循环矩阵的性质及其应用概要

一. 相关概念...................................................................................................................... - 2 -

定义1.1............................................................................................................. - 2 -定义1.2............................................................................................................. - 2 -定义1.3............................................................................................................. - 3 -定义1.4............................................................................................................. - 3 -

二. 循环矩阵的性质...................................................................................................... - 3 -

2.1 循环矩阵基本性质.................................................................................... - 3 -

2.2 关于循环矩阵的判定相关性质................................................................ - 5 -

2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论............................................................ - 6 -

2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论.................................................... - 6 -

2.5 循环矩阵对角化相关性质........................................................................ - 7 -

2.6 等比数列构成的循环矩阵相关性质........................................................ - 9 -

2.7 循环矩阵行列式与特征值相关性质...................................................... - 10 -

2.8 循环矩阵的奇异性.................................................................................. - 12 -

2.9 循环矩阵与向量空间相关性质.............................................................. - 12 -

三．广义循环矩阵 ......................................................................................................... - 13 -

定义3.1........................................................................................................... - 13 -定义3.2........................................................................................................... - 13 -推论3.1........................................................................................................... - 14 -推论3.2........................................................................................................... - 14 -推论3.3........................................................................................................... - 14 -推论3.4........................................................................................................... - 14 -定义3.2........................................................................................................... - 14 -定义3.3........................................................................................................... - 15 -定义3.4........................................................................................................... - 15 -定义3.5........................................................................................................... - 15 -

参考文献 .................................................................................................................... ….. - 15 -

循环矩阵的性质研究

一. 相关概念

定义 1.1]1[ 具有以下形式的n 阶方阵A 称为关于1210,,,,-n a a a a 的循环矩阵

=A ???

????

?????????------032

3012

210

1210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n

显然，A 由首行元素惟一确定，因此可简记为),,(110-=n a a a circ A . 特别地，n 阶循环矩阵：

???

?????

?????=00001

10000000001000010

称为n 阶基本循环矩阵，简记为：

)0,,0,1,0( circ D =显然,I D D D D n = ,,,32(n 阶单位矩阵)都是循环矩阵, 由此得112210--+++=n n D a D a D a I a A ,设

112210)(--+++=n n x a x a x a a x f ,

则)(D f A =,这时I a a 00=.

记n n C ?为复数域C 上的全体n 阶方阵，n n R ?为实数域上的全体n 阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的2n 维向量空间，记)(A tr 为矩阵A 的迹，H A 为A 的转置共轭阵.

定义1.2]2[ 设),(n n n n R C A ??∈如果矩阵A 的最小多项式等于特征多项式，则

称A 为循环矩阵.

定义1.3]2[ 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，若存在向量V ∈α，使得,ααα1A ,,A -n 线性无关.则称α为A 的一个循环向量.

定义1.4]4[ 已知n 阶基本循环矩阵

???

????

?????

????

?=0000110000000001000010 D ，

并令

),,2,1(n i D I i i ==，

称121,,,-n I I I I 为循环矩阵基本列（其中n n I D I ==为单位矩阵）.

二. 循环矩阵的性质

2.1 循环矩阵基本性质

性质2.1.1]3[ 循环矩阵基本列121,,,-n I I I I 是线性无关的.

性质2.1.2]3[ 任意的n 阶循环矩阵A 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即

11110--+++=n n I a I a I a A .

性质2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.

证明设=A ????????????????------0321

3012

210

1210

a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n ，B=???

????

?????------032

13012

210

1210

b b b b b b b b b b b b b b b b n n n n n n

，则

=+B A ????????????????------032

3012

2101

1210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n +???

????

?????------032

3012

210

121

0b b b b b b b b b b b b b b b b n n n n n n =

???

????

?????++++++++++++++++------------00332

133001

12222110

011

11221100b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a n n n n n n n n n n n n

显然B A +为循环矩阵.

定理2.1.1 设B A 、为n 阶循环矩阵，则有：

（1）乘积AB 仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即BA AB =；（2）若A 可逆，则A 的逆矩阵也是循环矩阵；证明 (1)设)(112210D f D a D a D a I a A n n =+++=-- ，

)(112210D g D b D b D b I b B n n =+++=-- ，因为k n n D D +=（其中K 为非负整数，

I D =0），所以

BA D h D f D g D g D f AB ====)()()()()(，

此处)(P h 为不高于1-n 次的多项式，因此AB 为n 阶循环矩阵，且BA AB =.

(2)设A 为n 阶可逆循环矩阵，欲求A 的逆矩阵，需求得矩阵

=B ???

????

