第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点
第七节 无穷小量的比较 及 第八节 函数的连续性与间断点 ㈠本课的基本要求
讨论无穷小的比较，会用等价无穷小求极限。理解函数在一点连续的概念，了解函数在区间 上连续的概念。了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 ㈡本课的重点、难点
重点是利用等价无穷小求极限，难点是对连续概念的理解及间断点类型的判断。 ㈢教学内容
第七节 无穷小量的比较 讨论两个无穷小的商的情况 如：
02cos 11sin sin lim
lim
lim
2
=-=∞=→→→x
x
x
x
x x
x x x 两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向于0的“快、慢”程度。
差不多与快，而比x x x x sin sin 02→。
另根据常识，当x 很小时（1< x 而用 2x 的值来近似它，这是因为当x 很小时，100x 值比2x 的值小的多，可以“忽略不计”。换 句话说，当x 趋于零时，100 x 趋于零要比2 x 趋于零的“速度”快得多。这个简单的例子说 明，研究无穷小趋于零的“快慢”程度是必要的，无穷小趋于零的“快慢”可用无穷小之比的极限来衡量。 定义 设α和β为)(0∞→→x x x 或时的两个无穷小量， 如果)(0lim αβαβαβ ==高阶的无穷小，记作是比，则称 如果低阶的无穷小是比，则称αβαβ ∞=lim 如果)(0(0lim αβαβα β =≠=是同阶的无穷小，记作与为常数），则称c c ，特别地c=1， 则称β与α是等价无穷小，记作β～α。 如果0,0lim >≠=k c k αβ ，就说β是关于α的k 阶无穷小。 例 是同阶无穷小与x x x x x x 5sin 55sin 0 lim =→→，2)1()1tan(23 31 lim =--→x x x ，3 ) 1tan(2-x 是当1→x 时1-x 的三阶无穷小。 x x x x e x x x x x x x x ~sin 2 ,11,1,2),1ln(,cos 1,tan ,sin ,02都是无穷小量，且时，-+-+-→)0(~11,2~11,~1,~)1ln(,2~cos 1,~tan 2→-+-+-+-x m x x x x x e x x x x x x m x * 等价无穷小在理论和应用上都很重要，等价无穷小有下列性质： 定理1 β与α是等价无穷小的充分必要条件为)(ααβ +=。（证略） 由定理1，当βα~时，由β代替α引起的误差很小。因此，当)1(< 定理2 设在自变量的同一变化过程中，αβαβαβββαα' '=∞?''''lim lim ),(lim ,~,~则或且 证：αβαααβββαβ' ' ='?''?'=lim )lim(lim 对于“ ”的极限问题，可以施行等价无穷小替换来计算极限。 例 1 21)1l n (. 2c o s 1s i n . 120 lim lim -++-→→x x x x x x 注：作等价无穷小替换时，在分子或分母为和式时，通常不能将和式中的某一项或若干项以 其等价无穷小替换，而应将分子或分母整个地加以替换，若分子或分母为n 个因子之积，则可将其中某个或某些因子以等价无穷小替换。简言之，因子方可作等价无穷小替换。 例 11 11 11 1 1lim +=-+∞ →n n n n n n 代替 不能用 例 x x x x x x x x x x e e 2 cot 20 )1(. 53tan 11. 4) 1(. 3lim lim lim +-+?-→→?→? 第八节 函数的连续性与间断点 由极限的特殊情况即极限值等于函数值引出连续及间断。 “连续”和“间断”是一对矛盾。世界上很多量的变化，例如气温的变化。动植物的生长以及水的流动等，一般都认为是连续的变化。尤其是后者，“抽刀断水水更流”，相信在每个人的心目中都有一幅清晰的图画。那么空间什么是“连续”呢？简言之，函数连续就是它所表示的曲线没有断点。当自变量趋于某个点时，函数值变化的趋势应该是无限接近于该点的函数值。因此，只有在极限的基础上才能科学地刻画“连续”这一概念。 一．函数的连续性 由极限引连续。设且令的某个邻域内有定义，在00)(x x x x x f y -=?=称之为自变量x 的改变量或增量，其中x 称为终值，)()()()(0000x f x x f y x f x f y x -?+=?-=?或为初值。记称为函数0)(x x f y 在=处的增量。 图 定义 1 设000)(x x x x x x f y -=?=处当自变量的改变量如果在的某个邻域内有定义， 在趋于0时，对应的函数改变量0)]()([000 lim lim =-?+=??→?→?x f x x f y y x x ，即 也趋于，则 称函数0)(x x f y 在=处是连续的，的连续点称为函数)(0x f x 。 定义 2 )()()(00lim x f x f x x f y x x ==→且成立 的某个邻域内有定义，在,则称函数 0)(x x f y 在=处是连续的，的连续点称为函数)(0x f x 。 如果00)()()(lim x x f x f x f x x 在，称=- →左连续 如果 00)()()(lim x x f x f x f x x 在，称=+ →右连续 由此可知，0)(x x f y 在=处连续? )()(0lim 0x f x f x x =- →)(lim 0x f x x + →= 分段函数在分段点的连续性常用上式来进行判断 说明连续与极限定义的异同 如内连续，且在在内连续，如在内每一点连续，则称 在),()(),()(),()(b a x f b a x f b a x f x=a 处右连续，在x=b 处左连续，则称],[)(b a x f 在上连续。 