行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开
分布图示
★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行(列)展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行(列)展开法则计算行列式
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8
★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4
内容要点
一、行列式按一行(列)展开
定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记
ij j i ij M A +-=)1(
称ij A 为元素ij a 的代数余子式.
引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零,则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即
ij ij A a D =
定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即
),,,2,1(2211n i A a A a A a D in
in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj
nj j j j j =+++=
推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即
,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++
或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++
综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:
?
??≠===∑=;,0,
,1j i j i D D A a ij n
k kj ki 当当δ 或 ?
??≠===∑=.
,
0,,1
j i j i D D A a ij n
k jk ik 当当δ
其中,??
?≠==j
i j
i ij ,
0,
1δ
二、行列式的计算
直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时,一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.
例题选讲
例1 设有5阶行列式: 1
5131
31200011231
45201
3101-----=D .
(1),111=a 其余子式,1
513
312
001121452
11----=
M 其代数余子式
.)1()1(11112111111M M M A =-=-=+
(2),134=a 其余子式1
13
13
2
001520110
134---=
M , 其代数余子式
.)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+
例2求下列行列式的值:
(1)214
121
312
-- (2)1
20250723
解 (1) 2
13
142131)1(211222
1
4
121
312
-?+-?--?=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=
(2) .3)45(31
22
531
20250
7
23=-=?
=
例3 (E01) 试按第三列展开计算行列式.50
2
1
01
1321014321---=
D
解 将D 按第三列展开,则有
,4343333323231313A a A a A a A a D +++= 其中,313=a ,123=a ,133-=a ,043=a
13A 3
1)1(+-=5
210132
01--,19= 33A 3
3)1(+-=5
212014
21-,18= 23A 3
2)1(+-=521013421-- ,63-= 43A 34)1(+-=0
132014
21-,10-=
所以 )63(1193-?+?=D )10(018)1(-?+?-+.24-=
例4 (E02) 计算行列式 .50
2
1
01
1321014321
---=
D
解 5
2
1
011321014321
---=
D 313
422r r r r ++
5
20
7
1
1321
014107
----
52721
1
417
)1()1(23---?-=+
212
32r r r r -+ 1
0921
1
2
6-
.241861
92
6)
1(12
2-=--=--?=+
例5 (E03) 计算行列式 .0
532004140013202
52
7
1
02135----=D
解 5
3204
1401
3202
1352
)1(0
53200
4140013
2
02
527
10213552-----=----=+D 5324141
3
2
52---?-=
121
3)2(r r r r -++6
60
270
1
3210---
.1080)1242(206
6
27)
2(10-=--=--?-=
例6 (E04) 求证 21)1(11213112
2
1
1
132114321-+-=---n n x x x x x x x n x x n x
n n .
证 D
322
1143r r r r r r r r n
n ----- 1
1
1111111
1000011000
11100
11110
11110
x
x
x
x x x x ----
.)1(1
10
000000100
010
00010000)1(211-++-=-----=n n n x x
x
x x x x x x
例7 (E05) 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
,)(1111
1121
1
2
22
2
1
2
1
∏≥>≥----==j i n j i n n
n n n
n
n x x x x x x x x x x x D
其中记号“П”表示全体同类因子的乘积.
证 用数学归纳法. 2D 2
1
11x x =
12x x -=,)(1
2∏≥>≥-=
j i j
i
x x
∴当2=n 时(1)式成立. 假设(1)式对于1-n 时成立,则
)
()()(0
)()
()
(0
011111213231222113312211312x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D n n n n n n n n n ---------=---
=)
())((11312x x x x x x n --- 2232
2
32111---n n
n n n x x x x x x
n D ∏≥>≥----=2
11312)()
())((j i n j
i
n x x x x x x x x ∏≥>≥-=1
).(j i n j
i
x x
例8 设,3
142
3
1
3
150111253
------=
D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,
求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.
解 注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即
3142
3
1
3
150111111
14131211-----=
+++A A A A
341
3r r r r +-
11
20
2
25
0111111
---
1
1
222511---= 1
2c c + .42
05
20
1
202
511
=-=--
又按定义知,
3
1413
1
3
1
50111251
4131211141312111-------=
-+-=+++A A A A M M M M
3
4r r +
3
1
1
501121)1(0
10
31
3
15
0111251
---=----
3
12r r - .03
1
150
15
01=-----
例9 用拉普拉斯定理求行列式 2
100321003210032 的值.
解 按第一行和第二行展开 2
100321003210032=
2132)1(21322121+++-?2031)1(31023121+++-?+2
03
0)1(32033221+++-?+ 0121+-=.11-=
例10 计算n 2阶行列式.22
n
n d
c d c b a b
a D =
(其中未写出的元素为0).
