2020年四川省乐山市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二

数学试卷

一、选择题

1.已知集合{}

3,2a M =,{},N a b =,若{}2M N ?=,则M N ?=( ) A.{}0,2,3 B.{}1,2,3 C.{}0,1,2 D.{}0,1,3 2.复数241i

z i

+=+ (i 为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是( ) A. (3,1) B. (1,3)- C. ()3,1- D. (2,4)

3.设,a b R ∈,则“2

()0a b a -<”是“a b <”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示,则此机械部件的表面积为( )

A.(72)π-

B.(72)π+

C.(62)π+

D.(73)π-

5.已知函数2()(cos 1sin )tan 2

x

f x x x =+-,那么下面说法正确的是( ) A.函数()f x 在,44ππ??

-

????上是增函数,且最小正周期为π B.函数()f x 在,44ππ??

-????上是减函数,且最小正周期为π

C.函数()f x 在,44ππ??

-????上是减函数,且最小正周期为2π

D.函数()f x 在,44ππ??

-????

上是增函数,且最小正周期为2π

6.若

2

{2

3

x

y

x y

≤

≤

+≥

,则目标函数

2

x y

z

x

+

=的取值范围是( )

A.[]

2,5

B.[]

1,5

C.

1

,2

2

??

??

??

D.[]

2,6

7.如图,在ABC

?中,AD AB

⊥,3

BC BD

=

u u u r

,1

AD=

u u u r

,则AC AD

?=

u

u u r u u u r

( )

A.3

B.

3

C.

3

3

8.程大位是明代著名数学家,他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行,成为明清之际研习数学者必读的教材,而且传到朝鲜、日本及东南亚地区,对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是:“今有三角果一垛,底阔每面七个.问该若干?”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图,求得该垛果子的总数S为( )

A.120

B.84

C.56

D.28

9.已知P 是双曲线2

13

x y -=上任意一点,过点P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线,垂足分别为A 、B ,则PA PB ?u u u r u u u r

的值是( )

A.38-

B.316

C.D.不能确定

10.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为2000元,则所需检测费的均值为( )

A.6400元

B.6800元

C.7000元

D.7200元 11.已知,,,A B C D 四点均在以点1O 为球心的球面上,且

AB AC AD ===,BC BD ==8CD =.若球2O 在球1O 内且与平面BCD 相切,则球2O 表面积的最大值为( )

A.π

B.4π

C.16π

D.64π

12.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数,其导函数为'()f x ,且有2

2()'()f x xf x x +>,则不等式2

(2018)(2018)4(2)0x f x f ++-->的解集为( ) A.()2020,0- B.(),2020-∞- C.()2016,0- D.(),2016-∞- 二、填空题

13.已知向量(4,2)a =-r

,(,1)b x =r ,若a b r P r ,则a b +=r r __________

14.已知在ABC ?中,1a b =

=且cosC=cos b c B ,则ABC ?的面积为__________

15.直线3y kx =+被圆2

2

4690x y x y +--+=截得的弦长为则直线的倾斜角为__________

16.()f x 是R 上可导的奇函数,'()f x 是()f x 的导函数.已知0x >时()'(),(1)f x f x f e <=,不

等式ln(0(ln(x f x e <≤的解集为M ,则在M 上()6g x sin x =的零点的个数为__________ 三、解答题

17.设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n

n S =+ 1.求{}n a 的通项公式

2.若数列{}n b 满足3log n n n a b a =,求{}n b 的前n 项和n T .

18.为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机调查了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

年龄

[)5,15 [)15,25 [)25,35 [)35,45 [)45,55 [)

55,65 频数 5

10 15

10 5

5

支持“生 育二胎”

4 5

12 8

2 1

45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异：

年龄不低于45岁的人数

年龄低于45岁

的人数

合计 支持 a =

c =

不支持 b = d =

合计

[)[)4人不支持“生育二胎”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.