几何意义 ),()())(,()(000b a x f y x f x x x f y 在处不断开，处连续，其图形在 在==内连续，其图形在(a,b)内连绵不断。 证处连续在0)(x x f y =，通常是证明 )]()([0)]()([0)()(00 0lim lim lim lim =-?+=-=?=→?→→?→x f x x f x f x f y x f x f x x x x x x 或即或证 若)(x f y =为分段函数，且0x 为分段点，则应通过考察它在0x 处的左、右连续性再加以确定。例证x x f cos )(=的连续性：对任意点0x 有02 sin 2sin 2cos cos 0 00→-+-=-x x x x x x 故x x f cos )(=在),(+∞-∞内连续。 例1．讨论??? ? ???>=<=0 1sin 000)(1 x x x x x e x f x 在x=0处的连续性 二．函数间断点 如函数0)(x x f 在处不满足连续性定义，则)(0x f x 称为的间断点或不连续点。 0)(x x f 在连续必满足1.0)(x x f 在点处有定义；2. 0)(x x f 在点处有极限；3. 0)(x x f 在点处 的极限值等于0)(x x f 在点处的函数值。 如上述条件有一个不满足，则点)(0x f x 就是函数的间断点。 间断点分类： ⑴．如果0)(x x f 在点处左、右极限存在但不等，称)(0x f x 为的跳跃间断点。 例符号函数在0=x 处。 ⑵．若0)(x x f 在点处极限存在，但不等于该点处函数值（或该点无定义），则称)(0x f x 为的可去间断点。 例 处都是可去间断 点在处；在224)(00,10,)(22=--==? ??=≠=x x x x g x x x x x f 。 ⑴、⑵统称为第一类间断点。 ⑶．如果函数0)(x x f 在点处在左、右极限至少有一个不存在，则点)(0x f x 为的第二类间断点。 例 也是振荡间断点）在处间断，在(0)/1sin()(2/tan )(====x x x f x x x f π ? ?????? ?不存在左、右极限至少有一个二类处无定义或极限存在但不等于 可去等左、右极限存在但不相 跳跃一类间断点00)(x x f 例1．讨论??? ? ???>=<=0 ln 00 )(1x x x x x e x f x 的连续性 例2．求函数2 36 32+---=x x x x y 的间断点，指出是哪一类间断点 例3．设连续于为何值时当0)(0,cos 70,tan sin )(=?? ? ??≤->=x x f a x x e x x x x f x 。 小结 作业：P.59.3(2),4(1)(3)(4),P.64.1(2),2(2),(4),3，第5题请作在书上 第四章 函数的连续性 §1 连续性概念 Ⅰ. 教学目的与要求 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数连续性的概念. 难点: 函数连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数． 从几何形象上粗略地说，连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线．当然我 们不能满足于这种直观的认识，而应给出函数连续性的精确定义，并由此出发研究连续函数 的性质．本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性． 一 函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U ()0x 内有定义．若()x f x x 0 lim →=()0x f ， 则称f 在点0x 连续． 例如，函数连续()x f 12+=x 在点2=x 连续，因为 2lim →x ()x f =2 lim →x ()()2512f x ==+ 又如，函数()x f ???=0 ,00,1sin =≠x x x x ,在点0=x 连续，因为 ()()001sin lim lim 00f x x x f x x ===→→ 为引入函数()x f y =在点0x 连续的另一种表述，记0x x x -=?，称为自变量x (在点 0x )的增量或改变量．设()00x f y =，相应的函数y (在点0x )的增量记为: ()()()()0000y y x f x x f x f x f y -=-?+=-=? 注 自变量的增量x ?或函数的增量y ?可以是正数，也可以是0或负数．引进了增 量的概念之后，易见“函数()x f y =在点0x 连续”等价于0lim 0 =?→?y x . 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的，因而也可直接用δε-方式来叙述， 即：若对任给的0>ε，存在0>δ，使得当δ<-0x x 时有 ()()ε<-0x f x f (2) 则称函数f 在点0x 连续． 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连 第 6 次课 2 学时 §1.9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。 