高等数学中三重积分曲面积分的计算问题
讨论高等数学
三重积分、第一类曲面积分的问题
一、 前言
在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。
二、 问题
（1） 三重积分与第一类曲面积分的概念；
（2） 第一类曲面积分的曲面的微元 dxdy Z Z dS xy
D y x ??++=221
（3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋
于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去；
三、 解决方法
（1） 概念 三重积分
设()z y x f ,,是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域，
n v v v v ????，，，321，其中v ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积，在
每一个v ?中任取一点()i i i ζηξ,,，做乘积()i i i i v f ?ζηξ,,，*
?Z i ，并做和()i n
i i i i v f ?∑=1
,,ζηξ，
如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域Ω中的三重积分，记作
()???Ω
dv
z y x f ,,，即
()???Ω
dv z y x f ，，=()∑=→?n
i i
i
i
i
v f 1
,,lim ζηξλ
，其中dv 为体积的微元。
曲面积分
设曲面∑是光滑的，函数()z y x f ,,在曲面∑上的有界函数，把曲面∑认为分成n 个小块S ?,其中S ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的面积，设()i i i ζηξ,,是S ?上的任意一点，做乘积()i i i i S f ?ζηξ,,,如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时, 这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域中∑的曲面积分，成为第
一类曲面积分，记作为
??∑
dS
z y x f ),,(，即
??∑
dS
z y x f ),,(=
()∑=→?n
i i
i i i S f 1
,,lim ζηξλ。
（2） 第一类曲面积分的曲面的微元
如图所示，设曲面方程为()y x f z ,=，在曲面上任选一点()i i i ζηξ,,，那么在这一点必定存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个0→λ的趋于dS ,它在xoy 平面上的投影为σd 。由于σd 很小，那么它对应的在曲面()y x f z ,=中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得γ
σ
cos d dS =
○1；()()1
,,1
cos 22++=
y x F y x F z
x
γ，证明：()()z y x f z y x F -=,,,，现在求得曲面中任意一点
的法向量()()()1,,,,,,y x f y x f z F y F x F n y x =???
?
????????=→
，取xoy 平面中的法向量()1,0,0=→a ，∴
()()()()1
,,1
1
,,11
cos 2222++=
++-=
y x F y x F y x F y x F z
x
z
x
γ()y x f z ,= ∴()y x F x ,()
y x F y ,相当于z 对y x ,分别求偏倒，所有得公式()()1
,,1
cos 22++=
y x F y x F z
x
γ带入○1中得：
()()σd y x f y x f dS z x 1,,22++=
，∴()()??
++=xy
D z x d y x f y x f S σ1,,2
2
（3） 物理意义
三重积分的物理意义
在于计算一个空间实体中不同点有不同密度的质量，函数
()z y x f ,,是有界空间曲面∑与垂直于坐标平面或几个曲面∑所围成的封闭区域不同点的密度，在此区域中的任意一点有不同的密度，因为质量公式V m ρ=在这里已经不能够使用，所以取为
()i i i i v f ?ζηξ,,为小体积的质量，
经过()∑=→?n
i i i i i v f 10
,,lim ζηξλ取极限求和得到整个实体的质量。
第一类曲面积分的物理意义
第一类曲面积分所求的的也是在
于计算一个空间实体中的质量，与三重积分不同的是，函数()z y x f ,,是曲面上的不同点的面密度。因为质量公式S m ρ=在这里已经不能够使用，所以()i i i f ζηξ,,曲面中某点的面密度，在这里积分曲面中的某点的坐标与被积函数中的面密度所对应的坐标值相
同，所以这里的()z y x ,,为积分曲面与被积函数的坐标值，因此??∑
dS z y x f ),,(为微元小柱
体的质量，经过()∑=→?n
i i i i i S f 1
,,lim ζηξλ取极限求和得到整个曲面所对应实体的质量，所以
它所求得的体积是一个微元的柱面质量的和。
四、 结论
三重积分中积分区域不能带入到被积函数中去；曲面积分的积分区域可以带入到被积函数中去。
