《线性代数》第四章向量组的线性相关性精选习题及解答

向量组的线性有关性归纳

第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +

线性代数第三章向量复习题()

向量复习题（3） 一、填空题： 1.当t _______时，向量123(1,2,2),(4,,3),(3,1,1)T T T t ααα=-==-线性无关. 2.. 向量(1,2,1),T α= 则 T αα= T αα?= ， 3. 如果n ααα,,,21???线性无关，且1+n α不能由n ααα,,,21???线性表示，则 121,,,+???n ααα 的线性 4. 设T )5,2(1=α , T a )1(2，=α，当=a 时，21,αα线性相关. 5. 一个非零向量是线性 的，一个零向量是线性 的. 6. 设向量组A: 321,,ααα线性无关，31αα+，12αα-，32αα+线性 7. 设A 为n 阶方阵，且1)(-=n A r ， 21,αα是AX=0的两个不同解，则21αα，一定 线性 8. 向量组1,,l ββL 能由向量组1,,m ααL 线性表示的充分必要条件是 12(,,)m R ααα 1212(,,,)m l R αααβββ ,,,。(填大于，小于或等于) 9.设向量组()11,1,1α= ,()21,2,3α= ,()31,3,t α=线性相关，则t 的值为 。 二、选择题： 1. . n 阶方阵A 的行列式0=A ,则A 的列向量（ ） Ａ．线性相关 Ｂ．线性无关 Ｃ．0)(=A R Ｄ．0)(≠A R 2. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组

C 、任意r 个行向量线性相关 D 、任一行都可由其余r 个行向量线性表示 3. 设有n 维向量组（Ⅰ）：12,,,r ααα 和（Ⅱ）：12,,,()m m r ααα> ，则（ ）． A 、向量组（Ⅰ）线性无关时，向量组（Ⅱ）线性无关 B 、向量组（Ⅰ）线性相关时，向量组（Ⅱ）线性相关 C 、向量组（Ⅱ）线性相关时，向量组（Ⅰ）线性相关 D 、向量组（Ⅱ）线性无关时，向量组（Ⅰ）线性相关 4. 下列命题中正确的是( ) (A)任意n 个1+n 维向量线性相关 (B)任意n 个1+n 维向量线性无关 (C)任意1+n 个n 维向量线性相关 (D)任意1+n 个n 维向量线性无关 5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( ) （A ）s r = (B) s r ≤ (C) r s ≤ (D) r s < 6. n 维向量组 s ααα，，， 21(3≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）. (A ）s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 (B) s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 (C) s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D) s ααα，，， 21中不含零向量 7. 向量组n ααα,,,21???线性无关的充要条件是（ ） A 、任意i α不为零向量 B 、n ααα,,,21???中任两个向量的对应分量不成比例 C 、n ααα,,,21???中有部分向量线性无关 D 、n ααα,,,21???中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示 8. 设A 为n 阶方阵，n r A R <=)(，则A 的行向量中（ ） A 、必有r 个行向量线性无关 B 、任意r 个行向量构成极大线性无关组 C 、任意r 个行向量线性相关

线性代数教案-向量与向量空间

线性代数教学教案 第3章 向量与向量空间 授课序号01 教 学 基 本 指 标 教学课题 第3章 第1节 维向量及其线性运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合 教学重点 维向量的概念、向量的线性运算的性质 教学难点 向量的线性运算的性质 参考教材 同济版《线性代数》 作业布置 课后习题 大纲要求 理解维向量的概念 教 学 基 本 内 容 一． 维向量的概念 1．维向量：由个数组成的有序数组称为维向量. 2．称为维行向量，称为维列向量. 二．维向量的线性运算 1．定义： （1）分量全为0的向量称为零向量； （2）对于，称为的负向量； （3）对于，，当且仅当时，称与相等； （4）对于，，称为与的和； （5）对于，，称为与的差； （6）对于，为实数，称为的数乘，记为. 2．向量的线性运算的性质：对任意的维向量和数，有： n n n n n n n a a a ,,,21 n ),,,(21n a a a n 12?????????????? n a a a n n ()12T n αa ,a ,,a = ()12---T n a ,a ,,a αT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β),,2,1(n i b a i i ==αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =βT n n b a b a b a ),,,(2211+++ αβT n a a a ),,,(21 =αT n b b b ),,,(21 =β()1122---T n n a b ,a b ,,a b αβT n a a a ),,,(21 =αk T n ka ka ka ),,,(21 ααk n γβα，，l k ,

