方程与不等式复习教案

第7讲一元一次方程

养鹿中学周忠海

复习目的：

1、了解等式的概念，掌握等式的基本性质。

2、了解方程、方程的解及解方程的概念。

3、了解一元一次方程及其标准形式、最简形式，掌握一元一次方程的解法，并会检验。

4、会列一元一次方程解应用题，并根据应用题的实际意义检验求值是否合理。

考点透视

1、方程的相关概念

1）方程：含有未知数的等式。

2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值。只含有一个未知数的方程的解也叫做该方程的根。

3）解方程：求方程的解或说明方程无解的过程。

4）一元一次方程：只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为1，化成标准形式)0(0≠=+a b ax 的整式方程。

例1、1）（2008上海）如果2x =是方程

112x a +=-的根，那么a 的值是（） A 、0 B 、2 C 、2- D 、6-

变式训练：①已知关于x 的方程223=+a x 的解是1-=a x ,则=a 。

②已知关于x 的方程723+=+x n x ，小刚在解这个方程时，把方程右端的7+抄成了7-，解得的结果为2=x ，求原方程的解。

2、一元一次方程的解法

1）等式的性质：①等式两边同时加上（减去）同一个整式，等式仍然成立；②等式两边同时乘以（除以）同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。

2）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。例2、1）（2008自贡）方程063=+x 的解的相反数是（）

A 、2

B 、－２

C 、3

D 、－3

2）（2008武汉）如果05.205.2002005-=-x ，那么x 等于（）

A 、1814.55

B 、1824.55

C 、1774.55

D 、1784.45

3）解方程：①12223x x x -+-=-；②2(1)0.4(1)3430.2

x x -+-=- 3、一元一次方程的应用

1）列一元一次方程解应用题的一般步骤：①审题；②设未知数；③找出相等关系；④列出方程；⑤解方程；⑥检验作答。

2）列一元一次方程解应用题的常见题型：①等积变形问题，注意变形前后的面积（体积）关系；②比例问题，通常设每份数为未知数；③利润率问题，数量关系复杂，要特别注意，常用的相等关系是利润的两种不同表示方法，即利润=售价-进价=进价×利润率；④数字问题，注意数的表示方法；⑤工程问题，注意单位“1”的确定；⑥行程问题，分为相遇、追击、水流问题；⑦年龄问题等。

例3、1）（2008恩施）一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本为元。

2）（2009安顺市）24、（本题满分10分）

在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：

（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？

（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由。

问题

分析

抽象方程

求解

检验

作答

3）（2008安徽）某石油进口国这几个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对上个月的增长率。备考策略

1、对于方程、方程的解等概念的考查以填空题、选择题为主，主要从利用方程的解求待定字母的值方面命题。

2、列方程解应用题的过程：，其中分析问题是解应用题的关键。

中考精练

第8讲分式方程

复习目的：

1、了解分式方程的概念。

2、掌握可化为一元一（二）次方程的分式方程的解法，会用去分母法或换元法求方程的解。

3、了解分式方程产生增根的原因，掌握验根的方法。

4、能够列出可化为一元二次方程的分式方程解应用题。

考点透视

1、分式方程的解法

1）分母中含有未知数的方程叫分式方程。

2）解分式方程的基本思想：将分式方程“转化”为整式方程。

3）分式方程的基本解法：①通过去分母将其转化为整式方程；②对于其中一部分在构造上有一定特点的分式方程，我们可采用换元法求解。

4）在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫分式方程的增根。解分式方程一定

要验根，即把所求得的根带入最简公分母中，检验最简公分母是否等于0，若最简公分母等0，则为增根，应舍去。

例1、1）（2008泰州）方程

22123=-+--x

x x 的解是=x 。 2）（2008凉山）分式方程263111

x x -=--的解是。 3）（2008上海）用换元法解分式方程21221x x x x --=-时，如果设21x y x -=，并将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是。

2、由分式方程的根求待定字母的值

由方程的增根、失根或无解的情况，求字母的值或取值范围。一般地，解决此类问题，都是将原方程化为整式方程，再根据根的情况，解决相应问题。

例2、1）（2008襄樊）当m =时，关于x 的分式方程

213x m x +=--无解。 2）（2009杭州市）已知关于x 的方程32

2=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为。 3、分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，解题时应抓住“找等量关系，恰当设未知数，用含未知数的式子表示相关未知量”等关键环节，从而正确列出方程并进行求解。另外还要注意检验结果是否是增根，是否是原方程的根，是否符合实际意义。

