二次函数导学案(全章)解析

第1课时 二次函数的概念

【学习目标】

1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系；2．探索并归纳二次函数的定义；3．能够表示简单变量之间的二次函数关系。

【学习重点】掌握二次函数的概念并能利用概念解答相关的题型。 【课时类型】概念课 【学习过程】 一、学习准备

1．函数的定义：在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称 是 的函数，其中 是自变量， 是因变量。

2．一次函数的关系式为y= (其中k 、b 是常数，且k≠0)；正比例函数的关系式为y ＝ (其中k 是 的常数)；反比例函数的关系式为y= (k 是 的常数)。 二、解读教材——数学知识源于生活

3．某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有 棵橙子树，这时平均每棵树结 个橙子，如果果园橙子的总产量为y 个，那么y= 。

4．如果你到银行存款100元，设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。那么你能写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)吗？ 。 5．能否根据刚才推导出的式子y=-5x 2+100x+60000和y=100x 2+200x+100猜想出二次函数的定义及一般形式吗？

一般地，形如y ＝ax 2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。它就是二次函数的一般形式，理解并熟记几遍。

例1 下列函数中，哪些是二次函数？

(1)2

321x y +-= (2)112+=x y

(3)x y 222

+=

(4)2

51t t s ++= (5)

2

2)3(x

x y -+= (6)2

10r

s π=

即时练习：下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2)25213

2+-=x x y

(4)

1132--=）（x y (5)c

ax y -=2

(6)12+=x s

三、挖掘教材

6．对二次函数定义的深刻理解及运用 例2 若函数

12

32

++=+-kx x y k k

是二次函数，求k 的值。

分析：x 的最高次数等于2，即k 2-3k+2=2，求出k 的值即可。 解：

即时练习：若函数1)3(2

32++-=+-kx x

k y k k 是二次函数，则k 的值为 。

四、反思小结

1．我们通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。 2．定义：一般地，形如y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的函数叫做x 的二次函数。 3．二次函数y=ax2+bx+c(a ，b ，c 是常数，a≠0)的几种不同表示形式：

(1) y=ax2 (a≠0)； (2) y=ax2+c (a≠0且c≠0)； (3) y=ax2+bx (a≠0且b≠0)。

4．二次函数定义的核心是关键字“二”，即必须满足自变量最高次项的指数为_____，且______项系数不为_____的整式。 【达标测评】

1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A ．y =(x －1)(x +2)

B ．y =

2

1

(x +1)2 C ．y =2(x +3)2－2x 2 D ．y =1－

3x 2

2．在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系是 。

3．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式是 ，它是 函数。

4．正方形的边长是5，若边长增加x ，面积增加y ，则y 与x 之间的函数表达式为 。 5．当m= 时，

2

2

)2(--=m

x m y 是二次函数；若函数

m

m

x m y --=2

)2(是二次函数，则m= 。

6．已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 都是常数）：当a 时，它是二次函数；当a ，b 时，它是一次函数；当a ，b

，c 时，它是正比例函数。 7．若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k 。

第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质

【学习目标】1．能够利用描点法做出函数y＝ax2的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质；

2．理解二次函数y＝ax2中a对函数图象的影响。

【学习重点】经历探索二次函数y＝ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

【学习难点】能够利用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2的性质。

【学习过程】

一、学习准备

1．正比例函数y=kx(k≠0)是图像是。

2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是。

3．反比列函数y=

k

x

(k≠0)的图像是。

4．当我们还不了解一种函数图像的形状时，只能用描点法研究，描点法的一般步骤是：，，。

二、解读教材

5．试作出二次函数y＝x2的图象。

（1）画出图象：①列表：（注意选择适当的x值，并计算出相应的y值）

②描点：（在右图坐标系中描点）

③连线：（应注意用光滑的曲线连接各点）

（2）根据图像，进行小结：

①y＝x2的图像是，且开口方向是。

②它是对称图像，对称轴是轴。在对称轴的左侧（x>0）,y随x的增大而；在对称轴的右侧（x<0），y随x的增大而。

③图像与对称轴有交点，称为抛物线的顶点

此时，坐标为（，）。

④因为图像有最低点，所以函数有最值，当x=0时，y最小= 。

2的图象。

小结：①y＝-x2的图像是，且开口向。

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：在对称轴左侧，y随x，在对称轴的右侧，y随x的增大。

③顶点坐标是：（，），且从图像看出它有最点，所以函数有最值。当x=0时，。

同时，a 决定图象在同一直角坐标系中的开口方向，|a|越小图象开口 。 9．例 已知：抛物线

102

-+=m m mx y ，当x>0时，y 随x 的增大而增大，求m 的值。

10．已知抛物线y=ax 2经过点A （-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；

（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。 四、反思小结

二次函数的y ＝ax 2（a≠0）的图象与性质：五个方面理解： ， ， ， ， 。 【达标测评】

1．抛物线y=2x 2的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，y 随着x 的增大而增大；在 侧,y 随着x 的增大而减小。当x= 时，函数y 的值最小,最小值是 。抛物线y=2x 2的图象在 方（除顶点外）。

2．函数y ＝x 2的顶点坐标为 ，若点（a ，4）在其图象上，则a 的值是 。

3．函数y ＝x 2与 y ＝-x 2的图象关于 对称，也可以认为y ＝-x 2 是函数y ＝x 2的图象绕 旋转得到的。 4．求出函数y=x+2与函数y ＝x 2的图象的交点坐标 。

5．若a>1，点（a-1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y ＝x 2的图象上，判断y 1，y 2，y 3的大小关系是 。

授课班级上课时间姓名

【学习目标】1．会用描点法作出函数y＝ax2+k的图象，能根据图象认识和理解二次函数y＝ax2+k的性质；

2．理解二次函数y＝ax2+k中a和k对函数图象的影响；

3．理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。

【学习重点】理解二次函数y＝ax2+k的性质。

【学习难点】理解二次函数y＝ax2与y＝ax2+k的关系。

【学习过程】一、学习准备1．画出两条抛物线的草图并填空。

二、解读教材2．用描点法作出二次函数y＝2x2+1的图像。

小结：①y＝2x2+1的图像是，且开口向。

②对称轴是，在对称轴左右的增减性分别是：

在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x

③顶点是：( ， )，且从图像看它有最点，则函数y有最值，即当x= 时有最值是。3．在同一直角坐标系中，作出二次函数y＝-x2，y＝-x2+2，y＝-x2-2

小结：

①抛物线y＝ax2+k的开口方向由决定，当时，开口向上；当时，开口向下。

②对称轴是，当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的增大而。且函数y当x=0时y min=。当a<时，在对称轴左侧，y随x的增大而，在对称轴的右侧，y随x的