数学相似的专项培优练习题

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.

（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长；

（2）求证：FQ=BQ

【答案】（1）解：∵≌，

∴，

∵均为半圆切线，

∴ .

连接 ,

则，

∴四边形为菱形，

∴DQ∥，

∵均为半圆切线，

∴∥，

∴四边形为平行四边形∴，

（2）证明：易得∽，

∴ = ，

∴ .

∵是半圆的切线，

∴ .

过点作于点，

则 .

在中，，

∴，

解得：，

∴

∴

【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；

（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式，可得BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据FQ=BF?BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。

2．如图（1），在矩形DEFG中，DE=3，EG=6，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=6，△ABC的一边BC和矩形的一边DG在同一直线上，点C和点D重合，Rt△ABC将从D以每秒1个单位的速度向DG方向匀速平移，当点C与点G重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：

（1）如图（2），当AC过点E时，求t的值；

（2）如图（3），当AB与DE重合时，AC与EF、EG分别交于点M、N，求CN的长；（3）在整个运动过程中，设Rt△ABC与△EFG重叠部分面积为y，请求出y与t的函数关系式，并写出相应t的取值范围．

【答案】（1）解：如图（2），当AC过点E时，

在Rt△ABC中，BC=3，AC=6，

∴BC所对锐角∠A=30°，

∴∠ACB=60°，

依题意可知∠ABC=∠EDC=90°，

∵∠ACB=∠ECD，

∴△ABC∽△EDC，

∴，即，

∴CD= ，

∴t=CD= ；

（2）解：如图（3），∵∠EDG=90°，DE=3，EG=6，

∴DG= =3 ，

在Rt△EDG中，sin∠EGD= ，

∴∠EGD=30°，

∵∠NCB=∠CNG+∠EGD，

∴∠CNG=∠NCB﹣∠EGD=60°﹣30°=30°，

∴∠CNG=∠EGD，

∴NC=CG=DG﹣BC=3 ﹣3；

（3）解：由（1）可知，当x＞时，△ABC与△EFG有重叠部分．

分两种情况：①当＜t≤3时，如图（4），

△ABC与△EFG有重叠部分为△EMN，设AC与EF、EG分别交于点M、N，过点N作直线NP⊥EF于P，交DG于Q，

则∠EPN=∠CQN=90°，

∵NC=CG，

∴NC=DG﹣DC=3 ﹣t，

在Rt△NQC中，NQ=sin∠NCQ×NC=sin60°×（3 ﹣t）= ，

∴PN=PQ﹣NQ=3﹣ = ，

∵∠PMN=∠NCQ=60°，

∴sin∠PMN= ，MN= =t﹣，

在矩形DEFG中，EF∥DG，

∴∠MEN=∠CGN，

∵∠MNE=∠CNG，∠CNG=∠CGN，

∴∠EMN=∠MNE，

∴EM=MN，

∴EM=MN=t﹣，

∴y=S△EMN= EM?PN= × ；

②当3＜t≤3 时，如图（5），

△ABC与△EFG重叠部分为四边形PQNM，设AB与EF、EG分别交于点P、Q，AC与EF、EG分别交于点M、N，则∠EPQ=90°，

∵CG=3 ﹣t，

∴S△EMN= ，

∵EP=DB=t﹣3，∠PEQ=30°，

∴在Rt△EPQ中，PQ=tan∠PEQ×EP=tan30°×（t﹣3）= ，

∴S△EPQ= EP?PQ= （t﹣3）× = ，

∴y=S△EMN﹣S△EPQ=（）﹣（）= +（﹣，

综上所述，y与t的函数关系式：y= ．

【解析】【分析】（1）证△ABC∽△EDC，由相似三角形的性质可求出CD的值，即可求t；

（2）利用勾股定理求出DG的值，则由三角函数可∠EGD=30°，进而可证得∠CNG=∠EGD，则NC=CG=DG﹣BC，可求出答案；

（3）根据重叠部分可确定x的取值范围，再由三角形的面积公式可求出函数解析式.

