大一高等代数与解析几何期末考
广东第二师范学院考试样卷
（A ）卷
2013-2014学年第1学期
考试有关事项说明
考试日期：2014年01月17日（星期五）
考试用时：150分钟
考试地点：（花都校区教学楼_____室）
考试形式：闭卷
有关考试的特殊提示：（沉着冷静、认真作答！相信自己，你是最棒的！）此
此为
为考
考试
试样
样卷
卷，
，仅
仅提
提供
供试
试卷
卷题
题型
型，
，内
内容
容与
与实
实际
际考
考试
试无
无关
关。
。如
如有
有雷
雷同
同，
，纯
纯属
属巧
巧合
合！
！
一、填空题（每小题2分，共14分）
1、等式2
2
2
)
(b
a
b
a
=
?成立的充分必要条件是）
共线（或
、b
a
b
a
//；。
2、若置换??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
=
2413
1234
,
3241
1234
q
p,则=
qp??
?
?
?
?
1432
1234
。
3、将矩阵
?
?
?
?
?
?
?
=
5
4
1
3
1
2
b
A的第1行乘上-2加到第二行后变成
?
?
?
?
?
?
?
-
=
5
4
2
1
1
1
2
B, 则=
b 4 。
4、1至6的排列241356的逆序数为________ 3 。
5、四阶行列式展开式中，项
23
41
34
12
a
a
a
a的符号为负 (或-1) 。
6、如果线性方程组???
??=+=+=++5
-32221
232131321x x x x x x x ax 有唯一解，a 的取值范围 611≠a 。
7、 设在空间直角坐标系下，A=(2,0,0),B=(2,1,2),C=(0,-1,4),则空间ABC ?面积等于 6。
二、判断题（每小题2分，共10分）
1、 0ab ac a b c
=≠=若且则一定有。（ × ）
2、 若a （，，b ，c ）=0 ，则必存在不全为零的实数λ，μ，使得c a b λμ=+。（ × ）
3、
1112
1112
2122
2122
ka ka a a k
ka ka a a =。（ × ）
4、在△ABC 中一定存在一点O ，可以使得 0=++→
→→OC OB OA 。（ √ ） 5、m ααα,,,21 线性相关当且仅当m rank m <)),,,((21ααα 。（ √ ）
三、选择题（每小题2分，共10分）
1、 在四边形ABCD 中,若AB 2a b =+,BC 4a b =--,CD 53a b =--,则四边形
ABCD 为( A ).
A.梯形;
B.平行四边形;
C.一般四边形;
D.以上结论都不正确. 2、n 维向量组s ααα,,,21 )3(n s ≤≤线性无关的充分必要条件是（ D ） A. 存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211≠++s s k k k ααα B. s ααα,,,21 中任意两个向量组都线性无关
C. s ααα,,,21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
D. s ααα,,,21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
3、 行列式0
0 (010)
0 (200)
...
..........10......00000......00n n
- 的值为（ D ）.
A. !n ;
B. 1
(1)
!n n +-; C. (1)
2
(1)
!n n n --; D. (1)(2)
2
(1)
!n n n ---
4、行列式4
10
3
26
5
7
a --中，元素a 的代数余子式是（ D ）。 A ．4067- B ．4165 C ．4067-- D ．4165
-
5、当λ=（ B ）时，方程组1231
231
222x x x x x x λ++=??
++=?，有无穷多解。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
四、简答题（每小题10分，共40分）
1、设四面体顶点为A(2,6,10),B(-2,0,1),C(1,4,0),D(4,0,-2), 求四面体体积和BCD 面上的高.
解：四面体体积等于以→
AB ,→
BC ,→
BD 为邻棱的平行六面体体积的6
1. 由已知条件得
→
AB =(-2,0,1)-(2,6,10)=(-4,-6,-9)
→
BC =(1,4,0)- (-2,0,1)=(3,4,-1)
→BD =(4,0,-2)- (-2,0,1)=(6,0,-3) (4分)
|),,(|6
161→
→→==BD BC AB V V ABCD
平行六面体 3
0614396461----==41。 (6分) 而 d d BD BC d S V BCD ABCD ??=??=?=→→?2761
|)|213131，
故 9
82
=d 。 (10分)
2、 若向量)1,1,2(=a ,)1,5,4(---=b ,)1,3,1(=c
,)1,2,1(-=d ,利用克拉默法则说明d
可被a ,b ,c
线性表示,并求出这个线性表示式.
解： 设 c x b x a x d 321++=, 将各自的坐标代入，得一个线性方程组:
???
