一阶倒立摆建模及simulink仿真

《现代控制理论》三级项目报告

题目：一级倒立摆控制系统设计

姓名：刘然

学号：160103010258

专业：过程控制4班

指导教师：吴忠强

分数：

2019年4月

一级倒立摆控制系统设计

倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。对于倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里引起人们极大兴趣的问题，倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统。

研究倒立摆控制能有效地反映控制中的许多问题，倒立摆研究具有重要的理论价值和应用价值，理论上,它是检验各种新的控制理论和方法的有效实验装置。应用上,倒立摆广泛应用于控制理论研究!航空航天控制，机器人、杂技顶杆表演等领域,在自动化领域中具有重要的价值。另外,由于此装置成本低廉,结构简单,便于用模拟、数字等不同方式控制,在控制理论教学和科研中也有很多应用。

本文中,以一级倒立摆为研究对象,对它的起摆以及稳定控制做了研究，主要工作如下:

1.首先介绍了倒立摆系统的组成和控制原理,建立了一级倒立摆的数学模型,对倒立摆系统进行定性分析,说明在平衡点是能控的。

2.分析了倒立摆的起摆过程,对倒立摆的起摆能量反馈控制进行分析与说明。

3.在matlab2018a 的simulink 库下对倒立摆构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型。

4.对这次仿真的总结。

一、倒立摆的控制目标

倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。

二、建立单级倒立摆系统的状态空间模型

其中，质量为M 的小车在水平方向滑动，质量为m 的球连在长度为L 的刚性摆一端，x 表示小车的位移，u 是作用在小车上的力，通过移动小车使带有小球的摆杆始终处于垂直的位置。为了简单起见，假设小车和摆仅在一个平面内运动，且不考虑摩擦、摆杆的质量和空气阻力。如图1

图1

设系统的动态特性可以用小车的位移和速度及杆偏离垂线的角度θ和角速度?

θ来描述。设小车位移为x ，则小球中心位置是θlsin x +

在水平方向，应用牛顿第二定律：

222

2d x d (x sin )d d M m l u t t θ++=

在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：

2d (x sin )sin d m l mg t

θθ+=

求微分方程得：

θθθ ?=)(cos )(sin d d t

θθθθθ ?+?-=cos )sin ()(sin d d 22

θθθ ?-=)sin ()(cos d d t

θθθθθ ?-+?-=)sin ()cos ()(cos d d 22

线性化：当和较小时，有

和

较小时，有

cos s ≈?≈≈?

θθθθθin

选择状态变量

小车的位移、小车的速度、小车的角度、小车的角速度分别为

化简得

u ml y

m M ≈++θ )(θθmg ml y

m ≈+ 化简得

u M

M mg y

1+-=θ u

Ml Ml g m M 1)(-+=θθ

.43.

21θ

θ====x x y x y x

u 为输入，y 为系统的输出

模拟结构图为

采用MATLAB/Simulink 构造单级倒立摆系统的仿真模型，如下图所示。

然后运行仿真程序，得到仿真曲线如下图

;0100

010

00000001

0114321)(4321u x x x x x

x x x Ml M Ml

g m M M

mg ?????

???????-+????????????????????????-

=????????????+ []???

???????=43210001x x x x y

左为角度仿真曲线，右为位移仿真曲线，可见一阶倒立摆系统不稳定。

三、单级倒立摆系统的极点配置

1.状态反馈系统的极点配置及Simulink仿真

取适当的参数

M 小车质量0.1 Kg

m 小球质量0.01Kg

l 摆杆的长度 1m

u 加在小车上的力

y 小车位移

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下

g 重力加速度为10g/2s

接下来使用matlab和线性系统的能控性判据，通过是否为满秩来判断能控性

将参数代入后得到新的矩阵

[]

根据判别系统能控性的定理，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。因为系统是能控的，所以，可以通过状态反馈来任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在