?????????------032

3012

210

1210

b b b b b b b b b b b b b b b b n n n n n n ，

满足条件I AB =即可.

设112210--+++=n n D a D a D a I a A ，112210--+++=n n D b D b D b I b B ，有

=AB (112210--+++n n D a D a D a I a )(112210--+++n n D b D b D b I b )

1101201121001111100)()()(-------+++++++++n n n n n n n D b a b a b a D b a b a b a I b a b a b a

要使I AB =，则以下方程组必须成立：

??????

?=++=++=++------0

1012011

21001111100n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a

解以上方程组可转化为求解：T T n T b b b b A )0,0,1(),,,(1210 =-，因为A 可逆，所以0≠=A A T ，因此方程有唯一的解1210,,,-n b b b b ，可得到唯一的矩阵B ，B 为

A 的逆矩阵，且

B 为循环矩阵.

性质2.1.4 n 阶循环矩阵A 的伴随矩阵*A 也是循环矩阵. 证明伴随矩阵1*-=A A A ，由定理2.1.1可知

1122101---+++=n n D b D b D b I b A

为循环矩阵，因此

12210112210)(*----+++=+++=n n n n D b A D b A D b A I b A D b D b D b I b A A

也是循环矩阵.

2.2 关于循环矩阵的判定相关性质

由定义1.2，有如下性质：

引理2.2.1]2[ 设),(n n n n R C A ??∈则rank(A))rank(AA A)rank(A H

H ==.

定理2.2.1]2[ 设),(n n n n R C A ??∈则A 为循环矩阵的充要条件是矩阵

[][]

[]

??????

?------111111)()()()()

()()()()

(n H n H

n H n n H H H

n H H H A A tr A

tr I A tr A A tr A A tr I A tr A I tr A I tr I I tr

是满秩的.

由定义1.3，有如下性质：

引理 2.2.2]2[ 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，A 有一个循环向量的充要条件是A 的最小多项式等于特征多项式.

由此可知A 为循环矩阵的充要条件是A 有一个循环向量.

定理2.2.2 设),(n n n n R C A ??∈)rank(A )rank(A 1

-n n <，则A 为循环矩阵. 证明由于)rank(A )rank(A 1-n n <，故)r a n k (A

)r a n k (A

-n n

-n -

即1-n A 的核空间的维数小于n A 的核空间的维数.所以必存在向量)(n n R C ∈α，使得

01≠-αn A ，而0=αn A .

下面证明α就是A 的一个循环向量，即ααα1,,,-n A A 线性无关.

设)(,,,21R C x x x n ∈ ，且满足0121=+++-αααn n A x A x x ，则

0)(11222111211==+++=+++-----αααααααn n n n n n n n A x A x A x A x A x A x x A .

所以01=x ，012=++-ααn n A x A x ，从而

0)(122=++--ααn n n A x A x A ，

即012=-αn A x ，所以02=x ，0123=++-ααn n A x A x .

依次类推下去，可得021====n x x x ，因此ααα1,,,-n A A 线性无关，即α为A 的一个循环向量，所以A 是循环矩阵.

2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论

推论

2.3.1

]

5[ 循环矩阵A 可逆的充要条件是方程

02210=+++n n x a x a x a a 无单位根.

推论 2.3.2 设A 是以n a a a ,,,21 为元素的n 阶循环矩阵，则A 可逆的充要条件是12321)(-+++=n n x a x a x a a x f 与1-n x 互素，即1)1),((=-n x x f .

证明由)()()(21n f f f A ωωω =，A 可逆的充要条件是0≠A ，即

12321)(-+++=n n x a x a x a a x f 与1-n x 没有公共根，从而1)1),((=-n x x f . 推论2.3.3 若12321)(-+++=n n x a x a x a a x f 与1-n x 互素，则

112211)(--+++=n n n x a x a x a a x f ，122112)(---+++=n n n n x a x a x a a x f ……1124321)(--+++=n n x a x a x a a x f 都与1-n x 互素.

证明因为分别以)(,),(),(121x f x f x f n - 的系数为元素的循环矩阵和以

)(x f 的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号，由推论2.3.2便可

推出此推论.

2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论

定理2.4.1]

5[ 设循环矩阵=A ???

?????????------032

3012

210

1210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n ，则

102

010

0000

-?????

?????????????????????????????????????????=n n n

n n n n n n

n n n A ωωωωωωωωωλλλλωωωωωωωωω

其中j n i j j

i j n

j i e

n i a 1

;,,2,1,0,+===∑=π

ωωλ ，n j i ,,2,1,0,12 =-=，即n

ωωω ,,10为所有1+n 次单位根.

