第数字信号处理讲义--3章_连续时间信号的采样剖析

第3章连续时间信号的采样

[教学目的]

1．理解周期采样的原理，掌握采样的频域表示法，奈奎斯特采样定理；

2．掌握样本重构带限信号的原理与条件；

3．掌握连续信号转换成离散信号的方法，理想低通滤波器特点，冲激响应的概念；

4．掌握离散时间信号的连续时间处理方法；

5．了解量化误差产生的原因和影响。

[教学重点与难点]

重点：

1．采样的频域表示法，奈奎斯特采样定理；

2．样本重构带限信号；

难点：

1．采样的频域表示法；

2．样本重构带限信号；

3．1周期采样

在某些合理条件限制下，一个连续时间信号能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换，信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的。要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。

采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图3-1（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。如果开关每次闭合的时间为τ秒，那么采样器的输出将是一串周期为T，宽度为τ的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着在这段τ时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如图3-1（b）所示，以xp(t)表示采样输出信号，它的结构如图3-1（d）所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为τ的矩形脉冲信号，如图3-1（c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因而有

t

x

)(

x

)(

t

)(t

p

p

a

一般开关闭合时间都是很短的，而且τ越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号在离散时间点上的瞬时值。当τ<

图 3-1 连续时间信号的采样过程

3．2 采样的频域表示 1．理想采样

理想采样就是假设采样开关闭合时间无限短，即τ→0的极限情况。此时，采样脉冲序列p(t)变成冲激函数序列s(t)，如图 3-1(e)所示。这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，面积为1。采样后，输出理想采样信号的面积（即积分幅度）则准确地等于输入信号xa(t)在采样瞬间的幅度。理想采样过程如图3-1（f ）所示。 冲激函数序列s(t)为 3-1式

以 表示理想采样的输出，以后我们都以下标a 表示连续信

号（或称模拟信号），如x a (t)；而以它的顶部符号（∧）表示它的理

想采样，如

。这样我们就可将理想采样表示为 3-2式

代入3-1式得： 3-3式

由于δ(t-nT)只在t=nT 时不为零，故

(a )(b )

x a

)

(c )(e )(d )( f )

)

()(nT t t s n -=∑∞

-∞=δ)(?t x a )(?t x

a )()()(?t s t x t x a a =)()()(?nT t t x t x

a n a -=∑∞

-∞=δ)

()()(?nT t nT x t x a

n a

-=∑

∞

-∞

=δ

2 理想采样信号的频谱

我们首先看看通过理想采样后信号频谱发生了什么变化。 由于在连续时间信号与系统中已学过，式（1-17）表示时域相乘， 则频域（傅里叶变换域）为卷积运算。 所以由式（1-17）可知， 若各个信号的傅里叶变换分别表示为:

则应满足

3-5式

现在来求S(j Ω)=F ［s(t)］。 由于s(t)是以采样频率重复的冲激脉冲，因此是一个周期函数，可表示为傅里叶级数，即

此级数的基频为采样频率，即: 一般称fs 为频率，单位为赫兹(Hz)，Ωs 为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区别由符号f 及Ω来识别。 根据傅氏级数的知识，系数ak 可以通过以下运算求得

以上结果的得出是考虑到在|t|≤T/2的积分区间内，只有一个冲激脉冲δ(t)，其他冲激δ(t-nT)，n ≠0 都在积分区间之外，且利用了以下关系: 因而

由此得出

dt e t x j X dt

e t s j S dt

e t x j X t j a a t j t j a a Ω-∞∞

-Ω-∞

∞-Ω-∞

∞

-???=Ω=Ω=Ω)(?)(?)()()()()

()(21)(?Ω*Ω=Ωj S j X j X a a π∑∞

-∞=Ω=k t

jk k s

e a t s )(T

f s 1=s

s f T ππ

22==ΩT dt e t T dt e nT t T dt e t s T a T T t jk n t jk T T t

jk T T k s

s

s

1

)(1)(1)(12/2/2/2/2/2/?∑??-Ω-∞-∞

=Ω--Ω--==-==δδ?∞

∞-=dt

t t f f )()()0(δ∑∞-∞

=Ω=k t jk s

e T t s 1)([]

∑

∑

∞-∞

=Ω∞-∞

=Ω=??

