初二奥数因式分解专题
八年级奥数专题
第一讲：勾股定理及应用----李
第二讲：实数的性质-------李
第三讲：二次根式（1）
第四讲：二次根式（2）
第五讲：一次函数的图像和性质
第六讲：待定系数法------李
第七讲：一次函数的应用-
第八讲：二元一次方程组和不定方程
第九讲：三元一次方程组与不定方程组
第十讲：二元一次方程组的应用
第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方
第十二讲：线段的垂直平分线
第十三讲：角平分线
第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组
第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1）
第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗
第十七讲：因式分解（1）
第十八讲：因式分解（2）
第十九讲：因式分解（3）
第二十讲：因式分解（4）
第二十一讲：因式分解（5）-----刘
第二十二讲：分式
第二十三讲：分式的运算
第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程
第二十五讲：分式方程的应用
第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁
第二十七讲：矩形
第二十八讲：菱形
第二十九讲：正方形
第三十讲：三角形的中位线
第三十一讲：梯形
第三十二讲：梯形的中位线------张皓
第一讲勾股定理及应用
1、勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2
2、勾股定理及逆定理的应用
①作已知线段a的2，3，5……倍
②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
③证明线段的平方关系等。
3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4勾股数的推算公式
a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,m 2+n 2是一组勾股数。
b) 如果k 是大于1的奇数，那么
k, 2
12
-k ,212
+k 是一组勾股数。
c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122
-??? ??K ,122
+??
? ??K 是一组勾股数。
d) 如果a,b,c 是勾股数，那么na,nb,nc(n 是正整数)也是勾股数。
5、熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41。
【例1】.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知，AB=8cm ，BC=10cm,求 CF 和
EC .
【巩固】.如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠，
使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 。
【例2】.如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积
分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .
(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明) (2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明； (3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.
拓展与提升
【巩固】.在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正
方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，求S 1＋S 2＋S 3＋S 4的值：_______________
【例3】.如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域.
(1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A 城受到这次台风影响，那么A 城遭受这次台风影响有多长时间？
【巩固】.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时”．一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O ”，?测得该车从北偏西60的A 点行
东
北
F
E
A B
l
3
2
1
S 4
S 3
S 2
S 1
驶到北偏西30°的B 点，所用时间为1．5秒． （1）试求该车从A 点到B 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速．
【例1】.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2 求对角线AC 的长
【例2】.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF
＝b,且S EFGH ＝32 求：a b 的值
（2001年希望杯数学邀请赛，初二）
培优与竞赛
2
1
D A B
C E
A B
C D F G
H
E
1.若△ABC 的三边abc 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，求△ABC 的面积。
2.如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,则AC 的长是__________
3.已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE ⊥DF ．求证：AE 2＋BF 2＝EF 2．
4.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响. （1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
5.Rt △ABC 中，∠ABC ＝90 ，∠C ＝600，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是＿＿＿＿。（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
l
l 2 l 3
A
C
B
课后练习
(12)
A B
C
E
F D
因式分解-奥数精讲与测试8年级
例1．分解因式： ⑴a6?b6； ⑵a2＋b2＋c2?2bc＋2ca?2ab； ⑶a7?a5b2＋a2b5?b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3?3abc；⑵x3＋y3＋3xy?1. 例3．分解因式：(x?1)3＋(x?2) 3＋(3?2x) 3例4．分解因式：x3?5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2?1)2十(x?1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2 A卷