我们不难由定理2.4.1得到如下推论，这里证明略.在下面推论中，A ，i λ所表示的意义均和定理2.4.1相同.

推论2.4.1]5[ 循环矩阵A 的秩为n λλλ,,,21 中非零数的个数.

2.5 循环矩阵对角化相关性质

性质2.5.1 任何一个循环矩阵A 在复数域上都与一个对角矩阵相似. 证明 n 阶循环矩阵D 的特征值为

)1)(1,,2,1,0(2sin 2cos 2-=-=+=i n k n k i n k k π

πλ

由于),(j k j k ≠≠λλ又因D 相似于对角矩阵

{}110,,,-=Λn diag λλλ

即存在可逆矩阵P ，Λ=-DP P 1.

设)(112210D f D a D a D a I a A n n =+++=-- 是任意一个循环矩阵，则A 相似于对角矩阵

diag {})(),(),(110-n f f f λλλ

事实上， 1-Λ=P P D

=Λ++Λ+=Λ==-----1111101)()(P P a P P a I a P P f D f A n n

{}1110)(),(),(--??P f f f diag P n λλλ

定理2.5.1 任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵.

证明设Λ是n 阶对角矩阵

{}n diag λλλ,,,21 =Λ

其中n λλλ,,,21 为复数.

构造线性方程组 ??

?????=++=++=++---------n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a λ

ωωωλωωωλωωω111212110

1121211011

01202010

其中110,,-n ωωω 是n 阶循环矩阵D 的特征值

)1,,2,1,0(2sin 2cos

-=+=n k n

k i n k k π

πω 则以110,,-n a a a 为未知数的上述方程组有且仅有唯一解，因为它的系数行列式是范德蒙行列式，且110,,-n ωωω 互不相等，从而系数行列式不为零.

构造n 阶循环矩阵

112210--+++=n n D a D a D a I a A

则A 的特征值为n λλλ,,,21 .

由性质2.5.1，A 相似于对角矩阵

{}n diag λλλ,,,21 =Λ

推论 2.5.1 n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充要条件是A 相似于某个循环矩阵.

证明充分性：若A 相似于循环矩阵B ，由性质2.5.1，B 与某对角矩阵Λ相似.根据相似关系的可传递性知，A 相似于对角矩阵Λ.

必要性：若A 相似于对角矩阵Λ，由定理2.5.1知，对角矩阵Λ相似于某个循环矩阵B .根据相似关系的可传递性知，A 相似于循环矩阵.

性质2.5.2 复数域上任意一个n 阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复n 阶可逆矩阵，使复数域上任意n 阶循环矩阵同时对角化.

证明由性质2.5.1易知，任意一个n 阶矩阵A 都可以对角化，由于A 是任

意的，所有的结论全部得证.

2.6 等比数列构成的循环矩阵相关性质

设序列{}n

i i a 1=是公比为q 的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为

?????

?????????=---143

211

121

321a a a a a a a a a a a a a a a a A n n n n n n

（1）

矩阵A 可逆时，其逆矩阵由序列{}n

i i b 1=构成，记为

?????

?????????=----14

211

121

321

1b b b b b b b b b b b b b b b b A n n n n n

n （2）

定理2.6.1 若等比数列{}n

i i a 1=满足1≠q ，若n 为偶数时，1-≠q ，则由该数列构成的循环矩阵（1）的逆矩阵（2）存在，且

)1(111n

q a b -=

，)1(112

n q a q qb b --=-=，n b b b === 43. 即

???

?????-----=-1000

10000100001000

1)1(111

q q q q q a A n （3）证明只须确定),,2,1(n i b i =，由E A A =-1，即E A A =''-)(1知，A '乘)(1'-A 的第一列等于E 的第一列可得i b 满足的方程组.

)0,,0,1(),,(21'='' n b b b A （4）

注意到),,3,2(1n i q a a i i ==-，11-=n n q a a ，对（4）的增广矩阵进行初等变换.

???????????????

?????='------000011

221132145

12334122311a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A n n n

n n n n n n n

→??

???

???????????------0)1(000

00)1(000000)1(000

)

1(0111112

311

n n n

q a q a q a q q a a a a a a

又1,01≠≠q a ，当n 为偶数时，1-≠q ，知0)1(1≠-n q a ，可得

)

1(1)1(11)1(1)

1(0

111

112111243n n n n n n q a q a q q a a b a a b q a q

b b b b -=?

?????--?-=-=--

=====-

定理及（3）式成立，证毕.