1．函数的增量 一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ??-2即 u=u 对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ?，则函数有相应的增量00((y y f x f x ??=?， +x)- ) （几何解释） 21()2 1.f x x =-??例设分别求： (1) x 由１变到1.2时， （2) x 由１变到0.8时， 的增量x 和y . 解：（略） 2．函数的连续性 如果自变量 x 的增量 x ?很小时，函数y 的增量y ? 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。 定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ?→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ?=+?-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ?→??=。 例2 ：证明函数2 ()21f x x =-在x=1 处连续。 证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ?→?→→+?→??????---=?+??? ???=?+?=? ?=-= ， f(x): f(1)f(1+x) y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在 处连续 ． （类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。） 函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一．函数的连续 例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照） 设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。证明：()f x 在任意点x 处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =?，那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=。 证明的思路就此产生！ 证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。 （#） 对于固定的x （任意的！），若取y x =?，有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?， （+） 在（+）式两边取0x ?→的极限，那么 lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? ， （&） 由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0 lim (0)(0)x f x f ?→+?=，代入（#）的结果，就有 lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==， 但从（&）知，0 lim lim ()x x y f x ?→?→?=?，所以 lim 0x y ?→?=。 一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差 u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1. 设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量 x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到 f (x 0 x ), 因此函数y 的对应增量为 y f (x 0 x ) f (x 0). 函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量 y f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即 lim 0 =?→?y x 或)()(lim 00 x f x f x x =→, 那么就称函数y f (x )在点x 0 处连续. 注 ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x x 0+x , 则当 x 0时, x x 0, 因此 lim 0 =?→?y x 0 )]()([lim 00 =-→x f x f x x )()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式 |x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )f (x 0)|< , 那么就称函数y f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =- →, 则称y f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+ →, 则称y f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y f (x )在点x 0处连续?