2008年第十三届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛初一组决赛 [全国通用]

第十三届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

决赛试卷（初一组）

（建议考试时间：2008年4月19日10:00～11:30）

一、填空（每题10分，共80分）

1. 某地区2008年2月21日至28日的平均气温为-1℃，2月22日至29日的平均气温为-0.5℃，2月21日的平均气温为-3℃，则2月29日的平均气温为 .

2. 已知新北京×(新+奥+运)=2008，其中每个汉字都代表0到9的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，则算式

)(1

)(运奥新

京新北+?+

+= . 3. 代数和－1×2008+2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是 .

4. 用一个平面去截一个长方体,裁面是一个多边形, 这个多边形的边数最多有 条.

5. 一列数1,3,6,10,15,21,…中,从第二个数开始,每一个数都是这个数的序号加上前一个数的和,那么第2008个数是 .

6. 当x 取相反数时,代数式ax +bx 2对应的值也为相反数,则ab 等于 .

7. 已知06)3()9(22=+---x m x m 是以x 为未知数的一元一次方程,如果m a ≤,那么m a m a -++的值为 .

8. 在3×4方格网的每个小方格中心都放有一枚围棋子,至少要去掉 枚围棋子,才能使得剩下的棋子中任意四枚都不构成正方形的四个顶点.

二、解答下列各题(第题10分,共40分,要求写出简要过程)

9. 如果一个锐角三角形的三个角的度数都是正整数,且最大角是最小角的4倍，那么这个三角形的最小角的度数可能是哪些值？

10. 小明将164个桃子分给猴子,余下的几个留给了自己,每只猴子得到了数目相同的桃子,小明留给自己的桃子数是一只猴子的四分之一,问共有多少只猴子?

11. 下图中,E,F 为三角形ABC 边上的点,CE 与BF 相交于P. 已知三角形PBC 的面积为12, 并且三角形EBP, 三角形FPC 及四边形AEPF 的面积都相同,求三角形EBP 的面积.

12. 现有代数式x +y , x -y , xy 和 y

x

,当x 和y 取哪些值时,能使其中的三个代数式的值相等?

三、解答下列各题(每题15分,共30分,要求写出详细过程)

13. 对于某些自然数n , 可以用n 个大小相同的等边三角形拼成内角都为120°的六边形. 例如, n =10时就可以拼出这样的六边形,见右图,请从小到大,求出前10个这样的n .

14. 对于有理数x ,用[x ]表示不大于x 的最大整数, 请解方程

025********=??

?

???+-+y y

第十三届“华罗庚金杯”少年数字邀请赛

决赛试题参考答案（初一组）

一、填空（每题10分，共80分）

二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）

9. 答案:20,21,22.

解答: 设最小角为x , 最大角为4x , 另一个角为y . 则由题目的条件得

1804=++x y x , x y x 4≤≤, 904 x ①

由①的前两个式子得到: x x y x x 918046≤=++≤, 解得3020≤≤x ; 又由①的第三个式子得到5.22 x , 所以2220≤≤x .

评分参考: 1) 给出三个关系①给4分; 2)得出范围给4分; 3)给出答案给2分.

10. 答案:10.

解答: 设有n 只猴子, 小明留给自己p 个桃子. 每只猴子分到了4p 个桃子. 则

pn p 4164=-, 所以p 是4的倍数, 令14p p =, 则n p p 11441=-, 141p -是4的倍数.

令141+=k p , 则n k k )14(4440+=-, k

k

n 4110+-

=

, 因为n 是正整数, 所以0=k . 当0=k 时, 10=n .

评分参考: 1)给出p , n 的关系给3分; 2)得到n, k 的最终关系给4分; 3)得到答案给3分.

11. 答案: 4

解答: 设三角形EBP 的面积为X , 连接AP .