由上述定理及（3）式易得

推论2.6.1]8[ 若等比数列{}n

i i a 1=满足公比1≠q ，当n 为偶数时，1-≠q ，则

由该数列构成的循环矩阵A 及其逆矩阵1-A 的行列式分别为：

11)1(--=n n n q a A ，1

11)

1(1

---=

n n n q a A . 2.7 循环矩阵行列式与特征值相关性质

性质2.7.1 若A 为复数域上的n 阶循环矩阵

=A ???

????

?????????------032

3012

210

1210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n ,

那么A 的行列式

)()()(det 110-=n f f f A εεε ，

这里)1,,2,1,0(2sin 2cos

-=+=n k n

k i n k k π

πε是全部n 次单位根， 112210)(--+++=n n x a x a x a a x f . 证明作n 阶矩阵

?????

???

???=-----1111

11111111

1n n n n n εεεεεε

，

这里)1,,2,1,0(2sin 2cos

-=+=n k n

k i n k k π

πε是全部n 次单位根，令 112210)(--+++=n n x a x a x a a x f ，

由于n 次单位根满足1,,2,1,0,1,10-===n k n

k εε，且对任意非负整数i ，

1,,1,0,-==+n k n k i n k εε，考察A 与φ的乘积

=?????

???

???????????????????=-----------111

111032

3012

210

1210

11111

1n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A εεεεεεφ

=?????

???

?????----------)()

()()()()()()()()()()

(11

111101012

1121020111100

110n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε

?????

???

???-----1111

1211111111

1n n n n n εεεεεε

=?????

??????

?-)()

()

(110n f f f εεε

))(,),(),((110-?n f f f diag εεεφ .

由于矩阵φ的行列式是一个范德蒙行列式，且当j i ≠时，n 次单位根j i εε≠，所以0det ≠φ，从而

=?==?-)))(),(),(((det )det(det det 110n f f f diag A A εεεφφφ

)()()(det 110-?n f f f εεεφ .

定理2.7.1]9[ 设A 是形如???

?????????------032

3012

210

1210a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n 的循环矩阵，且设

∑-==10

)(n i i i X a x f ，110,,,-n εεε 是1的全部n 次单位根.

)1,,2,1,0(2sin 2cos

-=+=n k n

k i n k k π

πε 这里i 是虚数单位（12-=i ），则A 的n 个特征值是：

)(),(),(110-n f f f εεε ,

注意)(det 1

0k n k f A ε-=∏=.

2.8 循环矩阵的奇异性

定理2.8.1]9[ 在定理2.7.1的条件下，循环矩阵A 奇异的充要条件是存在某个

)10(-≤≤n j j ，使

0)(=j f ε.

由于对任意的自然数n ，10=ε是1的n 次单位根，故有推论2.8.1

]

9[ 若01

=∑-=n i i a ，则A 奇异.

推论2.8.2

]

9[ 设n 为偶数，若0)1(1

=-∑-=n i j i a ，则A 奇异.

2.9 循环矩阵与向量空间相关性质

定理2.9.1 数域P 上的所有n n ?阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为循环矩阵基本列11,,,-n I I I ，零向量为n 阶零方阵，负向量为A -.

证明对于数域P 上的所有n n ?阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理.

三．广义循环矩阵

定义3.1若把a 0,a 1, a 2,…,a n 推广为m 阶方阵A 0, A 1,…,A n 时，我们称矩阵

D =

???????

????????---021

103212

10A A A A A A A A A A A A A A A A n

n n n n n

为广义循环矩阵。

定义 3.2 设E 是m 阶单位矩阵,

A 0, A 1,…,A n 是

m 阶方阵,且

A 0,

A 1,…,A n 两两可换，我们称矩阵

A=???????

????????---n n n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A E E

E 1

1212

为广义范德蒙矩阵，其行列式为广义范德蒙行列式．

引理设A=????????

????????---n n n n n n n n n n A A A A A A A A A A A A E E

1212

是广义范德蒙矩阵，则A 的行列式为∏≤≤-=

i j j

A A A 0)det(det

定理1 设E 是 m 阶单位阵, 且A 0, A 1,…,A n 均是m 阶方阵且两两可换，矩

阵

D =

???????

?????????---021

103212

10A A A A A A A A A A A A A A A A n

n n n n n

是广义循环矩阵，则

D =1

212

20110

1011

212

0110

-------??

???

?????ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ???????????

???ΛO O O

O O O

O O O ΛO O O O

Λ???????????

?????ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

Ωn n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n E E E

E E E E

其中矩阵?????

