微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案

求下列方程的通解

xy dx = 分离变量

dy xdx y

=，2

x y Ce =，C 为任意常数

2.0xydx = 分离变量

dy y =

，y =C 任意常数

3.ln 0xy y y '-= 分离变量

ln dy dx y y x

=，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量

2211ydy xdx y x

=+-，22

(1)(1)y x C +-= 25.

(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du

dx u =+

1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y

dy x y dx x

=-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x

-=+ 2arctan ln u u x C

-=+，

u x

回代得通解

2arctan ln y y x C x x =++

7.0xy y '--=

方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x =

dx x = arctan ln u x C

=+，

u x

回代得通解

arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x

y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x

=-，1

Cx u e +=，1Cx y xe +=

9.24dy xy x dx

+=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x

-=,一阶线性公式法1123(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+?

11.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2

2411

x x y y x x '+=++一阶线性公式法3214()13y x C x =++

212.(6)

20dy

y x y dx -+=，方程变形为312

dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+

213.3y xy xy '-=，方程变形为

113dy x x y dx y

-=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23

211

x Ce y -=- 411

14.

(12)33dy y x y dx +=-，方程变形为4

1111(12)33

dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34,

3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz

z x dx

-=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x

Ce x y

=-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解

2312x x y C e C e --=+

16.162490y y y '''-+=，特征方程为2

162490r r -+=，特征根为1,23

r =

，通解 34

12()x y C C x e =+

17.0y y '''+=，特征方程为20r r +=，特征根为120,1r r ==-，通解12x y C C e -=+

18.450y y y '''-+=，特征方程为2450r r -+=，特征根为122,2r i r i =-=+，通解

212(cos sin )x y e C x C x =+

219.()0x y dx xdy --=，全微分方程2

()0x dx ydx xdy -+=，3()03x d d xy -=，通解33x xy C -= 320.()()0x y dx x y dy ---=，全微分方程3

()0x dx ydx xdy ydy -++=，42

()042

x y d d xy d -+=，通解42

x y xy C -+=

2221.()(2)0x y dx xy y dy +++=全微分方程22(2)0x dx y dx xydy ydy +++=，

322()032x y d d xy d ++=，通解32232

x y xy C ++=

22.(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=，全微分方程

(cos sin )(cos sin )0x ydy ydx xdy y xdx ++-=，(sin )(cos )0d x y d y x +=，通解 sin cos x y y x C +=

2223.(3)(2)x y dx x y x dy C ++-=，22320x dx x ydy ydx xdy ++-=，积分因子21

μ=

，方程变为2

320ydx xdy dx ydy x -++

=，230y d x dy d x +-=，通解2

3y x y C x

+-= 2

24.()xdx ydy x y dx +=+，积分因子221x y μ=

+，方程变为22

0xdx ydy

dx x y

+-=+，221[ln()]02d x y dx +-=通解221

ln()2

x y x C +-= 2

25.()0x y y dx xdy ++-=，2

()0x y dx ydx xdy ++-=，积分因子221

x y

μ=+，方程变为

0ydx xdy dx x y -+

=+，arctan 0x dx d y +=，通解arctan x

x C y

+= 326.sin x y e x ''=+，可降阶()

()n y f x =型，逐次积分得通解

3121sin 9

x y e x C x C =-++ 227.1y y '''=+，可降阶令()p x y '=，原方程化为2

1p p '=+可分离变量型，得1tan()y p x C '==+，

积分得通解12ln cos()y x C C =-++

28.y y x '''=+，可降阶(,)y f x y '''=型，令()p x y '=，原方程化为p p x '-=，一阶线性非齐次

公式法得11x

y p C e x '==--，积分得通解2

1212

x y C e x x C =-

29.y y y ''''=+，可降阶(,)y f y y '''=型，令(),dp p y y y p

dy '''==，原方程化为

3dp

p p p dy

=+ 即2[

(1)]0dp p p dy -+=，0p =是方程的一个解，由2(1)0dp

p dy

-+=得

1arctan p y C =-即1tan()y p y C '==-，通解为21arcsin x C y e C +=+

30.24x y y y xe '''-+=，二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型，1λ=是特征方程2

210λλ-+=的

重根，对应齐次方程的通解为12

()x Y C C x e =+，设特解为*2()x

y x ax b e =+，代入方程得(62)4x x

ax b e xe +=，得2,03a b ==，故原方程的特解为

*323

x y x e =，原方程通解为3122()3

x y C C x e x e =++

231.x y a y e ''+=，二阶常系数非齐次()()x m f x e P x λ=型，

特征方程22

0r a +=，特征值为1,2r ai =±，

对应齐次方程的通解为12cos sin Y C ax C ax =+，1λ=不是特征根，设原方程特解

为*x y Ae =，代入方程得2x x x Ae a Ae e +=，得211A a =+则*21x

e y a

=+，原方程通解为122cos sin 1x

e y C ax C ax a =++

32.cos y y x x ''+=+，对应齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，设y y x ''+=的一个特解为

