活动过程，发展合理的推理和初步论证能力 （3）情感态度与价值观： 1.学生在探索过程中感受成功、建立自信，增进学习数学 的兴趣。2.体验在研究过程中创造的快乐，并学会与人交流合作养成良好的人格品质 3、重点、难点及关键 重点：不等式基本性质的探索及应用 难点：不等式的基本性质三的探索及其应用 三、教法学情分析： 1、学生在学习一元一次方程、二元一次方程组和一次函数的基础上，积累了一定的经验，本节课主要采用类比等式的方法进行不等式的探究教学，这样不仅有利于学生掌握不等式的基本性质，而且可以使学生体会知识之间的内在联系，整体上把握知识，发展学生的辩证思维。 2、始终坚持学生为主体，教师为主导的教学方法，通过教师的启发，设问，引导学生自主探索、合作交流，师生充分互动，这样才能将学生推到学习的前沿，才能充分发挥学生的学习主体性和主观能动性。 3、在探索不等式的性质时为了避免简单的“模型化”，主要采用引导学生观察、类比、猜想、验证、总结概括的方法，发展学生分析问题和解决问题及初步论证问题的能力，关注学生知识的形成和学习能力的提高。 学法指导1、观察猜想2、类比验证3、探究合作4、抽象概括5、总结归纳6、数学表示 四、说教学过程 最后我来具体谈谈这一堂课的教学过程： （一）、回顾交流，指导观察 教师提问：同学们还记得等式的性质吗？学生举手回答，交流联想。投影显示：等式的性质设计意图：通过回顾等式的性质，类比等式的性质，为探索不等式的性质做好铺垫，并且从学生已有的数学经验出发，建立新旧知识之间的联系，培养学生梳理知识体系的习惯。（二）、知识探究 1、用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律： （1）5>3, 5+2 3+2 , 5－2 3－2 （2）–1<3 , -1+2 3+2 , -1－3 3－3 学生活动：探究规律，交流讨论，解答上述问题，结果：（1）> 、> （2）< 、< 根据发现的规律填空: 总结出不等式的性质：不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数(或式子)，不等号的方向不变. 字母表示为：如果a＞b，那么a±c > b±c 设计意图：通过一组精心设计的填空题，让学生观察有限个不等式的变化，发现并归纳不等式的性质1，进一步培养学生得抽象概括能力及合情推理能力。让学生用语言概括出结论，培养学生的数学语言表达能力及抽象概括能力。 2、继续探究，接着又出示（3）、（4）题：(3) 6＞2, 6×5 2×5 , 6×（-5）2×（-5）(4) -2<3, (-2)×6 3×6 , (-2)×（-6）3×（-6）（方法同上）又得到：当不等式的两边同乘以一个正数时,不等号的方向不变；当不等式的两边同乘以一个负数时,不等号的方向改变。 不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 字母表示为：如果a>b,c>0,那么ac > bc. 设计意图：类比等式的性质，探究不等式的性质，体会不等式性质与等式性质的异同，体会类比的学习方法，积累数学活动经验。 3、继续探究，接着又出示（5）、（6）题：(5) 6＞2, 6×(-5)____2×(-5) 6÷(-5)____2÷(-5) (6) –2<3, (-2)×(-6)____3×(-6) (-2) ÷(-6)____3÷(-6) 会发现: 当不等式的两边同乘或同除以同一个负数时,不等号的方向______; 不等式的性质 3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。字母表示为：如果a＞b，c＜0,那么ac < bc. 设计意图：由学生发现不等式性质2和性质3，讨论得出结论，更有利于学生理解和掌握性质2和性质3的区别，突破本节课的难点。 （三）、想一想 1．不等式的性质2和不等式的性质3有什么区别？2．不等式的性质和等式的性质有什么相同之处？有什么不同之处？设计意图：让学生用自己的语言清楚地表达不等式于等式性质异同的过程，有利于提高语言表达能力，以及对知识更好的掌握。 不等式(组)及其应用 一、选择题 1．(2016·常州)若x>y ，则下列不等式中不一定成立的是(D ) A ．x ＋1>y ＋1 B ．2x>2y C .x 2>y 2 D ．x 2>y 2 2．(2016·六盘水)不等式3x ＋2<2x ＋3的解集在数轴上表示正确的是(D ) 3．(2016·乐山)不等式组? ????x ＋2>02x －1≤0的所有整数解是(A ) A ．－1、0 B ．－2、－1 C ．0、1 D ．－2、－1、0 4．(2016·长沙)不等式组? ????2x －1≥58－4x<0的解集有数轴上表示为(C ) 5．(2016·绵阳)在关于x ，y 的方程组? ????2x ＋y ＝m ＋7x ＋2y ＝8－m 中，未知数满足x ≥0，y ＞0，那么m 的取值范围在数轴上应表示为(C ) 6．