高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+ 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +? ＝1 ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11 ()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +? ＝21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +? ＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5．d () x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2 d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +? ＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22 d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2 d ()x x ax b +? ＝ 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C + 11．x ?＝2 2(3215ax b C a -+ 12．x x ?＝2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22 (23ax b C a - 14．2x ＝2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 ． ＝(0) (0) C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0) (0) C b C b ?+>+< 23．2 d x x ax b +? ＝2 1ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +? ＝21d a x bx b ax b --+? 三重积分的计算方法： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲 讨论高等数学 三重积分、第一类曲面积分的问题 一、 前言 在学习第一类曲线积分与三重积分之后，会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解，只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解。 二、 问题 （1） 三重积分与第一类曲面积分的概念； （2） 第一类曲面积分的曲面的微元 dxdy Z Z dS xy D y x ??++=221 （3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋 于带入到被积函数中，而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去； 三、 解决方法 （1） 概念 三重积分 设()z y x f ,,是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域， n v v v v ????，，，321，其中v ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积，在 每一个v ?中任取一点()i i i ζηξ,,，做乘积()i i i i v f ?ζηξ,,，* ?Z i ，并做和()i n i i i i v f ?∑=1 ,,ζηξ， 如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域Ω中的三重积分，记作 ()???Ω dv z y x f ,,，即 ()???Ω dv z y x f ，，=()∑=→?n i i i i i v f 1 ,,lim ζηξλ ，其中dv 为体积的微元。 曲面积分 设曲面∑是光滑的，函数()z y x f ,,在曲面∑上的有界函数，把曲面∑认为分成n 个小块S ?,其中S ?，表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的面积，设()i i i ζηξ,,是S ?上的任意一点，做乘积()i i i i S f ?ζηξ,,,如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时, 这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数()z y x f ,,在闭区域中∑的曲面积分，成为第 一类曲面积分，记作为 ??∑ dS z y x f ),,(，即 ??∑ dS z y x f ),,(= ()∑=→?n i i i i i S f 1 ,,lim ζηξλ。 （2） 第一类曲面积分的曲面的微元 如图所示，设曲面方程为()y x f z ,=，在曲面上任选一点()i i i ζηξ,,，那么在这一点必定存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个0→λ的趋于dS ,它在xoy 平面上的投影为σd 。由于σd 很小，那么它对应的在曲面()y x f z ,=中的部分曲面可以近似的认为是一个平面，则求得γ σ c o s d dS = ○1；()()1 ,,1 cos 22 ++= y x F y x F z x γ，证明：()()z y x f z y x F -=,,,，现在求得曲面中任意一点 的法向量()()()1,,,,,,y x f y x f z F y F x F n y x =??? ? ????????=→ ，取xoy 平面中的法向量()1,0,0=→a ，∴ ()()()()1 ,,1 1 ,,11 cos 2222++= ++-= y x F y x F y x F y x F z x z x γ()y x f z ,= ∴()y x F x ,() y x F y ,相当于z 对y x ,分别求偏倒，所有得公式()()1 ,,1 cos 22++= y x F y x F z x γ带入○1中得： ()()σd y x f y x f dS z x 1,,22++= ，∴()()?? ++=xy D z x d y x f y x f S σ1,,2 2 （3） 物理意义 三重积分的计算方法介绍： 三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看： 如果先做定积分?2 1),,(z z dz z y x f ，再做二重积分??D d y x F σ),(，就是“投 影法”，也即“先一后二”。步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。