2009矩阵理论试题]

电子科技大学研究生试卷

一、选择题（20分）

1、设11(1)1 n x R n n ?? ?=∈> ? ???

,T

B I xx =-，其中I 为单位矩阵, 则下面正确的选项为 ( ) 1.||

||1A B =; .||||1B B ∞=; 2.||||1C B =; 2

.|||| 1.m D B =

2、设G 为矩阵()m n r A C r n ?∈<的一个广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则

1

||||m DGB =( ).

A . 1;

B . r;

C . 0;

D . n. 3、 下列说法错误的是( )

A . 矩阵A 与H A 有相同的奇异值;

B . 矩阵收敛的充分必要条件是其谱半径小于1;

C . 矩阵A 的右逆1

R A -是A 的自反广义逆; D . ||||||||||||

m m m AB A B ∞

∞

∞

≤.

4、设n 阶矩阵A 满足2A A =，但A 不是单位矩阵，则下列说法正确的是( ). A . 矩阵A 不是严格对角占优; B . 矩阵A 为严格对角占优;

C . 矩阵A 左可逆;

D . 矩阵A 的M-P 广义逆A A +=. 5、设n n

A C ?∈且矩阵A 的谱半径()1r A <，则0

k k kA ∞

==∑( ).

.()

A A I A -; 2

.()B A I A -; 1

.

()

C A I A --; 2

.()

D A I A --.

二、填空题（20分）

1、设A 为三阶矩阵且0A x =、(3)0I A x -=和(3)0I A x +=都有非零解，其中I 为 三阶单位矩阵，则矩阵A 的谱半径()r A = .

2、设002A ππ??

?

= ? ??

?

，则2||sin ||A = . 3、1/41/41/41/41/5

2/51/51/5

1/61/63/61/61/71/7

1/7

4/7A ??

?

?= ?

? ??

?

的谱半径()r A = . 4、设n n

A C ?∈是可逆矩阵，0是n 阶零矩阵, 则000A +

??

=

???

. 5、设m n

n

A C ?∈且12||()||T T

A A A A -= .

二、计算与证明（60分）

1. (10分) 设()m n

ij A a C

?=∈，定义实数,||||m ax G ij i j

A m n a =，1, 1i m j n ≤≤≤≤. 证

明：||||G A 是n m C ?上的矩阵范数.

2. (10分) 设矩阵 满足2A A =, 求矩阵函数At e .

3. (8分) 设矩阵n n A C ?∈是正规矩阵, 其特征值为12,,,n λλλ , 满足12||||||n λλλ≥≥≥ ,

B A U =, 其中U 为酉矩阵, B 的特征值为12,,,n μμμ , 证明

(1) 如果20A =, 则0A =; (2) 1||||||i n λμλ≥≥.

4. (8分) 设矩阵()ij n n A a ?=非奇异, 其奇异值为12,,,n σσσ , A U D V =是矩阵A 的奇异值分解, det A 表示矩阵A 的行列式, H A 表示矩阵A 的共扼转置矩阵, 证明 (1) 矩阵U 的任意一个列向量都是矩阵H AA 的一个特征向量; (2) 12|det |n A σσσ= .

5. (6分) 设矩阵,n n A B C ?∈, 若, (), , ()H H ABA A BA BA AG A A AG AG ====, 证明: A BAG +=.

6.(10分) 已知矩阵10110

11,111

21A b ????

? ?== ? ? ? ??

???

, (1). 求矩阵A 的最大秩分解; (2). 求A +;

(3). 用广义逆矩阵方法判断方程组A x b =是否有解?

(4). 求方程组A x b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)

7. (8分) 设矩阵,,n n

H

A B C

A A ?∈=,()r

B 为矩阵B 的谱半径,

(1) 如果矩阵,H

A A

B AB -均为正定矩阵, 则()1r B <;

(2) 如果矩阵B 的谱半径()1r B <, 证明: 存在正定矩阵A , 使得H A B AB -为正定矩阵.