参考数据：222( 3.841)0.050,( 6.635)0.010,(10.828)0.001P K P K P K ≥=≥=≥=

19.如图所示的几何体中,111ABC A B C -为三棱柱,且1AA ⊥平面ABC ,四边形ABCD 为平行四边形,2,60AD CD ADC =∠=?.

1.若1

AA AC =,求证:1AC ⊥平面11A B CD ; 2.若12,CD AA AC λ==,二面角11C A D C --2

,求三棱锥11C A CD -的体积. 20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=>>3其右顶点A 在圆22

12x y +=上

1.求椭圆C 的方程;

2.直线:3(0)l x my m =+≠交椭圆C 于M ,N 两点. ①若以弦MN 为直径的圆过坐标原点O ,求实数m 的值;

②设点N 关于x 轴的对称点为1N (点1N 与点M 不重合),且直线1N M 与x 轴交于点P ,试问PMN ?的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

21.已知函数2(),x x

f x ae e x a R =++∈．

1.若()f x 在0x =处取得极值，求a 的值；

2.设()()(3)x

g x f x a e =-+，试讨论函数()g x 的单调性；

3.当2a =时，若存在实数12,x x 满足1212()()30x x

f x f x e e ++=，求证：1212

x x e e +>

． 22.点P 是曲线2p =(0)θπ≤≤上的动点,(2,0)A ,AP 的中点为Q 1.求点Q 的轨迹C 的直角坐标方程;

2.若C 上点M 处的切线斜率的取值范围是????

,求点M 横坐标的取值范围.

23.已知函数()1f x x =-.

1.解不等式()(4)8f x f x ++≥;

2.若(1)1,(1)1f a f b +<+<,且0a ≠,求证:()f ab b f a a ??

> ???

.

参考答案

1.答案：B 解析：

2.答案：A 解析：因为242(12)(1)

31(1)(1)

i i i z i i i i ++-===+++-,所以在复平面内对应的点的坐标为(3,1),故选A. 3.答案：A 解析： 4.答案：B 解析： 5.答案：D 解析： 6.答案：A 解析： 7.答案：D 解析： 8.答案：B

解析：运行程序:1,1,1,17i n s ===<,

2,3,4,27i n s ===<, 3,6,10,37i n s ===<,

4,10,20,47i n s ===<, 5.15,35,57i n s ===<, 6,21,56,67i n s ===<,

7,28,84,77i n s ===≮,

84s =.

故选B. 9.答案：A

解析： 10.答案：C 解析： 11.答案：D 解析： 12.答案：B 解析：

13.解析：

14.解析： 15.答案：

6

π或56π

解析：

16.答案：2 解析：

17.答案：1.因为233n

n S =+,

所以1233a =+, 故13a =,

当1n >时, 1

1233n n S --=+, 此时1

122233n n n n n a S S --=-=-,

即1

3n n a -=,

所以13,1

{3,1

n n n a n -==>

2.因为3log n n n a b a =,

所以11

3

b =,

当1n >时, ()11133log 313n n n

n b n ---==-?,

所以1113

T b ==, 当1n >时, 123n n T b b b b =++++L ()12111323 (133)

n

n ---??=+?+?++-???, 所以()012311323...13n

n T n --??=+?+?++-???,

两式相减,得

()()012212

2333...3133n n n T n ----=

+++++--? ()11121313313n n n ----=+--?- 1363

623n

n +=-

?, 所以1363

1243

n n

n T +=-?, 经检验, 1n =时也适合,

综上可得: 1363

1243

n n

n T +=-? 解析：1.利用数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解; 2.结合第1题的结果,利用关系式3log n n n a b a =求出数列{}n b 的通项公式,并结合其通项的结构特征,采用错位相减法求其前n 项和n T .

考点:1.数列前n 项和n S 与通项n a 的关系;2.特殊数列的求和问题. 18.答案: (1).2乘2列联表

()()()()

2

2

50(311729) 6.27372911329711K ??-?=≈++++＜6.635

所以没有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.