σd dz z y x f dv z y x f D z z ??????Ω =2 1]),,([),,( 如果先做二重积分??z D d z y x f σ),,(再做定积分?2 1 )(c c dz z F ，就是“截面 法”，也即“先二后一”。步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。区域z D 的边界曲面都是z 的函数。计算区域z D 上的二重积分??z D d z y x f σ),,(，完成 了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分?2 1 )(c c dz z F ，完成“后 一”这一步。dz d z y x f dv z y x f c c D z ]),,([),,(2 1σ??????Ω = 当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。 为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面) （1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲 第十章 曲线积分与曲面积分答案 一、选择题 1．曲线积分 ()sin ()cos x L f x e ydx f x ydy ??--? ??与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数,且(0)0f =，则()f x = B A ． 1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- Ｃ. 1 ()2 x x e e -+ D ．0 2．闭曲线Ｃ为1x y +=的正向，则 C ydx xdy x y -+=+? C Ａ．０ B.2 C.4 D.６ 3．闭曲线C 为2 2 41x y +=的正向，则 22 4C ydx xdy x y -+=+? D A ．2π- B 。 2π C 。0 D. π ４。∑为ＹOZ 平面上2 2 1y z +≤，则 2 22()x y z ds ∑ ++=?? D Ａ。０ B ． π C ． 14 π Ｄ． 12 π 5。设2 2 2 :C x y a +=，则 2 2()C x y ds +=? C A.22a π B. 2 a π C 。 3 2a π Ｄ． 3 4a π ６。 设∑为球面2 2 2 1x y z ++=，则曲面积分 ∑ ［ B ］ Ａ.4π B ．2π C.π D.12 π ７。 设Ｌ是从Ｏ(0，0)到B(1,1）的直线段，则曲线积分 ? =L yds ［ Ｃ ］ A 。 21 B ． 2 1 - C. 22 Ｄ。 22- 8. 设I=? L ds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0)与点（1, １）之间的一段弧, 则Ｉ=［D ] A 。 655 Ｂ．1255 C ．6155- Ｄ。 12 1 55- 9． 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ,那么 σ 是（ D ） A ． ?-l ydy xdx 21; B 。 ?-l xdx ydy 2 1 ; 第十二章曲线积分与曲面积分 一．基本要求 1．正确理解两类曲线积分与两类曲面积分的概念和性质及几何意义和物理意义。 2．熟练掌握两类曲线积分和两类曲面积分的计算方法，了解两类曲线积分和两 类曲面积分之间相互关系。 3．掌握格林公式及应用，熟悉和会应用平面曲线积分与路经无关的条件。掌握 二元函数全微分方程的求解方法。 4．掌握高斯公式及应用，了解斯托克斯公式，知道通量与散度，环流量与旋度。 5．会用曲线积分和曲面积分求一些几何量与物理量（弧长、曲面面积、质量、 重心、转动惯量、功及流量等）。 二．主要内容(见第二页至第十三页) 1．主要内容联系（框图） 2．曲线积分和曲面积分（表格） 3．曲线和曲面积分的解题步骤（框图） 4．格林公式、高斯公式及斯托克斯公式（表格） 5．在平面区域G上曲线积分与路径无关的（四个等价）条件（框图） 6．全微分方程（框图） 7．注解（注一至注十）（表格） 三．考点与难点 考点： 1．两类曲线积分化为定积分的计算方法及两类曲面积分化为二重积分的计算 方法。 2．格林公式和高斯公式成立的条件和结论，正确灵活地应用格林公式和高斯 公式。 3．应用平面曲线积分与路径无关的四个条件。 4．曲线积分和曲面积分的几何意义和物理意义，将几何问题和物理问题化为曲线积分问题和曲面积分问题求解。 难点： 应用各类型的积分之间关系，选择合适的（可计算的，更方便的）积分计算。 四．例题及题解（见第十四页至第二十一页） 例1至例15 五．部分习题题解（见第二十二页至第三十页） 习题（一）至习题（十五） 六．试卷（见第三十一页至第三十八页） 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 七．试卷答案及题解（见第三十九页至第四十六页） 试卷)(A 、试卷)(B 、试卷)(C 答案及题解 二．主要內容 1。主要内容联系（框图） 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+? ?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 22 33113arctan 1 1x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分 解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411 342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解： 2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★(9) 思路=？111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 1. 求 dx e x ?-2ln 01。5．