高等数学-重庆理工大学理学院

《高等数学B （2）》教学大纲

课程编号：1021770

总学时：112 学分：7

基本面向：全院工学门类本科各专业 所属单位：数理学院高等数学教研室

一、本课程的教学目的、性质和任务

本课程是全院工学门类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，是培养高层次人才所需数学素质的基本课程。

通过本课程的学习，要使学生获得： (1) 常微分方程；

(2) 空间解析几何与向量代数； (3) 多元函数微分学； (4) 多元函数积分学； (5) 线性代数

等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，目的是为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，以及创新能力。

二、本课程的基本要求

本课程的内容按教学要求的不同，分为三个层次。对概念、理论的要求由高到低分为深刻理解、理解、了解三个层次；对方法、运算的要求由高到低分为熟练掌握、掌握、会三个层次。

(一) 常微分方程

1、了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

2、熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法。

3、会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程并从中领会用变量代换求解方程的思想，会解全微分方程。

4、了解可降阶的高阶微分方程

5、理解二阶线性微分方程解的结构。

6、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

7、会求自由项形如：)sin cos ()(x B x A e e x P x

x m ββλλ+、二阶常系数非齐次线性微

分方程的特解。

(二) 空间解析几何与向量代数

1、理解空间直角坐标系，深刻理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算(线性运算，点乘法、叉乘法)，了解两个向量垂直、平行的条件。

3、熟练掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

5、理解曲面的方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7、了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

(三)多元函数微分法及其应用

1、理解多元函数的概念。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3、深刻理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。

4、了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5、掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。

6、会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

7、理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。

8、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

(四)多元函数积分学

1、理解二重积分、三重积分的概念、了解重积分的性质。

2、熟练掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，掌握三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

4、会计算两类曲线积分。

5、掌握格林(Green)公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。

6、了解两类曲面积分的概念，掌握高斯(Gauss)公式。

7、了解散度、旋度的概念及其计算方法。

8、会用重积分求曲面面积。

(五)线性代数

1、行列式

(1)理解行列式的定义和性质。

(2)掌握高阶行列式的三角形法、降阶法

(3)会用克拉默法则解线性方程组

2、矩阵及其运算

(1)深刻理解矩阵的概念。

(2)了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。

(3)熟练掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。

(4)了解分块矩阵及其运算。

(5)理解逆矩阵的概念。

(6)熟练掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法。

3、矩阵的初等变换与线性方程组

(1)熟练掌握矩阵的初等变换。

(2)理解矩阵秩的概念并掌握其求法。

(3)理解齐次方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件

(4)熟练掌握高斯消元法

(5)熟练掌握利用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法

4、向量组的线性相关性 (1)理解n 维向量的概念。

(2)理解向量组线性相关、线性无关的定义。

(3)了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论。 (4)理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念。

(5)掌握齐次线性方程组基础解系的求法并会用基础解系表示线性方程的全部解。 5、相似矩阵及二次型

(1)理解向量内积的有关概念

(2)理解矩阵的特征值与特征向量的概念，熟练掌握矩阵的特征值与特征向量的求法。

(3)了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件

(4)了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法。 (5)了解正交矩阵概念及性质。

(6)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念。 (7)掌握用正交变换法化二次型为标准型。 (8)了解二次型的正定性及其判别法。

三、本课程与其他课程的关系

本课程是《概率论与数理统计》、《复变函数与积分变换》、《矢量分析与场论》等后继数学课程的基础，也是《大学物理》及后继专业课程的基础。

四、本课程的教学内容

第八章 微分方程

（一）微分方程的基本概念 （二）可分离变量的微分方程 （三）齐次方程

（四）一阶线性微分方程

1、一阶线性方程的解法。

2、伯努利(Bernonlli)方程

（五）可降阶的高阶微分方程 （六）高阶线性微分方程

（七）常系数齐次线性微分方程

1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法

2、高阶常系数齐次线性微分方程的解法 （八）常系数非齐次线性微分方程

1、自由项形如：x

m e x P λ)(二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

2、自由项形如：)sin cos (x B x A e x ββλ+二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 第九章 空间解析几何与向量代数

