全等三角形易错点剖析

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判定三角形全等的错解示例

一、对“对应”二字认识不准确，应用全等判别法有误

例1 △ABC 和 △DEF 中，∠A=30°，∠B=70°,AC=17cm ，∠D=70°，∠E= 80°，DE=17cm.那么△ABC 与△DEF 全等吗为什么

错解：△ABC 与△DEF 全等.证明如下：

在△DEF 中，

∵ ∠D=70°，∠E=80°，

∴ ∠F=180°－∠D －∠E=180°―70°―80°=30°.

在△ABC 中，

∵ ∠A=30°，∠B=70°，

∴ ∠A=∠F ，∠B=∠D.

又∵ AC=17cm ，DE=17cm ，

∴ AC=DE .

在△ABC 与△DEF 中，

A F

B D A

C DE ∠=∠??∠=∠??=?

，，

， ∴ △ABC ≌△DEF.

错解分析：AC 是∠B 的对边，DE 是∠F 的对边，而∠B ≠∠F ，所以这两个三角形不全等.△ABC 与△DEF 不全等.因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的判别法.

二、判定方法有错误

例2 如图，AC ⊥BC ，DC ⊥EC ，AC=BC,DC=EC.

求证：∠D=∠E.

错解：在△ACE与△BCD中，

∵AC⊥BC ， DC⊥EC，

∴∠ACB=∠ECD=90°.

又∵AC=BC，DC=EC,

∴△ACE≌△BCD，∴∠D=∠E.

错解分析：上面的证明中，错误地应用了“边角边”. ∠ACB与∠ECD并不是那一对三角形的内角.

正解：∵ AC⊥BC，DC⊥EC,

∴∠ACB=∠ECD=90°,

∴∠ACE=∠BCD.

∵ AC=BC, ∠ACE=∠BCD,DC=EC,

∴△ACE≌△BCD, ∴∠D=∠E.

三、错误套用等式性质

例3 如图，已知AC,BD相交于E点，∠A=∠B, ∠1=∠2.

求证：AE=BE.

错证：在△ADC和△BCD中,

∵∠A=∠B,DC=CD, ∠2=∠1,

∴△ADC≌△BCD,

∴△ADC－△DEC=△BCD－△DEC,

∴△ADE≌△BCE, ∴AE=BE.

错解分析：在证明三角形全等时，一定要按判定定理进行证明.上面的证明中，将等式性质错误地搬到了三角形全等中.这是完全错误的.

正解：同上，易证△ADC≌△BCD,

∴AD=BC.

在△ADE和△BCE中,

∵AD=BC，∠A=∠B，∠AED=∠BEC,

∴△ADE≌△BCE,∴AE=BE.

四、脱离题设，将对图形的直观印象视为条件进行证明

例4 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=,DF分别垂直于AB,AC,垂足为E,F.

求证：BE=CF.

错解1：认为DE=DF ，并以此为条件.

在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，

∵DE=DF,BD=CD ，

∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （斜边直角边），∴BE=CF.

错解2：认为AD ⊥BC ，并以此为条件.

通过证明△ABD ≌△ACD （边角边），得AB=AC,再由△AED ≌△AFD （角角边），得AE=AF,从而得到BE=CF.

错解分析：错解1中认为DE=DF ，并直接将其作为条件应用，因而产生错误；错解2中，认为AD ⊥BC ，没有经过推理加以说明，因而也产生了错误.产生上述错误的原因是审题不清，没有根据题设结合图形找到证题依据.

正解：在△AED 和△AFD 中,

AED DFA 90EAD FAD AD AD ∠=∠=??∠=∠??=?

，，，

∴ △AED ≌△AFD （角角边），∴DE=DF.

在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，

BD CD,DE DF,=??=?

Rt △BDE ≌Rt △CDF （斜边直角边），∴BE=CF.

五、误将“SSA (边边角）”当成“SAS (边角边)”来证题

例5 如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，E 是A D 上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE. 试证明：∠BAE=∠CAE.

错解：在△AEB 和△AEC 中，

EB EC,ABE ACE,AE AE,=??∠=∠??=?