????????=ΩΩ=Λ∑=i i i i i j

i n j j i A ωωωω00000000000000,0

为m 阶数量方阵,n i ,...,1,0=;

n j i e

n j

j ,...,1,0,1,21

2=-==+πω

类似地由定理2可以得到下面的推论,推论中D,i i ω和Λ 所表示的意义均和定理2相同。

推论3.1 对于广义循环矩阵D ，我们有=D det ∏=Λn

i i 0)det(．

推论3.2 广义循环矩阵D 可逆的充要条件是矩阵i A 均可逆，i =0，1，? ，n ．推论3.3 广义循环矩阵D 的秩∑=Λ=n

i i rank D rank 0)()(。

推论3.4 广义循环矩阵D 的特征值为矩 n ΛΛΛ,,,10 的全部特征值．

定义3.2 r-循环矩阵 ???????

?????????=------03

3012

210

1210

a ra ra ra a a ra ra a a a ra a a a a J n n n n n n

令： ?????????????

???=00001000010000100r J

，则 rE J r r

J n =???

????

???

?????=02

0,,

000000000000100

关于r-循环矩阵也有与循环矩阵的性质和结论。定义3.3 向后（对称）循环矩阵

???????

?????????=------23

10432

0132

112210

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A

定义3.4 后（对称）r-循环矩阵???????

?????????=------23

10432

0132

12210

n n n n n n ra ra ra ra a ra ra a a a ra a a a a a a a a a A

定义3.5向后单位置换矩阵

???

?????????

=1111

K ， K 2 = E , K = K *

参考文献

[1]吴世玕.循环矩阵的若干性质及应用[J].南方冶金学院学报，2002，1：66-68.

[2]李久平.循环矩阵的实用判据[J].华东交通大学学报，1998，9：67-69. [3]李天增，王瑜.循环矩阵的性质及求逆方法[J].四川理工学院学报(自然科学版)，2009，8：47-49.

[4]张爱萍.循环矩阵的性质及其对角化[J].广西师院学报，2000，12：10-13.

[5]赵立宽，岳晓鹏，杜学知.关于循环矩阵的几个性质的推广[J].曲阜师范大学学报，2006，4：52-56.

[6]贾璐，姚光同.有关循环矩阵的行列式计算及其应用[J].信阳师范学院学报(自然科学版)，2005，4：131-132.

[7]张盛虞.关于循环矩阵的一些性质[J].黔东南民族师范高等专科学校学报，2006，12：4-7.

[8]孙玉海.等比数列构成的循环矩阵的逆矩阵[J].河南教育学院学报(自然科学版)，2001，3：6-7.

[9]黄赐玺.循环矩阵的非异性[J].山东师大学报(自然科学版)，1991(6)：22-26.

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

正定矩阵的性质及其应用_____

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！正定矩阵的性质及其应用姓名：学号：指导教师：摘要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用 The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract: Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations. Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application 1. 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。矩阵是矩阵理论中一个重要基本概念，是代数学的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类常用矩阵，其在计算数学、数学物理、运筹学、控制论、数值分析等领域中都具有着广泛的应用。本文主要介绍正定矩阵的等价定理及其一些重要的性质，最后给出正定矩阵在数学及其它学科中的若干应用。 2. 正定矩阵的等价定理首先我们给出正定矩阵的定义。定义1[1] 设()T f x X AX =为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数12,,,n c c c ，都有 12(,,,)0n f c c c >,

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系摘要通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用

摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用. 关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值

ABSTRACT This paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given. Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value

循环矩阵在密码学中的应用

题目循环矩阵在密码学中的应用学生姓名韩媛媛学号 1109014156 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学1102 指导教师潘平 2015 年 5 月 10 日

循环矩阵在密码学中的应用韩媛媛（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业1102班级，陕西汉中 723000）指导教师：潘平 [摘要]矩阵是线性代数的重要构成部分，而循环矩阵就是一类有特殊结构的矩阵，在许多实际问题中有广泛的应用，有关循环矩阵的问题仍是矩阵论研究中的热点。在当今社会，随着科学技术水平的迅速发展，我们需要更深入的研究数学工具在现实中的实际应用。密码学是研究编译密码和破解密码的尖端技术科学，与数学、信息学、计算机科学有着广泛而密切的联系，由于循环矩阵是现代科技工程中具有广泛应用的一类特殊矩阵，具有良好的性质和结构，因而关于循环矩阵的研究非常活跃，本文中简单介绍了ElGamal 密码体制，以及循环矩阵在ElGamal 中加密解密过程的描述。利用循环矩阵在密码学中的研究，探索循环矩阵在几类典型密码中加密和破译的研究有着重要的现实意义。 [关键字]循环矩阵；密码学；有限域 1. 循环矩阵的概念定义 1.1 ] 1[设),(n n n n R C A ??∈如果矩阵A 的最小多项式等于特征多项式，则称A 为循环矩阵. 定义1.2 设A 是n 维向量空间V 上的一个线性变换，若存在向量V ∈α，使得,α αα1A ,,A -n 线性无关.则称α为A 的一个循环向量. 定义1.3 已知n 阶基本循环矩阵 ? ????????? ????? ???? ?=00 110000000001000010 D ，并令 ),,2,1(n i D I i i ==，称121,,,-n I I I I 为循环矩阵基本列（其中n n I D I ==为单位矩阵）. 2. 循环矩阵的性质 2.1 循环矩阵基本性质性质2.1.1 ]3[循环矩阵基本列121,,,-n I I I I 是线性无关的. 性质2.1.2 ] 3[任意的n 阶循环矩阵A 都可以用循环矩阵基本列线性表出，即 11110--+++=n n I a I a I a A . 性质2.1.3 同阶循环矩阵的和矩阵为循环矩阵.