例3、1）（2008咸宁）A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20千克，A 型机器人搬运1000千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？

2）(2008西宁)“5·12”汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．问原计划每天修多少米？某原计划每天修x 米，所列方程正确的是（）

A 、12012045x x

-=+ B 、

12012045x x -=+ C 、12012045x x -=- D 、12012045x x -=- 3）（2009青岛市）北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元。

（1）该商场两次共购进这种运动服多少套？

【新教材】新人教A版必修一均值不等式及其应用教案

均值不等式及其应用课程目标知识提要均值不等式及其应用均值不等式及其应用的知识主要包含：均值不等式的含义和均值不等式的应用及实际应用.均值不等式是指:若a,b >0，则 2 1a +1b ?√ab ?a +√ab +b ?a +b ?2(a 2+ab +b 2)?√a 2+b 2?a 2+b 2 . 其中21a + 1b 称为调和平均数，√ab 称为几何平均数， a+√ab+b 3 称为希罗平均数， a+b 2 称为代数平均数， 2(a 2+ab+b 2)3(a+b) 称为形心平均数,√ a 2+ b 2 2 称为平方平均数， a 2+ b 2a+b 称为反调和平均数．其中常用的是： 2 1a +1b ?√ab ?a +b 2?√a 2+b 2 2.

想要利用均值不等式求代数式的最值，就必须构造出积为定值的若干式子的和的形式或者和为定值的若干式子的积的形式．在利用均值不等式的时候，还需要注意考虑等号取到的条件，对式子进行系数的调整．均值不等式的含义 ?均值定理如果a，b∈R+，那么a+b 2 ?√ab．当且仅当a=b时，等号成立．对任意两个正实数a，b，数a+b 2 叫做a，b的算术平均值，数√ab叫做a，b的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．均值不等式的实际应用 ?利用基本不等式解决实际问题的一般步骤: ①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大值或最小值； ④正确写出答案．精选例题均值不等式及其应用 1. 已知x>0，则f(x)=x+2 x 的最小值为．【答案】2√2 【分析】因为x>0，所以x+2 x ?2√x?2 x =2√2,当且仅当x=√2时取等号．

9.3一元一次不等式组⑴(公开课教案)

初中数学教案教学设计课题§9.3一元一次不等式组（1）分析、评价一、教材分析一元一次不等式组，是新人教版教材《数学》七年级下册第九章第三节的第一课时．本节内容是在学习了不等式的解集之后的知识内容,?在此基础上提出若某数同时满足几个不等式时,如何去确定这个数的取值范围,这就是不等式组的公共解集的确定,在实际生活中同样会遇到一个数所能满足的条件不止一个的问题,这就要用到不等式去确定其解. 二、教学目标知识与技能 1.了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组的解集的意义，掌握求一元一次不等式组的解集的常规方法； 2.通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较,?抽象出这二者中的异同,由此理解不等式组的公共解集. 过程与方法通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组这些概念,?发展学生的类比推理能力.逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比与化归的思想. 情感态度价值观通过培养学生的动手能力发展学生的感性认识与理性认识,?培养学生独立思考的习惯；通过与其他同学交流、活动，初步形成积极参与数学活动，提高学习兴趣，主动与他人合作交流的意识．三、教学重难点与关键教学重点一元一次不等式组的解法教学难点１.在数轴上找不等式解集的公共部分；２.确定不等式组的解集．教学关键类比不等式及方程组得出相关概念，运用数形结合思想。四、教学策略教法选择情境教学、类比探究、多媒体演示相结合. 学法引导不等式的解集已经在前一节中学习并运用其解决实际问题,?若由多个不等式构成的不等式组的解集如何确定呢?不等式的解集可类比方程的解进行求解,是否不等式组的解与方程组的解也类似呢?因此学生就会进行类比,进而可得出其解集的公共部分. 课堂组织形式游戏活动、分小组教学. 教具媒体应用多媒体辅助教学．五、课时课型课时：一课时课型：新课讲授六、教学过程