3．如图，抛物线经过A（－3,0），C(5,0)两点，点B为抛物线顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）动点P从点B出发，沿线段BD向终点D作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t，过点P作PM⊥BD，交BC于点M，以PM为正方形的一边，向上作正方形PMNQ，边QN交BC于点R，延长NM交AC于点E．

①当t为何值时，点N落在抛物线上；

②在点P运动过程中，是否存在某一时刻，使得四边形ECRQ为平行四边形？若存在，求出此时刻的t值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：∵y=ax2+bx+ 经过A（﹣3，0），C（5，0）两点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为

（2）解：∵ =﹣（x2﹣2x+1）+ =﹣（x﹣1）2+8，

∴点B的坐标为（1，8）．

设直线BC的解析式为y=kx+m，

则，

解得：，

所以直线BC的解析式为y=﹣2x+10．

∵抛物线的对称轴与x轴交于点D，

∴BD=8，CD=5﹣1=4．

∵PM⊥BD，

∴PM∥CD，

∴△BPM∽△BDC，

∴，

即，

解得：PM= t，

∴OE=1+ t．

∴ME=-2(1+ t)+10=8-t．．

∵四边形PMNQ为正方形，

∴NE=NM+ME=8﹣t+ t=8﹣ t．

①点N的坐标为（1+ t，8﹣ t），

若点N在抛物线上，

则﹣（1+ t﹣1）2+8=8﹣ t，

整理得，t（t﹣4）=0，

解得t1=0（舍去），t2=4，

所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；

②存在．理由如下：

∵PM= t，四边形PMNQ为正方形，

∴QD=NE=8﹣ t．

∵直线BC的解析式为y=﹣2x+10，

∴﹣2x+10=8﹣ t，

解得：x= t+1，

∴QR= t+1﹣1= t．

又∵EC=CD﹣DE=4﹣ t，

根据平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，

即 t=4﹣ t，

解得：t= ，

此时点P在BD上

所以，当t= 时，四边形ECRQ为平行四边形

【解析】【分析】（1）用待定系数法，将A,C两点的坐标分别代入y=ax2+bx+ ，得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解得出a,b的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）首先求出抛物线的顶点B的坐标，然后用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣2x+10．根据点到坐标轴的距离得出BD,CD的长度，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PM∥CD，根据平行于三角形一边的直线，截，其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△BPM∽△BDC，根据相似三角形对应边成比例得出B P ∶B D = P M ∶C D ，进而得出关于t的方程，求解得出PM,进而得出OE,ME,根据正方形的性质由NE=NM+ME得出NE的长，进而表示出N点的坐标，若点N在抛物线上，根据抛物线上的点的特点，得出关于t的方程，求解得出t的值，所以，当t=4秒时，点N落在抛物线上；②存在．理由如下：根据PM的长及正方形的性质从而表示出QD=NE的长度，进而得出方程，求出x的值，进而表示出QR根据线段的和差及平行四边形的对边平行且相等可得QR=EC，从而得出关于t的方程，求解得出答案。

4．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，点D在射线BC上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC 于点G．

（1）求证：△EFG∽△AEG；

（2）设FG=x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结DF，当△EFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度．

【答案】（1）证明：∵ ED=BD，

∴∠B=∠BED．

∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠A=90°．

∵ EF⊥AB，

∴∠BEF=90°．

∴∠BED+∠GEF=90°．

∴∠A=∠GEF．

∵∠G是公共角，

∴△EFG∽△AEG

（2）解：作EH⊥AF于点H．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，

∴tanA= = ，

∴在Rt△AEF中，∠AEF=90°，tanA= = ,

∵△EFG∽△AEG，

∴ ,

∵ FG=x，

∴ EG=2x，AG=4x．

∴ AF=3x．

∵ EH⊥AF，

∴∠AHE=∠EHF=90°．

∴∠EFA+∠FEH=90°．

∵∠AEF=90°，

∴∠A+∠EFA=90°,

∴∠A=∠FEH,

∴ tanA =tan∠FEH,

∴在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH= = ,

∴ EH=2HF,

∵在Rt△AEH中，∠AHE=90°，tanA= = ，

∴ AH=2EH，

∴ AH=4HF，

∴ AF=5HF，

∴ HF= ，

∴EH= ，

∴y= FG·EH= x· = 定义域：（0

（3）解：当△EFD为等腰三角形时，

①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，

∵∠BED=∠EFH，

∴∠BEH=∠AHG，

∵∠ACB=∠AEH=90°，

∴∠CEF=∠HEF，即EF为∠GEH的平分线，

则ED=EF=x，DG=8?x，

∵anA= ，

∴x=3，即BE=3；

②若FE=FD, 此时FG的长度是 ;

③若DE=DF, 此时FG的长度是 .