61-=s ; 5.62-=s ;73-=s ;5.74-=s

在matlab 下输入命令

得到状态反馈矩阵为

[]175.1495.488175

.12275.204K ----=

采用MATLAB/Simulink 构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图所示。

首先，在MATLAB 的Command Window 中输入各个矩阵的值，并且在模型中的积分器中设置非零初值（这里我们设置为[0 0 0.1 0]）。然后运行仿真程序。得到的仿真曲线

从仿真结果可以看出，可以将倒立摆的杆子与竖直方向的偏角控制在 =0（即小球和杆子被控制保持在竖直倒立状态），另外说明下紫线代表位移，红线代表角度。

2.总结

由仿真结果对比可知，一阶倒立摆是一个绝对不稳定系统，但是通过状态反

馈配置极点可使倒立摆稳定。

一阶倒立摆控制系统

一阶直线倒立摆系统姓名：班级：学号：

目录摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16)

摘要：该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。第一部分单阶倒立摆系统建模

（一）对象模型由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。图1.1 一阶倒立摆的物理模型根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4）

倒立摆系统的建模及Matlab仿真资料

第1 页共11 页倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??①

绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有．第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其

一级倒立摆的建模与控制分析

控制工程与仿真课程设计报告报告题目直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计组员1专业、班级14自动化1 班姓名朱永远学号1405031009 组员1专业、班级14自动化1 班姓名王宪孺学号1405031011组员1专业、班级14自动化1 班姓名孙金红学号1405031013 报告评分标准评分项目权重评价内容评价结果项目得分内容70设计方案较合理、正确，内容较完整 70-50分设计方案基本合理、正确，内容基本完整 50-30分设计方案基本不合理、正确，内容不完整 0-30分语言组织15语言较流顺，标点符号较正确 10-15分语言基本通顺，标点符号基本正确 5-10分语言不通顺，有错别字，标点符号混乱 5分以下格式15 报告格式较正确，排版较规范美观 10-15分报告格式基本正确，排版不规范 5-10分报告格式不正确，排版混乱 5分以下总分

直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计一状态空间模型的建立 1.1直线一级倒立摆的数学模型图1.1 直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图1.2 系统中小车的受力分析图图1.3是系统中摆杆的受力分析图。F s 是摆杆受到的水平方向的干扰力, F h 是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力F g 。

图1.3 摆杆受力分析图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： ()11- 设摆杆受到与垂直方向夹角为α 的干扰力Fg ，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力FS 、垂直干扰力Fh 产生的力矩。 ()21- 对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： ()θsin 22 l x dt d m F N S +=- ()31- 即： αθθθθsin sin cos 2f F ml ml x m N +-+= ()41- 对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： ()θcos 22 l l dt d m F mg P h -=++- ()51- 即 θθθθ αcos sin cos 2 ml ml F mg P g +=++- ()61- 力矩平衡方程如下： 0cos sin sin cos cos sin =++++θθθθαθα I Nl Pl l F l F g g ()71- 代入P 和N ，得到方程： () 0cos 2sin sin 2cos sin cos 2cos sin 2222=+-++++θθθθθθθαθαx ml ml mgl ml I l F l F g g ()81- 设φπθ+=，（φ是摆杆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设φ<<1，则可进行近似处理： φφφφφφφ===?? ? ??==2sin ,12cos ,0,sin ,1cos 2 dt d N x f F x M --= α sin g S F F =α cos g h F F =

(完整版)一级倒立摆系统分析

一级倒立摆的系统分析一、倒立摆系统的模型建立如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型图1-1 一级倒立摆物理模型对于上图的物理模型我们做以下假设： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆惯量 F：加在小车上的力 x：小车位置 ?：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆

杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图1-2 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向受力，可以得到以下方程： M x?＝Ｆ-ｂx?-Ｎ (1-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程： N =m d 2dt (x +l sin θ) (1-2) 即： N =mx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ (1-3) 将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )x?+bx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ=F (1-4) 为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P ?mg =m d 2dt 2 (l cos θ) (1-5) P ?mg =? mlθsin θ?mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有：