(2016·聊城)不等式组? ????x ＋5<5x ＋1x －m>1的解集是x>1，则m 的取值范围是(D ) A ．m ≥1 B ．m ≤1 C ．m ≥0 D ．m ≤0 7．(2016·遵义)三个连续正整数的和小于39，这样的正整数中，最大一组的和是(B ) A ．39 B ．36 C ．35 D ．34 二、填空题 8．(2016·陕西)不等式－12 x ＋3<0的解集是x ＞6． 9．(2016·广东)不等式组?????x －1≤2－2x 2x 3>x －12 的解集是－3 七年级数学导学稿 一、课题一元一次不等式组的应用姓名：所属小组： 二、本课学习目标与任务：1、熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题； 2、理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力； 3、体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。 三、复习旧知，铺垫新知1、写出下列不等式组的解集。 ?? ? ? ? > > 2 1 2 x x ?? ? ? ? > - < 3 1 2 x x ? ? ? - < - < 3 1 x x ? ? ? < > 5 2 x x 记忆口诀： 四、自学任务与方法指导：探究1： 3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？ 回答问题： （1）“不能完成任务”是什么意思？ 按原先的生产速度,10天的产品数量＿ 500 （2）“提前完成任务”是什么意思？ 提高生产速度后,10天的产品数量____500 (3)根据以上不等关系，设未知数列不等式组并解不等式组： （4）根据实际意义确定问题的解，并回答问题： 2、解一元一次不等式组的应用题的步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）列不等式组；（4）解不等式组； （5）检验，确定实际问题的答案；（6）答 解一元一次不等式组的应用题的关键是找不等关系。（关键词有“不大于，至少，不超过”等） 3、你觉得列一元一次不等式组解应用题与列二元一次方程组解应用题的步骤一样吗？ 步法一致（设、列、解、答）；本质有区别．（见下表）一元一次不等式组应用题与二元一次方程组应用题解题步骤异同表 设列解（结果）答 一元一次不等式组 个 未知数 找关系一个范围 根据题意写 出答案 二元一次不等式组 个未 知数 找关系一组数 五、小组合作探究问题与拓展：1、有若干男学生参加夏令营活动，晚上在一宾馆住宿时，如果每间住4人，那么还有20人住不下;相同的房间，如果每间住8人，那么还有一间住不满也不空，请问:这群男学生有多少人？有多少间房供他们住？ 2、奖游戏规则：两小组比赛，各小组的小组长先确定一个糖果数量的数字（100以内）和小组的人数(10以内），然后与本小组成员讨论出一个要用到一元一次不等式组来解决的数学问题题目，并做出标准的解答，然后题目交给pk小组来解答，最快解答出对方小组的题目的小组就为胜方，胜方小组的每位成员就能从对方的糖果包中多得1颗的糖果奖励。 题目模板：把一些糖果分给某小组的成员，如果每人分（）颗，那么余（）颗；如果前面的每个人分（）颗，那么最后1人能分到糖但分不到（）颗糖果，问这些糖果有多少颗？这个小组有多少人？ 当堂检测题 某校七年级（1）班计划把全班同学分成若干组开展数学探究活动。如果每个组3个人，则还剩10，如果每个组5人，则有一个组的学生数最多只有1个人，求该班在数学探究活动中计划分的组数和该班的学生数。 《一元一次不等式组》说课稿 尊敬的各位评委、老师： 上午好!今天我说课的课题是人教版七年级数学下册第九章《一元一次不等式组》中一元一次不等式组第一课时，我将从“教材分析，教法与学法、教学程序设计、板书设计”四方面来说课。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、及其应用，在此基础上，由相等关系转到不等关系、来学本章内容；学好本章内容，为一次函数等数与代数的后续学习奠定了基础。本节课在上节一元一次不等式的基础上来学习一元一次不等式组，尝试对学生类比推理能力进行培养。通过利用数轴来确定一元一次不等式组的解集，让学生初步感知数形结合的数学思想方法。 2、教学目标 （1）知识目标： 理解一元一次不等式组相关概念；会利用数轴解简单的一元一次不等式组；理解并掌握一元一次不等式组解集的四种情况。 （2）能力目标： 通过利用数轴来寻求不等式组的解集、及探讨交流不等式组解集的四种情况，培养学生的观察能力、分析能力、及归纳总结能力。 （3）情感目标： 将不等式组的解法和归纳留给学生在交流、讨论中完成，培养了学生独立思考的习惯、合作交流意识与创新意识，为学生在今后生活和学习中更好运用数学作准备。 