【解析】【分析】（1）因为ED=BD，所以∠B=∠BED．根据等角的补角相等可得∠A=∠GEF，而∠G是公共角，所以由相似三角形的判定可得△EFG∽△AEG；

（2）作EH⊥AF于点H．∠AEF=∠ACB=90°，∠A是公共角，所以可得AEF ACB，所以可得比例式，,由（1）得△EFG∽△AEG，所以可得比例式，

,因为FG=x，所以EG=2x，AG=4x．则AF=3x，由同角的余角相等可得∠A=∠FEH,所以tanA =tan∠FEH,在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH=,所以EH=2HF,在Rt△AEH中，同理可得AH=2EH，所以AH=4HF，AF=5HF，HF=x ，则EH= x ，△EFG

的面积y= FG·EH=x· x=,自变量的取值范围是0

（3）当△EFD为等腰三角形时，分三种情况讨论：

①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，易得FG=3；

②若FE=FD, 易得FG=；

③若DE=DF, 易得FG=.

5．如果三角形的两个内角与满足＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝________°；

（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5，若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”．求对角线AC的长．

【答案】（1）15°

（2）解：存在，

如图①，连结AE，

在Rt△ABC中，

∴∠B+∠BAC=90°，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAC=2∠BAD，

∴∠B+2∠BAD=90°，

∴△ABD是“准互余三角形”，

又∵△ABE也是“准互余三角形”，

∴∠B+2∠BAE=90°，

∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，

∴∠EAC=∠B,

又∵∠C=∠C,

∴△CAE∽△CBA，

∴ ,

即CA2=CB·CE，

∵AC＝4，BC＝5，

∴CE= .

∴BE=BC-CE=5- = .

（3）解：如图②，

将△BCD沿BC翻折得到△BCF,

∵CD＝12，

∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF,

又∵BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，

∴∠CBD+∠BCD=90°，

∴2∠CBD+2∠BCD=180°，

即∠ABD+∠CBD+∠CBF=180°，

∴A、B、F三点共线，

在Rt△AFC中，

∴∠CAB+∠ACF=90°，

即∠CAB+∠ACB+∠BCF=90°，

∴∠CAB+2∠ACB≠90°，

∵△ABC是“准互余三角形”,

∴2∠CAB+∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠BCF，

∵∠F=∠F,

∴△FCB∽△FAC，

∴ ,

即FC2=FA·FB,

设BF=x，

∵AB=7,

∴FA=x+7,

∴x（x+7）=122,

解得：x1=9，x2=-16（舍去）

∴AF=7+9=16.

在Rt△AFC中，

∴AC= = =20.

【解析】【解答】（1）解：∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，∴2∠B+∠A=90°，

∴2∠B+60°=90°，

∴∠B=15°.

故答案为：15°

【分析】（1）根据“准互余三角形”，的定义，结合题意得2∠B+∠A=90°，代入数值即可求出∠B度数.

（2）存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得∠B+2∠BAD=90°，根据“准互余三角形”，定义即可得△ABD是“准互余三角形”；根据△ABE是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得∠EAC=∠B,根据相似三角形判定“AA”可得△CAE∽△CBA，再由相似

三角形性质得 ,由此求出CE= .从而得BE长.

（3）如图②，将△BCD沿BC翻折得到△BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、“准互余三

角形”定义可得到△FCB∽△FAC，再由相似三角形性质可得 ,设BF=x，代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在Rt△AFC中，根据勾股定理即可求得AC长.

