人教版八年级数学下册竞赛专题22 直线、射线与线段.doc

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专题22直线、射线与线段（录入：王云峰）

阅读与思考

构成平面图形的基本元素是点和线，在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它们都是抽象思维的产物，点与线有着密切的联系，点运动成线，线与线相交的地方形成点，一条线确定了两个端点，线的长短也就确定了，从这个意义上讲，点是线的界限．

在线中，最简单、最常见的就是直线、射线、线段，它们是最基本的图形，它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形（如三角形、四边形等）的基础，解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法：

1．直线、射线、线段的区别与联系．

2．线段中点的概念．

3．枚举法、分类讨论法．

例题与求解

【例1】已知一条直线上有A，B，C三点，线段AB的中点为P，AB＝10，线段BC的中点为Q，BC＝6，则线段PQ的长为＿＿＿＿．

（江苏省竞赛试题）解题思路：未给出图形，注意C点位置有多种可能．

【例2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A，B，C，D，那么到A，B，C，D的距离之和最小的点（）

A．可以是直线AD外的某一点B．只有点B或点C

C．只是线段AD的中点D．有无穷多个

（全国初中数学联赛试题）解题思路：直线上的四个点把直线分成五部分，就每一种情况画图表示出到A，B，C，D的距离，从直观的图形中作出判断．

【例3】如图，C 是线段上的一点，D 是BC 的中点，已知图中所有线段的长度之和为23，线段AC 的长度与线段BC 的长度都是正整数，求线段AC 的长．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：解题的关键是将每一条线段用AC 或BC 来表示，依题意可列一个关于AC ，BC 的方程，讨论此不定方程的正整数解．

【例4】如图所示，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点． （1）若线段AB ＝a ，CE ＝b ，215( 4.5)a b -+-＝0，求a ，b ． （2）如图①，在（1）的条件下，求线段DE 的长． （3）如图②，若AB ＝15，AD ＝2BE ，求线段CE 的长．

（湖北省武汉市调考试题）

解题思路：将几何问题代数化，对于（3），引入未知数，列方程求解．

【例5】（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．

（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系． （3）平面上有n 条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处于这种位置的n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为n a ，试研究n a 与n 之间的关系．

A B

C D A B C D E

图①

A B

C

D E 图②

（山东省聊城市中考试题）

解题思路：从简单情形入手，由简到繁，归纳发现规律．

【例6】已知线段AB ＝m ，CD ＝n ，线段CD 在直线上运动（A 在B 左侧，C 在D 左侧），若2m n -与2(6)n -互为相反数． （1）求线段AB ，CD 的长．

（2）M ，N 分别是线段AC ，BD 的中点，若BC ＝4，求MN ．

（3）当CD 运动到某一时刻时，D 点与B 点重合，P 是线段延长线上任意一点，下列两个结论： ①

PA PB PC +是定值；②PA PB

PC

-是定值．可以证明，有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择并画图求值．

（浙江省宁波市中考试题改编）

解题思路：（1）2m n -与(6)n -的平方互为相反数，可以推出二者都为零，否则一个正数是不可能等于一个负数的，所以n ＝6，m ＝12．

（2）需要分类讨论：如图①，当点C 在点B 左侧时，根据“M ，N 分别为线段AC ，BD 的中点”，先计算出AM ，DN 的长度，然后计算MN ＝AD -AM -DN ；如图②，当点C 位于点B 右侧时，利用线段间的和差关系求得MN 的长度．

（3）能计算出①或②的值是一个常数的，即为符合题意的结论．

能力训练

A 级

1．已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E ，F 分别为线段

l

2

1

ｏA，OB的中点，则线段EF的长度为＿＿＿＿．

（黑龙江省中考试题）2．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于＿＿＿厘米．

（“希望杯”邀请赛试题）3．如图，B，C，D依次是上的三点，已知AE＝8.9cm，BD＝3cm，则图中以A，B，C，D，E这5个点为端点的所有线段长度的和为＿＿＿＿cm．

（《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试题）4．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为＿＿＿＿，最多为＿＿＿＿．

（“希望杯”邀请赛试题）5．直线a，b，c，d，e共点O，直线l与上述五条直线分别交于A，B，C，D，E五点，则上述图形中共有线段（）条．

A．4 B．5 C．10 D．15

6．如图，点A，B，C顺次在直线上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点．若想求出MN 的长度，则只需条件（）

A．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2

（海南省竞赛试题）7．如图，A，B，C，D四点在同一直线上，M是线段AB的中点，N是线段DC的中点，MN＝a，BC＝b则AD＝（）

A．a b

+B．2

a b

+C．2b a

-D．2a b

-

8．如图，AC＝1

3

AB，BD＝

1

4

AB，且AE＝CD，则CE为AB长的（）

A B C D E

A B C D E

A

l

B C D E

O

a

b

c

d

e

A B C

M N

A B C D

M N

A ．

16

B ．18

C ．

112

D ．

116

9．已知线段AB ＝6．

（1）取线段AB 的三等分点，这些点连同线段AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．

（2）再在线段AB 上取两种点：第一种是线段AB 的四等分点；第二种是线段AB 的六等分点，这些点连同（1）中的三等分点和线段AB 的两个端点可以组成多少条线段？求这些线段长度的和．

