初中几何证明题库菱形

8．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（）

A．20°B．25°C．30°D．35°

考点：菱形的性质．

分析：依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC﹣∠ADE，从而求解．

解答：解：∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，

∴AE=AB=AD，

在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，

∴∠ADE=50°，

又∵∠B=80°，

∴∠ADC=80°，

∴∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=30°．

故选C．

点评：本题是简单的推理证明题，主要考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质．

已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE＝3，连接BE与对角线AC相交

于点M ，则

MC

AM

的值是 .

6.如图，两条笔直的公路l 1、l 2相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A 、B 、D ，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C 到公路l 1的距离为4公里，则村庄C 到公路l 2的距离是【 】

A 、3公里

B 、4公里

C 、5公里

D 、6公里

7.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，若DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为 ▲ ．

2.如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，若DE ⊥AB ，垂足为点E ，则DE 的长为 ▲ ．

例5.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 的中点为O ，过点O 作AC 的垂直平

图1

M

E D

B

C A

图2

M

E

D

B

C

A

分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。

求证：AE=AF。

【答案】证明：连接CE。

∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。

又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。

∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。

又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。

∴AE=AF。

【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。

3.如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=4

，则菱形ABCD的面积为

3

▲cm2．

例1.如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A ’、D ’处，且A ’D ’经过B ，EF 为折痕，当D ’F ⊥CD 时，

CF

FD

的值为【 】

A.

1

2

B.

6

C.

1

6

D.

1

8

【答案】A 。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC 与A ′D ′，交于点M ，

∵在菱形纸片ABCD 中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB ∥CD 。 ∴∠D=180°-∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A ′D ′F=∠D=120°，

∴∠FD ′M=180°-∠A ′D ′F=60°。

∵D ′F ⊥CD ，∴∠D ′FM=90°，∠M=90°-∠FD ′M=30°。

∵∠BCM=180°-∠BCD=120°，∴∠CBM=180°-∠BCM-∠M=30°。∴∠CBM=∠M 。 ∴BC=CM 。

设CF=x ，D ′F=DF=y ， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y 。∴FM=CM+CF=2x+y ，

在Rt △D ′FM 中，tan ∠M=tan30°=

D F y FM 2x y '==+x =。

∴

CF x FD y ==。故选A 。 例2.如图，菱形ABCD 中，AB=AC ，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AG 于点O ．则下列结论①△ABF ≌△CAE ，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH ，④AD 2=OD ·DH 中，正确的是【 】．

A. ①②④

B. ①②③

C. ②③④

D. ①②③④ 【答案】D 。

【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等、相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，四点共圆的判定，圆周角定理。

【分析】∵菱形ABCD 中，AB=AC ，∴△ABC 是等边三角形。∴∠B=∠EAC=600。

又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS）。结论①正确。

∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。

∴∠AHC=1800－（∠ACE＋∠CAF）=1800－（∠BAF＋∠CAF）=1800－∠BAC=1800－600=1200。

结论②正确。

如图，在HD上截取HG=AH。

∵菱形ABCD中，AB=AC，∴△ADC是等边三角形。

∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。

又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC =1200＋600=1800。

∴A，H，C，D四点共圆。∴∠AHD=∠ACD =600。∴△AHG是等边三角形。

∴AH=AG，∠GAH=600。∴∠CAH=600－∠CAG=∠DAG。

又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAG（SAS）。∴CH=DG。∴AH+CH= HG+ DG =DH。结论③正确。

∵∠AHD =∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA。∴AD HD

。

OD AD ∴AD 2=OD·DH。结论④正确。

综上所述，正确的是①②③④。故选D。

例5.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M 作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD。∴∠1=∠ACD。

∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2。∴MC=MD。

∵ME⊥CD，∴CD=2CE。

∵CE=1，∴CD=2。∴BC=CD=2。

（2）证明：∵F为边BC的中点，∴BF=CF=1

BC。∴CF=CE。

2

∵在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。

在△CEM和△CFM中，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，

∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF。

延长AB交DF于点G，

∵AB∥CD，∴∠G=∠2。

∵∠1=∠2，∴∠1=∠G。

∴AM=MG。

在△CDF和△BGF中，

∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFD，BF=CF，∴△CDF≌△BGF（AAS）。

∴GF=DF。

由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。

【考点】菱形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥D，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度。

（2）先利用SAS证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用AAS证明△CDF和

△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证。

例3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】

A． 1 B C．2 D＋1

【答案】B。

【考点】菱形的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，垂直线段的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】分两步分析：

（1）若点P ，Q 固定，此时点K 的位置：如图，作点P 关于BD 的对称点P 1，连接P 1Q ，交BD 于点K 1。

由线段中垂线上的点到线段两端距离相等的性质，得 P 1K 1 = P K 1，P 1K=PK 。

由三角形两边之和大于第三边的性质，得P 1K ＋QK ＞P 1Q= P 1K 1＋Q K 1= P K 1＋Q K 1。

∴此时的K 1就是使PK+QK 最小的位置。

（2）点P ，Q 变动，根据菱形的性质，点P 关于BD 的对称点P 1在AB 上，即不论点P 在BC 上任一点，点P 1总在AB 上。

因此，根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质，得，当P 1Q ⊥AB 时P 1Q 最短。

过点A 作AQ 1⊥DC 于点Q 1。 ∵∠A=120°，∴∠DA Q 1=30°。

又∵AD=AB=2，∴P

1Q=AQ 1=AD ·cos300=23

?

=

综上所述，PK+QK B 。