???

?==Ωk t jk k t jk s

s

e F T

e T F t s F j S 11)]([)(

所以

3-6式

将式（3-6）代入式（3-5）可得

根据冲激函数的性质，可得 3-7式 或者

由此看出，一个连续时间信号经过理想采样后，其频谱将沿着频率轴以采样频率Ωs=2π/T 为间隔而重复，这就是说频谱产生了周期性延拓，如图3-2所示。也就是说，理想采样信号的频谱，是Xa(j Ω)的周期延拓函数，其周期为Ωs ，而频谱的幅度则受1/T 加权，由于T 是常数，所以除了一个常数因子外，每一个延拓的谱分量都和原频谱分量相同。因此只要各延拓分量与原频谱分量不发生频率混叠，则有可能恢复出原信号。也就是说，如果xa(t)是限带信号，其频谱如图3-2（a ）所示，且最高频谱分量Ωh 不超过Ωs/2，即

那么原信号的频谱和各次延拓分量的谱彼此不重叠，如图3-2（c ）所示。 这时采用一个截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器， 就可得到不失真的原信号频谱。也就是说，可以不失真地还原出原来的连续信号。

)(2][s jk k e F s

Ω-Ω=Ωπδ∑∑∞

-∞=∞-∞=Ω-ΩΩ=Ω-Ω=Ωk s

s s k k k T j S )()(2)(δδπθθδθθ

θδθδππd k j X T d k j X T j X k T j X s a k k s a k a s a )()(1)()(1)()(221)(?-Ω-Ω=-Ω-Ω=??

????Ω*Ω-Ω=Ω∑?∑?∑∞-∞=∞∞-∞-∞=∞

∞-∞

-∞=∑∞

-∞=Ω-Ω=Ωk s a a jk j X T j X )

(1)(?∑∞-∞=??

? ??-Ω=Ωk a a T jk j X T j X π21)(???????

?

Ω≥ΩΩ<ΩΩ=Ω2||02

||)()(s s a a j X j X

图 3-2 时域采样后， 频谱的周期延拓

（a ）原始限带信号频谱; （b ） 采样函数频谱

;

（c ）已采样信号频谱（Ωs>2Ωh ）;（d ）已采样信号频谱（Ωs<2Ωh ） 如果信号的最高频谱Ωh 超过Ωs/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d ）所示。由于Xa(j Ω)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将Xa(j Ω)作为标量来处理。

我们将采样频率之半（Ωs/2）称为折叠频率，即 它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。

图3-3说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图3-3（a ）中，给出该余弦信号

的傅里叶变换Xa(j Ω)。

图（b ）是在Ω0<Ωs/2时， 的傅里叶变换。图（c ）是在Ω0>

Ωs/2时， 的傅里叶变换。（d ）和（e ）则分别对应于Ω0<Ωs/2=π/T 和Ω0>π/T 时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时（(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为 在有混叠时，则是

s

s

s

s s s

(a )(b )

(c )

(d )s s s

…T

s π

=

Ω2t t x a 0cos )(Ω=)(?t x a )(?t x a t t y a 0cos )(Ω=t

t y s a )cos()(0

Ω-Ω=

这就是说，作为采样和恢复的结果，高频信号cos Ω0t 已经被当作和低频信号cos(Ωs-Ω0)t 是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯特采样定理的基础。

图 3-3 一个余弦信号采样中的混叠效果

由此得出结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号， 则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（Ωs>2Ωh ），这就是奈奎斯特采样定理。 即

fs>2fh

频率Ωh 一般称为奈奎斯特频率，而频率2Ωh 称为奈奎斯特率。 采样频率必须大于奈奎斯特率。

在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(3～4)Ωh 。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为Ωs/2，以便滤除掉高于Ωs/2 的频率分量。

00

s 2s

s

(c )(b )

(a )00

s 0(e )

(d )s 0

3．3 由样本重构带限信号

1 原理：如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率

则采样后不会产生频谱混叠，由式（3-7）知

故将 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如图3-4所示。

图3-4

采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱

因此，在输出端可以得到原模拟信号 理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。

2．由采样信号序列重构带限信号 理想低通滤波器的冲激响应为 ???