解：设t e x =-1，即)1ln(2+=t x ，有dt t t dx 122+= 当0=x 时，0=t ；当2ln =x 时，1=t 。 dt t dt t t dx e x )111(21211021 0222ln 0???+-=+=- 22)1arctan 1(2)arctan (210π- =-=-=x t . 2. 求由两条曲线2x y =与2y x =围成的平面区域的面积。 ．解：两条曲线的交点是)0,0(与)1,1(，则此区域的面积 31)3132()(1 0323210=-=-=?x x dx x x S 3. 求反常积分 ?+∞-+222x x dx 。 解：dx x x x x dx x x dx b b b b )2111(lim 3 12lim 222222+--=-+=-+???+∞→+∞→+∞ 4ln 3 1)4ln 21(ln lim 31)21ln(lim 312=++-=+-=+∞→+∞→b b x x b b b 5、 4. 设???≤<≤≤-+=20,02,13)(32x x x x x f ，求?-22)(dx x f 解：原式=??-+0 22 0)()(dx x f dx x f ---------5分 =14 ----------5分 6. 求由曲线32,2+==x y x y 所围成的区域绕x 轴旋转而得的旋转体体积。 解：两曲线交点为（-1，1）（3，9）-------2分 面积?--+=3122)32(dx x x S π ---------5分 =17 256 7. 计算定积分2 2π π -? 8. 设()f x 在区间[,]a b 上连续，且()1b a f x dx =?，求() b a f a b x dx +-?。 答案：解：令u a b x =+-，则当x a =时，u b =；当x b =时，u a =，且d x d u =-， 故 ()b a f a b x dx +-?＝()a b f u du -? ＝()1b a f x dx =?。 高等数学三重积分计算方法总结 1、利用直角坐标计算三重积分： （1）投影法（先一后二）： 1）外层(二重积分)：区域Ω在xoy 面上的投影区域Dxy 2）内层(定积分)： 从区域Ω的底面上的z 值，到区域Ω的顶面上的z 值。 （2）截面法（先二后一）： 1)外层(定积分): 区域Ω在z 轴上的投影区间。 2)内层(二重积分):Ω垂直于z 轴的截面区域。 2、利用柱坐标计算三重积分 3、利用球面坐标计算三重积分 定限方法: (1)转面定θ(2)转线定φ (3)线段定r 4、利用对称性化简三重积分计算 设积分区域Ω关于xoy 平面对称， (1)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的奇函数，则三重积分为零。 (2)若被积函数 f (x,y,z ) 是关于z 的偶函数，则三重积分等于：在xoy 平面上方的半个Ω，区域上的三重积分的两倍. 使用对称性时应注意： 1）积分区域关于坐标面的对称性； ２）被积函数关于变量的奇偶性。 (cos ,sin ,)f z d d dz ρθρθρρθΩ???(,,)f x y z dv Ω=??? (,,)f x y z dxdydz Ω??? (sin cos ,sin sin ,cos )f r r r φθφθφΩ=???2 sin r drd d φφθ 例 计算 ，其中Ω是由曲面z = x 2 + y 2和x 2 + y 2 + z 2 =2所围成的空间闭区域. 解： 是关于x 的奇函数，且Ω关于 yoz 面对称 故其积分为零。 2x 2 y 是关于y 的奇函数,且关于 zox 面对称 ???Ω++dxdydz z y x x 2)(2 )(z y x x ++ 22222222)(zx xyz y x z y x x +++++=xyz z y x x 2)(222+++ ,022???Ω=∴ydv x ???Ω++=∴dxdydz z y x x I 2)(,22???Ω=zdxdydz x ???Ωθρρ??θρ=dz d d z 22cos 2????θρρθ=zdz d d 23cos 2 ??πρρ-ρ-θρθ=20104 223)2(cos d d 245π=222ρ-ρπ20 Ⅶ 曲线积分与曲面积分（二） 课堂练习题 一、填空题 1．cosα, cosβ, cosγ是光滑闭曲面Σ的外法向量方向余弦，Σ所围空间闭区域为V ，设u (x, y , z )在V 上具有连续二阶偏导数，则用高斯公式化曲面积分为重积分时有(cos cos cos )u u u ds x y z ???αβγ???∑++??ò= 。 2．分片光滑闭曲面Σ所围成的空间区域Ω的体积为V ，则沿曲面Σ外侧的积分()()()z y dxdy y x dxdz x z dzdy ∑-+-+-??ò= 。 3．设函数),,(z y x p 在空间闭区域V 上有一阶连续偏导数，又Σ是V 的光滑边界曲面的外侧，则由高斯公式有(,,)p x y z dydz ∑ ??ò 。 4．设Σ是一片分布着质量的光滑曲面，其面密度为常数μ，则曲面对y 轴的转动惯量I y = 。 5．围成空间闭区域V 的光滑闭曲面Σ外法向量的方向余弦为cos α、cos β、cos γ，设P (x , y , z )、Q (x , y , z )、R (x , y , z )在V 上有连续二阶偏导数，则[()cos ()cos ()cos ]R Q P R Q P ds y z z x x y ??????αβγ?????∑-+-+-???ò 。 二、选择题 1．设∑为球面2221x y z ++=，1∑为其上半球面，则 式正确。 A ．12zds zds ∑∑=????； B ．1 2zdxdy zdxdy ∑∑=????； C ．1222z dxdy z dxdy ∑∑=????； D ．zdxdy ∑ ??=0。 2．若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面，则ds ∑ ??等于 。 A ．200d rdr πθ? ?； B ．200d rdr πθ??； C ．20d rdr πθ?； D ．2π。 3．若∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则22x y zdxdy ∑ ??等于 。 A ．2xy D x y ??