6．如图，抛物线与坐标轴交点分别为，，，作直线BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，过点P作轴于点D，设点P的横坐标为，求的面积S与t的函数关系式；

（3）条件同，若与相似，求点P的坐标．

【答案】（1）解：把，，代入得：，

解得：，，，

抛物线的解析式为

（2）解：设点P的坐标为(t,- t×2+ t+2)，

∵A(-1,0)，B(3,0)，

∴AB=4，

∴S=

（3）解：当∽时，，即，

整理得：，

解得：或舍去，

，，

点P的坐标为；

当∽，则，即，

整理得，

解得：或舍去，

，，

点P的坐标为，

综上所述点P的坐标为或

【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B、C三点坐标分别代入函数解析式，建立方程组，就可求出a、b、c的值，即可解答；或设函数解析式为交点式，即y=a （x+1）(x-3），再将点C的坐标代入可解答。

（2）点P为抛物线上第一象限内一动点，因此利用二次函数解析式，由P的横坐标为t表示出点P的坐标，利用三角形的面积公式，就可得出s与t的函数解析式。

（3）分两种情况讨论：当△ ODP ∽△ COB 时；当△ ODP ∽△ BOC ，分别利用相似三角形的性质，分别得出对应边成比例，建立关于t的方程，求出t的值，就可得出点P的坐标。

7．如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx+3.

（1）设点P的纵坐标为p，写出p随k变化的函数关系式.

（2）设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）

的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明；

（3）是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：∵y轴和直线l都是⊙C的切线，∴OA⊥AD，BD⊥AD；又∵OA⊥OB，∴∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，∴四边形OADB是矩形；∵⊙C的半径为2，∴AD＝OB ＝4；

∵点P在直线l上，∴点P的坐标为（4，p）；又∵点P也在直线AP上，∴p＝4k+3

（2）解：连接DN.∵AD是⊙C的直径，∴∠AND＝90°，

∵∠ADN＝90°﹣∠DAN，∠ABD＝90°﹣∠DAN，∴∠ADN＝∠ABD，又∵∠ADN＝∠AMN，∴∠ABD＝∠AMN，∵∠MAN＝∠BAP，∴△AMN∽△ABP

（3）解：存在.理由：把x＝0代入y＝kx+3得：y＝3，即OA＝BD＝3，AB＝

，

∵S△ABD＝AB?DN＝AD?DB∴DN＝＝，∴AN2＝AD2﹣DN2＝，

∵△AMN∽△ABP，∴，即

当点P在B点上方时，∵AP2＝AD2+PD2＝AD2+（PB﹣BD）2＝42+（4k+3﹣3）2＝16（k2+1），

或AP2＝AD2+PD2＝AD2+（BD﹣PB）2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），

S△ABP＝PB?AD＝（4k+3）×4＝2（4k+3），

∴，

整理得：k2﹣4k﹣2＝0，解得k1＝2+ ，k2＝2﹣

当点P在B点下方时，

∵AP2＝AD2+PD2＝42+（3﹣4k﹣3）2＝16（k2+1），S△ABP＝PB?AD＝ [﹣（4k+3）]×4＝﹣2（4k+3）

∴

化简得：k2+1＝﹣（4k+3），解得：k＝﹣2，

综合以上所得，当k＝2± 或k＝﹣2时，△AMN的面积等于

【解析】【分析】（1）由切线的性质知∠AOB＝∠OAD＝∠ADB＝90°，所以可以判定四边形OADB是矩形；根据⊙O的半径是2求得直径AD＝4，从而求得点P的坐标，将其代入直线方程y＝kx＋3即可知p变化的函数关系式；（2）连接DN.∵直径所对的圆周角是直角，∴∠AND＝90°，根据图示易证∠AND＝∠ABD；然后根据同弧所对的圆周角相等推知∠ADN＝∠AMN，再由等量代换可知∠ABD＝∠AMN；最后利用相似三角形的判定定理AA 证明△AMN∽△ABP；（3）存在.把x＝0代入y＝kx＋3得y＝3，即OA＝BD＝3，然后由勾股定理求得AB＝5；又由相似三角形的相似比推知相似三角形的面积比.分两种情况进行讨论：①当点P在B点上方时，由相似三角形的面积比得到k2?4k?2＝0，解关于k的一元二次方程；②当点P在B点下方时，由相似三角形的面积比得到k2＋1＝?（4k＋3），解关于k的一元二次方程.