函数y f (x )在点x 0处左连续且 右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(￥, ￥) 内是连续的. 这是因为, f (x )在( ￥, ￥)内任意一点x 0处有定义, 且 ) ()(lim 00 x P x P x x =→ 2. 函数 x x f =)(在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间( ￥, ￥)内是连续的. 证明 设x 为区间( ￥, ￥)内任意一点. 则有 第三章 函数的连续性 一，函数连续性的定义（极限定义） 1 第一定义：设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果极限() a x x f →lim 存在并且 () a x x f →lim =()a f 则称函数()x f 在a 点连续或称a 是()x f 的一个连续点。 解析:注意连续函数的邻域与极限邻域的区别与联系(局部性定义) 2 第二定义： 设函数()x f 在某个()δ,a U 内有定义，如果对于任意的正数ε>0,存在()0,0δδ∈使得当()δ,a U x ∈时有 ()()a f x f -<ε则称()x f 在a 点连续,特别地,若记a x x -=?，()()a f x a f y -?+=?.则有a x x →?lim =0时, a x y →?lim =0。 解析：⑴连续函数与函数极限的联系：直观地讲,当自变量x 的改变量(?x )非常小时函数()x f 相应的改变量也非常小,则()x f 就叫做连续函数。 ⑵ 由于?x 的引入使得在某点连续扩展到区间连续。 ⑶ 该定义体现了自变量x 所对应的点填满了整条曲线.换句话说.曲线可以一笔画出. ⑷ 表明了可导与连续的关系。 ⑸ 用定义证明函数连续性的一般步骤：①检查函数()x f 在点a 处及其附近是否有定义②两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠求极限a x x f →) (lim ㈡根据自变量的初值a 和终 值x a ?+求出函数的增量()()a f x a f y -?+=?③ 两种操作(由选择定义的不同而不同):㈠检验a x x f →) (lim 与()a f 是否相等㈡求极限0lim →??x y 是否为0。 3 单侧连续（左（右）连续）：设()x f 在某个[)δ+a a ,（或(]a a ,δ-）上有定义，如果() +→a x x f lim =()a f （或()-→a x x f lim =()a f ）则称()x f 在点x =a 右（左）连续。 左(右)连续与连续之间的关系:在某点既左连续又右连续则记称在该点连续。 解析:类比于单侧极限。 4. 一致连续性(区间连续性):设函数f(x)在区间I 上有定义,如果对于任意给定的正数ε总存在着正数δ使得对于区间I 上的任意两点21,x x 当δ<-21x x 时就有ε<-)()(21x f x f ,那么称函数()x f 在区间I 上是一致连续的.如果函数()x f 在[]b a ,上 第四章 函数的连续性 练 习 题 第一节 连续性概念 1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续： .)()2(; 1 )()1(x x f x x f == 2. 指出下列函数的间断点并说明其说明类型： ); sgn(cos )()5(|;|sgn )()4(|];cos [|)()3(; | |sin )()2(;1)()1(x x f x x f x x f x x x f x x x f ====+= ?? ?-=; , ,,)()6(为无理数为有理数x x x x x f （7）??? ? ???+∞<<--≤≤--<<-∞+=. 1,11sin )1(17,,7,71 )(x x x x x x x x f 3. 延拓下列函数, 使其在R 上连续： x x x f x x x f x x x f 1 c o s )()3(;c o s 1)()2(; 28 )()1(2 3=-= --= 4. 证明：若f 在点0x 连续, 则2||f f 与也在点0x 连续, 又问: 若2 ||f f 与在I 上连续, 那么f 在I 上是否必连续？ 5. 设当).0()0(),()(0g f x g x f x ≠≡≠而时证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续. 6. 设f 为区间I 上的单调函数, 证明：若I x ∈0为f 的间断点, 则0x 必是f 的第一类间断点. 7. 设函数f 只有可去间断点, 定义 ).(lim )(y f x g x y →= 证明g 为连续函数. 8. 设f 为R 上的单调函数, 定义 )0()(+=x f x g 证明g 在R 上每一点都右连续. 9. 举出定义在[0, 1]上分别符合下述要求的函数： (1) 只在 4 1 31,21和三点不连续的函数； (2) 只在 4 1 31,21和三点连续的函数； (3) 只在 ),3,2,1(1 =n n 上间断的函数； (4) 只在0=x 右连续, 而在其他点都不连续的函数. 第二节 连续函数的性质 1．讨论复合函数g f 与f g 的连续性, 设 （1）2 1)(,sgn )(x x g x x f +== （2）( ) x x x g x x f 2 1)(,sgn )(-== 2．