正定矩阵的性质和判定方法及应用

内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113 指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩

内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用 Abstract Matrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices. Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application

循环矩阵求特征值的方法

1、循环矩阵的定义定义1 数域P 上的n ×n 阶矩阵 ()==-110,,,n n c c c cric C ????? ?? ???? ?????------01 3211043223 10 1122 10c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c n n n n n n ，其中P c i ∈，称为n ×n 阶循环矩阵，或轮回矩阵。如果取下面的基本循环矩阵A=??? ? ??? ?????? ???000 011000000100 0001 ，则上面的n ×n 阶循环矩阵可改写为 1122110--++++=n n n A c A c A c I c C （1）正是由于此时的成立，才能使循环矩阵n C 得以顺利研究。定理1 数域P 上n ×n 阶矩阵n C =()ij c 为循环矩阵的充分必要条件为，当 k=???<+-≥-u v n u v u v u v ,,时，k uv c c =，其中u ，v ，k ，=0，1，2，…，n-1。 2、循环矩阵的性质由以上循环矩阵的基本矩阵可以得出循环矩阵的各种性质，对于简单的性质不再证明，较为复杂的可以查看参考文献[1]。性质1 基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。证明： 2 A =??? ? ? ???????? ???000 01 10000001000001 0 ??? ? ??? ?????????000 01 10000001000001

=??? ? ????????? ???0001000001000000010 0 ， 3 A =????????????? ???000 1 000010000000100 =??? ? ??? ???? ?? ???001 00 00010000000000 ， … n A =??? ? ??? ?????? ???010 00 00000000011000 ，显然，由线性相关的性质可以得出，基本循环矩阵1A ，2A ，3A ，…，n A 是线性无关的。性质2 任意n 阶循环矩阵n C 都可以用基本循环矩阵线性表示出，即 1 122110--++++=n n n A c A c A c I c C 。性质3 n 阶基本循环矩阵的乘积仍为基本循环矩阵。证明：性质1中已经证过，在次不再赘述。定理2 数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间，其基为1A ，2A ，3A ，…，n A ，零向量为n 阶零方阵，负向量为-A 。证明：对于数域P 上的所有n ×n 阶循环矩阵，很容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵，那么就得到了这个定理。性质3 循环矩阵的乘积还是循环矩阵。证明：设B ，n C 都是循环矩阵，则有n C =∑=n i i i A c 1，∑==B n j j j A b 1 ，那么就有乘积 B n C =∑=n j j j A b 1 ∑=n i i i A c 1=∑=n j i j i j i A A b c 1,=∑=n k k k A I 1 其中k I = ∑=+=n n k j i j i j i b c mo d 1 ,，则B n C 为循环矩阵。

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用汇编

正定矩阵的判定方法及正定矩阵在三个不等式证明中的应用作者：袁亮（西安财经大学）摘要: 本文从正定矩阵的的定义出发，给出了正定矩阵的若干判定定理及推论，并给出了正定矩阵在柯西、Holder、Minkowski三个不等式证明中的应用. 关键词: 正定矩阵，判定，不等式，应用 Abstract: In this paper, we mainly introduce some decision theorem and inference based on the definition of positive definite matrices and give the application of positive definite matrices in the proving on Cauchy、Holder、and Minkowski inequality. Keywords: positive definite matrix,determine,inequality,application

目录 1 引言 (4) 2 正定矩阵的判定方法 (4) 2.1 定义判定 (5) 2.2 定理判定 (6) 2.3 正定矩阵的一些重要推论 (11) 3 正定矩阵在三个不等式证明中的应用 (15) 3.1 证明柯西不等式 (15) 3.2 证明Holder不等式 (16) 3.3 证明Minkowski不等式 (18) 结束语 (21) 参考文献 (22)