∴ △AEB ≌△AEC ，

∴∠BAC=∠CAE.

错解分析：上解错在证两个三角形全等时用了“边边角”来判定，这是不正确的，因为有两条边以及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解：在△BEC 中，因EB=EC,故∠EBC=∠ECB.

∵ ∠ABE=∠ACE, ∴∠ACB=∠ABC ，∴AB=AC ，

在Rt △AEB 和Rt △AEC 中，AE AE,EB EC,AB AC,=??=??=?

∴△AEB ≌△AEC ，∴∠BAC=∠CAE.

在学习中，学会对题中图形进行观察以及对已知条件进行分析，弄明白证明思路.同时，对三角形全等的各种条件要记熟并能区分.三角形的全等具有传递性，比如若有△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则一定有△ABC≌△MNP，这个性质在解题时有很重要的应用.在一些计算图形中有几对全等三角形的题目时，利用这个性质可以发现一些不明显的全等关系，帮助发现那些不是直接有关联的全等三角形.

六、把“角角角”当成判定三角形全等的条件来使用

例6 如图, ∠CAB =∠DBA, ∠C=∠D, E为AC和BD的交点.△ADB与△BCA全等吗说明理由.

错解: △ADB ≌△BCA.

因为∠C = ∠D, ∠CAB = ∠DBA, 所以∠DAB =∠CBA,

所以△ADB ≌△BCA(AAA) .

错解分析:错解把三个角对应相等作为这两个三角形全等的依据, 显然是错误的, “角角角”不是识别两个三角形全等的条件.

正解: △ADB ≌△BCA.

因为∠CAB = ∠DBA, ∠C = ∠D, AB = BA( 公共边) ,

所以△ADB ≌△BCA(AAS) .

七、把“边边角”当成判定三角形全等的条件来使用

例7 如图,已知△ABC 中, AB = AC, D,E 分别是AB,AC 的中点, 且CD = BE, △ADC 与

△AEB全等吗说明理由.

错解: △ADC ≌△AEB.

因为AB = AC, BE = CD, ∠BAE = ∠CAD,

所以△ADC ≌△AEB( SSA) .

错解分析:错解把“边边角”作为三角形全等的判别方法, 实际上, “边边角”不能作为三角形全等的判别依据, 因为两边及一边对角对应相等的两个三角形不一定全等.

正解: △ADC ≌△AEB.

因为AB = AC, D,E 为AB,AC 的中点,

所以AD = AE.

在△ADC 和△AEB 中,

因为AC = AB, AD = AE, CD = BE, 所以△ADC ≌△AEB( SSS) .

八、局部当整体

例8 如图, 已知AB = AC, ∠B = ∠C , BD = CE, 试说明△ABE 与△ACD 全等的理由.

错解: 在△A B E 和△ACD 中,

因为AB = AC, ∠B = ∠C, BD = CE, 所以△ABE ≌△ACD( SAS) .

错解分析:错解没有认真地结合图形来分析条件, 错把三角形边上的一部分(BD 是BE 的一部分, CE 是CD 的一部分) 当成边来说明, 这不符合“边角边”条件.

正解: 因为BD = CE,

所以BD + DE = CE + DE,

即BE = CD.

在△ABE 和△ACD 中,

因为AB = AC, ∠B = ∠C, BE = CD,

所以△ABE ≌△ACD( SAS) .

九、把等量相减用在全等上

例9 如图, 已知AC,BD 相交于点O, ∠A =∠B, ∠1 = ∠2, AD = BC.

试说明△AOD ≌△BOC.

错解: 在△ADC 和△BCD 中,

因为∠A = ∠B, ∠2 = ∠1, DC = CD,

所以△ADC ≌△BCD (AAS) , 所以△ADC - △DOC ≌△BCD-

△DOC, 即△AOD ≌△BOC.

错解分析:错解原因是将等式的性质盲目地用到了三角形全等中, 实际上, 三角形全等是两个三角形完全重合, 是不能根据等式上的数量关系来说明的.