(2).所有可能取值有0, 1,2,3,

2

284

22510C C 62884(0)C C 1045225

P ζ==?=?=

()2111288244

2222510510C C C C C 4286161041C C C C 10451045225P ζ==?+?=?+?=

()11122

8244222225105104166135

2,10451045225C C C C C P C C C C ζ==?+?=?+?=

124222510412

(3),1045225

C C P C C ζ==?=?

= 所以的分布列是

所以的期望值是0.2252252255

E ζ=+++= 解析:

19.1.证明：连接C A 1交1AC 于E ，因为

AC AA =1，又⊥1AA 平面ABCD ，

所以AC AA ⊥1，所以四边形11ACC A 为正方形，

所以11AC C A ⊥，在ACD ?中，ο

60,2=∠=ADC CD AD ， 由余弦定理得2222cos60AC AD CD AD CD =+-?o ，

所以AC

=，所以222

CD AC AD +=，所以

AC CD ⊥，又CD AA ⊥1， 所以⊥CD 平面11ACC A ，

所以1AC

CD ⊥，又因为1,

CD A C C =

I 从而1AC ⊥平面CD B A 11 ………5分 2.如图建立直角坐标系，则11(2,0,0),),)D A C A

11(),()DC DA ∴=-=-u u u u

r u u u u

r

设平面D C A

11的法向量为1111(,,)n x y z =u u r

，由 111100n DC n DA ??=???=?

?u r u u

u u r

u r u u u u r 即111112020

x z x z ?-+=?

?-++=??解得1111,0,0,1)x z y n =∴=u r 设平面CD A 1的法向量为2222(,,)n x y z =r

…………8分

ξξξ

由22100n CD n CA ??=???=??u u r u u u r

u u r u u u r 得2222023230x y z λ?=?

?+=?

?解得22220,,(0,,1)x y z n λλ==-∴=-u u r …………10分

由1222122cos 4||||311

n n n n θλλ?===?+?+u r u u r

u r u u u r 得1λ=，所以1,AA AC = ……11分

此时1

2,,23,CD AA AC ===所以111111

(2323)2432

C A C

D D A CC V V --==????= …………12分

20.答案：1.因为椭圆C 的右顶点在圆22

:12O x y +=上,所以

23a =,又离心率为

3, 所以32

c e a =

=,所以3c =,则有2223b a c =-=, 所以椭圆C 的方程为

22

1123

x y += 2.①设11(,)M x y ,22(,)N x y .直线l 与椭圆C 方程联立

2

2

3,

{1,123

x my x y =++=,化简并整理得22

(4)630m y my ++-=,…………5分 ∴12264m y y m +=-+,1223

4

y y m =-+

2121222624

()6644

m x x m y y m m ∴+=++=-+=++,

2222

12121222231836123()99444

m m m x x m y y m y y m m m -=+++=--+=+++.

因为以弦MN 为直径的圆过坐标原点,所以OM ON ⊥, ∴0OM ON ?=u u u u r u u u r ,即12120x x y y +=,代入,得222

36123044m m m --=++,解得2

114

m =, 所以11

m =±.…………8分

②由题意,122(,)N x y -,所以直线MN 的方程为1

2

1112

()y y y y x x x x +-=--, 令0y =,得2112122112211121212

26()(3)(3)4

3464

m

y x x x y x y my y my y m x x m y y y y y y m --+++++=-===+=-++++

所以点P 的坐标为(4,0)…………10分 PMN ?的面积为

212121211

1()422

PMN S PF y y y y y y ?=-=??+-

==

1

===

当且仅当2

2

9

1

1

m

m

+=

+

,

即m=,故PMN

?的面积存在最大值,最大值为1.…………12分

解析：

21.1.因为2

()x x

f x ae e x

=++，所以2

()21

x x

f x ae e

'=++，

因为()

f x在0

x=处取得极值,所以(02+1+10

f a

'==

），解得-1

a=．

验证：当-1

a=时，()2e1)(1)

x x

f x e

'=-+-

（,易得()

f x在0

x=处取得极大值…………3分

2.因为2

()()(+3)e=(2)

x x x

g x f x a ae a e x

=--++，

所以2

'()2(2)1

x x

g x ae a e

=-++2

2(2)1(1)(21)

x x x x

ae a e ae e

=-++=--…………4分

①若0

a≤，则当(,ln2)

x∈-∞-时，'()0

g x>，

所以函数()

g x在(,ln2)