（一）向量及其线性运算 1、向量概念

2、向量的线性运算

3、空间直角坐标系

4、利用坐标作向量的线性运算

5、向量的模、方向角、投影

（二）数量积向量积

1、两向量的数量积

2、两向量的向量积

（三）曲面及其方程

1、曲面方程的概念

2、旋转曲面

3、柱面

4、二次曲面

（四）空间曲线及其方程

1、空间曲线的一般方程

2、空间曲线的参数方程

3、空间曲线在坐标面上的投影

（五）平面及其方程

1、平面的点法式方程

2、平面的一般方程

3、两平面的夹角

（六）空间直线及其方程

1、空间直线的一般方程

2、空间直线的对称式方程与参数方程

3、两直线的夹角

4、直线与平面的夹角

第十章多元函数微分法及其应用（一）多元函数的基本概念

1、平面点集n维空间

2、多元函数概念

3、多元函数的极限

4、多元函数的连续性

（二）偏导数

1、偏导数的定义及其计算法

2、高阶偏导数

（三）全微分

1、全微分的定义

2、可微分的条件

（四）多元复合函数的求导法则

（五）隐函数的求导公式

1、一个方程的情形

（六）多元函数微分学的几何应用

1、空间曲线的切面与法平面

2、曲面的切平面与法线

（七）方向导数与梯度

1、方向导数

2、梯度

（八）多元函数的极值及其求法

1、多元函数的极值及最大值、最小值

2、条件极值拉格朗日乘数法

第十一章重积分（一）二重积分的概念与性质

1、二重积分的概念

2、二重积分的性质

（二）二重积分的计算法

1、利用直角坐标计算二重积分

2、利用极坐标计算二重积分

（三）三重积分

1、三重积分的概念

2、三重积分的计算

（四）重积分的应用

1、曲面的面积

第十二章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分

1、对弧长的曲线积分的概念与性质

2、对弧长的曲线积分的计算法

（二）对坐标的曲线积分

1、对坐标的曲线积分的概念与性质

2、对坐标的曲线积分的计算法

3、两类曲线积分之间的联系

（三）格林公式及其应用

1、格林公式

2、平面上曲线积分与路径无关的条件

3、二元函数全微分求积

（四）对面积的曲面积分

1、对面积的曲面积分的概念与性质

2、对面积的曲面积分的计算法

（五）对坐标的曲面积分

1、对坐标的曲面积分的概念与性质

2、对坐标的曲面积分的计算法

3、两类曲面积分之间的联系

（六）高斯公式通量与散度

1、高斯公式

2、通量与散度

第十三章行列式（一）二阶与三阶行列式

（二）全排列及其逆序数

（三）n阶行列式的定义

（四）对换

（五）行列式的性质

（六）行列式按行（列）展开

（七）克拉默法则

第十四章矩阵及其运算

（一）矩阵

（二）矩阵的运算

（三）逆矩阵

（四）矩阵分块法

第十五章矩阵的初等变换与线性方程组

（一）矩阵的初等变换

（二）矩阵的秩

（三）线性方程组的解

（四）初等矩阵

第十六章向量组的线性相关性

（一）n维向量

（二）向量组的线性相关性

（三）向量组的秩

（四）向量空间

（五）线性方程组的解的结构

第十七章相似矩阵及二次型

（一）预备知识：向量的内积

（二）方阵的特征值与特征向量

（三）相似矩阵

（四）对称矩阵的相似矩阵

（五）二次型及其标准形

（六）正定二次型

五、本课程的重点、难点和深广度

(一)微分方程

重点：微分方程、解、通解，初始条件及特解等概念、可分离变量方程、一阶线性方程、可降阶的高阶方程、二阶常系数线性微分方程。

难点：一阶线性微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程。

(二)空间解析几何与向量代数

重点：空间直角坐标系、向量的坐标表示式、向量的运算、平面和直线的方程及其求法、常用的二次曲面的方程及其图形，以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

难点：平面和直线的方程、空间曲面的交线在坐标面上的投影。

(三)多元函数微分学及其应用

重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念、偏导数和全微分的概念、复合函数的偏导数、二元函数的极值。

难点：复合函数的偏导数、二元函数的极值、最值应用问题。

(四)重积分

重点：重积分的概念与性质、重积分的计算。

难点：二重积分、三重积分的计算。

(五)曲线积分与曲面积分

重点：两类曲线积分和曲面积分的计算、格林公式、高斯公式。

难点：曲面积分的计算、格林公式、高斯公式、几何应用。

(六)行列式

重点：行列式的计算、行列式的性质

难点：行列式的定义、高阶行列式的计算

(七)矩阵及其运算

重点：矩阵的线性运算、矩阵的逆。

难点：矩阵的乘法、逆矩阵的求法

(八)矩阵的初等变换与线性方程组

重点：矩阵的初等变换、齐次方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件

难点：高斯消元法、矩阵的初等变换求逆矩阵

(九)向量组的线性相关性

重点：向量组线性相关与线性无关的概念、线性方程组解的结构、向量组的最大无关组与向量组的秩的概

难点：向量组线性相关与线性无关的概念、向量组的最大无关组与向量组的秩的概念、齐次方程组的基础解系的求法

(十)相似矩阵及二次型

重点：矩阵的特征值与特征向量的求法、用正交变换法化二次型为标准型

难点：矩阵的特征值与特征向量的求法、用正交变换法化二次型为标准型

六、学时分配

七、教学建议

高等数学课程教学时数少，教学内容多，教学密度大，在教学过程中应重基础，重运算。对重要的定义、定理应详细讲解，特别强调基本运算能力的培养，应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行选讲、补充。在讲授多元微分学知识时，应注意和一元微分学知识的联系、对应，从已学知识延伸引入新知识，使学生更容易理解、掌握。注意以几何问题作为背景，引出线性代数中的抽象的概念，把空间解析几何的知识与线性代数有机地融合在一起。

八、参考资料

（一）教材

1、同济大学应用数学系主编《高等数学》，高等教育出版社，2001年

2、同济大学数学教研室主编《线性代数》，高等教育出版社，1999年（二）参考书

1、刘坤林等《大学数学概念、方法及技巧》，清华大学出版社，2002年

2、龚冬保《高等数学典型题》，西安交通大学出版社，2000年

3、侯云畅《高等数学》，高等数学出版社，1999年