线性代数期末复习题

线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。

向量组的线性相互与线性无关

向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。

线性代数复习题及答案

《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件；

线性代数 向量组的线性相关性

第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .

向量组的线性相关性 线性代数习题集

线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠ 三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号

第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)

第四章 向量组的线性相关性目标测试题 （参考答案） 一、填空题. 1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠. 2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__. 3. 设三阶矩阵122212304A -?? ?= ? ???，三维向量11a α?? ?= ? ??? ，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ． 4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ． 5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关. 6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解， 则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L . 二、选择题. 1．设有向量组 ),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ). (A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα, (C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα． 2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα, (C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.

8线性代数练习题(带解题过程)

8线性代数练习题(带解题过程)

０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘

１ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性

向量组以及线性相关性

资料考点大提纲 请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。 注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材. 主要掌握： 1.向量的基本概念：(注意：不加说明的向量α是指列向量) 2.向量组的基本概念. 3.向量的基本运算：( 加减、数乘 ) 4.向量的线性相关性的概念： i. 线性组合的概念 ii. 线性表出的概念 iii. 线性相关和线性无关的概念. 5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 4.向量的线性相关无关的基本判定方式： i. 向量β可以由向量组α1，α2，……，αn 线性表出 ? 非齐次线性方程组 []βαα=????? ?????????n n x x x a 2121,,,有解 ?.],,,,[],,,[2121βααααααn n r r ??=?? ii 向量组α1，α2，…，αn 线性相关?齐次线性方程组 0],,,[2121=???? ? ????????n n x x x ααα有解?n r n =n )必定相关. r(A)

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

向量组线性相关性判定

向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：

日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的

重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性

向量组线性相关性判定

安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日

学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：

向量组线性相关性的判定方法 （安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组

线性代数空间向量和特征值特征向量

线性代数空间向量和特征值特征向量1、空间向量

2、特征值特征向量 凯程教育： 凯程考研成立于2005年，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业；

服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立10年（2005年），一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们的营业执照。

向量组线性相关的几何意义

y O x 12345612 3 4 56图11)由两个2 维向量构成的向量组A : a 1, a 2M 1(1,2) M 2(2,4)M 3(3,6)在直线y =2x 取三点M 1, M 2, M 3, 作三个向量: )21(11,OM a ==)4,2(22==OM a )6,3(33==OM a 显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是: a 1, a 2共线. 向量组线性相关的几何意义

2)由3 个3 维向量构成的向量组线性相关的几2)(1,1,11-==RM a )2,0,2(22-==RM a 2),2,0(33-==RM a 向量组a 1, a 2, a 3 线性相关,因为2a 1 -a 2-a 3 = 0.M 1 M 2 M 3O x 3y 3z 3 R 图2 向量: 在π上取三点:M 1(1,1,1), M 2(2,0,1), M 3(0,2,1),作三个何意义是这3 个向量共面.如给定平面π: x+y+z =3.

3)四维向量组线性相关的几何意义 设有四维向量组 ,6914,13283,5421,41324321??????? ??--=??????? ??-=??????? ??--=??????? ??=αααα有α3= 2α1-α2, α4= α1+ 2α2, 所以向量组α1,四个平面交于同一条直线. 如图3 对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的α2, α3, α4线性相关, 其几何意义为:该向量组所