解 把n D 2中的第n 2行依次与第12-n 行,…,第2行对调(作22-n 次相邻对换),再把第n 2列依次与第12-n 列, …,第2列对调,得
.)(0
00
0000)
1()1(2)1(21)
22(22----==-=n n n n D bc ad D D d
c
d
c b a b
a d c
b a D
以此作递推公式,得
.)()()(21)1(22n n n n bc ad D bc ad D bc ad D -=-==-=--
课堂练习
1. 计算行列式 .33
5
1
110243152113
------=
D
2. 讨论当k 为何值时
.02002
000110
011≠k
k
k
3.设n 阶行列式 ,00103010
2
1
321n n D n
=求第一行各元素的代数余子式之和
.11211n A A A +++
第2讲行列式按行(列)展开及计算
授课时间 第 周 星期 第 节 课次 2 授课方式 (请打√) 理论课□ 讨论课□ 实验课□ 习题课□ 其他□ 课时 安排 2 授课题目(教学章、节或主题): 第二讲 行列式按行(列)展开及计算 教学目的、要求(分掌握、熟悉、了解三个层次): 熟练掌握行列式按行(列)展开;掌握运用行列式的定义与性质计算行列式;熟悉一些典型行列式的计算;熟悉用数学归纳法证明行列式. 教学重点及难点: 重点:行列式按行(列)展开;利用行列式的定义与性质计算行列式 难点:行列式的计算 教 学 基 本 内 容 备注 一、行列式按行(列)展开 引理 一个n 阶行列式,如果其中第i 行所有元素除),(j i 元ij a 外都为零, 那么这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积. 定理 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ) ,2,1(,),2,1(,22112211n j A a A a A a D n i A a A a A a D nj nj j j j j in in i i i i =++==++= (按行(列)展开法则) 推论 行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠++=,2211 或 .,2211j i A a A a A a D nj ni j i j i ≠++= 例1、3 2 3 1 11024315211 14----= D
解 法 1:241227 1 51271031251 13 4 312014 260211 14-=?-=---=----=------= D 解法2:244 8 224 8 1112021 2 3 5 010******** 14-=-= ---=-----= D 例2、设2 1 3 12 1014112 5 1 014---=D ,(1)求41312111A A A A +--;(2)444342412A A A A +-+。 解:(1)041312111=+--A A A A (2)4444444342414443424133422A A A A A A A A A A -=-+-+=+-+ 61 11 13 1 011121 13=--=---= 二、行列式的计算 例3、n n n n n b a a a a b a a a a b a D +++= 2 1 2212 1 1,其中021≠n b b b 解:n n n n n n n b a a a a b a a a a b a a a a D D +++==+ 2 1 2 212112 11 0001=n n b b b a a a 0 0100100112121---
第三讲 行列式按行按列展开
单位:理学院应用数学物理系计算数学教研室 批准:日期:年月日任课教员:刘静 课程名称:线性代数 章节名称:第一章行列式 课题:第三讲行列式按行按列展开 目的、要求: 1. 行列式的按行按列展开法则; 2. 掌握行列式的计算方法。 难点、重点:行列式按行按列展开法则及其应用。 器材设备:多媒体设备 课前检查
教学内容课堂组织
教学内容: 本讲主要介绍: 1. 行列式的按行(列)展开法则; 2. 掌握行列式的计算方法。 教学方法与思路: 1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念; 2. 对于三阶行列式,容易验证: 1112132223212321232122231112 13 32 33 31 33 31 33 31 32 33 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+ 可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。 由此容易想到:一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n -1 阶行列式来计算? 3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法,从而给出一个引理; 4. 进而介绍行列式的按行(列)展开法则。 教学中运用多媒体手段,讲解、板书与教学课件相结合,以讲解为主。 教学步骤: 教学内容、方法、步骤
教学内容课堂组织 1. 介绍余子式和代数余子式的概念; 2. 引理; 3. 行列式的按行(列)展开法则; 4. 应用举例。 5. 小结并布置作业。
212 n n n nn a a a 中仅含下面形式的项 a M =1 0n ij n nj nn a a a a 行依次与第i-1行,第i-2行,……,第21,1,11,,1 (1)i j j i j i n ij nj n j nn a a a M a a a +-----=-
行列式按行(列)展开
第四节 行列式按行(列)展开 分布图示 ★ 引例 ★ 余子式与代数余子式 ★ 例1 ★ 引理 ★ 行列式按行(列)展开 ★ 例2 ★ 例3 ★ 应用按行(列)展开法则计算行列式 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 拉普拉斯定理 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题1-4 内容要点 一、行列式按一行(列)展开 定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记 ij j i ij M A +-=)1( 称ij A 为元素ij a 的代数余子式. 引理 一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零,则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即 ij ij A a D = 定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即 ),,,2,1(2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D nj nj j j j j =+++= 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即 ,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++ 或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++ 综上所述, 可得到有关代数余子式的一个重要性质:
? ??≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ 或 ? ??≠===∑=. , 0,,1 j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ 其中,?? ?≠==j i j i ij , 0, 1δ 二、行列式的计算 直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时,一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式. 例题选讲 例1 设有5阶行列式: 1 5131 31200011231 45201 3101-----=D . (1),111=a 其余子式,1 513 312 001121452 11----= M 其代数余子式 .)1()1(11112111111M M M A =-=-=+ (2),134=a 其余子式1 13 13 2 001520110 134---= M , 其代数余子式 .)1()1(34347344334M M M A -=-=-=+ 例2求下列行列式的值: (1)214 121 312 -- (2)1 20250723 解 (1) 2 13 142131)1(211222 1 4 121 312 -?+-?--?=-- .272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=