3、教学重难点 （1）重点：理解不等式组的有关概念，会解简单的一元一次不等式组； （2）难点：利用数轴准确确定不等式组的解集 二、教法与学法 1、学情分析： 学生已经学会了解一元一次不等式，知道了用数轴如何表示一元一次不等式的解集。本节我们要学习一元一次不等式组，因此由一元一次不等式猜想一元一次不等式组的概念学生易于接受，因而能更好培养学生的类比推理能力。再者，现在的学生已经厌倦教师单独的讲授方式，希望教师能够给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。 2、教法：引导发现式教学法 《课标》中指出，有效的数学学习过程不能单纯的依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。本节课我从生活中实例引入，激发学生的学习兴趣；通过组织学生探讨交流、解决一系列问题，从而达到教学目标。 3、学法：交流互动法 让学生经历知识的形成过程，是《课标》倡导的重要改革理念之一。课标指出：动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。因此，本节课我提供足够的 不等式与不等式组的实际应用 一、实际问题与一元一次不等式 学习要求 会从实际问题中抽象出不等的数量关系，会用一元一次不等式解决实际问题． 利用不等式(组)解决较为复杂的实际问题；感受不等式(组)在实际生活中的作用． 经典例题 【例1】6月1日起，某超市开始有偿 ．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他 们选购的3只环保购物袋至少 ．．应付给超市______元． 【例2】九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有多少人？ 【例3】某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km时，每增加1km加收2.4元(不足1km按1km计)．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km，那么x的最大值是多少？ 【例4】某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元．在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件． (1)若此车间每天所获利润为y(元)，用x的代数式表示y． (2)若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件? 【例5】某公司因业务需要用车，但因资金问题暂时无法购买，想租用一辆卡车。个体出租司机小王提出的条件是：每月付给1000元的工资，另外每千米付给0.1元的里程费； 司机小赵提出的条件是：不需工资，只要每千米付给1.35千米的里程费。请问：该公司用谁的车更合算？ 【例6】一个工程队原定在10天内至少要挖掘600m3的土方．在前两天共完成了120m3后，接到要求要提前2天完成掘土任务．问以后几天内，平均每天至少要挖掘多少土方? 【例7】某城市平均每天产生垃圾700吨，由甲、乙两个垃圾厂处理．如果甲厂每小时可处理垃圾55吨，需花费550元；乙厂每小时处理45吨，需花费495元．如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用的和不能超过7150元，问甲厂每天至少要处理多少吨垃圾? 【例8】某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元． (1)若学校单独租用这两种客车各需多少钱? (2)若学校同时租用这两种客车8辆(可以坐不满)，而且比单独租用一种车辆节省租金， 请选择最节省的租车方案． 均值不等式应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 七年级数学下册《一元一次不等式组》说课 稿 尊敬的各位评委，上午好！我说课的课题是《一元一次不等式组》。 我从教材分析、学情分析、教学目标、教学手段、教学过程这五个方面来进行说明。 一、教材分析 《一元一次不等式组》是华东师大版义务教育课程标准实验教科书数学七年级下册第八章第三节，我把本节内容分为两个课时，第一课时是一元一次不等式组的概念及解法，第二课时是不等式组的实践与探索。今天，我说课的内容是第一课时。 《数学课程标准》对本节的要求是：充分感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式组的意义；会解简单的一元一次不等式组，并会用数轴确定解集。 《一元一次不等式》的主要内容是一元一次不等式（不等式组）的解法及其简单应用。是在学习了有理数的大小比较、等式及其性质、一元一次方程的基础上，开始学习简单的数量之间的不等关系，进一步探究现实世界数量关系的重要内容，是继一元一次方程和二元一次方程组之后，又一次数学建模思想的学习，也是后继学习一元二次方程、函数及进一步学习不等式的重要基础，具有承前启后的重要作用。 