弧弦圆心角圆周角—巩固练习(供参考)

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

1．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．

A．64°B．48°C．32°D．76°

2．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°

（第1题图）（第2

题图）

（第3题图）

3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°

4．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连结DC，则∠AEB等于( )．

A ．70°B．90°C ．110°D

．120°

（第4题图）（第5题图）

5.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．

A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠1

6．在半径等于5cm的圆内有长为53cm的弦，则此弦所对的圆周角为（）．

A.120

B.30或120

C.60

D.60或120

二、填空题

7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．

8.在圆中，圆心与弦的距离(即自圆心作弦的垂线段的长)叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果

两条弦相等，那么它们的弦心距也______．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么___________________．9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，BD∥OC，则∠B的度数是 .

10．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2 3 ，则BD＝.

B

A

O

C

D

H

（第9题图）

O

D

A B

C

（第10题图）

11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上， 且∠POM ＝45°，则AB ＝ .

（第12题图）

12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．

三、解答题

13. 如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大

小有何关系，说明理由．

14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半径OA 、OB 的中点且OA ⊥CE 、OB ⊥DF ，求证：⌒AE =⌒EF =⌒

FB .

15．如图，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重

合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ． (1)求证：AE =BF ；

(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．

弧、弦、圆心角、圆周角—巩固练习（提高）

【巩固练习】 一、选择题

1. 如图，在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是上一点，则∠ACB 等于( )． A ．80° B ．100° C ．130° D ．140°

2．已知，如图, AB 为⊙O 的直径，AB ＝AC ，BC 交⊙O 于点D ，AC 交⊙O 于点E ，∠BAC ＝45°。给出以下五个结论：①∠EBC ＝22.5°；②BD ＝DC ；③AE ＝2EC ；④劣弧AE 是劣弧DE 的2倍；⑤AE ＝BC 。其中正确的有( )个

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

第1题图 第2题图 第3题图

3．如图，设⊙O 的半径为r ，弦的长为a ，弦与圆心的距离为d ，弦的中点到所对劣弧中点的距离为h ，下面说法或等式：①r d h =+ ②2

2

2

44r d a =+ ③已知r 、a 、d 、h 中任意两个，可求其它两个。其中正确结论的序号是( )

A ．仅①

B ．②③

C ．①②③

D ．①③

4．如图，在⊙O 中，弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，AB 、OC 交于点P ，则四边形OACB 是( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形

5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个

第4题图第5题图第6题图

6．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则弦CD的

长为( )．

A．

3

2

cm B．3cm C．23cm D．9cm

二、填空题

7．.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.

第7题第9题

8．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为，则弦AB所对的圆周角的度数是________.

9．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,42

CD=,则∠AED=°. 10．如图所示，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，则∠P＝________°．

11.如图所示，在半径为3的⊙O中，点B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D，使BD＝AB，连接

AC、BC、CD，如果AB＝2，那么CD＝________．

（第10题图）（第11题图）

12．如图，MN是⊙O的直径，MN＝2，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，点B为AN

︵

中点，P直径MN上的一个动点，则PA＋PB的最小值是 .

13．已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程x2-（236=0的两个根，则∠BAC的度数为_______．

三、解答题

14.如图，在⊙O中，AB BC CD

==，OB，OC分别交AC，BD于Ｅ、Ｆ，求证OE OF

=

N

P

O

A

B

（第12题图）

15．如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，?延长BA交⊙O于G， ．

求证：GE EF

16．如图所示，AB是⊙O的直径，C为AE的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，连接AC，求证：AF＝CF．

17.如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，

求四边形ADBC的面积．

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A；

【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.

2.【答案】B；

【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.

3.【答案】A；

【解析】∠BAD=1

2

∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.

4.【答案】C；

【解析】因为∠A=50°，∠ABC=60°，BD是⊙O的直径，所以∠D=∠A=50°，∠DBC=40°，∠ABD=60°-40°=20°，∠ACD=∠ABD=20°，∠AED=∠ACD+∠D=20°+50°=70°，

∠AEB=180°-70°=110°.

5.【答案】D；

【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.

6.【答案】D；

【解析】一条弦所对的圆周角有两个，这两个角互补.

二、填空题

7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；

8．【答案】相等，这两条弦也相等；

9．【答案】60°；

10．【答案】3；

11．【答案】；

【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x2+（2x）2＝52， x＝, 即 AB的长＝.

第11题第12题

12．【答案】90°；

【解析】如图，连结AB 、BC ，则∠CAD + ∠EBD +?∠ACE=∠CBD +∠EBD +?∠ABE=∠ABC=90°.

三、解答题 13.【答案与解析】

BE=CF ．

理由：∵AE 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ， ∴∠ABE=90°=∠ADC ， 又∠AEB=∠ACB ， ∴∠BAE=∠CAF ， ∴BE CF =． ∴BE=CF ．

14.【答案与解析】

如图，连接OE 、OF ， ∵D 是半径OB 的中点OB ⊥DF ， ∴OD=

1

2

OF,∴∠OFD=30°,即∠FOD=60°， 同理∠EOA=60° ， ∴∠FOD=∠EOA=∠EOF, ∴⌒AE =⌒EF =⌒FB .