1y Ax B =+代入此方程得1,0A B ==，故1y x =；设cos y y x ''+=的一个特

解为2cos sin y Ex x Dx x =+代入此方程得10,2E D ==，故2

sin 2

y x x =；原方程通解为121

cos sin sin 2

Y C x C x x x x =+++

33.69cos x y y y e x '''-+=，特征方程2690r r -+=，特征值为1,23r =，

对应齐次方程的通解为

3312x x Y C e C xe =+，1i λ=±不是特征根，原方程特解设为*(cos sin )x

y e a x b x =+

代入方程得

34,2525a b =

=-，则*34

(cos sin )2525x y e x x =-，原方程通解为

331234

(

cos sin )2525

x x x Y C e C xe e x x =++- 34.已知3222123,,x x x x x y e xe y e xe y xe =-=-=-是某二阶常系数非齐次线性方程的三个解，则该

方程的通解y =（）答案：3212x

y C e C e xe =+-，

31323,x x y y e y y e -=-=是对应齐次方程两个线性无关的解

35.函数212x x x y C e C e xe -=++满足的一个微分方程是（）

()23x A y y y xe '''--=()23x B y y y e '''--=()23x C y y y xe '''+-=()23x D y y y e '''+-=

解析：特征根为121,2λλ==-，则特征方程为

(1)(2)0λλ-+=即2

20λλ+-=，故对应齐次方程为20y y y '''+-=；*x

y xe

=为原方程的一个特解，

1,λ=为单根，故原方程右端非齐次项应具有

()x f x Ce =的形式。

36.微分方程3

()20y x dx xdy +-=满足16

5x y ==的特解为（）

答案：2

5y x = ，提示：一阶线性微分方程

满足下列微分方程初始条件的特解

037.

0,011x x y dx dy y y x

=-==++，分离变量(1)(1y y d y x x d x +=+，通解为

222

323y y x x C +=++，由00x y ==得0C =，所求特解为2322

2323

y y x x +=+ 138.,2x x y y y y x

='=

+=，令y u x =则原方程化为dx udu x =得21ln 2u x C =+，将u 回代得通解为222(ln )y x x C =+由12x y ==得2C =，所求特解为222(ln 2)y x x =+

0039.325,1,2x x y y y y y ==''''-+===，特征方程2320r r -+=特征根为121,2r r ==，对应齐次

方程的通解为212x

Y C e C e =+，

2y =

为非齐次的一个特解，故原方程的通解为

21252x x

y C e C e =++；由初始条件得121251222C C C C ?

++=???+=?解得1275,2C C =-=，故所求

特解为275

522x x y e e =-++

0040.4,0,1x x x y y xe y y =='''-===，特征方程210r -=特征根为121,1r r ==-，对应齐次方程的

通解为12x x

Y C e C e -=+，1λ=是特征方程的单根，故原方程的特解设为

*()x y xe Ax B =+代入原方程得(422)4x x e Ax A Bx xe ++=比较系数得1,1A B ==-，从而*(1)x

y x e x =

-，因此原方程的通解为

12(1)x

y C e C e xe x -=++-，由初始条件得1212

11C C C C +=??--=?解得121,1C C ==-，故所求特解为

(1)x x x

y e e xe x -=-+-

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级学号姓名得分评卷人一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是． 2．方程04=+''y y 的基本解组是． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．得分评卷人二、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分评卷人三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1) (22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3）23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题：设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0，即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ，由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。证要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

常微分方程练习题及答案

常微分方程练习试卷一、填空题。 1、方程23 2 10d x x dt +=就是阶 (线性、非线性)微分方程、 2、方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______,可以化为变量分离方程、 3、微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个、 4、设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、 5、朗斯基行列式 ()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件、 6、方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为、 7、已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、 8、方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 . 9、可用变换将伯努利方程化为线性方程、 10 、就是满足方程 251y y y y ''''''+++= 与初始条件的唯一解、 11、方程的待定特解可取的形式: 12、三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根就是二、计算题 1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、 2.求解方程 13 dy x y dx x y +-=-+、 3、求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4.用比较系数法解方程、、 5.求方程 sin y y x '=+的通解、 6.验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

微分方程复习题(1)