《一元一次不等式组》是本章的最后一节，是一元一次不等式知识的综合运用和拓展延伸，是进一步刻画现实世界数量关系的数学模型，是下一节利用一元一次不等式组解决实际问题的关键。因此，我把本节课的教学重点确定为一元一次不等式组的解法。 数学课程应当从学生熟悉的现实生活开始,沿着数学发现过 程中人类的活动轨迹,从生活中的问题到数学问题,从具体问题到抽象概念,从特殊关系到一般规则,逐步通过学生自己的发现去学习数学、获取知识。得到抽象化的数学知识之后, 再及时地把它们应用到新的现实问题上去。按照这样的途径发展,数学教育才能较好地沟通生活中的数学与课堂上的数 学的联系,才能有益于学生理解数学,热爱数学和使数学成为生活中有用的本领。 本节课，既有概念教学又有解题教学，而概念教学，应该从生活、生产实例或学生熟悉的已有知识引入，引导学生通过观察、比较、分析、综合，抽取共性，得到概念的本质属性。在此基础上归纳概括出概念的定义，并引导学生弄清定义中每一个字、词的确切含义。华师版的教科书中，只设计了一个问题情境，我感觉还不够，不能从一个问题抽象出概念的本质。因此，在这里我又增加了一个问题情境，以增加对不等式组概念的理解，加强数学应用意识的培养。 二、学情分析 四、不等式（组）及其应用 嵇光 昆山市新镇中学 【课标要求】 ⒈掌握不等式及其基本性质. ⒉掌握一元一次不等式、一元一次不等式组及其解法，用数轴确定解集. ⒊根据具体问题中的数量关系，列出不等式（组），解决简单的问题. 【课时分布】 不等式（组）部分在第一轮复习时大约需要3个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）. 【知识回顾】 1、知识脉络 2、基础知识 不等式的有关概念 (1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. (2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. (3)不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集. (4)求不等式的解集的过程,叫做解不等式. 不等式的基本性质 (1)不等式的性质1 不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变. 如果a >b ,那么a +c >b +c ,a -c > b - c . (2)不等式的性质2 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 如果a >b ,并且c >0,那么a c >b c . (3)不等式的性质3 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 如果a >b ,并且c <0,那么a c >b x a x 的解集是b x >，如下图： ②???< b x a x 的解集是b x a <<，如下图： ④? ??> ≤ ≥ 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 《9.1.1 不等式及其解集》说课稿 曹寺学区曹寺中学各位评委老师，大家好!今天我说课的题目是人教版数学七年级下册第九章第一节第一课时《不等式及其解集》，下面我将从说课标、教材分析、学法、教法、以及教学过程等几个方面对本课的设计进行说明。 一、课标 根据新课程标准所提出的“让学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，通过解决问题帮助学生初步建立不等式的模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。使学生获得必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”所以在本节课的设计中力求使“自主探索、动手实践、合作交流”成为学生学习的主要方式。下面向大家介绍一下我对本节课的理解与设计。 二：教材内容分析： 1、本节教材的编排意图（地位和作用） 本节课是学生在学习了一元一次方程和二元一次方程组的概念、解法及其应用后面临的一个新问题，不等式从某种程度上讲是等式的延伸，而在此之后，我们所要学的很多知识，比如，不等式的性质，一元一次不等式组，二次函数及方案设计等问题都要用到本节课的内容。因此，本节课的内容在整个中学数学起着承前启后的作用，通过本节课的学习可以使学生思维变得更开阔，也为后续数学的学习及其它学科知识有很大的帮助。 2、教学目标 知识与技能： （1）理解不等式的意义，不等式解的意义，并能判断出不等式的解。 （2）理解不等式的解集，并能在数轴上表示出不等式的解集，认识一元一次不等式。 