-∞-上单调递增；

当(ln2,)

x∈-+∞时，∴，∴函数()

g x在(ln2,)

-+∞上单调递减………5分

②若0

a>，'()(1)(21)

x x

g x ae e

=--，

当2

a>时，易得函数()

g x在(,ln)a

-∞-和(ln2,)

-+∞上单调递增，在(ln,ln2)

a

--上单调递减；

当2

a=时，'()0

g x≥恒成立，所以函数()

g x在(,)

-∞+∞上单调递增；

当02

a

<<时，易得函数()

g x在(,ln2)

-∞-和(ln,)

a

-+∞上单调递增，在(ln2,ln)a

--上单调递减;…………8分

3.证明：当2

a=时，因为12

12

()()3e0

x x

f x f x e

++=，

所以112212

22

12

2230

x x x x x x

e e x e e x e e

++++++=，

所以12121212+x

2

1212

2()()=()

x x x x x x x

e e e e e e x x e x x

+++=---+．

令

12

+

t x x

=，()e t

t t

?=-，

则'()e10

t

t

?=-=，

当(,0)

t∈-∞时，'()0

t

?<，所以函数()e t

t t

?=-在(-,0)

∞上单调递减；

当(0,)

t∈∞时，()0

t

?'>，所以函数()e t

t t

?=-在(0,)

+∞上单调递增；

所以函数()e t

t t

?=-在0

t=时，取得最小值，最小值为1…………10分

所以1212

2

2()()1

x x x x

e e e e

+++≥，

即121222()()-10x x x x

e e e e +++≥，所以12

1e 2

x

x e

+≥ …………11分 当12+0x x t ==

时，12

1e 22

x

x e +≥=>此时不存在12,x x 满足等号成立条件，

所以12

1e 2

x

x e

+>． 22.答案：1.由()20ρθπ=≤≤,得()2

2

40x y y +=≥

设()()11P ,,Q ,x y x y ,则112,22

x y

x y +=

=,即1122,2x x y y =-=, 代入22

114(0)x y y +=≥,得22(22)(2)4x y -+=,

22(1)1(0)x y y ∴-+=≥

2.轨迹C 是一个以()1,0为圆心,1半径的半圆,如图所示,设()M 1cos ,sin ??+, 设点M 处切线l 的倾斜角为α由l

斜率范围3?-

???,可得2536

ππα≤≤,…………7分 而2

π

?α=-, ∴

63

π

π

?≤≤

,

∴321cos 22

?+≤+≤所以,点M

横坐标的取值范围是32????

.…………10分

解析：

23.答案：1.22,3

()(4)13{4,3122,1

x x f x f x x x x x x --<-++=-++=-≤≤+>

当3x <-时,由228x --≥,解得5x ≤-; 当31x -≤≤时,()8f x ≥不成立;

当1x >时,由{}22853x x x x ≤-≥+≥或,解得()(3)f ab b

f a a

x >≥; 所以不等式()()(4)8f x f x b f ab a f a ??

>

?++?

≥?的解集为{|51ab a b x x >-≤-- 或(1)}13f a x +<≥

2.(1(()))1f ab b f a f b a >+<,即()1b f ab a f a a ??

> ???

<,即()()()()2

2

22222212121101ab a b a b ab a ab a b b a a b b ---=-+--+=->>---.因为

()111f ab a b a +-><-,(1)1f b +<,

所以1a <,1b <,又有0a ≠,所以

()()()()2

2

2222221212110ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->,

所以1ab a b ->-,故所证不等式成立. 解析：