1 引言代数学是数学中的一个重要的分支，而正定矩阵又是高等代数中的重要部分．特别是正定矩阵部分的应用很广泛， n阶实对称正定矩阵在矩阵理论中，占有十分重要的地位．它在物理学、概率论以及优化控制理论[]2中都得到了重要的应用，而本文只提供解决正定矩阵判定问题的方法，并阐明它在数学分析中三个重要不等式证明中的应用. 正定矩阵的一般形式是,设A是n阶实对称矩阵，若对任意n x∈，且0 R x， ≠ 都有0 Mx x T成立[]2.本文从正定矩阵的定义，给出正定矩阵的判定定理，并给> 出正定矩阵的重要推论，这些重要推论对计算数学中的优化问题有着重要的作用，并在矩阵对策，经济均衡，障碍问题[]3的研究中具有很实用的价值.同时还介绍正定矩阵在三个不等式证明中的应用，其一是用正定矩阵证明著名的柯西不等式，其二是用正定矩阵的性质给出Holder不等式的一个新的证明，其三是运用正定矩阵的两个引理证明Minkowski不等式，这三个应用说明正定矩阵运用的广泛性和有效性.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 2 正定矩阵的判定方法 2.1 定义判定设A=()ij a,(其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n),A的共轭转置记为*A=()ji a 定义1[]1对于实对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈R,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有T X A X>0,则称A是正定矩阵. 定义2[]1对于复对称矩阵A=()ij a,（其中ij a∈C,i,j=1,2,…，n）若对于任意非零列向量X，都有* X A X>0,则称A是正定矩阵．例1设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，T B为B的转置矩阵，试证AB B T为正定矩阵的充要条件是B的秩r（B）=n. 证 [必要性] 设AB B T为正定矩阵，则对任意的实n维列向量0 x， ≠

块循环矩阵和块k一循环矩阵的Moore

块循环矩阵和块k一循环矩阵的Moore-Penrose逆和带w权的Drazin 逆研究摘要矩阵理论是二十世纪随着工程科学进步而发展起来的一种数学方法，计算机的发明更加推动了计算数学的应用。如今，矩阵理论作为数学研究的一个基本工具被广泛应用。作为工程计算的产物，矩阵计算出现在很多领域。例如：矩阵的奇异值和谱理论出现在对物质光谱的分析；矩阵的扰动理论对大规模数据的误差分析。一般矩阵固有性质的研究对我们有深刻的指导意义，然而，特殊矩阵的研究也有着同等重要的地位。不仅如此，可以说这些特殊的矩阵是我们整个矩阵群的非常值得研究的那些元素，就像O和l之对应于自然数那样。本文主要是对循环矩阵、块循环矩阵及块后．循环矩阵这类特殊矩阵求逆的一些讨论。我们陈列循环矩阵的一些定理，其中特别提到了Fourier矩阵。这样做有两个目的：一方面，这些定理本身就有很重要的应用，我们特别从循环矩阵的可对角化的角度说明了这些矩阵的内在联系，从而求其逆，这种思想是全新的；另一方面，我们统一了研究矩阵的一个基础出发点，从这些理论的推导，我们想更多的看到块的情形。关于块循环矩阵，前人作了深入的研究，引入了块循环矩阵的概念，并且做了几乎完美的工作，也正是他们的工作激发了我的兴趣。本文分为四个部分：第一部分主要说明背景知识。第二部分介绍一般意义的循环矩阵及其重要性质。在将循环矩阵对角化的基础上，讨论了循环矩阵的Moore-Penrose逆，并举例加以说明，这种在将矩阵对角化再讨论其逆就显得非常简便，我们只需要通过其Moore-Penrose逆的要求，构造出Moore—Penrose逆的形式。第三部分将推广前人的一些工作，块循环矩阵的概念以及一些性质被系统叙述，从而在此基础上求其Moore-Penrose逆及带形权的Drazin逆。这里主要也是根据第二部分的思想，将块循环矩阵对角化，从而简化了我们的运算。 2 第四部分是对第三部分的推广，将块循环矩阵扩展到块七．循环矩阵，利用将块循环矩阵对角化，得出了块七．循环矩阵的对角化形式，从而求出了块尼．循环矩阵的Moore—Penrose逆及带形权的Drazin逆。关于块k．循环矩阵的Moore-Penrose逆在一些文献中有过说明，但都是在七的模为1的情形下进行讨论的，本文的该部分关于块七．循环矩阵的Moore-Penrose及带∥权的Drazin逆，对七∈C都是成立的，这也就推广了前人的结论。总的来说，本文都是确定了其对角化形式，通过运算给出了他们的Moore-Penrose 逆及带矽权的Drazin逆，并结合实例加以说明。关键词：循环矩阵；Fourier矩阵；块后一循环矩阵；Moore-Penrose逆；带形权的Drazin逆。第一章引言