8．如图，抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D且它的坐标为（3，﹣1）．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD，并延长DA交y轴于点F，求证：△OAE∽△CFD；

（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出Q的坐标．【答案】（1）解：∵顶点D的坐标为（3，﹣1）．

∴， =﹣1，

解得b=﹣3，c= ，

∴抛物线的函数关系式：y= x2﹣3x+ ；

（2）解：如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3，

令x=0，得y= ，

∴C（0，），

∴CG=OC+OG= +1= ，

∴tan∠DCG= ，

设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）= ，

由OE⊥CD，易知∠EOM=∠DCG，

∴tan∠EOM=tan∠DCG= ，

解得EM=2，

∴DE=EM+DM=3，

在Rt△AEM中，AM= ，EM=2，由勾股定理得：AE= ；

在Rt△ADM中，AM= ，DM=1，由勾股定理得：AD= ．

∵AE2+AD2=6+3=9=DE2，

∴△ADE为直角三角形，∠EAD=90°，

设AE交CD于点P，

∵∠AEO+∠EPH=90°，∠ADC+APD=90°，∠EPH=∠APD（对顶角相等），

∴∠AEO=∠ADC，

∴△OAE∽△CFD

（3）解：依题意画出图形，如答图2所示：

由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，

要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．

设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，

∵y= （x﹣3）2﹣1，

∴（x﹣3）2=2y+2，

∴EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，

当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．

将y=1代入y= （x﹣3）2﹣1，得（x﹣3）2﹣1=1，

解得：x1=1，x2=5，

又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，

∴x1=1舍去，

∴P（5，1），

∴Q1（3，1）；

∵△EQ2P为直角三角形，

∴过点Q2作x轴的平行线，再分别过点E，P向其作垂线，垂足分别为M点和N点，

设点Q2的坐标为（m，n），

则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②，

①﹣②得n=2m﹣5③，

将③代入到①得到，

m1=3（舍），m2= ，

再将m= 代入③得n= ，

∴Q2（，），

此时点Q坐标为（3，1）或（，）

【解析】【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及顶点坐标公式建立出关于b,c的二元一次方程组，求解得出b,c的值，从而得出抛物线的解析式；

（2）如答图1，过顶点D作DG⊥y轴于点G，则G（0，﹣1），GD=3，根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点求出C点的坐标，A点坐标，进而得出CG的长，根据正切函数的定义

求出tan∠DCG=，设对称轴交x轴于点M，则OM=3，DM=1，AM=3﹣（3﹣）= ，根据同角的余角相等易知∠EOM=∠DCG，根据等角的同名三角函数值相等得出

tan∠EOM=tan∠DCG==故解得EM=2，DE=EM+DM=3，在Rt△AEM中，由勾股定理得AE 的长，在Rt△ADM中，由勾股定理得AD的长，根据勾股定理的逆定理判断出△ADE为直角三角形，∠EAD=90°，设AE交CD于点P，根据等角的余角相等得出∠AEO=∠ADC，从而判断出△OAE∽△CFD ；

（3）依题意画出图形，如答图2所示：由⊙E的半径为1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2=EP2﹣1，要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小．设点P坐标为（x，y），由勾股定理得：EP2=（x﹣3）2+（y﹣2）2，根据抛物线的解析式，整体替换得出EP2=2y+2+（y﹣2）2=（y﹣1）2+5，当y=1时，EP2有最小值，最小值为5．然后根据抛物线上点的坐标特点将y=1代入抛物线的解析式，求出对应的自变量x的值，再检验得出P 点的坐标，进而得出Q1的坐标，由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1，设点Q2的坐标为（m，n），则在Rt△MQ2E和Rt△Q2NP中建立勾股方程，即（m﹣3）2+（n﹣2）2=1①，（5﹣m）2+（n﹣1）2=4②，

由切割线定理得到Q2P=Q1P=2，EQ2=1，将③代入到①得到，求解并检验得出m,n的值，从而得出Q2的坐标，综上所述即可得出答案。

9．已知，如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图2，点P是抛物线第一象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式；

（3）在(2)的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M(点M在第二象限)，连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN＋∠NKQ＝45°时，求t值．

【答案】（1）解：如图1，

当x=0时，y=3，

∴A（0，3），

∴OA=OC=3，

∵BC=4，

∴OB=1，

∴B（﹣1，0），C（3，0），

把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）解：如图2，