一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a?b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 () 2 22 200220012003 2002200220012001 -? -?+ 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x?3)(x2十3x＋4)?8=_________。 05.将多项式x2?4y2?9z2?12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1? x2)(1? y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x?1是多项式x3?3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2?1)(x4＋x2＋1)? (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x?2y)x3?(y?2x) y3=_________。 二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3?3abc. 12.已知x y ≠，且x3?x=7，y3?y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷 一、填空题 01．分解因式ab(c2?d2)?cd(a2?b2)＝_________。
人教版八年级因式分解经典例题详解
初中因式分解的（例题详解） 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ))((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
初中奥赛因式分解习题大全
))(()()()()(1 22122by ay x b a b a y b a x a b y b a x n n n n +--=---=-+-++2 22212222)31(31)9132(319227131--=+--=+--++x x x x x x x x n n n n n ))(()()(22)()(222222 22222222 222222222222 22222y x c b a y c b a x c b a x c y c abxy x b y a abxy y b x a x c y c ay bx by ax +++=+++++=++-++++=++-++322a a -22129 b a ab c -a ab a -+2ab a 75.0432+a a a 24646-+-ax x a x a +-2233242566816y x y x y x -+-21---+m m m a a a ) ()()(b a a b y b a x ---+-) ()(3223x y y x y x y x -+-) 3)(()35)((y x b a y x b a -+--+因式分解的方法： 1提公因式法 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例：（1）-am+bm+cm=-m(a-b-c)； （2）a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b) （3） （4） （5） （6）2n(m-2n)(3m-2n)-3m(2n-3m)(2n-m) =2n(m-2n)(3m-2n)-3m(3m-2n)(m-2n) =(m-2n)(3m-2n)(2n-3m) 专项练习题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、
初二数学因式分解讲解
十字相乘法 一、导入 二、前一节课我们学习了关于x2+（p+q）x+pq这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。 因此，我们得到x2+（p+q）x+pq=（x+p）(x+q). 课前练习：下列各式因式分解 1．- x2+2 x+15 2．（x+y）2-8（x+y）+48； 3．x4-7x2+18；4．x2-5xy+6y2。 答：1．-（x+3）（x-5）；2．（x+y-12）（x+y+4）； 3．（x+3）（x-3）（x2+2）；4．（x-2y）（x-3y）。 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式因式分解。 对于二次项系数不是1的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解。 二、新课 例1 把2x2-7x+3因式分解。 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。 分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）。 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 1 3 1 -1 1 -3 2 × 3 2 ×1 2 ×-3 2 ×-1 1×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1）1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7 经过观察，第四种情况是正确有。这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。 解2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1c1 a2×c2 a1c2 + a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。 像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。 例2把6x2-7x-5分解因式。 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其
初二年级奥数因式分解测试题及答案
初二年级奥数因式分解测试题及答案1．下列式子是因式分解的是(C) A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1) 2．把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)则a，b的值分别是(B) A．a＝2，b＝3 B．a＝－2，b＝－3 C．a＝－2，b＝3 D．a＝2，b＝－3 知识点2 提公因式法因式分解 3．多项式8m2n＋2mn的公因式是(A) A．2mn B．mn C．2 D．8m2n 4．多项式a2－4a分解因式，结果准确的是(A) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4 5．把多项式m2(a－2)＋m(2－a)因式分解，结果准确的是(C) A．(a－2)(m2－m) B．m(a－2)(m＋1) C．m(a－2)(m－1) D．m(2－a)(m－1) 6．用提公因式法因式分解： (1)3x3＋6x4；
解：原式＝3x3(1＋2x)． (2)4a3b2－10ab3c； 解：原式＝2ab2(2a2－5bc)． (3)－3ma3＋6ma2－12ma； 解：原式＝－3ma(a2－2a＋4)． (4)6p(p＋q)－4q(p＋q)． 解：原式＝2(p＋q)(3p－2q)． 7．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是(A) A．3 B．2 C．1 D．－1 8．小玉同学在计算34.3×17.1＋82.5×17.1－26.8×17.1＋ 10×17.1＝17.1×(34.3＋82.5－26.8＋10)＝1_710． 9．把多项式x2＋mx＋5因式分解得(x＋5)(x＋n)，则m＝6，n＝1． 10．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一 次项系数而分解成(x－1)(x－9)，另一位同学因看错了常数项而分解 成(x－2)(x－4)，则这个二次三项式为x2－6x＋9． 11．将下列各式分解因式： (1)x4＋x3＋x； 解：原式＝x(x3＋x2＋1)． (2)x(x－y)＋y(y－x)； 解：原式＝x(x－y)－y(x－y) ＝(x－y)(x－y) ＝(x－y)2.