?Pl sinθ?Nl cosθ=Iθ (1-7) 注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+?，cos?=?cosθ，sin?=?sinθ，所以等式前面含有负号。合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程： (I+ml2)θ+mgl sinθ=?mlx?cosθ (1-8) 设θ=π+?，假设?与1（单位是弧度）相比很小，即?＜＜1，则可以进行近似处理：cosθ=?1，sinθ=??，（dθ dt ） 2 =0。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下： {(I+ml2)??mgl?=mlx? (M+m)x?+bx??ml?=u (1-9) 假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到： {(I+ml2)Φ(s)s2?mglΦ(s)=mlX(s)s2 (M+m)X(s)s2+bX(s)s?mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到： X(s)=[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s) (1-11) 或改写为：Φ(s) X(s)=mls2 (I+ml2)s2?mgl (1-12) 如果令v=x?,则有：Φ(s) V（s）=ml (I+ml2)s2?mgl (1-13) 如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到： (M+m)[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s)s2+b[(I+ml2) ml +g s ]Φ(s)s?mlΦ(s)s2= U(s) (1-14) 整理后可得传递函数： Φ(s) U(s)= ml q s2 s4+b(I+ml 2) q s3?(M+m)mgl q s2?bmgl q s (1-15)

一级倒立摆地Simulink仿真

单级倒立摆稳定控制直线一级倒立摆系统在忽略了空气阻力及各种摩擦之后，可抽象成小车和匀质摆杆组成的系统，如图1所示。图1 直线一级倒立摆系统图2 控制系统结构假设小车质量M =0.5kg ，匀质摆杆质量m=0.2kg ，摆杆长度2l =0.6m ，x (t )为小车的水平位移，θ为摆杆的角位移，2 /8.9s m g =。控制的目标是通过外力u (t)使得摆直立向上（即0)(=t θ）。该系统的非线性模型为： u ml x m M ml mgl x ml ml J +=++=++22)sin ()()cos (sin )cos ()(θθθθθθθ ，其中231ml J =。解：一、非线性模型线性化及建立状态空间模型因为在工作点附近（0,0==θ θ ）对系统进行线性化，所以可以做如下线性化处理：32 sin ,cos 13!2!θθθθθ≈-≈-

当θ很小时，由cos θ、sin θ的幂级数展开式可知，忽略高次项后，可得cos θ≈1，sin θ≈θ，θ’^2≈0；因此模型线性化后如下：（J+ml^2）θ’’+mlx ’’=mgl θ (a) ml θ’’+(M+m) x ’’=u (b) 其中23 1ml J = 取系统的状态变量为,,,,4321θθ ====x x x x x x 输出T x y ][θ=包括小车位移和摆杆的角位移. 即X=????????????4321x x x x =????? ???????''θθx x Y=??????θx =??????31x x 由线性化后运动方程组得 X1’=x ’=x2 x2’=x ’’=m m M mg 3)(43-+-x3+m m M 3)(44-+u X3’ =θ’=x4 x4’=θ’’=ml l m M g m M 3)(4)(3-++x3+ml l m M 3)(43-+-u 故空间状态方程如下： X ’=????????????'4'3'2'1x x x x =????????????????? ?-++-+-03)(4)(300100003)(4300 0010ml l m M g m M m m M mg ????????????4321x x x x + ???????? ??????????-+--+ml l m M m m M 3)(4303)(440 u

