空间直线及其方程

第六节 空间直线及其方程

Straight Li ne in Space and Equati on

教学目的：理解空间直线的概念；熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程

；会判断两

直线的位置关系，并会建立直线方程.

课

题：直线的标准方程；直线的参数方程；直线的一般方程；两直线的夹角，平行与垂直的

条件.

教学重点：空间直线的图形及其方程 教学难点：空间直线方程的求解

教学方法：精讲直线的标准方程、参数方程和一般方程并能求直线方程 教学内容：

、直线的标准方程

如果一直线与已知向量平行，这个向量就叫做已知直线的方向向量 设直线L 过空间一点M o (X 0,y o ,Z 0),且有方向向量

uuuuun

在直线上任取一点 M(x, y,z),则向量M 0M {x

(1)即为直线L 的方程，称为直线L 的标准方程或对称方程，m,n, p 叫做直线的方向数

【例1】求过点M °(1,2, 3),且垂直于平面2x 3y 5z 8 0的直线方程?

解 已知平面的法向量可作为所求直线的方向向量

，即

s {2,3, 5}

由式(1)可得直线方程为

x 1 y 2 z 3

2 3 5

【例2】设直线经过两点 Md1, 2, 3),M 2(4,4,6),求其方程?

uujuJLT 解 取M J M 2 {3,6,9}为直线的方向向量，并选直线上一点 M 1,由式⑴得直线方程为

x 1 y 2 z 3

3

6 9

即

x 1 y 2 z 3 1

2

3

注1?直线的方向向量不是唯一的，但同一条直线的所有方向向量互相平行 ；

2?直线上点的坐标选取不是唯一的，因此直线方程也不是唯一的； 3.在直线的标准方程中，方向数m,n,p 可以有一个或两个为零 ，这时方程(1)应理解为当分母

为零时，分子必为零?

由例2知，过点皿1(捲，y^zj, M 2(X 2, y 2, Z 2)的直线方程为

X

X 1 y % Z 乙 X 2 X 1 y 2

y 1

Z 2 乙

称此方程为直线的两点式方程

.

s {m,n, p},求此直线的方程. uuuuuu

X 0,y y °,z zj ,且 M °M Ps ,则有

x X o y y o z Z o m

n

p

(1)

、直线的参数方程

三、 直线的一般方程

空间直线L 可以看作是过该直线的两个不重合的平面

1和2的交线?如果平面 1的方

程为Ax By C i z D i 0, 2的方程为 Ax B 2y C 2Z D 2 0,那么直线L 上的任一 点,既在平面i 上，又在平面

2 上,因此直线

L 上的任一点的坐标都满足方程组

Ax B 1 y C 1 z D 1 0 （3）

A>x B 2y C 2z D 2 0

反之，不在直线L 上的点，不能同时在平面

1和2上?即不在直线

L 上的点，不满足方程组（3）,

方程组 ⑶,是直线L 的方程,称方程组 ⑶为直线的一般方程，其中A

’B ^G 与A 2,B 2,

C 2不成比例?

由于过直线L 的平面有无穷多个，可以任取两个，将其联立，便得直线L 的一般方程?因此, 直线L 的一般方程不是唯一的?

【例3】将直线的一般方程

2x 3y z 5 0 3x y 2z 4 0

化为标准方程?

解 首先,求此直线上一个点的坐标 ，为此先选定该点的一个坐标 ，例如，设z 1 ,代入原 方程组，得

2x 3y 4 0 3x y 6 0

解之，得 x 2,y

0 ?于是得该直线上一定点（2,0,1） ?

其次，确定直线的一个方向向量 ?由于直线L 在两个平面上，所以L 与两个平面的法向量

n 1,n 2都垂直?因此可以选取 门勺n 2为直线L 的方向向量s ：

s {2, 3,1} {3,1, 2}

{5,7,11}

于是得直线的标准方程为

x 2 y 0 z 1 5

7 11

四、 两直线的夹角，平行与垂直的条件

两直线L 1和L 2的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两条直线的夹角，通常记为 ?设L 1

和L 2的方程分别为

m

n P

x x mt

y

y 。 nt （t 为参数） ⑵

z 20 Pt

方程（2）称为直线的参数方程?

显然直线上任一点都对应唯一确定的

t 值?反之，每取定一个t 值,都得到一个确定的点?

令直线的标准方程 t ,则有

直线的标准方程可化为参数方程 ?反之,由直线的参数方程消去参数

t ,即得标准方程.

XX 。

y y o

z Z o

x x-i

y y 1

z Zi

;若 大于一，则

，故L i 和L 2的夹角 的余弦为

2

m i m 2 ng

p i p 2

cos

J 2

2 7mh n

i

2 f 2

2

2

P i 皿 n 2 P 2

由此得两直线L 1和L 2平行的充要条件是

n i

P i

m 2

匕

P 2

两直线L 1和L 2垂直的充要条件是

m 1m 2 n 1 n 2 P i P 2 0

【例4] 一直线通过点 M 0(

3,2,5)，且与平面 x 4z 3 0,2x y 5z 1 0 的交

线平行，求该直线的方程? 解

由于所求直线与两平面的交线平行

，故可取两平面交线的方向向量为所求直线的方

向向量?即

s {i,0, 4} {2, i, 5}

{ 4, 3, i}

故所求直线方程为

x 3 y 2 z 5

4

3 i

即

x 3 y 2 z 5 4

3 i

(2)直线的方向向量 s {3,0,2},平面的法向量n

以,直线与平面平行.

课堂练习： 1. 将直线方程 ——1

'—2

——1化为参数方程

5

1

3

2.

写出各坐标轴的一般方程.

小结:

它们的方向向量分别为

m n i

y y 2

P i Z Z 3

P 2

S i {m i ,n i , P i }, S 2 {m 2,n 2, P 2}.故它们的夹角

若不大于则

(1) x 2y 4z 和 4x 2y z 1 0；

x 1 y 2

z 3工 c

⑵

和y 8 0 .

3

2

解 (1)直线的方

向向量s

1 1

1,—,,平面的法向量n {4,2,1} 2 4

1 1

i: 4

:2 :i ,故sPn ,所以，直线与平面垂直 2 4

{0,1,0},显然,s n 0,故 s

【例5]试判定下列直线和平面的位置关系

显然

学习了直线的三种方程,两直线的夹角、平行与垂直的条件.要求理解空间直线的概念，熟练掌握直线的标准方程、参数方程及一般方程，会判断两直线的位置关系，并会建立直线方程。

作业:P148-3,5.