常微分方程复习题一、填空题 1．微分方程0)(22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是____________. 答：1 2．形如_ 的方程称为齐次方程. 答： )(x y g dx dy = 3．方程04=+''y y 的基本解组是．答：cos 2,sin 2x x . 1. 二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零） 2. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是．答：x x x e ,e 3. 若()t ?和()t ψ都是()X A t X ''=的基解矩阵，则()t ?和()t ψ具有的关系是。 4.一阶微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程的充分必要条件是。 5. 方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只含x 的积分因子的充要条件是。有只含y 的积分因子的充要条件是。 6. 一曲线经过原点，且曲线上任意一点()y x ,处的切线斜率为y x +2，则曲线方程为。 7. 称为n 阶齐线性微分方程。 8. 常系数非齐线性方程()(1)11()n n x n n m y a y a y a y e P x α--'+++=(其中()m P x 是m 次多项式)中，则方程有形如的特解。 9. 二阶常系数线性微分方程32x y y y e '''-+=有一个形如的特解。

10. 微分方程4210y y y ''''''+-=的一般解为。 9. 微分方程4 230xy y y ''''++=的阶数为。 10. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =为齐次线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的通解可表为 . 11. 设()x t 为非齐次线性方程的一个特解, ()(0,1,2, ,)i x t i n =是其对应的齐次线性方程的一个基本解组, 则非齐线性方程的所有解可表为 . 12. 若()(0,1,2, ,)i x t i n =是齐次线性方程()(1)11()()()0 n n n n y a x y a x y a x y --'+++=的n 个解，)(t w 为其朗斯基行列式，则)(t w 满足一阶线性方程。答：1()0w a x w '+= 13. 函数是微分方程02=-'-''y y y 的通解. 14. 方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 15. 常系数方程有四个特征根分别为11,0,1λ=-(二重根)，那么该方程有基本解组． 16. ()Y A x Y '=一定存在一个基解矩阵()x Φ，如果()x ψ是()Y A x Y '=的任一解，那么()x ψ= 。 17.若)(t Φ是()X A t X '=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= 是 ()()X A t X F t '=+的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= 是()()X A t X F t '=+的满足初始条件η?=)(0t 的解。 18. 设12(),()X t X t 分别是方程组1()()X A t X F t '=+，2()()X A t X F t '=+的解，则满足方程12()()()X A t X F t F t '=++的一个解可以为。 19. 设* X 为非齐次线性方程组()()X A t X F t '=+的一个特解, )(t Φ是其对应的齐次线性方程组()X A t X '=的基解矩阵, 则非齐线性方程组()()X A t X F t '=+的所有解可表为 . 20.方程组()X A t X '=的n 个解12(),(), ,()n X t X t X t 线性无关的充要条件

常微分方程第三版课后习题答案

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y

微分方程练习题基础篇答案

常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解 1.dy xy dx = 分离变量 dy xdx y =，2 2x y Ce =，C 为任意常数 2.0xydx = 分离变量 dy y = ，y =C 任意常数 3.ln 0xy y y '-= 分离变量 1 ln dy dx y y x =，x y Ce = 224.()()0xy x dx x y y dy ++-= 分离变量 22 11ydy xdx y x =+-，22 (1)(1)y x C +-= 2 5.(25)dy x y dx =++ 令25u x y =++则2du dy dx dx =+，22du dx u =+ 1x C =+ 6.dy x y dx x y +=-，原方程变为11y dy x y dx x + =-，令y u x =，dy du u x dx dx =+，代入得22111u du dx u x -=+ 2arctan ln u u x C -=+ ， y u x = 回代得通解 2arctan ln y y x C x x =++ 7.0xy y '-= 方程变形为0dy y dx x =+=，令y u x = dx x = arctan ln u x C =+， y u x = 回代得通解arctan ln y y x C x x =++ 8.ln dy y x y dx x =，方程变形为ln dy y y dx x x =，令y u x =，(ln 1)du dx u u x =-，1 Cx u e +=，1Cx y xe +=

9.24dy xy x dx +=，一阶线性公式法222(4)2xdx xdx x y e xe dx C Ce --??=+=+? 210.2dy y x dx x -=,一阶线性公式法112 3(2)dx dx x x y e x e dx C x Cx -??=+=+? 2211.(1)24x y xy x '++=，方程变形为2 222411x x y y x x '+=++一阶线性公式法3 2 14()13 y x C x =++ 212.(6) 20dy y x y dx -+=，方程变形为312dx x y dy y -=-一阶线性公式法2312y y Cy =+ 2 13.3y xy xy '-=，方程变形为2113dy x x y dx y -=伯努利方程，令12,dz dy z y y dx dx --==-代入方程得 3dz xz x dx +=-一阶线性公式法再将z 回代得23 2 113x Ce y -=- 411 14. (12)33 dy y x y dx +=-，方程变形为4 3 1111(12)33dy x y dx y +=-伯努利方程，令 34, 3dz dy z y y dx dx --==-代入方程得21dz z x dx -=-，一阶线性公式法再将z 回代得3121x Ce x y =-- 15.560y y y '''++=，特征方程为2560r r ++=，特征根为122,3r r =-=-，通解 2312x x y C e C e --=+ 16.162490y y y '''-+=，特征方程为2 162490r r -+=，特征根为1,23 4 r =，通解 34 12()x y C C x e =+