华师大版初二数学因式分解知识点及例题详解
初二数学——分解因式 一、 考点、热点分析 整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。 (一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± （3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ （4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ （5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．） ①二次三项式： 把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式. 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． ②十字相乘法的依据和具体内容 它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”． 注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数
因式分解-奥数精讲与测试8年级
例1．分解因式： ⑴a6-b6； ⑵a2＋b2＋c2-2bc＋2ca-2ab； ⑶a7-a5b2＋a2b5-b7 例2．分解因式： ⑴a3＋b3＋c3-3abc；⑵x3＋y3＋3xy-1. 例3．分解因式：(x-1)3＋(x-2) 3＋(3-2x) 3例4．分解因式：x3-5x＋4. 例5．分解因式：x5n＋x n＋1. 例6．分解因式：(x＋1)4＋(x2-1)2十(x-1) 4．例7．分解因式：a4＋b4＋c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2 A卷
一、填空题 01.分解因式(a＋b)2＋(a-b) 2＋c(a2+b2)＝_________。 02 ．计算 2 22 200220012003 2002200220012001 的结果等于_________。 03.已知x3＋x2＋x＋1=0，那么x2008十2x2000＋5x1996的值是_________。 04.分解因式（x2＋3x-3)(x2十3x＋4)-8=_________。 05.将多项式x2-4y2-9z2-12yz分解成因式的积，结果是_________。 06.把(1- x2)(1- y2)＋4xy因式分解，结果是_________。 07．已知x-1是多项式x3-3x+k的一个因式，那么这个多项式的其它因式有_________。 08.分解因式(x2-1)(x4＋x2＋1)- (x3＋1)2 =_________。09.分解因式a3b＋ab＋30b的结果是_________。 10.分解因式(x-2y)x3-(y-2x) y3=_________。 二、解答题 11．分解因式a3＋b3＋c3-3abc. 12.已知x y，且x3-x=7，y3-y=7，那么x2＋xy＋y2的值是多少？ B卷 一、填空题 01．分解因式ab(c2-d2)-cd(a2-b2)＝_________。
(易错题精选)初中数学因式分解难题汇编含答案解析
（易错题精选）初中数学因式分解难题汇编含答案解析 一、选择题 1．下列变形，属于因式分解的有（ ） ①x 2﹣16＝（x +4）（x ﹣4）；②x 2+3x ﹣16＝x （x +3）﹣16；③（x +4）（x ﹣4）＝x 2﹣16；④x 2+x ＝x （x +1） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：①x 2-16=（x+4）（x-4），是因式分解； ②x 2+3x-16=x （x+3）-16，不是因式分解； ③（x+4）（x-4）=x 2-16，是整式乘法； ④x 2+x =x (x +1))，是因式分解． 故选B ． 2．将3a b ab -进行因式分解，正确的是( ) A ．()2a a b b - B ．()21ab a - C ．()()11ab a a +- D ．()21ab a - 【答案】C 【解析】 【分析】 多项式3a b ab -有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解． 【详解】 ()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-， 故选：C ． 【点睛】 此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解； 3．如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）
A ．60 B ．16 C ．30 D ．11 【答案】C 【解析】 【分析】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可． 【详解】 ∵矩形的周长为10， ∴a+b=5， ∵矩形的面积为6， ∴ab=6， ∴a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30． 故选：C ． 【点睛】 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 4．下列从左到右的变形，是因式分解的是( ) A ．2(a ﹣b)＝2a ﹣2b B ．221(a b)(a b)1-=-+++a b C ．2224(2)x x x -+=- D ．22282(2)(2)x y x y x y -=-+ 【答案】D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义，把一个多项式变形为几个整式的积的形式是分解因式进行分析即可得出. 【详解】 解：由因式分解的定义可知： A. 2(a ﹣b)＝2a ﹣2b ，不是因式分解，故错误； B. 221(a b)(a b)1-=-+++a b ，不是因式分解，故错误； C. 2224(2)x x x -+=-，左右两边不相等，故错误； D. 22282(2)(2)x y x y x y -=-+是因式分解； 故选：D 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义和分解的规范要求是解题关键. 5．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰三角形
初二年级奥数因式分解练习题
初二年级奥数因式分解练习题 性质： 1、因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二 次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上能够证明，对于 一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式能够求解。仅仅因为 公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式 和四次多项式也有固定的分解方法，仅仅比较复杂。对于五次以上的 一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元 方程也没有固定解法。 2 、所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都能够因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都能够因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X4+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定能够因式分解。如果有兴趣，你也能够用待定系数法将其分解，仅仅分解出来的 式子并不整洁。(这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是 有n个根，也就是说，n次一元多项式总是能够分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每 对共轭的虚数根对应的一次因式相乘，能够得到二次的实系数因式， 从而这条结论也就成立了。) 3 、因式分解虽然没有固定方法，但是求两个多项式的公因式却有固 定方法。因式分解很多时候就是用来提公因式的。寻找公因式能够用 辗转相除法来求得。标准的辗转相除技能对于中学生来说难度颇高， 但是中学有时候要处理的多项式次数并不太高，所以反复利用多项式 的除法也能够但比较笨，不过能有效地解决找公因式的问题。 概念：
因式分解的定义和主要方法常规因式分解主要公式定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)。例如：(m+n)(m-n)=m2-n2 【方法】 因式分解没有普遍适用的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、使用公式法、分组分解法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。 注意四原则： 1.分解要彻底(是否有公因式，是否可用公式) 2.最后结果只有小括号 3.最后结果中多项式首项系数为正(例如：-3x2+x=x(-3x+1))不一定首项一定为正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z) 归纳方法： 1.提公因式法。 2.使用公式法。 3.拼凑法。 提取公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，公因式能够是单项式，也能够是多项式。 如果一个多项式的各项有公因式，能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式。