??-=+-=+-=+-12351423
21321321x x x x x x x x x . ( 4分）
由于系数行列式 081
11351
1
42≠-=---=D . ( 6分） 由克拉默法则知上述方程组有唯一解.
8118
1
113521411-
=-----=
x ,8
981113211122-=--=x ,4
3
8
1
112
5
11423-=-----=x . (10分)
3、利用行列式性质，计算行列式64
1641
279318
421
1111=
D 。
解
：
6
000122007310111
1)3()3()4(4260012200
7310
111
1
)
3()2()4()
2()2()3(631530
26820
73101111)1()1()4()1()1()3()1()1()2(=-?+=
-?+-?+=-?+-?+-?+D
126211=???=. (10分)
4、利用行列式的性质计算
b
b a a
-+-+111111111
1111
111。
解：课本习题 2-5 第一题第五小题，答案略。 (10分)
5、 求下面的线性方程组的全部解：???
??=+++=-++=+-+3
22212432
143214321x x x x x x x x x x x x 。
解：课本习题 3-7 第一题第二小题，答案略。 (10分)
五、证明题（前两题每小题8分，第3题10分）
1
231112222131322212322223312332
2
2
123110001000111()()()0
x x x a b c x x x x x x a b x x x c a b x x x c x x x =---
证： 根据拉普拉斯定理，按1，2，6行展开： (2分)
1
231111261261
232212322
2
2
1222223312232
2
2
123110001000111
111(1)0
x x x a b c x x x a b x x x c x x x a b x x x c x x x +++++=- . 1232
2
2
122111x x x x x x =222213132()()()x x x x x x --- （8分）
2、试用行列式的基本性质证明下面的行列式D 能被23整除（不必求出 D 的值）：
1586729
25=D 。 已知 ???
?
?
??=????? ??37122323851276529。
证： ?
???
?
??=?+?+85158276725292510)2(100)1()3(D （4分）
12337581272232523231)3
(D ?=????
?
??=
?
由于1D 是整数，故D 能被23整除。 （8分）
3、 用逆否命题形式写出以下单射定义“如果映射':S S f →对于S 中任意两个不同元素
≠a b ,都有≠)(a f )(b f ,则称':S S f →是单射”的等价定义.并证明：若映射
':S S f →有逆映射':g S S →,则f 是单射.
证明：单射的等价定义：如果映射':S S f →对于'S 中的像满足=)(a f )(b f ,都有=a b ,
则称':S S f →是单射。 （5分）
若映射f 有逆映射':g S S →，对于a ，b ()()S
f a f b ∈=如果有那么
1()()()(())()()1()a s a gf a g f b gf b s b b ======，
所以f 是单射。 （10分）
一、高等代数与解析几何之间的关系
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
高中数学解析几何测试题答案版(供参考)
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
高等代数与解析几何之间的联系
高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体
解析几何试题及答案
解析几何 1.（21）（本小题满分13分） 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经 过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足 ,求点的轨迹方程。 （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量 的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养. 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直 线上，故可设 ① 再设 解得②，将①式代入②式，消去，得 ③，又点B在抛物线上，所以， 再将③式代入，得 故所求点P的轨迹方程为 2.（17）（本小题满分13分） 设直线 （I）证明与相交； （II）证明与的交点在椭圆 （17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而 此即表明交点 （方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得 所以交点P在椭圆 .已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。 （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为m的函数，并求的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为 （Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程， 点A、B的坐标分别为此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由；设A、B两点的坐标分别为，则； 又由l与圆
北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014H0171006)
课程编号：MTH17014 理工大学2011-2012学年第一学期 2011级本科生解析几何期末试题A 卷 --------------，班级------------，学号--------------， 一，单选题(30分) 1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足.OA OB OC =+ (b),空间任意一点O,三点满足11 .22 OA OB OC =+ (c),空间任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++= (d),空间任意一点O,三点满足11 0.23 OA OB OC ++= 2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??. 3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面 说确的是( ) (a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧;
4, 在仿射坐标系中,已知直线2103260x z x y ++=??+-=?和直线210 2140x y z x z +--=??+-=? ,则下面 说确的是( ) (a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合. 5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20 210 x y z x y z +-=??-+-=?,则下面说 确的是( ) (a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直. 6,在平面仿射坐标中,直线11112 2220 0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?与y 轴相交,则( ) (a)112 2 0C D C D =,(b) 112 2 0A D A D =,(c) 112 2 0B D B D =,(d) 112 2 0A B A B = 7，在空间直角坐标系下，方程 222 3230x y z xy yz +-++=的图形是（ ） (a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。 8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是 22442218x xy y x y z ++-++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面. 9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( ) (a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个.