过程与方法： 使学生在学习中经历问题的提出→分析→探索→类比的过程，体会到生活中数量关系的多样性，进一步理解数形结合的重要数学思想。 情感与态度价值观： 从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识.数学与人类生活的密切联系，通过师生共同探索不等式的意义及找到不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造，培养学生自主探索、合作学习的能力。 3、教学重点和难点： 对于七年级学生来说，以前接触到的代数式及方程等知识都具有唯一性，给定字母的值，能确定唯一的代数式的值，给定方程能得到唯一的解，而这一节所接触到的一元一次不等式却有无数个解，需要我们去用集合的形式来表示，这对学生形象思维来说是一个大的转变， 一元一次不等式组的实际应用 1、某市召开的出租汽车价格听证会上,物价局拟定了两套客运出租汽车运价调整方案．方案一：起步价调至7元/2公里，而后每公里1。6元;方案二：起步价调至8元/3公里，而后每公里1。8元．若某乘客乘坐出租车(路程多于3公里)时用方案一比较合算，则该乘客乘坐出租车的路程________5公里（填大于或小于） 2、李明家距离学校2。1km，现在李明需要用不超过18min的时间从家出发到达学校,已知他步行的速度为90m/min，跑步的速度为210m/min,则李明至少需要跑________分钟． 3、某火车站购进一种溶质质量分数为20％的消毒液，准备对候车室进行喷洒消毒，而从科学的角度知用含0.1—0.2％的消毒液喷洒效果最好，那么工作人员把这种溶质质量分数为20％消毒液稀释时，兑水的比例为1:100行不行________(填“行"或“不行”) 4、用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物支援汶川地震灾区，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装8t,则最后一辆汽车不满也不空,请问：有________辆汽车 5、现用甲、乙两种保温车将1800箱抗甲流疫苗运往灾区，每辆甲运输车最多可载200箱,每辆乙运输车最多可载150箱，并且安排车辆不超过10辆,那么甲运输车至少应安排_______辆． 6、某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到江阴儿童福利院看望孤儿．如果分给每位儿童5盒牛奶，那么剩下18盒牛奶；如果分给每位儿童6盒牛奶，那么最后一位儿童分不到6盒,但至少能有3盒．则这个儿童 福利院的儿童最少有________人，最多有________人． 7、在植树活动中，老师把一批树苗分给各组同学去栽树,如果每组分3棵，还剩8棵;如果每组分5棵，那么最后一组可以分得树苗，但数量少于3棵,则植树的学生________组，这批树苗有________棵． 8、工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产 A、B两种产品共50件．已知生产一件A种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品需要甲种原料4千克,乙种原料10千克．则安排 A、B两种产品的生产件数有________种方案． 9、宜宾市某化工厂,现有A种原料52千克，B种原料64千克，现用这些原料生产甲、乙两种产品共20件．已知生产1件甲种产品需要A种原料3千克，B 种原料2千克；生产1件乙种产品需要A种原料2千克，B种原料4千克，则生产方案的种数为________种 10、某种记事本零售价每本6元，凡一次性购买两本以上给予优惠，优惠方式有两种，第一种：“两本按原价，其余按七折优惠";第二种：全部按原价的八折优惠，若想在购买相同数量的情况下,要使第一种办法比第二种办法得到的优惠多，最少要购买________本记事本 11、某商场为促销某种商品，将定价为5元/件的该商品按如下方式销售：若购买不超过5件商品，按原价销售;若一次性购买超过5件,按原价的八折进行销售．小明现有29元，则最多可购买该商品________件. 12、甲乙两队进行篮球对抗赛,比赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．甲队与乙队一共比赛了10场，甲队保持了不败记录，得分不低于24分,甲队至少胜了________场．均值不等式八法
基本不等式说课稿
《一元一次不等式组的应用》典型例题
高等数学重要不等式在高中数学中的技巧性应用
均值不等式应用(技巧)
《不等式的性质》说课稿
不等式组及其应用
不等式组的实际应用
一元一次不等式组说课稿
不等式及不等式组的经典应用题
均值不等式的应用(习题+答案)
七年级数学下册《一元一次不等式组》说课稿
九年级数学不等式组及其应用
均值不等式应用全面总结+题型总结(含详细解析)
《9.1.1 不等式及其解集》说课稿
一元一次不等式组的实际应用