初二数学因式分解专题讲解
因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，余数定理法，求根公式法，换元法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x2+x=-x(3x-1)） 1 基本方法 1.1提公因式法☆☆☆ 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项都是时，公因式的系数应取各项系数的；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式 1.2 公式法☆☆☆ 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； ：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 补充公式: 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；
奥数-因式分解-1上海师
第 讲 因式分解1 知识点睛 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。分解因式最基本方法有： （1）提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。 （2）运用公式法： 平方差：22 ()()a b a b a b -=+- 完全平方：2222()a ab b a b ±+=± 立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ 2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++ 3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++--- （3）分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法。 （4）十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成 12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解 系数a ，b ，c ，使得： 12a a a = 12c c c = 1221a c a c b += 分解因式的步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式或十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其他方法。 分解因式时，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止，结果一定是乘积的形式，每一个因式都是整式，相同的因式的积要写成幂的形式。 经典例题 【例 1】 提取公因数法 1． 2． 3．
初二数学知识点归纳：因式分解
初二数学知识点归纳：因式分解 初二数学知识点归纳：因式分解 (1)因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 分解因式. (2)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式. (3)确定公因式的方法：公因数的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的. (4)提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式 乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. (5)提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个 因式. (6)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号. (7)因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式，因式分解的结果是乘积式.
(8)运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. (9)平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：a2-b2=(a+b)(a-b) (10)具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式 ①系数能平方，(指的系数是完全平方数) ②字母指数要成双，(指的指数是偶数) ③两项符号相反.(指的两项一正号一负号) (11)用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么. (l2)完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.字母表达式：a2±2ab+b2=(a±b)2 (13)完全平方公式的特点： ①它是一个三项式. ②其中有两项是某两数的平方和. ③第三项是这两数积的正二倍或负二倍. ④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方. (14)立方和与立方差公式：两个数的立方和(或者差)
因式分解分类讲解
因式分解一提公因式法 【知识要点】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3．分解因式的一些注意点 （1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止； （3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。 4．公因式 多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的. 5.提公因式法 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法. 6.确定公因式的方法 (1)系数公因式:应取多项式中各项系数为; (2)字母公因式:应取多项式中各项字母为. 《重点辨析》 提取公因式时的注意点
【学堂练习】 1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? (1))1 1(22x x x x +=+; (2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x 2．把下列各式分解因式 （1）a ab a 3692+- （2）4324264xy y x y x +-- 【经典例题】 例1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a ----- （3）32)2()2(2x y b y x a -+- （4）32)3(25)3(15a b b a b -+- （5）432)(2)(3)(x y x y y x -+--- （6）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+
初二数学因式分解知识点经典总结
整式乘除与因式分解 概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)； 完全立方公式：a3±3a2b＋3ab2±b3=(a±b)3． 公式：a3+b3+c3 =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
16因式分解奥数专题
八年级奥数专题 第一讲：勾股定理及应用----李 第二讲：实数的性质-------李 第三讲：二次根式（1） 第四讲：二次根式（2） 第五讲：一次函数的图像和性质 第六讲：待定系数法------李 第七讲：一次函数的应用- 第八讲：二元一次方程组和不定方程 第九讲：三元一次方程组与不定方程组 第十讲：二元一次方程组的应用 第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方 第十二讲：线段的垂直平分线 第十三讲：角平分线 第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组 第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1） 第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗第十七讲：因式分解（1） 第十八讲：因式分解（2） 第十九讲：因式分解（3） 第二十讲：因式分解（4） 第二十一讲：因式分解（5）-----刘 第二十二讲：分式 第二十三讲：分式的运算 第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程 第二十五讲：分式方程的应用 第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁 第二十七讲：矩形 第二十八讲：菱形 第二十九讲：正方形 第三十讲：三角形的中位线 第三十一讲：梯形 第三十二讲：梯形的中位线------张皓 注意：文字用宋体五号字
