吉林市初中数学二次函数易错题汇编附答案解析

吉林市初中数学二次函数易错题汇编附答案解析

一、选择题

1．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，其对称轴为1x =.下列结论：①0abc >；②20a b +=；③930a b c ++<；④若12310,,,23y y ????

-

- ? ?????

是抛物线上两点，则12y y >.其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B 【解析】 【分析】

由抛物线开口方向得到a ＜0，根据对称轴得到b=-2a ＞0，由抛物线与y 轴的交点位置得到c ＞0，则可对①进行判断；由b=-2a 可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0），则可判断当x=3时，y=0，于是可对③进行判断；通过二次函数的增减性可对④进行判断． 【详解】

解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，

∵抛物线的对称轴为直线12b

x a

=-= ，∴b=-2a ＞0， ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，

∴c ＞0，

∴abc ＜0，所以①错误； ∵b=-2a ，

∴2a+b=0，所以②正确；

∵抛物线与x 轴的一个交点为（-1，0），抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=3时，y=0，

∴930a b c ++=，所以③错误；

∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向下， ∴当x 1<时，y 随x 的增大而增大 ∵103132

-

<-<

点13,2y ??

- ???

到对称轴的距离比点210,3y ??- ???

对称轴的距离近， ∴y 1>y 2，所以④正确．

故选B ． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc ＜0；②a ＋b ＋c ＞0；③2a ＋b ＝0；④4ac ＞b 2．其中错误的是( )

A ．②④

B ．①③④

C ．①②④

D ．②③④

【答案】C 【解析】 【分析】

利用抛物线开口方向得到0a >，利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，则可对A 进行判断；利用当1x =时，0y <可对B 进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12b

x a

=-=，则可对C 进行判断；根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断． 【详解】

解：Q 抛物线开口向上，

0a ∴>，

Q 对称轴在y 轴的右侧，

a ∴和

b 异号，

0b ∴<，

Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，

0c ∴<，

0bc ∴>，所以①错误；

Q 当1x =时，0y <，

0a b c ∴++<，所以②错误； Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0)，

∴抛物线的对称轴为直线1x =，

即12b

a

-

=， 20a b ∴+=，所以③正确； Q 抛物线与x 轴有2个交点，

∴△240b ac =->，

即24ac b <，所以④错误． 综上所述：③正确；①②④错误． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠，二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置（左同右异）．常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c ．抛物线与x 轴交点个数由△决定．

3．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a ﹣2b +c ＞0；②3a +b ＞0；③b 2＝4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个互异实根．其中正确结论的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B 【解析】 【分析】

根据二次函数图象和性质，开口向下，可得a<0，对称轴x=1，利用顶点坐标，图象与x 轴的交点情况，对照选项逐一分析即可． 【详解】

①∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，

∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴当x ＝﹣2时，y ＜0，

即4a ﹣2b +c ＜0，所以①不符合题意；

②∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2b

a

＝1，即b ＝﹣2a ， ∴3a +b ＝3a ﹣2a ＝a <0，所以②不符合题意； ③∵抛物线的顶点坐标为（1，n ），

∴244ac b a

-＝n ，

∴b 2＝4ac ﹣4an ＝4a （c ﹣n ），所以③符合题意； ④∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点， ∴抛物线与直线y ＝n ﹣1有2个公共点，

∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④符合题意． 故选：B ．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

4．已知抛物线2:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，将抛物线W 绕原点旋转180?得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，若四边形''ABA B 为矩形，则

c 的值为（ ）

A ．3

B 3

C ．

32

D ．

52

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出A(2，c-4)，B(0，c)，'(24),'(0)A c B c ---，

，，，结合矩形的性质，列出关于c 的方程，即可求解． 【详解】

∵抛物线2

:4W y x x c =-+，其顶点为A ，与y 轴交于点B ，

∴A(2，c-4)，B(0，c)，

∵将抛物线W 绕原点旋转180?得到抛物线'W ，点,A B 的对应点分别为','A B ，

∴'(24),'(0)A c B c ---，

，，， ∵四边形''ABA B 为矩形， ∴''AA BB =，

∴[][]22

22(2)(4)(4)(2)c c c --+---=，解得：52

c =． 故选D ． 【点睛】

本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．

5．将抛物线243y x x =-+平移，使它平移后图象的顶点为()2,4-，则需将该抛物线

（ ）

A ．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位

B ．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位

C ．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位

D ．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 先把抛物线243y x x =-+化为顶点式，再根据函数图象平移的法则进行解答即可．

【详解】 ∵抛物线243y x x =

-+可化为()2

21y x =--

∴其顶点坐标为：(2,?1)，

∴若使其平移后的顶点为(?2,4)则先向左平移4个单位，再向上平移5个单位． 故选C. 【点睛】

本题考查二次函数图像，熟练掌握平移是性质是解题关键.