若令三角形APF 的面积为Y , 则三角形AEP 的面积为Y X -. 因为

Y X S S S S APF FPC BFA BCF :::==????, )(:::Y X X S S S S AEP EBP AEC BCE -==???? 而BCF BCE S S ??=, X X X S S AEC BFA 2=+==??, 所以有)(::Y X X Y X -=, 解得2

X Y =, 即1:22

:

2:)12(:==+=??X

X X X S S BFA BCF , 所以X =4. 三角形EBP 的面积为4. 评分参考: 1)引出辅助线给2分; 2)得到X 与Y 的关系给4分; 3)得到答案给4分.

12. 答案: 21=

x , 1-=y , 2

1

-=x , 1-=y . 解答: 首先必须0≠y , 否则

y

x

没有意义. 若y x y x -=+, 则0=y , 矛盾. 所以 y x y x -≠+. 若0=x , 则由xy y x =+, 或xy y x =-都得到0=y , 所以0≠x , 即

0≠xy . 因此, 三个相等的式子只有两种可能:

(1) y

x

xy y x =

=+. 由后一等式得到, 1=y 或1-=y , 而1=y 是不可能的, 因为此时由第一个等式得到x x =+1, 矛盾. 当1-=y 时, 由第一个等式得到x x -=-1, 即12=x , 所以2

1=

x . (2) y

x

xy y x =

=-. 由后一等式同样得到, 1=y 或1-=y , 同样, 1=y 是不可能的, 而当1-=y 时, 由第一个等式得到12-=x , 所以2

1

-=x .

评分参考: 1) (1)之前给2分; 2) (1)和(2)各给4分.

三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）

13. 答案: 6,10,13,14,16,18,19,22,24,25.

解答: 设所用的等边三角形的边长单位为 1. 任何满足条件的六边形的外接三角形一定是一个边长为l 的大等边三角形. 该六边形可以通过切去边长分别为c b a ,,的

等国三角形的角而得到, 其中c b a ,,为正整数, 并且满足1≥≥≥c b a , b a l + .

又由于用边长为1的等边三角形拼成的一个边长为x (正整数)的等边三角形所需要的个数是2)12(531x x =-++++ . 因此, )(2222c b a l n ++-=, 其中3≥l ,

b a l + , 1≥≥≥

c b a .

(1) 3=l 时, n 可以为639)111(32222=-=++-.

(2) 4=l 时, n 可以为10616)112(42222=-=++-. 13316)111(42222=-=++-. (3) 5=l 时, 与上面不同的n 可以为

141125)113(52222=-=++-, 16925)122(52222=-=++-. 19625)112(52222=-=++-, 22325)111(52222=-=++-. (4) 6=l 时,与上面不同的n 可以为

181836)114(62222=-=++-, 251136)113(62222=-=++-. 241236)222(62222=-=++-, 27936)122(62222=-=++-. 30636)112(62222=-=++-, )111(62222++-=36-3=33. (5) 7=l 时, 与上面不同的n 都比27大. (6) 8≥l 时, 可以证明满足要求的n 都不小于26.

由(1)到(6)可得,前10个满足要求的n 为6,10,13,14,16,18,19,22,24,25

评分参考: 1)写出10个中的1个给1分; 2)给出足够的理由,例如(1)之前的部分给5分.

14. 答案:3

10

-

=y 或10=y . 解答: 因为方程左边的第1、3项都是整数, 所以y 3是整数. 注意到

??

????+=??????+=??????+2512512525222y y y ,

代入方程, 得到025********=??

????--+y y , 02510312=??????-+y y . 所以103y

是整数,

y 3是10的倍数. 令k y 103=, k 是整数, 代入得

?

??

???+-

+=??????-+=???????-+=94941941259100102222k k k k k k k , 其中, 对于有理数x , {}x =[]x x -. 所以有?

?????-=-+9494122

k k k , 094112≤-+-k k . 当k 取不同整数时, 9

412

k k -+的情况如下表:

K 的可能值是1-和3, 相应的3-=y 和y =10. 代入验算得到3

-=y 或10=y . 评分参考: 1) 得到

10

3y

是整数给3分; 2)得到关于k 的不等式给5人; 3)得到列表的结果给5分; 3)每个答案各给1分.