正解: 在△AOD 和△BOC 中, ∠A = ∠B, ∠AOD = ∠BOC, AD =BC,

所以△AOD ≌△BOC(AAS) .

十．“同理可证”实际不同理

例10 已知： AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，AB=A′B′，BC=B′C′，AD=A′D′．

求证：△ABC≌△A′B′C′．

错解：如图，因为BD=1

2BC，B′D ′=1

B′C′，BC=B′C′，

所以BD=B′D′．在△ABD和△A′B′D′中， AB=A′B′，

BD=B′D′，AD=A′D′，因此△ABD≌△A′B′D′．同理可证△ADC

≌△A′D′C′．故△ABD+△ADC≌△A′B′D+△A′D′C′，即△ABC≌△A′B′C′．

错解分析：以上证法有两个错误：⑴用了不同理的同理可证．证明△ABD≌A′B′D′与△ADC≌△A′D′C′的理由是不同的. 要证△ADC≌△A′D′C′，需证∠ADC=∠A′D′C′，根据SAS来证；⑵由两对全等三角形之和推出△ABC≌△A′B′C′，理由不充分．

正解：由△ABD≌△A′B′D′，有∠B=∠B′．在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，因此△ABC≌△A ′B ′C′．

十一．不顾条件任意引申

例11 已知：如图，AB=AC，BD=CE，AD=AE．

求证：BE=CD．

错解：在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，BD=CE，AD=AE，所以

△ABD≌△ACE，故∠1=∠2．于是∠DAC=∠BAE．故BE=CD．

错解分析：等角对等边成立的条件是在同一个三角形中．而这里∠DAC与∠BAE 虽然相等，但是，它们不在同一个三角形中，所以不能得出BE=CD．错解犯了不顾条件任意引申的错误．

正解：在△ABD和△ACE中，因为AB=AC，BD=CE，AD=AE，所以△ABD≌△ACE．故∠1=∠2．于是∠DAC=∠BAE．从而△ADC≌△AEB．故BE=DC．

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∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝3 ×32＋ 1 2 ×3×4＝ 93 6+．故答案为： 93 6+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解． 2．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______ 【答案】110°、125°、140° 【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则 ∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可. 【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论： ①AO=AD，则∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°，

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∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5 【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最

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6、已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 7、已知，如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 是等腰直角三角形，其中CE=CF ，G 是CD 与EF 的交点，求证：△BCF ≌△DCE 8、如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF 9、如图，EG ∥AF ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 ① AB=AC ② DE=DF ③ BE=CF A E D C B G F E D C A B D C F E D C A B G

全等三角形几种类型

全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形 ''''' A B C D E ．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边．中考要求第一讲全等三角形与角平分线知识点睛

(4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．判定三角形全等的基本思路： SAS HL SSS →?? →??→? 找夹角已知两边找直角找另一边 ASA AAS SAS AAS ?? ?? ?? ?? ?? ?? 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角边就是角的一条边找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA AAS →??→? 找两角的夹边已知两角找任意一边全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式： ⑴ 平移全等型 ⑵ 对称全等型 ⑶ 旋转全等型

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6.如图，D 是ABC ?的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ?的中线。求证：2AC AE =。 7.如图，在ABC ?中，AB AC >，12∠=∠，P 为AD 上任意一点。求证：AB AC PB PC ->-。 8.直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α ∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则 AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0 180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则 α∠与BCA ∠ 应满足的关系是；（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明． 9.已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G 。 (!)求证：BF =AC ； A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图1 图2 图3

全等三角形的专题

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造两条边之间的相等，两个角之间的相等。 1、添加辅助线的方法和语言表述（1）作线段：连接……；（2）作平行线：过点……作……∥……；（3）作垂线（作高）：过点……作……⊥……，垂足为……；（4）作中线：取……中点……，连接……；（5）延长并截取线段：延长……使……等于……；（6）截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；（7）作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；（8）作一个角等于已知角：作角……等于……。 2、全等三角形中的基本图形的构造与运用（1）倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．（2）截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。 ①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； ②补短：将一条较短线段延长，延长部分等于另一条较短线段，然后证明新线段等于较长线段；或延长一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段（3）角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”。可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。（4）一线三等角问题（“K”字图、弦图、三垂图）：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直角三角形的直角边。 (5)角含半角、等腰三角形的（绕顶点）旋转重合法：）图形补全：有一个角为60°或120°的，把该角添线后构成等边三角形。