6．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m ，1-m ，-1-m]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ） A ．当m=-3时，函数图象的顶点坐标是（

13，83

） B ．当m>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32

C ．当m≠0时，函数图象经过同一个点

D ．当m<0时，函数在x>1

4

时，y 随x 的增大而减小 【答案】D 【解析】

分析：A 、把m=-3代入[2m ，1-m ，-1-m]，求得[a ，b ，c]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；

B 、令函数值为0，求得与x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；

C 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；

D 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答． 详解：

因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m ，1﹣m ，﹣1﹣m]； A 、当m=﹣3时，y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83，顶点坐标是（13，8

3

）；此结论正

确；

B 、当m ＞0时，令y=0，有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0，解得：x 1=1，x 2=﹣

1

2

﹣12m

， |x 2﹣x 1|=

32+12m ＞32，所以当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32

，此结论正确；

C 、当x=1时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）=0 即对任意m ，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当m=0时，函数图象都经过同一个点（1，0），当m≠0时，函数图象经过同一个点（1，0），故当m≠0时，函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．

D 、当m ＜0时，y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x=

1

4m m

-，在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时，1111

4444m m m -=->，即对称轴在x=14右边，因此函数在x=14

右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；

根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的． 故选D ．

点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．

7．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（ ）

A ．16

B ．15

C ．12

D ．11

【答案】B 【解析】 【分析】

过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值． 【详解】

解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ， ∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°， ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ， ∴△FEH ∽△EBA ， ∴

,HF HE EF

AE AB BE

== G Q 为BE 的中点，

1

,2

FE GE BE ∴==

∴

1

,2

HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==

∴HF 1

,4,2

x EH =

= ,DH AE x ∴==

CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+-

11111(8)8(4)422222x x x x =++?--?? 2

141644

x x x x =+--- 2

116,4

x x =

-+ ∴当

1

2

124

x -=-

=? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ．

【点睛】

本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．

8．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当

2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

【答案】B 【解析】 【分析】

利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】

解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得

01442b c

b c =-+??

=++?

解得：13

23b c ?

=????=-??

∴二次函数的解析式为：2

21212533636

??=+-=+ ???-y x x x

∴当x=16-时，y 的最小值为25

36

-，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意；

B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2

13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；

C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得

1

2

01b b c

?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-?

∴2

23y x x =--

当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2

13y x =-+

当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】

此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键．

9．对于二次函数()2

1202y ax a x a ??

=+-<

???

，下列说法正确的个数是（ ） ①对于任何满足条件的a ，该二次函数的图象都经过点()2,1和()0,0两点； ②若该函数图象的对称轴为直线0x x =，则必有001x <<； ③当0x ≥时，y 随x 的增大而增大；

④若()14,P y ，()()24,0Q m y m +>是函数图象上的两点，如果12y y >总成立，则

1

12

a ≤-

． A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可． 【详解】 对于()2

1202y ax a x a ??

=+-<

???

当2x =时，1

42(2)12

y a a =+-=，则二次函数的图象都经过点()2,1 当0x =时，0y =，则二次函数的图象都经过点()0,0

则说法①正确

此二次函数的对称轴为

1

21

21

24

a

x

a

a

-

=-=-+

a<

Q

1

11

4a

∴-+>

1

x

∴>，则说法②错误

由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当

1

1

4

x

a

<-+时，y随x的增大而增大；当

1

1

4

x

a

≥-+时，y随x的增大而减小

因

1

110

4a

-+>>

则当

1

01

4

x

a

<-

≤+时，y随x的增大而增大；当

1

1

4

x

a

≥-+时，y随x的增大而减小即说法③错误

m>

Q

44

m

∴+>

由12

y y

>总成立得，其对称轴

1

14

4

x

a

=-+≤

解得

1

12

a≤-，则说法④正确

综上，说法正确的个数是2个

故选：B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．

10．如图，ABC

?为等边三角形，点P从A出发，沿A B C A

→→→作匀速运动，则线段AP的长度y与运动时间x之间的函数关系大致是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故可排除选项C与D；点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，故选项B符合题意，选项A不合题意．