15.【答案与解析】

(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ，

所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ， 即AE=BF ．

(2)四边形CDEF 的面积是定值. 连结OC ，则2

2

215OH=OC -CH =-=622

9（

）（）2

， 11

()2O 6922

S CF DE CD H CD =

+?=???=?＝54(cm 2)． 【答案与解析】

一、选择题

1．【答案】C ．

【解析】设点D 是优弧AB 上一点（不与A 、B 重合），连接AD 、BD ； 则∠ADB=∠AOB=50°； ∵四边形ADBC 内接于⊙O ，

∴∠C=180°-∠ADB=130°；故选C ．

2．【答案】C ．

【解析】①②④正确. 3．【答案】C ．

【解析】根据垂径定理及勾股定理可得①②③都是正确的. 4.【答案】C ．

【解析】由弦AB 的长是半径OA 的3倍，C 为AB 中点，得∠AOC=60°，△AOC 为等边三角形， 所以AO=AC ，进而得到OA=OB=BC=AC ，故则四边形OACB 是菱形. 5．【答案】D ．

【解析】与∠BCE 相等的角有5个，∠DAE=∠AED=∠ABD ，∠BAD=∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠ABD=∠BCE ，

同理∠ADO=∠ODE=∠OED=∠BCE ，且∠ACD=∠BCE.

6．【答案】B ．

【解析】∵ ∠CDB ＝30°， ∴ ∠COB ＝2∠CDB ＝60°，

又AB 为⊙O 的直径，CD ⊥AB ，

∴ ∠OCD ＝30°，1

2

CE CD =

， 在Rt △OEC 中，∵ 3OC =cm ，∴ 3

OE =

cm ． 2

222239

(3)4CE OC OE ??=-=-= ? ???

(cm )．

∴ 3

2

CE =

cm ，∴ CD ＝3cm ． 二、填空题

7．【答案】3； 8．【答案】120°或60°； 9．【答案】30°； 10．【答案】40°；

【解析】∵ ∠AOC ＝130°，

∴ ∠ADC ＝∠ABC ＝65°， 又AB ⊥CD ，

∴ ∠PCD ＝90°－65°＝25°，

∴ ∠P ＝∠ADC －∠PCD ＝65°－25°＝40°． 11．【答案】

4

3

；

【解析】连结OA 、OB ，交AC 于E ，因为点B 是劣弧AC 的中点，所以 OB ⊥AC ，设BE=x,则OE=3-x ，由AB 2-BE 2=OA 2-OE 2得 22-x 2=32-（3-x ）2,解得23x =

，423

CD BE ==. 或连接OA 、OB ，△OAB ∽△BCD ，AB CD OA BC =

，232CD =，4

3

CD =． 12．【答案】；

【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点P ，则P 点就是所求作的点．（如图）

此时PA+PB 最小，且等于AC 的长．

连接OA ，OC ，根据题意得弧AN 的度数是60°， 则弧BN 的度数是30°，

根据垂径定理得弧CN 的度数是30°， 则∠AOC=90°，又OA=OC=1， 则AC= ．

13.【答案】15°或75°.

【解析】方程x 2-（22+23）x+46=0的解为x 1=22，x 2=23， 不妨设：AB=22，AC=23． （1）如图，OM ⊥AB 于M ，ON ⊥AC 于N ． ∵AB=22，AC=23， ∴AM=2，

∵OA=2，在Rt △MAO 中，∠MAO=45°，AC=23， ∴AN=3，

在Rt △NAO 中，∠NAO=30°，∴∠BAC=15°； （2）如图，∠BAC=75°．

三、解答题

14.【答案与解析】

如图，∵AB BC CD ==，∴AC BD =, ∴AC BD =,∵B,C 是,AC BD 的中点， ∴1

,,2

BF CE AC OB AC OC BD ==

⊥⊥, ∴Rt OBF Rt OCE ≌, ∴OE OF = 15.【答案与解析】

连接AF ，则AB=AF ，所以∠ABF=∠AFB ．

因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，

所以∠DAF=∠AFB ，∠GAE=∠ABF ，所以∠GAE=∠EAF ，所以GE EF =．

16.【答案与解析】

证法一：连接BC ，如图所示．

∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝90°， 即∠ACF+∠BCD ＝90°． 又∵ CD ⊥AB ，

∴ ∠B+∠BCD ＝90°， ∴ ∠ACF ＝∠B ．

∵ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ ∠B ＝∠CAE ，

∴ ∠ACF ＝∠CAE ，∴ AF ＝CF ．

证法二：如图所示，连接BC ，并延长CD 交⊙O 于点H ． ∵ AB 是直径，CD ⊥AB ，

∴ AC AH =． ∴ 点C 是AE 的中点， ∴ AC CE =， ∴ AH CE =． ∵ ∠ACF ＝∠CAF ， ∴ AF ＝CF ．

17.【答案与解析】

∵ AB 是直径，∴ ∠ACB ＝∠ADB ＝∠90°． 在Rt △ABC 中，AB ＝6，AC ＝2，

∴ 22226242BC AB AC =

-=-=．

∵ ∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴ ∠DCA ＝∠BCD ． ∴ AD DB =，∴ AD ＝BD ．

∴ 在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2＝AB 2＝62，∴ AD ＝BD ＝32． ∴ 11

C 22

ABC ABD ADBC S S S A BC AD BD ??=+=+四边形 211

242(32)94222

=??+?=+．