八年级全等三角形专项提高练习题(供参考)

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 全等三角形专项提高练习题（2） 1. 如图所示，△AB C ≌△ADE ，BC 的延长线过点E ，∠ACB=∠AED=105°， ∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF 的度数。 2. 如图，△AOB 中，∠B=30°，将△AOB 绕点O 顺时针旋转52°，得到△A ′OB ′，边A ′B ′与边OB 交于点C （A ′不在OB 上），则∠A ′CO 的度数为多少？ 3. 如图所示，在△ABC 中，∠A=90°，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C 的度数是多少？ 4. 如图所示，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=90°，则∠A= 5. 已知，如图所示，AB=AC ，A D ⊥BC 于D ，且AB+AC+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm ，则AD 是多少？ 6. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，分别过点B 、C 作过点A 的垂线BC 、CE ，垂足分别为D 、E ，若BD=3，CE=2，则DE= 7. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，连接EF ，交AD 于G ， AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。 8. 如图所示，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的角平分线，D E ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是28cm 2 ,AB=20cm ，AC=8cm ，求DE 的长。 9. 已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：AF CD 10. 如图，AD=BD ，A D ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于点H ，则BH AC 相等吗？为什么？ 11. 如图所示，已知，AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且有BF=AC ，FD=CD ，求证：B E ⊥AC 12. △DAC 、△EBC 均是等边三角形，AF 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，求证：（1）AE=BD （2） CM=CN （3）△CMN 为等边三角形（4）MN ∥BC 13. 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 交MC 于点E ， BM 交CN 于点F （1）求证：AN=BM （2）求证：△CEF 为等边三角形 14. 如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，下列结论：①AE=CD ； ②BF=BG ；③BH 平分∠AHD ；④∠AHC=60°；⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ，其中正确的有（） A ．3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 15. 已知：BD 、CE 是△ABC 的高，点F 在BD 上，BF=AC ，点G 在CE 的延长线上，CG=AB ，求证：A G ⊥AF 16. 如图：在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 两边上的高，在BE 上截取BD=AC ，在CF 的延长线上截取CG=AB ，连结AD 、AG 求证：（1）AD=AG （2）AD 与AG 的位置关系如何 17．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且∠DAE=∠FAE 求证：AF=AD+CF 作业 E F A C B D C A O B A'B' B A C D E D B' B C A A' D A C B B D E C A G B C A D E F B C A D E F C D A B E F H B C A D E F B C A D E N M A B D E H G F A C B E B A G D F H F B C A G E D A D E

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形判定与性质专题训练一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ

3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去

二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF

专题研究：全等三角形证明方法归纳及典型例题

全等三角形的证明全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．专题1、常见辅助线的做法典型例题找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：

全等三角形几种类型总结(供参考)

全等三角形与角平分线全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形. 相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角? 全等多边形的对应边、对应角分别相等? 如下图,两个全等的五边形,记作：五边形ABCQE里五边形A'B'C'D'E' . 这里符号徑"表示全等，读作"全等于"? 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形? 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等? 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等. 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形?能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角?全等符号为“空‘ ? 全尊三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等? 寻找对应边和对应角,常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的，公共角常是对应角? (5)有对顶角的，对顶角常是对应角? 全等三角形的判定方法： (1)边角边走理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等? ⑵角边角走理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等? (3)边边边走理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等? (4)角角边走理(MS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等? (5)斜边、直角边定理(HD :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 判定三角形全等的基本思路: 找夹角TSAS 已知两边找直角THL 找另一边TSSS 边为角的对边一找任意一角一A4S 找这条边上的另一角一ASA 找这条边上的对角一AAS 找该角的另一边一 SAS 全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式: 已知一边一角《边就是角的一条边已知两角＜找两角的夹边T ASA 找任意一边T AAS