（湖北省武汉市武昌区期末调考试题）

10．已知AB ＝60cm ，点C 是直线AB 上不同于A ，B 的点，M 为AC 中点，N 是BC 中点，求MN 的长度．

11．如图，已知点A ，B ，C 是数轴上三点，点C 对应的数为6，BC ＝4，AB ＝12． （1）求点A ，B 对应的数；

（2）动点P ，Q 同时从A ，C 出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M

为AP 的中点，N 在CQ 上，且CN ＝1

3

CQ ，设运动时间t （t ＞0）．

①求点M ，N 对应的数（用含t 的式子表示）． ②t 为何值时，OM ＝2BN ？

B 级

1．把线段AB 延长至D ，使BD ＝

3

2

AB ，再延长BA 至C ，使CA ＝AB ，则BC 是CD 的＿＿＿＿倍． 2．如图，AB ︰BC ︰CD ＝2︰3︰4，AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离是3厘米，则BC ＝＿＿＿＿厘米．

3．如图，C 是线段AB 的中点，D 是线段CB 上的一点，若所有线段的长度都是正整数，且线段AB 的所有可能的长度数的乘积等于140，则线段AB 的所有可能的长度数的和等于＿＿＿＿．

（“希望杯”邀请赛试题）

A

B C

A

B

C D E A B C D

M N A B

C D

4．如图，已知B ，C 是线段AD 上的两点，M 是AB 的中点，N 是CD 的中点，若MN ＝a ，BC ＝b ，则线段AD ＝＿＿＿＿．

5．如图，已知数轴上点A ，B ，C 所对应的数a ，b ，c 都不为0，且C 是AB 的中点．如果222a b a c b c a b c +--+--+-＝0，那么原点O 的位置在（ ）

A ．线段AC 上

B ．线段CA 的延长线上

C ．线段BC 上

D ．线段CB 的延长线上

（江苏省竞赛试题）

6．如图，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ︰PQ 等于（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．平面上有四个点，经过其中每两个点画一条直线，那么一共可以画直线（ ） A ．6条

B ．1条或3条或6条

C ．1条或4条

D ．1条或4条或6条

8．如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A ，B ，C ，D ，E ，F 离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G 正好是AF 的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（ ）

A ．A 处

B ．

C 处

C ．G 处

D ．

E 处

（江苏省竞赛试题）

9．电子跳蚤游戏盘为△ABC ，AB ＝8a ，AC ＝9a ，BC ＝10a ，如果电子跳蚤开始时在BC 边上P 0

点，BP 0＝4a ，第一步跳蚤跳到AC 边上P 1点，且CP 1＝CP 0；第二步跳蚤从P 1跳到边上P 2点，且AP 2＝AP 1；第三步跳蚤从P 2跳到BC 边上P 3点，且BP 3＝BP 2…跳蚤按上述规则跳下去，第2001次落到P 2001，请计算P 0与P 2001之间的距离．

（“华杯赛”邀请赛试题）

A B C D

M N A

B

C

a

c

b

Q A B C

M N P

A B C D E F

G 城市

10．设有甲、乙、丙三人，他们步行的速度相同，骑车的速度也相同，骑车的速度为步行速度的3倍．现甲自A 地去B 地，乙、丙则从B 地去A 地，双方同时出发，出发时，甲、乙为步行，丙骑车．途中，当甲、丙相遇时，丙将车给甲骑，自己改为步行，三人仍按各自原有方向继续前进；当甲、乙相遇时，甲将车给乙骑，自己又步行，三人仍按各自原有方向继续前进．问：三人之中谁最先到达自己的目的地？谁最后到达自己的目的地？

（“华罗庚金杯”竞赛试题）

11．已知数轴上A ，B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一点，对应数为x ． （1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 点对应的数．

（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点，B 点距离和为10？若存在，求出x 值；若不存在，请说明理由．

（3）若点A 、点B 和点P （点P 在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，1个（长度单位/分），则第几分钟时，P 为AB 的中点？

12．—条直线顺次排列着1990个点：P 1，P 2，…，P 1990，已知点k P 是线段11k k P P -+的k 等分点当中最靠近巧1k P +的那个点（2≤k ≤1989），如P 5是线段P 4P 6的5等分点当中最靠近P 6的那个分点．如果线段P 1P 2的长度是1，线段P 1989P 1990的长度为t ．

求证：1

t

＝1988198732???．

（浙江省竞赛试题）

一、重要概念

分类：

1.代数式与有理式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。单独

的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)

几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。划分代数式类别时，是从外形来看。如，

=x, =│x│等。

4.系数与指数

区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：乘法分配律

6.根式

表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根

⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);

⑵算术平方根与绝对值

①联系：都是非负数，=│a│

②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化

化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数

⑴( —幂，乘方运算)

①a>0时，>0;②a0(n是偶数)，⑵零指数：=1(a≠0)

负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)

二、运算定律、性质、法则

1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2.分式的性质

⑴基本性质：= (m≠0)

⑵符号法则：

⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)

3.整式运算法则(去括号、添括号法则)

4.幂的运算性质：①· = ;②÷ = ;③= ;④= ;⑤

技巧：

5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6.乘法公式：(正、逆用)

(a+b)(a-b)=

(a±b) =

7.除法法则：⑴单÷单;⑵多÷单。

8.因式分解：⑴定义;⑵方法：a.提公因式法;b.公式法;c.十字相乘法;d.分组分解法;e.求根公式法。

9.算术根的性质：= ; ; (a≥0,b≥0); (a≥0,b>0)(正用、逆用)

10.根式运算法则：⑴加法法则(合并同类二次根式);⑵乘、除法法则;⑶分母有理化：a. ;b. ;c. .

11.科学记数法：(1≤a<10,n是整数