直线二级倒立摆的建模和控制综述

西南科技大学自动化专业方向设计报告设计名称：直线二级倒立摆的建模和镇定控制姓名：学号: 班级：指导教师：起止日期：

方向设计任务书学生班级：学生姓名：学号：设计名称：起止日期：指导教师：方向设计学生日志

直线二级倒立摆的建模与镇定控制摘要（150-250字）倒立摆是一个典型的多变量、非线性、强耦合、欠驱动的自然不稳定系统，对倒立摆系统的控制研究，能反映控制过程中的镇定、非线性和随动等问题，因此常用于各种控制算法的研究。而且对倒立摆系统的研究还有重要的工程背景，对机器人行走、火箭的姿态调整等都有重要的现实意义。本文以直线二级倒立摆系统为模型，阐释了直线二级倒立摆的建模方法和镇定控制算法。其次介绍了直线二级倒立摆系统的结构和参数，应用拉格朗日方程建模方法详细推导了二级倒立摆的数学模型，并对系统的性能进行分析。接下来，本文重点研究了最优控制算法在直线二级倒立摆镇定控制中的应用；在介绍倒立摆系统的最优控制算法的基础上，设计了系统的最优控制器，分析得出控制参数的选择规律；并且在Simulink上完成仿真实验,观察控制系统性能。关键词：倒立摆；建模；LQR；镇定控制

Modeling and Balance Control of the Linear Double Inverted Pendulum Abstract：Inverted pendulum is a typical multivariable, nonliner, closed coupled and quick movement natural instable system.The process of control research can reflect many key problems in control theory, such as the problem of tranquilization, non linearity, following and so on. So the inverted pendulum is commonly used for the study of many kinds of control theory. The research of inverted pendulum also has important background of engineering, and has practical significance for the Robot walk and Rocket-profile adjustment. In this paper, taking the linear double inverted pendulum system as the control model, reaching of the control system based on lagrange equation and optimal control algorithm. First of all, giving out the research significance and situation of the inverted pendulum system,and introducing the linear double inverted pendulum modeling methods and stabilization control theory. Secondly, introducing the structure and parameters of the inverted pendulum system. Researching of the inverted pendulum mathematical model based on lagrange equation, and giving a detailed derivation, then having stability analysis of the system. Next, this paper studied the inverted pendulum system’s optimal control algorithm,and designed the LQR controller based on it,then coming to the law of selection of control parameters. Finishing the simulation in the Simulink software,observing the performance of the control system. Key words: inverted pendulum, modeling, LQR, balance control

哈工大一阶倒立摆

哈尔滨工业大学控制科学与工程系控制系统设计课程设计报告

姓名：院（系）：专业：自动化班号：任务起至日期： 2014 年9 月9 日至 2014 年9 月20 日课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计已知技术参数和设计要求：本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度错误！未找到引用源。和小车位移x的稳定时间小于3秒（2）x的上升时间小于1秒（3）错误！未找到引用源。的超调量小于20度（0.35弧度）（4）稳态误差小于2%。工作量： 1.建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2.倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真及实物调试； 3.倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真及实物调试。

哈尔滨工业大学 (1) 控制系统设计课程设计报告 (1) 一．实验设备简介 (3) 二．直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6) 2.1概述 (6) 2.2数学模型的建立 (7) 2.3一阶倒立摆的状态空间模型： (9) 2.4实际参数代入： (10) 三．定量、定性分析系统的性能 (11) 3.1 对系统的稳定性进行分析 (11) 3.2 对系统的稳定性进行分析： (12) 四. 实际系统的传递函数与状态方程 (13) 五. 系统阶跃响应分析 (14) 六．一阶倒立摆PID控制器设计 (15) 6.1 PID控制分析 (15) 6.2 PID控制参数设定及MATLAB仿真 (17) 6.3 PID控制实验 (18) 七．状态空间极点配置控制器设计 (19) 7.1 状态空间分析 (20) 7.2 极点配置及MA TLAB仿真 (21) 7.3 利用爱克曼公式计算 (21) 八．课程设计心得与体会 (22) 一．实验设备简介倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。

倒立摆系统的建模及Matlab仿真

倒立摆系统的建模及Matlab 仿真 1.系统的物理模型考虑如图(1)面内运动的二维问题。图(1)倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：l =1m 小车的质量： M=1kg 重力加速度：g=9.8m/2s 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量δ ≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（θsin l z +）,在u 作用下，小车及摆均产生加速远动，根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u 平衡，于是有 u l z dt d m dt z d M =++)sin (22 22θ 即： u ml ml z m M =-++θθθθsin cos )(2&&&&& ① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有

θθθsin cos )sin (22mgl l l z dt d m =??? ????+ 即： θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+&&&&& ② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，则1cos ,sin ≈≈θθθ，且可忽略θ θ2&项。于是有 u ml z m M =++θ&&&& )( ③ θθg l z =+&&&& ④ 联立求解可得 u Ml Ml m M u M M mg z 1)(1 -+=+- =θθθ&&&& 2.2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量4321,,,x x x x ， []T x x x x x 4321,,,=则 u Ml x Ml m M x x x u M x M mg x x x 1 )(134433221-+= =+-==&&&& 即 []Cx x x y Bu Ax u Ml M x Ml g m M M mg z z dt d x ===+=?????? ? ???????-+?????????? ??? ? +- =???? ????????=000110100)(0 010 0000000 1 1θθ&&& 代入数据计算得到： [][]0,0001,1010,01100 1000010000 1 0==-=? ? ??? ? ??? ???-=D C B A T

倒立摆建模

系统建模系统建模可以分为两种:机理建模和实验建模.实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器的检测其可观测的输出,应用数学手段建立起系统输入---输出关系.这里包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容.机理建模就是在了解研究对象在运动规律基础上,通过物理,化学的知识和数学手段建立起的系统内部的输入输出状态关系.系统的建模原则： 1) 建模之前，要全面了解系统的自然特征和运动机理，明确研究目的和准确性要求，选择合适的分析方法。 2) 按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式； 3) 根据允许的误差范围，进行准确性考虑，然后建立尽量简化的合理的数学模型。小车—倒立摆系统是各种控制理论的研究对象。只要一提小车—倒立摆系统，一般均认为其数学模型也已经定型。事实上，小车—倒立摆的数学模型与驱动系统有关，常见到的模型只是对应于直流电机的情况，如果执行机构是交流伺服电机，就不是这个模型了。本文主要分析由直流电机驱动的小车—倒立摆系统。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制. 在忽略空气阻力,各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车忽然均匀质杆组成的系统,如下图所示: 图中F 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，φ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。 M 小车的质量 0.5Kg m 摆杆的质量 0.2Kg X φ F M 图1 直线一级倒立摆系统 θ

倒立摆仿真报告

计算机控制系统课题报告 1.倒立摆基本背景：倒立摆，Inverted Pendulum ，是典型的多变量、高阶次，非线性、强耦合、自然不稳定系统。倒立摆系统的稳定控制是控制理论中的典型问题，在倒立摆的控制过程中能有效反映控制理论中的许多关键问题，如非线性问题、鲁棒性问题、随动问题、镇定、跟踪问题等。因此倒立摆系统作为控制理论教学与科研中典型的物理模型，常被用来检验新的控制理论和算法的正确性及其在实际应用中的有效性。从 20 世纪 60 年代开始，各国的专家学者对倒立摆系统进行了不懈的研究和探索。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。由中国的大连理工大学李洪兴教授领导的“模糊系统与模糊信息研究中心”暨复杂系统智能控制实验室采用变论域自适应模糊控制成功地实现了四级倒立摆。因此，中国是世界上第一个成功完成四级倒立摆实验的国家。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。 2.倒立摆模型分析倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力F平行

于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。我们的分析对象是一阶倒立摆。很多国内实验都说可以合理的假设空气阻力为0，但查阅了更多的文献和真正仿真做出模型并在网络上开源的一些实验后，我认为这是不正确的。空气阻力或许可以忽略，但是对于运动过程中的所有阻碍都忽略那就太为理想。也就是说，我们需要自己假设一个阻碍模型，即收到的所有阻力等效成一个包含速度，位姿等的广义函数。当然，我们的时间精力和所学知识都还有限，却也不想太过简单。我选取了一个阻力和速度成正比的函数关系，来在以后的建模和仿真过程中来模拟倒立摆所受的一切阻碍。 3.1 倒立摆物理建模：基于经典牛顿力学受力分析如上图。那我们在本实验中定义如下变量： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.3 m）

倒立摆MATLAB建模

线控大作业如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。图倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g 摆杆的长度：2l=1m 小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2 摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。要求：1、建立倒立摆系统的状态方程 2、定量分析,定性分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、极点配置设计分析报告

1 系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统。如下如所示。图一级倒立摆模型其中： φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： N x b F x M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin (22 θl x dt d m N += 即：

θθθθsin cos 2 ml ml x m N -+= 把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程： F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： )cos (22 θl dt d m mg P =- θθθθ cos sin 2 ml ml mg P --=- 力矩平衡方程如下： θ θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程： θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++ 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即1<<φ，则可以进行近似处理：0)(,sin ,1cos 2=-=-=dt d θφθθ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下： 2(+)()I ml mgl mlx M m x bx ml u ????-=?++-=? 对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到 ?????=Φ-++=Φ-Φ+) ()()()()()()()()(22222s U s s m l s s bX s s X m M s s m lX s m gl s s m l I 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到： )(])([)(22s s g ml ml I s X Φ-+= 或 m g l s ml I mls s X s -+=Φ222 )()()( 如果令x v =，则有：

自动化实验-倒立摆实验-附仿真结果图复习课程

一、直线一级倒立摆的仿真 (一)直线一级倒立摆的数学建模对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法和拉格朗日方法分别建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。图2 直线一级倒立摆模型 φ摆杆与垂直向上方向的夹角； θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）。图3 小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

把这个等式代入式1中，就得到系统的第一个运动方程：为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于θ=π+φ,cosφ= ?cosθ,sinφ= ?sinθ，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P 和N，得到第二个运动方程：设θ=π+φ（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ<<1，则可以进行近似处理：。用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：对式9进行拉普拉斯变换，得到注意：推导传递函数时假设初始条件为0。由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：

或如果令v = x，则有：把上式代入方程组的第二个方程，得到：整理后得到传递函数：其中设系统状态空间方程为：方程组对解代数方程，得到解如下：整理后得到系统状态空间方程：

一级倒立摆控制系统设计

基于双闭环PID控制的一阶倒立摆控制系统设计一、设计目的倒立摆是一个非线性、不稳定系统,经常作为研究比较不同控制方法的典型例子。设计一个倒立摆的控制系统，使倒立摆这样一个不稳定的被控对象通过引入适当的控制策略使之成为一个能够满足各种性能指标的稳定系统。二、设计要求倒立摆的设计要求是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能克服随机扰动而保持稳定的位置。实验参数自己选定，但要合理符合实际情况，控制方式为双PID控制，并利用MATLAB进行仿真，并用simulink对相应的模块进行仿真。三、设计原理倒立摆控制系统的工作原理是：由轴角编码器测得小车的位置和摆杆相对垂直方向的角度，作为系统的两个输出量被反馈至控制计算机。计算机根据一定的控制算法，计算出空置量，并转化为相应的电压信号提供给驱动电路，以驱动直流力矩电机的运动，从而通过牵引机构带动小车的移动来控制摆杆和保持平衡。四、设计步骤首先画出一阶倒立摆控制系统的原理方框图一阶倒立摆控制系统示意图如图所示：分析工作原理，可以得出一阶倒立摆系统原理方框图：