循环矩阵的性质及其应用

目录一. 相关概念...................................................................................................................... - 2 - 定义1.1............................................................................................................. - 2 -定义1.2............................................................................................................. - 2 -定义1.3............................................................................................................. - 3 -定义1.4............................................................................................................. - 3 - 二. 循环矩阵的性质...................................................................................................... - 3 - 2.1 循环矩阵基本性质.................................................................................... - 3 - 2.2 关于循环矩阵的判定相关性质................................................................ - 5 - 2.3 循环矩阵可逆的判定及互素推论............................................................ - 6 - 2.4 循环矩阵的一个定理及其得出的推论.................................................... - 6 - 2.5 循环矩阵对角化相关性质........................................................................ - 7 - 2.6 等比数列构成的循环矩阵相关性质........................................................ - 9 - 2.7 循环矩阵行列式与特征值相关性质...................................................... - 10 - 2.8 循环矩阵的奇异性.................................................................................. - 12 - 2.9 循环矩阵与向量空间相关性质.............................................................. - 12 - 三．广义循环矩阵 ......................................................................................................... - 13 - 定义3.1........................................................................................................... - 13 -定义3.2........................................................................................................... - 13 -推论3.1........................................................................................................... - 14 -推论3.2........................................................................................................... - 14 -推论3.3........................................................................................................... - 14 -推论3.4........................................................................................................... - 14 -定义3.2........................................................................................................... - 14 -定义3.3........................................................................................................... - 15 -定义3.4........................................................................................................... - 15 -定义3.5........................................................................................................... - 15 - 参考文献 .................................................................................................................... ….. - 15 -

正定矩阵的性质及应用

正定矩阵的性质及应用摘要：正定矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的意义。基于此，本文首先对正定矩阵的定义进行了描述，其次研究了正定矩阵的性质与判定方法，最后简单介绍了其具体应用。关键词：正定矩阵；基本性质；推论；判定；应用前言：矩阵是线性代数中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。作为矩阵的一种特殊类型，正定矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具。本文就此浅谈一下正定矩阵的各种性质和应用。 1.正定矩阵的基本性质 1.1 正定矩阵的定义设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x1，……，xn) 都有X′MX＞0，就称M正定(Positive Definite)。正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。另一种定义：一种实对称矩阵，正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵。 1.2 正定矩阵的性质当矩阵A为正定矩阵的时候，则必有以下几个性质，即：（1）aii＞0，i=1，2，……，n；（2）A的元素的绝对值最大者，必定为主对角元；（3）≤annAn-1 ，其中，An-1是A的n-1阶主子式；（4）≤a11a22……ann，当且仅当A为对角阵的时候成立；而除了以上这几个性质外，还有若干个推论也是比较重要的，在很多应用中

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

关于循环矩阵的计算

引言循环矩阵的概念是T Muir于1885年首先提出来的，直到1950至1955年，Good等才分别对循环矩阵的逆、行列式及其特征值进行了研究[1]．从此拉开了对循环矩阵各个方面的研究的历史．近年来，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中的一个非常活跃和重要的研究方向[2-4]．它之所以引起广大数学研究者如此大的兴趣，主要是基于下面两个方面的原因：一方面循环矩阵是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛的应用，比如在分子震动，信号处理，纠错码理论，编码理论，图像处理，结构计算，电动力学等领域．另一方面由于循环矩阵类有许多特殊而良好的性质和结构，已被广泛地应用于应用数学和计算数学的许多领域，如控制理论，最优化，求解（偏）微分方程，矩阵分解多目标决策，二次型化简及平面几何学等．本文主要利用循环矩阵的性质对其逆的求法、对角化、行列式计算等问题进行研究．

1、预备知识 1.1 循环矩阵的概念定义1.1 形如 012110122 1031 2 30n n n n n n a a a a a a a a A a a a a a a a a ------?? ??????=?? ?????? 的矩阵称为循环矩阵．定义1.2 形如 100001000011 000D ?? ??????=?? ?????? 的矩阵称为基本循环矩阵．定义1.3 若12-1,,,n a a a 为复数域C 上的n 个数，n 阶矩阵()ij A a =满足： , ,1,2,,, j i ij n j i a j i a i j n a j i -+-≥?==?

相似矩阵的性质及应用

华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用课程名称：线性代数专业班级：成员组成：联系方式： 2013年11月6 日

摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector