上海大学插班生考试题及答案

上海大学2008～2009学年秋季学期试卷 课程名： 高等数学A （一） 课程号： 学分： 6

应试人声明： 我保证遵守《上海大学学生手册》中的《上海大学考场规则》，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受《上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定》的纪律处分。

应试人 应试人学号 应试人所在院系

一、 单项选择题：（每小题3 分，共15 分）

1. 0x =是函数1

1()1x

f x e

=+的（ ）。

A ．连续点

B ．可去间断点

C ．跳跃间断点

D ．第二类间断点 2. 当0x →时，()sin f x x x =-是()sin g x x x =的( )。

A ．低阶无穷小

B ． 高阶无穷小

C ． 等价无穷小

D ． 同阶无穷小但非等价无穷小 3. 设0

lim ()0,lim ()0,()()0x x f x g x f x g x →→==≠，则成立( )。

A ．0

()

lim

1()

x f x g x →= B ．()

0lim ()

0g x x f x →=

C ．011lim 0()()x f x g x →??

+= ??? D ．()0lim ()()0x f x g x →+= 4. 设()f x 满足条件()

02

0()()

lim

0x x f x f x A x x →-=>-，则0()f x 是( )。

A ．极小值

B ．极大值

C ．不是极值

D ．不能确定是否是极值 5. 设x e 是函数(

)f x 的一个原函数，则()xf x dx =?( )。

A ．(1)x e x C -+

B ．(1)x e x

C ++ C ． (1)x e x C -+

D ．(1)x e x C -++ 二、 填空题：（每小题 3 分，共 15 分）

6. 已知函数()f x 的定义域是[]1,1-，则函数1

(

)1

f x -的定义域是 。 7. 为使函数ln(12)

,0(),0x x f x x

x a x +?>?

=??+≥?在定义域内连续,则a = 。 8. 函数21

()f x x x

=-

的上凸区间是 。 9. 若2()f x dx x C =+?，则2(1)xf x dx -=? 。 10. 曲线11x

y xe =+的铅直渐近线是 。

三、计算下例各题：（每小题5分，共40分）

11、0

)lim cot x x

+

→

12、 (

)

1lim x

x

x x e

→+∞

+

13、如果函数()y x 由方程2xy e x y =+

所确定，求(0)y ''。

14、设2

1(sin ),y f x ?

?=???? 其中f 是可微函数，求()y x '。

15、? 16、2

ln (1)

x

dx x -?

17、证明不等式：ln (0)x e x x ><<+∞ 。

18、已知()sin cos x f e x x '=+， 求()f x 。

19．在曲线2

1(1)2

y x =

+（0x >）上任意点P 作切线，切线与x 轴交点是M ，又

N 。试求三角形PMN 面积的最小值。 五、求解下列各题:(每小题5分,共10分)

20、设函数()f x 满足：()0,()f a f a '≠存在，求极限 1()lim ()n

n f a n f a →∞??+????????

。 21、设函数()f x 满足2()(())2f x f x x '''+=，讨论 0x = 是否是函数()f x 的极值

六、求解下列各题（每题6分，共12分）

22、设函数()(1)(),()f x x g x g x =-在[]1,2上有二阶导数，且(1)(2)0g g ==，

证明：在区间()1,2内至少存在一个点ξ，使得()0f ξ''=

23、设函数()f x 是单调函数，且二阶可导，记()g x 是()f x 的反函数， 已知：(1)2,(1)(1)1f f f '''===，求：(1) 0(1)(1)lim 2x f x f x →--； (2) (2)g ''。

上海大学2008-2009学年度秋季学期 高等数学A （1） 考试试卷答案（A 卷）

一． 单项选择题：（每小题3分，共15分）

1.C

2. B

3.D ４.A ５.C

二． 填空题：（每小题3分，共15分） 6.(),0(2,)-∞?∞.7. 2 . 8. ()0,1 .9. ()2

112

x C --+ .10. 0x =

三、求解下列各题: (每小题5分,共40分)

11. 002

ln(arcsin )arcsin lim lim

1cot sin x x x x x x

++→→=-（2分）20sin lim .1arcsin x x x +→=（2分）20lim 0x x x +→==（1分）

12.(

)

1lim x

x

x x e

→+∞

+

解: ()

1ln(),ln ,x x

x

x e y x e

y x

+=+=（2分）

1ln()lim ln lim lim lim 11

1x

x x x x x x x x e x e e x e y x e →+∞→+∞→+∞→+∞+++====+（2分）

()

1

lim x

x

x x e

e →+∞

+= （1分）

13.如果函数()y x 由方程2xy

e

x y =+所确定,求(0)y ''.

解:(0)1y = （1分） ()2,(0)1xy

e y xy y y '''+=+=-（2分）

2()(2),(0)1xy xy e y xy e y xy y y ''''''''+++==-（2分）

14.设2

1(sin ),y f x ?

?=???

?其中f 是可微函数,求()y x '.

解:21111

2(sin )(sin )cos ()y f f x x x x

''=- （5分）

15.?

解:2

1,2x t dx tdt =-= （1分）

cos 22sin t tdt td t ==???g ()2(sin sin )2sin cos t t tdt t t t C =-=++?

（2

分）

C =+（2分）

16.

2ln (1)x

dx x -?

解;

2ln 1111

ln ln (1)111x dx xd x dx x x x

x x ==-----???（2分） 1111

ln ln (ln ln(1))111x dx x x x C x x x x

=

-+=---+---?（3分）

17.证明不等式:ln (0)x e x x ><<+∞.

证明:()ln f x x e x =- （2分）1

0,;()0;x e f x e f e x e

-'''====>（2分）极小值(唯一极值),最小值

()()0,ln f x f e x e x ≥=>（1分）

18.已知()sin cos x

f e x x '=+,求().f x 解

:

()()(sin cos )sin x x x x x f e f e de x x e dx e x c

'==+=+??（3分）

()sin(ln )f x x x C =+（2分）

四、应用题：（8分）

19．在曲线2

1(1)2

y x =

+（0x >）上任意点P 作切线，切线与x 轴交点是M ，又从点P 向x 轴作垂线，垂足是N 。试求三角形PMN 面积的最小值.

解:在点2

001(,(1))2P x x +处切线方程:

20001(1)();2

y x x x x -+=-（2分）

()2

00000000000

1

0,,(,0),,0;;2y y y x y x x M x N x MN x x x x +==--==

222

2

00000

1(1)1111(1);22228PMN

x x S MN PN x x x ++==+=V （2分） ()(

)22

0002001310,x x dS x dx x +-===（2分）

{

},0.,0.min 9x S x S S S ??

''∈<∈+∞>== ???

（2分）

五.求解下列各题:(每小题5分,共10分)

20.设函数()f x 满足:()0,()f a f a '≠存在.求极限1()lim ()n

n f a n f a →∞??+????????

.

解:1()lim ()n

n f a n f a →∞??+????????

=1

()()

()

1()

1()()1()()lim 1()f a f a n f a f a n

f a f a n n f a f a n f a +-+-→∞??????+-????+????????

????

??

（3分）()

()

f a f a e

'=（2

分）

21.设函数()f x 满足2

()(())2.f x f x x '''+=讨论0x =是否是函数()f x 的极值点.

解: (1)若(0)0,f '≠则0x =不是函数()f x 的极值点; （2分） (2) 若(0)0,f '=由于2

()2(())f x x f x '''=-是连续函数,得

22000()2(())(())lim lim lim 2x x x f x x f x f x x x x →→→''''??-==- ???

2lim ()()2;x f x f x →'''=-=

()(),0,()0,0,,()0;x f x x f x δδ''''∈-<∈>()(),0,()0,0,,()0;

x f x x f x δδ''?∈->∈>（3分）

则0x =不是函数()f x 的极值点

六、求解下列各题: (每小题6分,共12分)

22.设函数()(1)(),()f x x g x g x =-在[]1,2上有二阶导数,且(1)(2)0g g ==.证明:在区间()1,2内至少存在一个点ξ,使得()0f ξ''=. 证明: ()(1)(2)0,1,2,()0;f f a f a '==?∈=（2分） ()()(1)(),(1)0;f x g x x g x f '''=+-=（2分）

在()1,a 上,对()f x '用罗尔定理：至少存在一个点ξ,使得()0f ξ''=.（2分） 23. 设函数()f x 是单调函数,且二阶可导, 记()g x 是()f x 的反函数. 已知

:(1)2,(1)(1)1f f f '''===。求：(1)0(1)(1)

lim 2x f x f x →--; (2) (2)g ''.

解

: (1)0

0(1)(1)(1)(1)11lim

lim (1)222x x f x f f x f f x x →→------'===- （2分）

(2) 0011

(2)(2)(1)(1)

(2)lim lim (1)(1)

x y g x g f y f g x f y f →→-

''''+-+''==+-

(1)(1)11

lim

(1)(1)(1)(1)y f f y f y f y

f f y y

→''-+=+-''+（2分）

33(1)/((1))f f '''=-==（2分）