????Ω≥ΩΩ<ΩΩ=Ω2||02

||)()(s

s a a j X j X 2

||)(1)(?s

a

a j X T j X Ω<ΩΩ=Ω)(

?Ωj X a s

??????

?

Ω≥ΩΩ<Ω=Ω2||02

||)(s s T j H )()()(?)(Ω=ΩΩ=Ωj X j H j X j Y a a a )

()(t x t y a a =T

t T t t d e T d e j H t h s s t j t

j s

s

/)/sin(2

/)2/sin(2)(21)(2/2

/ππππ=

ΩΩ=Ω=ΩΩ=ΩΩΩ-Ω∞∞-??

由 与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为

这里h(t-nT)称为内插函数：

它的波形如图3-5所示，其特点为：在采样点nT 上，函数值为1; 其余采样点上，函数值都为零。

图 3-5 内插函数

由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为 3-8式

式（3-8）称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。 也就是说，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应的内插函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图3-6所示。这个公式说明了，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。 )(?t x a )()()()()()()()()()(?)(nT t h nT x d nT t h x d t h nT t x d t h x t y a n a n n a a a -=--=-??????-=-=∑?∑∑??∞

-∞

=∞

∞

-∞-∞

=∞-∞=∞∞

-∞

∞-τ

τδττττδττττT nT t T nT t nT t h /)(]

/)(sin[)(--=

-ππ

T nT t T

nT t nT x t x n a a /)(]

/)(sin[)

()(--=∑∞

-∞=ππ

图 3-6 采样内插恢复

3.4 连续时间信号的离散时间处理 随着信号传输和处理手段的数字化发展，越来越有必要将连续信号转化为离散信号处理。

一、

C/D 转换 时域分析

∑+∞-∞

=-=n nT t t p )()(δ)(][nT x n x

c =)(t x c -∞=-=n nT

j c P e nT x j X ω)()(∑+∞-∞=-=k s c P k j X T j X ))((1)(ωωω

)

()(ωωj X T X p d =)

()()(T H j X T Y d p p ωωω=)

()()(ΩΩΩ=j d j d j d e H e X e Y )()()(T H T X T Y d d p ωωω=)(?)()(ωωωj H

j X j Y p c =

)

(][nT x n x c d =)(][nT y n y c d = +∞)(x t x c p = ??

?<>=2

/||)

()(2/||0s d P s T H j TX ωωωωωω??

?<>=2

/||)

()(2

/||0s d c s T H j X ωωωωωω

即： 例1：数字微分器 带限微分

3.6 利用离散时间信号处理改变采样频率 3.6.1 脉冲串采样

从时域角度看： )(ωj H c ??

?<>=2/||)(2

/||0s d s T H ωωωωω?][n x p π<ΩΩ=Ω||)()(T H H c

??

?<<=ωωωωωω||0||)(c c j j H π<ΩΩ=Ω||)()(T j e H j d

2

c 2||0||)(s

c c c j c e j H ωωωωωωωω=???><=?-θθωθω

d

e X e P e X j j j )()(1

)()(-?=-)s k ωω-)()

(k j s

e ωω∑+∞δT nT t T nT t n x t x n c /)(]

/)(sin[)

()(--=∑∞

-∞

=ππT nT t T nT t n y t y n c /)(]

/)(sin[)

()(--=

∑∞

-∞

=ππ

从频域角度看：

3.6.2 离散信号抽取与内插 抽取——从序列中提取每第N 个点上样本的过程。

令

2.内插

抽取又称为减抽样, 内插又称为增抽样。

减抽样使信号的频带扩展，但提高了数据的传输率。 增抽样虽降低了信息的传输率，但节省了传输频带。

对 以T 抽样再以N 抽取，则相当于对

以NT 为间隔来抽取。

例：某一离散时间序列 ，其傅立叶变换如图a 所示。现采用

抽取、内插等手段对信号进行处理，欲使处理后信号 的频谱

如图b 所示，请给出信号处理过程的系统框图，并画出各处相应的频谱图。

π

ωωω

<=)/(1)(T j Y T e Y j T

e TX j X T j c /)