一元一次不等式的应用教案

华东师大版七年级下册第八章 “8.2.3一元一次不等式的应用”第一课时教学感想：实际问题与一元一次不等式是初中学数学中的一个难点，那么如何能突破这个难点，顺利完成这节课的教学任务呢？老师们在一起探讨后，都认为不好教学。于是今天把我的教学课堂实例和大家一起来分享探讨。教学目标：（1）知识与技能：列一元一次不等式解决具有不等关系的实际问题。（2）过程与方法：经历由实际问题转化为数学问题的过程，掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程。（3）情感态度与价值观：通过运用一元一次不等式解决实际问题，进一步强化运用数学的意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。教学重点：由实际问题中的不等关系列出不等式．教学难点：列一元一次不等式描述实际问题中的不等关系。教学方法：以探究式教学为主，以活动教学、启发式教学等教学方法为辅。教学过程（一）创设情境，激发情意 1、简阳市中小学生篮球比赛将于5月28号在简阳市举行，下面老师带来了一组云龙学区篮球运动选拔赛的图片。 2、涌泉初中女子篮球队代表云龙学区租车去参赛，从涌泉初中到简阳市路程是50千米，他们打算2小时到达，请你他们算一算，司机的车速至少是多少？（设计理念：兴趣是最好的老师。情境的创设针对学生的年龄特点，利用篮球运动会这一具特定情境的设置，不仅充分激起了学生的关注和兴趣，还顺其自然引出了蕴含的数学信息，真正起到了“敲门砖”的作用）（二）师生互动，探究新知

1、大胆尝试，上面问题中不超过2小时，则速度应满足什么？ 50/x≤2 50/2≤x 2x≥50 及时分析三种方法，并表扬学生（设计理念：复习不等式的几种情况，为下面学习新知打下基础） 2、学生参赛完后要回来时，老师想给家人买点礼物。比赛场地有甲、乙两家超市正在搞活动，请帮老师选择。甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场的优惠措施是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．问题1：从这个活动中，你能发现什么信息？问题2：如果老师打算购买40元的一件礼物，去哪家超市好呢？80元呢？大于100元呢？（设计理念：通过购物这个学生非常熟悉的生活实例，引起学生浓厚的学习兴趣，感受到数学来源于生活，生活中更需要数学.）（这里学生有可能得出两种结果，那就让学生探究到底哪家商店便宜；如果学生们只有一种答案，那么教师可举例说120元呢？180元呢？让学生知道两种结果都有，那么怎么界定这两种结果呢？进入探究） ①分组活动．先独立思考，理解题意．再组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论述理由． ②在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案： (1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？ (2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)什么情况下，两个商场收费相同？（设计理念：鼓励学生大胆猜想，对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，涌现出多样化的解题思路．教师及时予以引导、归纳和总结，让学生感知不等式的建模.） ③我们先来考虑方案：设累计购物x（x>100）元时，如果到甲商场购买更优惠．问题1：如何列不等式？问题2：如何解这个不等式？在学生充分讨论的基础上，小组派代表板书，并解释这样列不等式的根据是什么？其他同学帮忙补充，最后老师进行点评。（设计理念：完整的解题过程的展现，有利于培养学生有条理地思考和表达的习惯） ④让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成情况．（设计理念：这是上面问题的重现，让学生独立完成，不仅可以培养学生自己解决问题的能力，还可以巩固上面所学的内容，可以说一举两得） ⑤最后师生共同总结分析：（1）如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的；（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小．（3）如果累计购物超过100元，又有三种情况： A、什么情况下，在甲商场购物花费小？ B、什么情况下，在乙商场购物花费小？ C、什么情况下，在两家商场购物花费相同？（设计理念：过程的重现就是解题过程的重现，可以帮助学生更好的理清思路，培养学生开放型思维的能力） 3、总结一元一次不等式的解法和解决实际问题的步骤去分母---去括号---移项---合并同类项---系数化为1

高中数学《一元二次函数方程和不等式》公开课优秀教学设计

课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）一、教学设计 1.教学内容解析在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好. 本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡. 三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面. 根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用. 2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律. 教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式. 3.教学目标设置 (1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系； (2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性； (3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养. 4.教学策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆

高中数学_均值不等式教学设计学情分析教材分析课后反思

必修5 第三章不等式 3.2 均值不等式（新授课）一、教学目标确立依据 1.课程标准要求 (,0)2 a b a b +≤ ≥ ①探索并了解基本不等式的证明过程； ②会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 2.课程标准解读对上述①的解读：首先给学生创设探索的平台得到基本不等式，同时给学生机会让学生用所学方法证明基本不等式；对上述②的解读：首先教师用问题的方式搭建平台让学生发现基本不等式的限制条件，同时教师由浅入深给学生探究最值的平台，由理论到实践操作将最值问题与实际问题挂钩，让学生在探究和实践过程中学会用基本不等式解决简单的最大（小）问题. 3.学情分析与教材分析学生已经学习“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．知晓不等式证明以及函数求最值的某些方法. “均值不等式” 是必修5的重点内容，在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。同时本节知识又渗透了分类讨论、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质. 为了帮助学生构建知识体系，教科书分三个层面来展现：第一层面，从简单的不等式证明入手，在降低难度的基础上让学生体会基本不等式在证明不等式总中的作用；第二层面，通过应用题，体现基本不等式在实际问题的应用，以及让学生体会简单的基本不等式的应用；第三层面，通过分母是一次函数，分子是二次函数的分式形式，循序渐进的增加难度，让学生学会判断条件学会拼凑或者添项转化为公式所需要的条件.本课正处于第一、第二个层面以及第三层面的初级阶段. 本节内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了转化与化归、数形结

高中数学基本不等式及其应用教案设计

实用标准文档大全基本不等式及其应用教案教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0} ．．师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．实用标准文档大全二、推导公式 1．奠基师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥∴a2＋b2≥2ab ．． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

人教版七年级数学下册一元一次不等式组教案

一元一次不等式组年级七科目数学任课教师授课时间课题9.3.1一元一次不等式组授课类型新授课标依据一元一次不等式组的解法教学目标知识与技能了解一元一次不等式组的概念过程与方法理解一元一次不等式组解集的意义情感态度与价值观掌握一元一次不等式组的解法教学重点难点教学重点一元一次不等式组的解法教学难点一元一次不等式组的解集的表示教学媒体选择分析表知识点学习目标媒体类型教学作用使用方式所得结论占用时间媒体来源介绍知识目标图片 A G 拓展知识2分钟自制讲解过程与方法图片 A E 建立表象5分钟下载观看过程与方法图片 A E 帮助理解5分钟下载理解情感态度价值观图片 A I 升华感情2分钟下载

①媒体在教学中的作用分为：A.提供事实，建立经验；B.创设情境，引发动机；C.举例验证，建立概念；D.提供示范，正确操作；E.呈现过程，形成表象；F.演绎原理，启发思维； G.设难置疑，引起思辨；H.展示事例，开阔视野；I.欣赏审美，陶冶情操；J.归纳总结，复习巩固；K.其它。 ②媒体的使用方式包括：A.设疑—播放—讲解；B.设疑—播放—讨论；C.讲解—播放—概括；D.讲解—播放—举例；E.播放—提问—讲解；F.播放—讨论—总结；G.边播放、边讲解； H.设疑_播放_概括.I讨论_交流_总结J.其他教学过程师生活动设计意图

设计（一）导入新课动手解一解下列不等式，并在数轴上表示解集： ①0.53x < ②21x x ->- ③321x x -<+ ④541x x +>+ （二）讲授新课一、合作探究（10分钟），要求各小组组长组织成员进行先自主学习再合作探究、讨论。 1、一元一次不等式组：用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水, 估计积存的污水超过1200吨不足1500吨, 那么大约需要多少时间能将污水抽完？分析：若设需要x 分钟才能将污水抽完，则根据题意可列出两个不等式： _____________________ （1） _____________________ （2）这两个不等式同时成立，与方程组类似，可以把它们组合在一起，得到： ? ? ?____________________ （一元一次不等式组）概念：由两个（或两个以上）含有同一个未知数的______________组成的不等式组，叫做一元一次不等式组. 2、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中同几个不等式的解集的__________叫做一元一次不等式组的解集. 练一练：由“温故知新”可知：（1）?????<>+22 13 12x x 的解集是___________；（2）? ??->++<-1424 23x x x x 的解集是_____________. 3、解一元一次不等式组：求一元一次不等式组的______

不等式的实际应用教案

不等式的实际应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

3.4 不等式的实际应用 1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案． 2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立． 3．对于形如y ＝x ＋k x (k >0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解． (1)当x >0时，f (x )＝x ＋k x ≥2k (k >0)，当x ＝k 时取“＝”．另外，我们还可以证明f (x )在区间(0，k ]上为减函数，在区间[k ，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域． (2)当x <0时，∵f (x )＝x ＋k x (k >0)(x ≠0)为奇函数． ∴f (x )在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车