【详解】

根据题意得，点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段，故选项C 与选项D不合题意；

点P从点B运动到点C时，y是x的二次函数，并且有最小值，

∴选项B符合题意，选项A不合题意．

故选B．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y与x的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题．

11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（）

①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小．

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b2-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;

由图象可知，图象开口向下，对称轴x ＞-1，在对称轴右侧， y 随x 的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y 随x 的增大而减小，故④错误． 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

12．如图，四边形ABCD 是正方形，8AB =，AC 、BD 交于点O ，点P 、Q 分别是AB 、BD 上的动点，点P 的运动路径是AB BC →，点Q 的运动路径是BD ，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P 的行程为x ，PBQ △的面积为y ，则y 关于x 的函数图象大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】 【分析】

分点P 在AB 边和BC 边上两种情况画出图形，分别求出y 关于x 的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可. 【详解】

解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，

过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =

22BQ x =， 则2

122(8)22224

y x x x x =

-?=-+，此段抛物线的开口向下；

当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =

22BQ x =， 则2

122(8)22224

y x x x x =

-?=-，此段抛物线的开口向上. 故选A. 【点睛】

本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.

13．在平面直角坐标系内，已知点A （﹣1，0），点B （1，1）都在直线11

22

y x =

+上，若抛物线y ＝ax 2﹣x +1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ≤﹣2

B ．a ＜

98

C ．1≤a ＜

98或a ≤﹣2 D ．﹣2≤a ＜98

【答案】C 【解析】 【分析】

分a ＞0，a ＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a 的取值范围． 【详解】

∵抛物线y ＝ax 2﹣x +1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，

∴令11

22x +＝ax 2﹣x +1，则2ax 2﹣3x +1＝0 ∴△＝9﹣8a ＞0

∴a ＜

98

①当a ＜0时，110

111

a a ++≤??-+≤?

解得：a ≤﹣2 ∴a ≤﹣2

②当a＞0时，

110

111 a

a

++≥?

?

-+≥?

解得：a≥1

∴1≤a＜9 8

综上所述：1≤a＜

9

8

或a≤﹣2

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

14．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－

1

2

x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝

1

2

x刻画，下列结论错误的是( )

A．斜坡的坡度为1: 2

B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7米

D．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m

【答案】D

【解析】

【分析】

求出抛物线与直线的交点，判断A、C；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当7.5

y=时，x的值，判定D．

【详解】

解：

2

1

4

2

1

2

y x x

y x

?

=-+

??

?

?=

??

，

解得，1

1

x

y

=

?

?

=

?

，

2

2

7

7

2

x

y

=

?

?

?

=

??

，

7

2

∶7=1∶2，∴A 正确； 小球落地点距O 点水平距离为7米，C 正确；

21

42

y x x =-

21

(4)82

x =--+， 则抛物线的对称轴为4x =，

∴当4x >时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，B 正

确，

当7.5y =时，2

17.542

x x =-，

整理得28150x x -+=， 解得，13x =，25x =，

∴当小球抛出高度达到7.5m 时，小球水平距O 点水平距离为3m 或5m ，D 错误，符合题

意； 故选：D 【点睛】

本题考查的是解直角三角形的-坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．

15．如图，已知将抛物线21y x =-沿x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界），在这个区域内有5个整点（点M 满足横、纵坐标都为整数，则把点M 叫做“整点”）.现将抛物线()()2

120y a x a =++<沿x 轴向下翻折，所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有11个整点，则a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≤-

B ．12

a ≤-

C ．112

a -<≤

D ．112

a -≤<-

【答案】D 【解析】 【分析】

画出图象，利用图象可得m 的取值范围 【详解】 解：

∵ ()()2

120y a x a =++<

∴该抛物线开口向下，顶点(-1，2)，对称轴是直线x=-1.

∴点(-1,2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1,-1)、点(-1，-2)符合题意，此时x 轴.上的点(-2, 0)、(0, 0)也符合题意，

将(0，1)代入()()2

120y a x a =++<得到1=a+2.解得a=-1. 将(1, 0)代入()()2

120y a x a =++<得到0= 4a+2.解得a=1-2

∵有11个整点，

∴点(0，-1)、点(-2, -1)、点(-2,1)、点(0，1)也必须符合题意.