北师大版八年级数学上册全等三角形专题练习(解析版)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板 45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00) 45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问： ()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由， ()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00 )45(a ≤≤时，探索 DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?,由FEM CAM C ∠=∠+∠， 30C ∠=?， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=?，即可利用三角形内角和求出答案. 【详解】 ()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30 BAC C ∠=∠=， 453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-?=?，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的． ()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105? 证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=?, 30FEM CAM ∴∠=∠+?, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠, 180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=?, 3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+?+?=?, 1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=?--=?, 所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105. 【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键. 2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

2021年全等三角形专项训练及答案解析

初中数学专项训练：全等三角形欧阳光明（2021.03.07）一、选择题 1．如图，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是 A ．AB=AD B ．A C 平分∠BC D C ．AB=BD D ．△BEC ≌△DEC 2．如图，在△ABC 和△DEB 中，已知AB=DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是 A ．BC=EC ，∠B=∠E B ．BC=E C ，AC=DC C ．BC=DC ，∠A=∠ D D ．∠B=∠ E ，∠A=∠D 3．如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=?60，CP 2=，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是 A ．2 B ．2 C ．3 D ．32 4．如图，在四边形ABCD 中，对角线AB=AD ，CB=CD ，若连接AC 、BD 相交于点O ，则图中全等三角形共有【】 A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 在BC 上，连接AD 、

AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 6．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（） A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC 7．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1 , l2，l3之间的距离为2 ,则AC的长是（） A．26B．5 2C．2 4D．7 二、填空题 8．如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段． 9．如图，在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是。 10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为．（答案不唯一，只需填一个）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得

人教版八年级数学上册全等三角形专题练习(解析版)

人教版八年级数学上册全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在_____．【答案】AD的中点【解析】【分析】【详解】分析：过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出 AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短. 详解：如图，过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D ∵四边形ABCD是矩形 ∴AB=CD ∴△ABP≌△DC′P ∴AP=PD 即P为AD的中点. 故答案为P为AB的中点. 点睛：本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键． 2．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.

【答案】15CP ≤≤ 【解析】【分析】根据点E 、F 在边AB 、AC 上，可知当点E 与点B 重合时，CP 有最小值，当点F 与点C 重合时CP 有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得. 【详解】如图，当点E 与点B 重合时，CP 的值最小，此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，如图，当点F 与点C 重合时，CP 的值最大，此时CP=AC ， Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP 的最大值为5，所以线段CP 长的取值范围是1≤CP≤5，故答案为1≤CP≤5. 【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E 、F 分别在线段AB 、AC 上，点P 在直线BC 上确定出点E 、F 位于什么位置时PC 有最大（小）值是解题的关键. 3．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC 为一边作等边三角形

人教版八年级上学期数学《全等三角形证明》专题练习

1、如图，AC=AD，BC=BD，求证：AB平分∠CAD． 2、已知：如图，AB=DC，AB∥DC，求证：AD=BC． 3、如图，已知：点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AC=DF．∠A=∠D=90°；求证：AB∥DE． 4、如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE． 5、如图，在△ABC中，D是∠BAC的平分线上一点，BD⊥AD于D，DE∥AC交AB 于E，请说明AE=BE． 6、一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC． 7、如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．

8、如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD． 9、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：EC=BF． 10、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．试说明：AD垂直平分EF． 11、已知：如图，点E、F在AD上，且AF=DE，∠B=∠C，AB∥DC．求证：AB=DC． 12、已知：如图，CB⊥AD，AE⊥DC，垂足分别B、E，AE、BC相交于点F，且AB=BC．求证：△ABF≌△CBD． 13、如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．试说明：AD垂直平分EF． 14、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，求证：（1）MD=MB；（2）MN平分∠DMB．

15、如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F．（1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数． 16、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？ 17、已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在同一直线上，∠A=∠C．求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF． 18、如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF；说明：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB． 19、如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．

全等三角形几种类型(总结)

全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形 ABCDE ≌五边形'''' 'A B C D E ．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为 “≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3) 有公共边的，公共边常是对应边．中考要求第一讲全等三角形与角平分线知识点睛