2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6图3

线性代数常用公式

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+

4 向量组的线性相关性

第四章 向量 一 内容概要 1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算； 3 向量组的线性关系 （1）线性组合：对于给定的向量组βααα,21s ，，， ；如果存在一组数 s k k ,,1 使得：s s k k k αααβ+++= 2211 则称向量s 21αααβ，，，是向量组 的一个线性组合，或称β可以由向量组： ,21s ααα，，， 线性表示； （2）线性相关、线性无关的定义 设,21s ααα，，， 是一组n 维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数s k k ,,1 使得：02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,21s ααα，，， 线性相关 指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数s k k ,,1 ；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。 反之 则称向量组,21s ααα，， ， 线性无关，即若要 02211=+++s s k k k ααα 成立，必有021====s k k k ，则称向量组,21s ααα，，， 线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系 向量组,21s ααα，，， 线性关系式02211=+++s s k k k ααα 具体表示出来实际上就是一个方程组： ?? ???? ?=+++=+++=+++0 00 221122221211212111s ms m m s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a

其中：() m j a a a T mj j j j ,,2,1,,,21 ==，α因此，通俗的话来说，向量组 s 21,ααα ，，线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。 这是判断一个向量组s ααα，，， 21是否线性相关最常用的方法。 （2）向量有解的关系线性表示与方程组，，，可被向量组βαααβ=AX n 21 设()()j T m n b b b A αβααα,,,,,,,,2121 ==的意义同上，则方程组β=AX 可表 示成：βααα=+++n n x x x 2211，或 ?? ???? ?=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* 因此向量线性表示，，，可被向量组n 21αααβ 的充要条件是方程组β=AX 有解。 如果有唯一的解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法是唯一的。 如果方程组有无穷多组解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法有无穷多种，此时向量组n ααα，，， 21线性相关。 如果方程组无解，则线性表示，，，不能被向量组αααβ 21。 4 关于向量组的等价 （1）设向量组Ⅰ：;s 21ααα，，， Ⅱ;t 21βββ，，， 如果向量组Ⅱ中每一个向量j β可以被向量组Ⅰ线性表示，则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是： ?? ???? ?+++=+++=+++=s ts t t t s s s s k k k k k k k k k αααβαααβαααβ 22112222121212121111 （2）如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示，则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。

向量组的线性相关性

线性相关性 一、填空题 例设向量组1234(1,2,1),(2,3,1),(,3,1),(2,,3),T T T T x y αααα====的秩为2，则x = 2 ， y = 5 ． 例已知向量组()11,2,1T α=-，()22,0,T t α=，()30,4,5T α=-线性相关，则t = 3 ． 例若向量组123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)T T T t ααα===线性相关，则t =5． 二、 选择题 例设矩阵A 、B 、C 均为n 阶方阵，若AB C =，且B 可逆，以下正确的是【Ｂ】． (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价； （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价； （C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价； （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价． 例1234123400110,1,1,1C C C C αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相 关的为（ C ） （A ） 123,,ααα；（B ）124,,ααα; (C) 134,,ααα; (D) 234,,ααα. 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【B 】． （A ）对于任意一组不全为0的数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠ ，则12,,,s a a a 线性无关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,s k k k 都有 s s k a k a k a 1122,0+++= ； （C ）12,,,s a a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D ）若12,,,s a a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是【A 】． （A ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关；

线性代数 向量空间

第五节 向量空间 分布图示 ★ 向量空间 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 子空间 ★ 例6 ★ 例7 ★ 向量空间的基与维数 ★ 例8 ★ 例9 ★ 向量在基下的坐标 ★ 例10 ★ 关于集合的坐标系的注记 ★ 例11 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-5 内容要点 一、向量空间与子空间 定义1 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即 (1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间. 记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间. 注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间; 2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时, 一维向量空间1R 表示数轴. 3>n 时, n R 没有直观的几何形象. 定义2 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间. 二、向量空间的基与维数 定义3 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关; (2) V 中任一向量都可由r αα,,1 线性表示. 则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间. 注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基; (2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组, V 的维数就是向量组的秩; (3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为 }.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ 此时, V 又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间. 故数组r λλ,,1 称为向量x 在基r αα,,1 中的坐标. 注: 如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为 ,2211r r a a a x λλλ+++= 数组r λλλ,,,21 称为向量x 在基r a a a ,,,21 中的坐标.