第一讲 勾股定理及应用 1、勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠?a 2＋b 2=c 2 2、勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a 的2，3， 5……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2 ，那么这三个正整数a,b,c 叫做 一组勾股数. 4勾股数的推算公式 a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2 是一组勾股数。 b) 如果k 是大于1的奇数，那么k, 2 12-k ,21 2 +k 是一组勾股数。 c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122 -??? ??K ,122 +?? ? ??K 是一组勾股数。 d) 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 5、 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5， 12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 【例1】.折叠矩形ABCD 的一边AD,点D 落在BC 边上的点F 处,已知，AB=8cm ，BC=10cm,求 CF 和 EC . 【巩固】.如图，在矩形ABCD 中，,6=AB 将矩形ABCD 折叠， 使点B 与点D 重合，C 落在C '处，若21：：=BE AE ，则折痕 EF 的长为 。 拓展与提升 知识梳理
初二因式分解详解
初中因式分解详解 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 注意这两个例题的区别！ 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；
奥数-因式分解-2(师)
第十四讲 因式分解2 第一部分：知识要点 以下的几种方法是因式分解中常用的： 1、 换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母代替它，从 而简化运算过程，分解以后要注意将新字母还原。 2、 双十字相乘法：对于某些二元二次六项式2 2 ax bxy cy dx ey f +++++可以看作关于x 的多项式2 2 ()()ax by d x cy ey f +++++，先用十字相乘法将“常数项”2 cy ey f ++分解，再次利用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 3、 待定系数法：若能断定多项式可分解为某几个确定次数因式的乘积，而这几个因式中的 某些系数尚未确定，就可以用一些字母来表示待定的系数。将这几个因式相乘以后，与多项式的系数进行比较，就可以求出待定的系数。 4、 利用因式定理分解 因式定理：如果x=a 时，多项式1 110()...n n n n f x a x a x a x a --=++++的值为0，那么 x-a 是该多项式的一个因式。 【余数定理】n 次多项式()f x 除以x a -，其商式()q x 为x 的1n -次多项式，余数记为r ，并且有恒等式：()()()f x x a q x r =-?+ 5、 在上式中，当x a =时，得()f a r =，由此可得余数定理。 6、 添项、拆项法：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相 反的项。使得便于用分组分解法进行分解因式。 6. 因式分解这一章在整个初中代数中占有重要的地位及作用，应该注意以下几点： ①因式分解的对象是多项式，如果不是多项式，即使写成乘积的形式也不是因式分解。 ②结果一定是乘积的形式。 ③每个因式必须是整式。 ④分解要彻底。 ⑤一般而言，把一个多项式分解因式时，可按下列步骤进行： 多项式各项有公因式时，因先提取公因式； 各项没有公因式时，看能否用公式法分解； 对于二次三项式可考虑用完全平方公式或十字相乘法分解； 如果运用上述方法不能分解时，再看能否用分组分解法分解。
初二因式分解详解
初中因式分解详解 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ))((, )(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=- 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前 两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联 系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外 分组。 解：原式=)()(2 2ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =2 2)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 注意这两个例题的区别！ 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 22 22---
奥数因式分解讲课教案
一、常用公式： 二、常用因式分解方法 1、提取公因式法 2、运用公式法 3、分组分解法 4、十字相乘法 5、拆项、添项法
三、例题讲解 1、提取公因式法 例1 x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n, (b-a)2n+1=-(a-b)2n+1 解：原式=(a-b)2n[x-y(a-b)]=(a-b)2n(x-ay+by) 例2 (ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项 解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开） =(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项） =(a2+b2+c2)(x2+y2) （提取公因式） 2、运用公式 例1 x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6) （提取公因式） =xy[(x3)2-(y3)2] （公式2：平方差公式） =xy(x3-y3)(x3+y3) （公式6：立方和/差公式） =xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2) 例2 (a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和 原式=(a+2b+c)3-[(a+b)3+(b+c)3] （添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)[(a+b)2-(a+b)(b+c)+ (b+c)2] （应用立方和公式展开） =(a+2b+c){[(a+2b+c)2-(a+b)2]+(a+b)(b+c)- (b+c)2} （提取公因式a+2b+c形成平方差公式）=(a+2b+c)[(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)- (b+c)2] （提取公因式b+c） =(a+2b+c)(b+c)[(2a+3b+c)+(a+b)- (b+c)] （合并化简） = 3(a+b) (b+c) (a+2b+c) 例3 若x=，y=，则x6+y6的值是： 解：x6+y6=(x2)3+(y2)3 =(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2] （应用立方和公式） =(x2+y2)[(x2+y2)2-3x2y2] （应用完全平方公式） ∵x2+y2=()2+()2=4, 3x2y2=3×()2×()2=6 ∴x6+y6=4×(42－6)=40 3、分组分解法 提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。 1)按系数分组 例2ax-10ay+5by-bx = (2ax-10ay)+(5by-bx) =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b) (x-5y) 2)按字母分组 例x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1) =ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括号） =[ ax3 -axy(x-y)]+[bxy(x-y)+by3]+[x3+y3] （适当分组） =(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3) （去括号化简） =ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2) （提取公因式及应用立方和公式）