综上可知:当1

-1a<-2

≤ 时，点(-1，2)、点(-1，1)、点(-1, 0)、点(-1，-1)、点(-1，-2)、点(-2, 0)、(0，0)、点(0，-1)、点(-2，-1)、点(-2，1)、点(0, 1)，共有11个整点符合题意, 故选: D. 【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点的求法，利用图象解决问题是本题的关键.

16．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0；②4a+2b+c ＞0；③13

＜a ＜2

3；④b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是

（ ）

A ．①②③

B ．①③④

C ．②③④

D ．①②④

【答案】B 【解析】 【分析】

根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a 、b 、c 之间的关系，从而对④作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c 的大小得出③的正误． 【详解】

①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；

∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，

∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确；

②∵图象与x 轴交于点A （-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y ＜0， ∴4a+2b+c ＜0， 故②错误；

③∵图象与y 轴的交点B 在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c ＜-1

∵-12b

a ， ∴b=-2a ，

∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a ， ∴-2＜-3a ＜-1，

∴

13＜a ＜2

3

；故③正确 ④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a ， ∵a ＞0，

∴b-c ＞0，即b ＞c ； 故④正确； 故选B ． 【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．

17．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

【答案】D 【解析】 【分析】

求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得． 【详解】

抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣212a +＝﹣a ﹣1

2

， 纵坐标为：y ＝

()()

2

24214

a a a --+＝﹣2a ﹣

1

4

， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +

34

， ∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限， 故选：D ． 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．

18．抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数），0a >，顶点坐标为1(,)2

m .给出下列结论：①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -，在该抛物线上，当1

2

n <

时，则12y y <；②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解，那么（ ）

A ．①正确，②正确

B ．①正确，②错误

C ．①错误，②正确

D ．①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】

①根据二次函数的增减性进行判断便可；

②先把顶点坐标代入抛物线的解析式，求得m ，再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算，判断其正负便可判断正误． 【详解】

解：①∵顶点坐标为1,2m ??

???

,12n <

∴点（n ，y 1）关于抛物线的对称轴x=1

2

的对称点为（1-n ，y 1）， ∴点（1-n ，y 1）与2322n y ??

-

???

，在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ??

---=-< ???

Q

3

122

n n ∴-<

- ∵a ＞0，

∴当x ＞1

2

时，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故此小题结论正确；

②把1,2m ??

???

代入y=ax 2+bx+c 中，得1142m a b c =++,

∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中， △=b 2-4ac+4am-4a 2

211444()4042b ac a a b c a a b a ??

=-+++-=+-<

???

∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解，故此小题正确； 故选A ． 【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，第①小题，关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来，再通过二次函数的增减性进行比较，第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负．

19．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ）

A ．13x =-，21x =-

B ．11x =，23x =

C ．11x =-，23x =

D ．13x =-，21x =

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

∵二次函数2

2y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），∴方程220ax ax c -+=一定有

一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数22y ax ax c =-+的图象与x 轴的另一个交点为：（3，0），∴方程220ax ax c -+=的解为：11x =-，23x =． 故选C ．

考点：抛物线与x 轴的交点．

20．如图所示，二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1、x 2，其中﹣2＜x 1＜﹣1，0＜x 2＜1．下列结论： ①4a ﹣2b+c ＜0；②2a ﹣b ＜0；③abc ＜0；④b 2+8a ＜4ac ． 其中正确的结论有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

首先根据抛物线的开口方向可得到a ＜0，抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0，而抛物线与x 轴的交点中，﹣2＜x 1＜﹣1、0＜x 2＜1说明抛物线的对称轴在﹣1～0之间，即x =﹣2b a

＞﹣1，可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断 【详解】

由图知：抛物线的开口向下，则a ＜0；抛物线的对称轴x=﹣2b

a

＞﹣1，且c ＞0； ①由图可得：当x=﹣2时，y ＜0，即4a ﹣2b+c ＜0，故①正确；

②已知x=﹣

2b

a

＞﹣1，且a ＜0，所以2a ﹣b ＜0，故②正确； ③抛物线对称轴位于y 轴的左侧，则a 、b 同号，又c ＞0，故abc ＞0，所以③不正确； ④由于抛物线的对称轴大于﹣1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即：2

44ac b a

-＞

2，由于a ＜0，所以4ac ﹣b2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确； 因此正确的结论是①②④． 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键．