上海市浦东新区2021届新高考数学教学质量调研试卷含解析

上海市浦东新区2021届新高考数学教学质量调研试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x +=+

-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9

B ．10

C ．18

D ．20

【答案】B

【解析】

【分析】 由已知可得函数f （x ）的周期与对称轴，函数F （x ）＝f （x ）412x x ++

-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x +=-

-图象在[9,10]-上交点的个数，作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，数形结合即可得到答案.

【详解】

函数F （x ）＝f （x ）412x x ++-在区间[9,10]-上零点的个数等价于函数f （x ）与g （x ）412x x

+=--图象在[9,10]-上交点的个数，

由f （x ）＝f （2﹣x ），得函数f （x ）图象关于x ＝1对称，

∵f （x ）为偶函数，取x ＝x+2，可得f （x+2）＝f （﹣x ）＝f （x ），得函数周期为2.

又∵当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x ，且f （x ）为偶函数，∴当x ∈[﹣1，0]时，f （x ）＝﹣x ， g （x ）44191221242

x x x x x ++=-==+---， 作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图：

由图可知，两函数图象共10个交点，

即函数F （x ）＝f （x ）412x x

++

-在区间[9,10]-上零点的个数为10. 故选：B.

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 2．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）

A ．5 B

．30 C ．6 D ．25 【答案】C

【解析】

【分析】

以D 为原点，DA ，DC ，DD 1 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由向量法求出直线EF 与平面AA 1D 1D

所成角的正弦值．

【详解】

以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1

的棱长为2，则()2,1,0E ，()1,0,2F ，()1,1,2EF =--u u u v ，

取平面11AA D D 的法向量为()0,1,0n =r

， 设直线EF 与平面AA 1D 1D 所成角为θ，则sinθ＝|6cos ,|6EF n EF n EF n

?==?u u u v r u u u v r u u u v r ， ∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为6. 故选C ．

本题考查了线面角的正弦值的求法，也考查数形结合思想和向量法的应用，属于中档题．

3．函数

2

sin cos

()

20

x x x

f x

x

=+在[2,0)(0,2]

ππ

-?上的图象大致为( )

A．B．

C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】

解：依题意，

22

sin()()cos()sin cos

()()

2020

x x x x x x

f x f x

x x

---

-=+=+=

-

，故函数()

f x为偶函数，图

象关于y轴对称，排除C；

而

2

()0

20

f

π

π=-<，排除B；

2

(2)0

5

f

π

π=>，排除D.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.

4．已知符号函数sgnx

10

00

10

x

x

x

?

?

==

?

?-

?

，＞

，

，＜

f（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则

（）

A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnx C．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）] 【答案】A

根据符号函数的解析式，结合f （x ）的单调性分析即可得解.

【详解】

根据题意，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ），而f （x ）是R 上的减函数，

当x ＞0时，x ＜ax ，则有f （x ）＞f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＞0，此时sgn[g （ x ）]＝1， 当x ＝0时，x ＝ax ，则有f （x ）＝f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＝0，此时sgn[g （ x ）]＝0， 当x ＜0时，x ＞ax ，则有f （x ）＜f （ax ），则g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）＜0，此时sgn[g （ x ）]＝﹣1， 综合有：sgn[g （ x ）]＝sgn （x ）；

故选：A ．

【点睛】

此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论. 5．若()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，则z ＝（ ）

A ．163i

B ．6i

C ．203i

D ．20

【答案】C

【解析】

【分析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

()()()32326z i a i a a i =-+=++-

∵()()()32z i a i a R =-+∈为纯虚数，

∴320a +=且60a -≠ 得23a =-，此时203

z i = 故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

6．公差不为零的等差数列{a n }中，a 1+a 2+a 5=13，且a 1、a 2、a 5成等比数列，则数列{a n }的公差等于( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】

【分析】

设数列的公差为,0d d ≠，

125113,3513a a a a d ++=∴+=Q ①.

125,,a a a Q 成等比数列，()()21114a d a a d ∴+=+②，

解①②可得2d =.

故选：B .

【点睛】

本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.

7．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56

x π=，且12()()4f x f x ?=-，则12x x +的最小值为( )

A ．3π-

B ．0

C ．3π

D ．23

π 【答案】D

【解析】

【分析】

运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，函数()sin )(f x a x x x θθ==+为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622

a f π=+，

即322a +=1a =，所以()2sin()3

f x x π=-， 又由12()()4f x f x ?=-，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6

x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3

x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23

π，故选D. 【点睛】

本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

A ．41n n S a =-

B ．21n n S a =+

C ．21n n S a =-

D ．43n n S a =- 【答案】C

【解析】

【分析】 在等比数列中，由11n n a a S q q -?=

-即可表示之间的关系. 【详解】 由题可知，等比数列{}n a 中11a =，且公比为2，故11221112

n n n n a a q a a q S -?-=

==--- 故选：C

【点睛】

本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题. 9．函数sin y x x =+在[]2,2x ππ∈-上的大致图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

【分析】

讨论x 的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.