()(π<Ω=ΩΩT j X j H j Y c c c /)()()(π<ΩΩΩ=Ω][][][][][nN x nN x n x n x n x p b p ==→→∑+∞-∞=-=n n

j b j b e n x e X ωω][)(∑+∞

-∞

=-=n n j p e nN x ω][)

(][)(N j

p m N m j p j b e X e m x e X ωωω==∑+∞-∞

=-nN

m =?????=其他的整倍数为0][][N n N n x n x d p )()(N

j d j p e X e X ωω

=)(t x c )(t x c )(n x )

(n

y

3.7 实际应用考虑的问题

3.7.1 消除混叠的预滤波

在采样前加一低通滤波器,以滤除高于2倍采样频率成分,以避免高频成分的干扰。

3.7.2 A/D转换中的量化误差

数字信号不仅在时间上是离散的，而且在取值上也不连续，即数字信号的取值必须为某个规定的最小数量单位的整数倍。

因此，为了将模拟信号转换成数字信号，还必须将采样/保持电路输出的采样值按照某种近似方式归并到相应的离散电平上，也就是将模拟信号在取值上离散化，我们把这个过程称为量化。将量化后的结果（离散电平）用数字代码来表示，称为编码。于单极性模拟信号，一般采用自然二进制编码；对于双极性模拟信号，则通常采用二进

制补码。经过编码后得到的代码就是A/D转换器输出的数字量。

在量化过程中，量化结果（离散电平）都是其中一个最小离散电平的整数倍，我们将这个最小离散电平值称为量化单位，记作Δ。它也

就是数字量的最低有效位LSB的1所代表的模拟电压值。

由于采样/保持电路输出的信号在取值上是连续的，不可能所有的采样值都恰好为量化单位的整数倍，所以量化前后不可避免地存在着误差，这种误差称为量化误差，用ε表示。

量化可以按两种近似方式进行：只舍不入量化方式和有舍有入（四舍五入）量化方式。以3位A/D转换器为例来说明这两种方式，设采样值的变化范围是0～8 V。只舍不入量化方式如图3-8所示。当采样/保持电路输出的电压uS介于两个量化电平之间时，采用取整的方法将其归并为较低的量化电平。

例如，无论uS = 5.9 V还是uS = 5.1 V，都将其归并为5 V的量化电平，输出的编码都为101。可见，采用只舍不入量化方式，最大误差εmax等于量化单位Δ。

四舍五入量化方式如图3-9所示。当采样/保持电路输出的电压uS介于两个量化电平之间时，采用四舍五入的方式将其归并为最相近那个量化电平。例如，若uS = 5.49 V，就将其归并为5 V的量化电平，输出的编码为101；若uS = 5.50 V，就将其归并为6 V的量化电平，

输出的编码为110。可见，采用四舍五入量化方式，最大量化误差εmax只有量化单位的一半（Δ/2），比只舍不入量化方式的最大

转换器都采用这种量化方式。

图

图3-9 四舍五入量化方式

量化误差是A/D转换的固有误差，只能减小，不能完全消除。减小量化误差的主要措施就是减小量化单位。但是当输入模拟电压的变化范围一定时，量化单位越小就意味着量化电平的个数越多，编码的位数越大，电路也就越复杂。

另外:

D/A转换的误差以及与A/D转换和D/A转换中抽取与内插的应用等也要引起注意.这里从略

本章小结:

本章建立并研究了连续信号现经周期采样而得到的离散时间序列之间的关系.

奈奎斯特定理表明对一个限带信号而言,只要采样的频率相对于连续信号中的最高频率的来说足够高的话,则周期采样信号可以无失真的恢复原信号.

相应于采样频率的变化将使信号在频域频谱重复并重新归一化.

最后研究了在实际处理中要注意的几个实际问题.

000

001

010

011

100

101

110

111

编码

S

000

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编码

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