设g f ,在点0x 连续, 证明： （1）若)()(00x g x f >, 则存在);(0δx U , 使在其内有)()(x g x f >； (2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >, 则)()(00x g x f ≥. 增量：变量"从初值 1变到终值巴，则“卫一"称为变量I的增量或 改变量，记为，即'■-二 对于函数「，当自变量从 6变到二时I称为自变量工 的增量； 对应的函数值从/（心）变到/K1，如叮0）-/? 7E十㈤-/（心）称为函数°的增量。 注：增量可正可负。 图3-1 定义设函数」-■■在点门的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量-一 --趋于零时，对应函数的增量 I 一」「:匚:也趋于零 lim ]/国 +&) -/E)]?Q 那么就称函数」■■在点 r连续，i 称为函数J \的连续 点。 如“?=lim[/(x0十㈤-/(r0)] = 0 r「寺血I/W - /(勺)]=0 丄」- -■- 可与^成:_极限 所以此定义也可改写为 如果！］丁—定义设函数」在点"的某一邻域内有定义, 那么就称函数?- L在点'连续。 由定义可知，函数在点连续，必满足三个条件 (1) '在点&有定义 Im; /(A) (2)-」存在(左、右极限存在且相等) to/W=/(x0) 如果三条中有一条不满足，则■■' '■'■■■在厂点就不连续。 (3) 1< 2 解 在 〔处 图 3-2 SF ~* 0— Hrn /W ir- rti-t- WO- /w 例1设 尹十4 解丿「丿是一分段函数, 所以'；L '''不存在，故在 「「=〔处不连续。 例2讨论函数 在卞=：，二=［及=-处的连续性。 liin =lim (x-t =-l T TT (T 4旷 :亠二二、」讨论-‘ ‘在工=〔的连续性。 x > lim /(A ) 片0 不存在，所以不连续。 在K =］处: = lim_2x = 2, lun / (x) = lim (f +1) = 2, jf-^r r-j-l" x-4r FT ■广 在x = 2处: bm 丁(￡ = bm.C?十 1) = 5, Inn /迂)=lim +(lx 十 4) = 5r JCT ST r ->2 KT Z* 富—^2，2 /⑵7所以连续。 左连续、右连续: 在可点左连续; 在仓点右连续。 Inn /?=/(!) =2 ?->i 所以连续。 Inn /㈤ 若心町 存在且等于 朗怒g),则称临 lim j (x) 若宀血+ …存在且等于 f ，则称八工) 第十二章（理） 第三节 函数的极限与连续性 题组一 求函数的极限 1.当m ＜0，n ＞0时，x → m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n 的值为 ( ) A ．－m n B ．0 C ．1 D.n m 解析：0 lim x → m 2＋x 2＋m n 2＋x 2＋n ＝|m |＋m |n |＋n ＝－m ＋m n ＋n ＝0. 答案：B 2．已知f (x )是关于x 的三次函数，且2lim x →f (x )x －2＝－2，3lim x → f (x )x －3＝5，则43lim x → f (x ) x －43 的 值是 ( ) A.103 B.59 C ．3 D ．不存在 解析：根据条件可设f (x )＝(ax ＋b )(x －2)(x －3)， 再由2 lim x → f (x )x －2 ＝－2，3lim x → f (x ) x －3＝5， 可得????? (2a ＋b )×(－1)＝－2， (3a ＋b )×1＝5， 解之得? ???? a ＝3， b ＝－4， 故f (x )＝(3x －4)(x －2)(x －3)， ∴4 3lim x →f (x )x －43 ＝10 3. 答案：A 3．若2 lim x →x 2＋ax －2 x 2－4＝P (P ∈R ，P 为常数)，则a 和P 的值分别为 ( ) A ．0，12 B ．1，3 4 C.12，12 D ．－1，3 4 解析：已知x ＝2是x 2＋ax －2＝0的根，则a ＝2－222＝－1， ∴2lim x → x 2－x －2x 2－4＝2lim x → x ＋1x ＋2＝3 4 ∴P ＝34. 答案：D 4．求下列函数的极限． (1)lim x →∞ 5x 4－5x 1－3x －x 4； (2)lim x →∞ x 2－33x 3＋1 ； (3)2 lim x → x －2 x 4－8x ； (4)1 lim x → ( 11－x －31－x 3 )． 解：(1)lim x →∞5x 4－5x 1－3x －x 4＝lim x →∞5－5x 3 1 x 4－3x 3－1 ＝ 5－0 0－0－1＝－5. (2)∵x →－∞时，x ＜0，∴x ＝－x 2， ∴lim x →∞ x 2－33 x 3＋1 ＝lim x →-∞ － 1－ 3 x 231＋1 x 3 ＝－1 1＝－1. (3)原式＝2 lim x →x －2 x (x －2)(x 2＋2x ＋4) ＝2 lim x → 1 x (x 2 ＋2x ＋4) ＝ 12×(4＋4＋4)＝1 24 .函数连续性
函数的连续性的例题与习题集
函数的连续性与间断点
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高等数学考研大总结之三函数的连续性
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第十二章(理) 第三节 函数的极限与连续性