一阶倒立摆控制系统动态结构图下面的工作是根据结构框图，分析和解决各个环节的传递函数！ 1.一阶倒立摆建模在忽略了空气流动阻力，以及各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示，其中： M ：小车质量 m ：为摆杆质量 J ：为摆杆惯量 F ：加在小车上的力 x ：小车位置 θ：摆杆与垂直向上方向的夹角 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度根据牛顿运动定律以及刚体运动规律，可知：（1）摆杆绕其重心的转动方程为（2）摆杆重心的运动方程为得 sin cos ..........(1)y x J F l F l θθθ=- 2 22 2(sin ) (2) (cos ) (3) x y d F m x l d t d F mg m l d t θθ=+=-

一阶倒立摆控制系统设计

课程设计说明书课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：设计者：学号：指导教师：设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号

课程设计（论文）任务书指导教师签字：系（教研室）主任签字： 2013年3月5日

目录一、建立一阶倒立摆数学模型 (4) 1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4) 2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6) 3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7) 二、一阶倒立摆matlab仿真 (9) 三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13) 四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23) 五、总结............................................................................................... 错误！未定义书签。六、参考文献 (29)

一、建立一阶倒立摆数学模型首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。系统内部各相关参数定义如下： M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数 l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置 φ摆杆与垂直向上方向的夹角 θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1-2 小车及摆杆受力图分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：（1-2）即：（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：（1-4）为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：（1-5）即：（1-6）力矩平衡方程如下：（1-7）由于所以等式前面有负号。

基于matlab的倒立摆仿真设计

基于matlab的倒立摆的仿真与设计姓名:贾永伟专业:测控技术与仪器学号:1123105950 年级:2011级摘要：倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。关键词：一级倒立摆，PID，MATLAB仿真一、倒立摆模型的研究意义倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制都有重要意义倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实卫星飞行中的姿态控制等。故其研究意义广泛。二、倒立摆模型的数学建模质量为m的小球固结于长度为L的细杆（可忽略杆的质量）上，细杆又和质量为M的小车铰接相连。由经验知：通过控制施加在小车上的力F（包括大小和方向）能够使细杆处于θ＝0的稳定倒立状态。在忽略其他零件的质量以及各种摩擦和阻尼的条件下，推导小车倒立摆系统的数学模型分析过程如下：如图所示，设细杆摆沿顺时针方向转动为正方向，水平向右方向为水平方向上的正方向。当细杆摆顺时针往右运动时水平方向施加的力应该为水平向右。现对小车和细杆摆分别进行隔离受力分析：

单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计(打印版)汇编

目录摘要 (2) 1单级移动倒立摆的Newton方法建模 (3) 1.1非线性数学模型 (3) 1.1.1 被控对象系统建模分析 (3) 2倒立摆系统的串联超前校正装置校正分析 (5) 2.1未校正系统输出动态性能 (5) 2.2系统的串联超前装置校正 (8) 2.2.1参数修正 (8) 2.2.2串联超前校正装置 (11) 2.3校正后系统的稳定性分析 (11) 3校正前系统与校正后系统的比较 (14) 4设计心得体会 (14) 参考文献 (15)

摘要倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。本次课程设计主要考察对课堂理论知识把握的牢固程度和将理论知识、数学建模及软件应用相综合应用的技巧。通过对给定的物理模型进行分析和求解，进而使用自动控制中所要求的知识，串联超前校正装置，使系统响应符合题目给定的要求。这次课程设计要求的绘图软件为MATLAB，使用的校正方式为串联超前校正。关键字：倒立摆串联超前校正MATLAB

单级移动倒立摆建模及串联超前校正设计 1单级移动倒立摆的Newton方法建模 1.1非线性数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。在此次的课程设计中我采用其中的Newton方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。 1.1.1 被控对象系统建模分析在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统如下图1小车系统总体分析图。. 设输入作用力为u，输出为摆角θ。图1 小车总系统分析小车质量M=1；摆杆质量m=0.1；小车摩擦系数b=0；摆杆转动轴心到杆质心的长度l=1；