基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。教学目标 1. 知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。重点：运用基本不等式求最值难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件教学过程：一、要点梳理 1、基本不等式若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一一 1，求x+y 的最小值 x y 2、若 a 、b € R',则常用变形形式：宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:

一元一次不等式组》教学设计新人教版

9.3一元一次不等式组（1）一、教学内容及分析： 1、教学内容：（1）一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念；（2）解不等式组成的不等式组，用数轴确定解集；（3）用一元一次不等式组解决实际问题． 2、内容分析：（1）一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念是对代数知识的综合理解及运用，为学生在后面列不等式解决实际问题时打下基础；（2）解不等式组成的不等式组，用数轴确定解集主要是让学生更进一步清楚不等式的解集是多个解的集合，形成整体思想；（3）列利用一元一次不等式组解决实际问题是基于方程的应用，训练学生的分析问题的能力及解决问题的意识，到达训练思维的目的．二、教学目标及分析： 1、学习目标：（1）了解一元一次不等式组及其解集等概念．（2）会解一元一次不等式组，并会用数轴确定解集． 2、目标分析：（1）了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念就是指能判断什么样的是不等式组，解集的含义等纯代数意义的解读，使学生找到知识间的内在联系；（2）会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集，就是指学生清楚求不等式组解集的过程，知道用数轴表示不等式解集的四种形式，形成与方程的区别；（3）能够利用一元一次不等式组解决实际问题就是指会根据条件知道用不等式组来解决，知道不等式组与实际问题的联系．三、问题诊断分析：

本节课学生可能会遇到的问题是学生很难找到问题中的不等关系，原因主要是学生分析问题的能力未到达，解决这些困难就把问题分类讨论，使学生知道不同问题的不同解决思路，而关键是列代数式，使问题分解。四、教学过程：问题一：某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月．如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨.该校计划每月烧煤多少吨？设计意图：通过此问题的分析—解决让学生初步了解不等式与实际问题的联系，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解．师生活动： 1、学生根据已有的不等式的知识进行独立思考．已知条件有：取暖时间为4个月，未知量是计划每月烧煤的数量（x ）．当每月比原计划多烧5吨煤时，每月实际烧煤（x +5）吨，这时总量4（x +5）＞100；当每月比原计划少烧5吨煤时，实际每月烧（x －5）吨煤，有4（x －5）＜68．进而归纳不等式组的概念． 2、这是一个实际问题，请学生先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解．此时引导学生发现x 的值要同时满足上述两个不等式，进而引导学生归纳一元一次不等式组的概念．把两个不等式合起来，就组成了一元一次不等式组（此时可以与方程组类比理解）．问题二：类比方程组的解，如何确定不等式???<->+68 )5(4100)5(4x x 的解集．设计意图：进一步熟悉解一元一次不等式组的步骤，特别是了解用数轴表示解集的四种不同形式。师生活动： 1、学生独立思考，容易分别解出两个不等式组，得到解集后，在解出后进行讨论，然后交流如何确定这个不等式组的解集，经过分析发现x 的值必须同时满足x ＞20，x ＜22两个不等式，于是可以发现x 的取值范围应该是20＜x ＜22；或者运用数轴，如图1，从数轴上容易观察，同时满足上述两个不等式的x 的值应是，两个不等式解集的公共部分，因此解集为

《基本不等式》教案(1)(1)

基本不等式教学目标： 1．学会推导并掌握均值不等式定理； 2．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。教学重点：均值不等式定理的证明及应用。教学难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。教学过程：重要不等式：如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 ≥2ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：a 2＋b 2－2ab ＝（a －b ）2 当a ≠b 时，（a －b ）2＞0，当a ＝b 时，（a －b ）2＝0 所以，（a －b ）2≥0 即a 2＋b 2 ≥2ab 由上面的结论，我们又可得到定理：如果a ，b 是正数，那么 a ＋b 2 ≥ab （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）证明：∵（a ）2＋（b ）2≥2ab ∴a ＋b ≥2ab 即a ＋b 2 ≥ab 显然，当且仅当a ＝b 时， a ＋ b 2 ＝ab 说明：1）我们称a ＋b 2 为a ，b 的算术平均数，称ab 为a ，b 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）数列意义问：a ，b ∈R －？例题讲解：例1 已知x ，y 都是正数，求证：（1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14 S 2 证明：因为x ，y 都是正数，所以 x ＋y 2 ≥xy （1）积xy 为定值P 时，有x ＋y 2 ≥P ∴x ＋y ≥2P 上式当x ＝y 时，取“＝”号，因此，当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .

【新教材】新人教A版必修一基本不等式教案

基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题．知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）；（4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大．（2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小．利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件．热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，

对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立．对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立．由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ，则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1，当且仅当x ＝－错误!时，等号成立，所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2），所以1a ＋错误!＝1，所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8，当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立．故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系下列不等式一定成立的是

一元一次不等式组教案公开课教案修订版

一元一次不等式组教案公开课教案修订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-ZZT18】

§9.3一元一次不等式组肖慧教学目标知识与技能： 1、了解一元一次不等式组及其解集的概念。 2、会利用数轴求不等式组的解集。过程与方法： 1、培养学生分析实际问题，抽象出数学关系的能力。 2、培养学生初步数学建模的能力。情感态度价值观：加深学生对数形结合的作用的理解，让学生体会数学解题的直观性和简洁性的数学美。感受探索的乐趣和成功的体验，使学生养成独立思考的好习惯。教学重难点重点：不等式组的解法及其步骤。难点：确定两个不等式解集的公共部分。教法与学法分析

教法：启发式、讨论式和讲练结合的教学方法。学法：实践、比较、探究的学习方式。教学课型新授课教学用具多媒体课件教学过程一、复习引入一元一次不等式的解法我们已经全部讲完，现在复习一下前面的内容。 1、不等式的三个基本性质是什么？ 2、一元一次不等式的解法是怎样的？ 3、情境引入：这个星期的星期天是我母亲的生日,肖老师想买一束康乃馨送给妈妈. 要求：这束花不低于20元，又少于40元如果你是花店售货员,你会拿什么价格的康乃馨给我选择呢二、讲授新知探究新知：

题中一共有两种数量关系，讲解时应注意引导学生自主探究发现。题中的x 应同时满足两个不等式，从而引出一元一次不等式组的概念：把两个一元一次不等式合在一起，就得到一个一元一次不等式组。同时满足两个不等式的未知数，既是两个不等式解集的公共部分，要找出公共部分，就要利用数轴，在此要引导学生重视数轴的作用，并指导学生在数轴如何观察数轴上对应解集的范围。记着20≤X<40（引导发现，此就是不等式组的解集。）不等式解集的概念：不等式组中的几个不等式解集的公共部分。由此，教师可以引导学生自己总结出解一元一次不等式组的一般步骤。学生回答后教师总结步骤：分别求出每个不等式的解集；找出它们的公共部分。三、例题讲解教师提出问题，有了上面的铺垫，我们来完整的解一元一次不等式组。例1解不等式组（1）312128 x x x ->+??>?

初一下册一元一次不等式应用题()讲课教案

一元一次不等式（组）一、知识导航图一元一次不等式(组)的应用一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念不等式的性质一元一次不等式和一元一次不等式组二、课标要求三、知识梳理 1.判断不等式是否成立判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时, 要认真观察不等式的形式与不等号方向. 2.解一元一次不等式(组) 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质,不等式组解集的确定方法:若a?? >? 的解集是x>b,即“大大取大”. (3) 00a b >??<的解集是a

(4)00a b ? 的解集是空集,即“大大小小取不了”. 一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。 3.求不等式(组)的特殊解不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想. 4.列不等式(组)解应用题注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题. 四、题型例析 1．判断不等式是否成立例1 2．在数轴上表示不等式的解集例2 3．求字母的取值范围例3 4．解不等式组例4 5．列不等式(组)解应用题例5 一元一次不等式(组) 【课前热身】【知识点链接】 1．不等式的有关概念：用连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的的值叫做不等式的解；一个含有的不等式的解的叫做不等式的解集.求一个不等式的的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）；（3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有未知数，且未知数的次数是且系数的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、、移项、、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是x b >，即“大大取大”； x a x b >??