【详解】

当0x ≥时，sin y x x =+，则cos 10y x '=+≥，

所以函数在[]0,2π上单调递增，

令()cos 1g x x =+，则()sin g x x '=-，

当[]0,x π∈时，()sin 0g x x '=-<，故切线的斜率变小，

当[],2x ππ∈时，()sin 0g x x '=->，故切线的斜率变大，可排除A 、B ；

当0x <时，sin y x x =-+，则cos 10y x '=-+≥，

所以函数在[]2,0π-上单调递增，

令 ()cos 1h x x =-+，()sin h x x '=，

当[]2,x ππ∈--时，()sin 0h x x '=>，故切线的斜率变大，

当[],0x π∈-时，()sin 0h x x '=<，故切线的斜率变小，可排除C ，

故选：D

【点睛】

本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题. 10．已知()4sin 5πα+=

，且sin 20α<，则tan 4πα??- ???的值为（ ） A ．7

B ．7-

C ．17

D ．17- 【答案】A

【解析】

【分析】

由()4sin 5πα+=

及sin 20α<得到sin α、cos α，进一步得到tan α，再利用两角差的正切公式计算即可.

【详解】

因为()4sin 5

πα+=，所以4sin 5α=-，又sin 22sin cos 0ααα=<，所以3cos 5α=， 4tan 3α=-，所以41tan 13tan 7441tan 13

πααα---??-=== ?+?

?-. 故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

11．已知向量()1,2a =r ，()2,2b =-r ，(),1c λ=-r ，若()

//2c a b +r r r ，则λ=（ ） A ．

B ．

C ．1-

D ．1

【解析】

【分析】

根据向量坐标运算求得2a b +r

r ，由平行关系构造方程可求得结果.

【详解】 ()1,2a =r Q ，()2,2b =-r ()24,2a b ∴+=r r

()

//2c a b +r r r Q 24λ∴=-，解得：2λ=- 故选：A

【点睛】

本题考查根据向量平行关系求解参数值的问题，涉及到平面向量的坐标运算；关键是明确若两向量平行，则12210x y x y -=.

12．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

因为对A 不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；

对B 满足函数定义，故符合；

对C 出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；

对D 因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．

故选B ．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，1352

a a +=，且2454a a +=，则66=S a __________. 【答案】63

【解析】

由题意知241312

a a q a a +=

=+，继而利用等比数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式代入求值即可. 【详解】 解：由题意知241312a a q a a +==+，所以61666556

61(1)11()112631(1)()2

a q S q q a a q q q ----====-. 故答案为：63.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，属于中档题.

14．函数(

)()2log 1f x x =

-的定义域为__________．

【答案】[)0,1

【解析】

【分析】

根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.

【详解】 解:要使函数有意义,则010x x ≥??->?

, 即01x ≤<.则定义域为: [)0,1.

故答案为: [)0,1

【点睛】

本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.

15．某校高二（4）班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二（4）班全体同学用餐平均用时为____分钟.

【答案】7.5

【解析】

【分析】

分别求出所有人用时总和再除以总人数即可得到平均数.

【详解】

76+147+1584107.5714154

???+?=+++ 故答案为：7.5

此题考查求平均数，关键在于准确计算出所有数据之和，易错点在于概念辨析不清导致计算出错. 16．如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，则22sin sin A B

+=__________．

【答案】

103

【解析】

【分析】 由题意可知A C π+=，B D π+=，在ABD ?和BCD ?中，利用余弦定理建立

方程求cos A ，同理求cos B ，求sin ,sin A B ，代入求值.

【详解】

由圆内接四边形的性质可得180C A ∠=?-∠,180D B ∠=?-∠．连接BD ，在ABD ?中，

有2222cos BD AB AD AB AD A =+-?．在BCD ?中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-?． 所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-?=++?,

则2222222265343cos 2()2(6534)7

AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===?+??+?，所以223210sin 1cos 1()77

A A =-=-= 连接AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19

AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===?+??+?, 所以221610sin 1cos 1()19B B =-=-=22410sin sin 3

210610A B +=+=． 故答案为：

4103

【点睛】 本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本