高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶线性微分方程、微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

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常微分方程基础练习题答案求下列方程的通解 dy dy x 2 Ce 2 ， C 为任意常数 1.xy 分离变量 xdx ， y dx y dy x dx ， y Ce 1 x 2 2.xydx 1 x 2 dy 0 分离变量 1 ， C 任意常数 y x 2 dy 1 3.xy y ln y 0 分离变量 dx ， y Ce x y ln y x 4.( xy 2 2 y y)dy 0 分离变量 ydy xdx 2 )(1 2 ) C x)dx ( x y 2 1 x 2，(1 y x 1 5. dy (2 x y 5) 2 令 u 2x y 5 则 du 2 dy ， du 2 dx ， 1 arctan u x C 1 dx dx dx u 2 2 2 dy x y dy 1 y y ， dy u x du ，代入得 2 x ，令 u 1 u du 1 dx 6. x ，原方程变为 dx dx y 1 y x dx dx 1 u 2 x x 2arctan u u ln x C ， u y x 回代得通解 2arctan y x ln x y x C dy y y 2 y du dx 7.xy y x 2 y 2 0 方程变形为 dx x x x 1 u 2 x 1 ，令 u ，代入得 arctanu ln x C ， u y 回代得通解 arctan y ln x y C x x x 8.x dy y ln y ，方程变形为 dy y ln y ，令 u y du dx e Cx 1 ， yxe Cx 1 ，， u dx x dx x x x u(ln u 1) x

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系任课教师：年级、专业：07数学考试时间：120分钟考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系．年级：专业：装订密封线考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整.

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湖北师范学院优质课程《常微分方程》试题库及试题解答课程负责人：李必文数学系

2005年 3月 18日选择题（每小题 4 分） 1、下列方程中为常微分方程的是（） (A) x2 - 2x 1 0 (B) y' xy2 (C) u 2u 2u (D) y x2 c (c为常数） t x2 y2 2、下列微分方程是线性的是（） (A)y ' x2 y2 (B) y" y2 e x (C) y" x2 0 (D) y'- y xy 2 3、方程y " 3y ' 2 y x2e-2 x特解的形状为( ) (A) y1 ax2ey-2 x (B) y1 (ax2 bx c)e-2 x (C) y1 x2 ( ax2 bx c)e-2 x (D) y1 x2 (ax2 bx c)e-2x 4、下列函数组在定义域内线性无关的是（） (A)4, x (B)x,2 x, x2 (C)5,cos 2 x,sin 2 x (D) 1,2, x, x 2 5、微分方程xdy - ydx y2 e y dy 的通解是( ) (A) x y(c - e y ) (B) x y(e y c) (C) y x(e x c) (D) y x(c - e y ) 6、下列方程中为常微分方程的是（） (A) t2 dt xdx 0 (B) sin x 1 (C) y x 1 c (c 为常数） 2u 2u (D) 2 y2 x

7、下列微分方程是线性的是（） (A)y' 1 y2(B)dy1 (C)y '2by cx(D) dx 1 xy y ' xy40 8、方程y "- 2 y ' 2y e x (x cos x 2sin x) 特解的形状为( ) (A) y1 e x[( Ax B)cos x C sin x] (B) y1 e x [ Ax cos x C sin x] (C) y1 e x[( Ax B) cosx ( Cx D ) sin x] (D) y1 xe x[( Ax B) cos x (Cx D ) sin x] 9、下列函数组在定义域内线性无关的是（） (A) 1, x, x3(B)2x2 , x, x2 (C) 1,sin2x,cos2 x(D)5,sin 2 (x 1),cos2 (x1) 10、微分方程ydx - xdy y2exdx 的通解是( ) (A) y x(e x c) (B) x y( e x c) (C) x y(c - e x) (D) y ( x - ) x e c 11、下列方程中为常微分方程的是（） (A) x2 y2 -1 0 (B) y ' x2 y (C) 2 u 2 u 2u (D) x y2 c (c为常数） 2 x2 y2 12、下列微分方程是线性的是（） 2 (C)y =y3 +sin x (D)y +y=y2cos x (A)(B) y +6 y =1 13、方程y+y=2sin x特解的形状为( )

微分方程习题及解答

第十二章微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．答：是 .

2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是．答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =. 5．'的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答：Cx y e x =．三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解：解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==；解：解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=．解：解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ?? =+ ????，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =?．

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，