高三数学第40课时均值不等式教案

课题：算术平均数与几何平均数教学目标：1.掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2.利用不等式求最值时要注意到“一正” “二定”“三相等”．教学重点：均值不等式的灵活应用。（一）主要知识： 1.两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则 2 a b +（等号仅当a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） 2.几个重要的不等式： ① ab ≤22a b +?? ???≤222a b + ②abc ≤33a b c ++?? ???； ③如果,a b R ∈≥2a b +≥211a b + 3.最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。（二）主要方法： 1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等. 2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）. （三）典例分析：问题1．求下列函数的最值： ()113y x x = +-()3x <；()2121y x x =+-()1x >；()3241y x x =+()0x >； ()323 y x x =+()0x >；()4 ()21y x x =-()01x <<；()5 ()21y x x =-()01x << ()6y =()7 已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y +=，求x y +的最小值

问题2．已知0x >，0y >，且1x y +=，求. 问题3．求最小值()1231()1x x f x x -+=+()1x >-；()2 223sin sin y x x =+ 问题4．()1设0x >，0y >，且()1xy x y -+=，则 .A 2x y +≤.B 2x y +≥ .C )21x y +≤ .D )2 1x y +≥ ()2已知x ≥0，y ≥0，且22 12y x +=，求证：≤4 ()3若0a b >>, 求216() a b a b + -的最小值（四）课后作业： 1.已知1>a 那么1 1-+a a 的最小值是 .A 12-a a .B 15+ .C 3 .D 2

(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案

基本不等式及其应用教案教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．教学过程一、引入新课师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？生：求差比较法，即师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}．师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．二、推导公式

1．奠基师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc；

一元一次不等式组教案

一元一次不等式组教案教学目标： 1、了解一元一次不等式组的概念，理解一元一次不等式组解集的意义，掌握求一元一次不等式组解集的常规方法； 2、经历知识的拓展过程，感受学习一元一次不等式的必要性； 3、逐步熟悉数形结合的思想方法，感受类比和化归思想。 4、通过利用数轴探求一元一次不等式组的解集，感受类比和化归的思想，积累数学学习的经验，体验数学学习的乐趣。 5、通过观察、类比、画图可以获得数学结论，渗透数形结合思想，鼓励学生积极参与数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法的结果，并重新审视自己的想法，能从交流中获益。教学重难点：重点：一元一次不等式组的解集与解法。难点：一元一次不等式组解集的理解。教学过程：呈现目标目标一：创设情景，引出新知（教科书第137页）现有两根木条a与b，a长10厘米，b长3厘米，如果再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形木框，那么对木条c的长度有什么要求？（教科书第135页第10题）求不等式5x-1＞3(x+1)与x-1＜7- x的解集的公共部分。目标二：解法探讨数形结合解下列不等式组： 2x－1＞x＋1 X＋8＜4x－1 2x+3≥x+11 －1＜2-x 目标三：归纳总结反馈矫正解下列不等式组（1）3x-15＞0 7x-2＜8x (2) 3x-1 ≤x-2 -3x+4＞x-2 (3) 5x-4≤2x+5 7+2x≤6+3x (4) 1-2x＞4-x 3x-4＞3 归纳解一元一次不等式组的步骤：（1）求出各个不等式的解集；（2）把各不等式的解集在数轴上表示出来；（3）找出各不等式解集的公共部分。

第141页9.3第1 题中，体会不等式组与解集的对应关系 X＜4 x＞4 x＜4 x＞4 X＜2 x＞2 x＞2 x＜2 X＜2 x＞4 2＜x＜4 无解教师推荐解不等式组口决：同大取大，同小取小，大小小大中间夹，小小大大无解答。目标四：巩固提高知识拓展《完全解读》第230页已知∣a-2∣+(b+3) =0，求-2＜a(x-3)-b(x-2)+4＜2的解集。求不等式10(x+1)+x≤21的不正整数解。探究合作小组学习：各学习小组围绕目标一、目标二进行探究，合作归纳解一元一次不等式组的基本步聚；教师引导：（1）什么是不等式组？（2）不等式组的解题步骤是怎样的？你是依以前学习的哪些旧知识猜想并验证的？展示点评分组展示：学生讲解的基本思路是：本题解题步骤，本小组同学错误原因，易错点分析，知识拓展等。教师点评：教师推荐解不等式组口决。巩固提高教师点评：本题共用了哪些知识点？怎样综合运用这些知识点的性质解决这类题目。