； B ． 22xy D x y ??； §5 三重积分 教学目的 掌握三重积分的定义和性质． 教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变 换和球面坐标变换计算三重积分的方法． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可 积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较． (2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题． 一、三重积分的概念 背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤， 利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义． 定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ 则()z y x f ,,必在V 上可积. 二、化三重积分为累次积分 定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,??上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分 ()x I =()dydz z y x f D ??,, 存在，其中D =[][]f e d c ,,?，则积分 ?b a dx ()??D d z y x f σ ,, 也存在，且 ()???V dxdydz z y x f ,,=?b a dx ()??D d z y x f σ ,,. (1) 为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合 ()()()()(){} b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121 所确定，V 在xy 平面上的投影区域为 D =()()(){ }b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续， ()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则 ()???V dxdydz z y x f ,,= ()()???D z y x z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()() ???b a x y x y z y x z dz z y x f dy dx 212 1,,,， 其他简单区域类似． 一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算． 例1 计算 ???+V dxdydz y x 221 ，其中V 为由 第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. 第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ y =f (x ) x =a x =b y =f (x ) a=x 0 x 1 x i-1 x i x n =b 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量 注: (1) ∑ =?n i i i x f 1 )(ξ与区间的分割法x i 和取点法 i 有关; 而 ? b a dx x f )(与x i 和 i 无 关. (2) ? b a dx x f )(与a 、b 、f 有关，与x 无关，即： [][]???? ===b a b a b a b a d f du u f dt t f dx x f )()()()( 2．定积分存在定理 定理 若)(x f 在[a , b ]上有界且只有有限个间断点，则)(x f 在[a , b ]上可积. 推论 若)(x f 在[a , b ]上连续，则)(x f 在[a , b ]上可积. 例1. 求 ?1 xdx 江西师范大学数学与信息科学学院 学士学位论文 三重积分的计算方法小结Methods of Calculation of Triple Integral 姓名：蒋晓颖 学号： 1007012048 学院：数学与信息科学学院 专业：数学与应用数学 指导老师：蒋新荣（副教授） 完成时间：2014年1月23日 三重积分的计算方法小结 蒋晓颖 【摘要】三重积分的计算是数学分析中的难点，本文结合教材以及相关资料较全面地给出了三重积分计算中的四种处理方法。第一，利用降低三重积分重数的思想，将其化为累次积分；第二，采用坐标变换的方法，将积分体表示成适当的形式；第三，充分运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，简化计算；第四，利用高斯公式将三重积分的计算转化成曲面积分计算。希望这几种方法能对学习者具有一定的指导意义。 【关键词】三重积分累次积分坐标变换对称性高斯公式 Methods of Calculation of Triple Integral Jiang Xiaoying 【Abstract】The calculation of triple integral is the difficulty in Mathematics analysis．In this paper，unifying the teaching and related materials ，we give four instructive methods of the calculation of triple integral for learner．The four methods are as follows：the first，lower the multiplicity of triple integral and replace it with iterated integral；the second，with the method of coordinate alternate，we can transform the integral volume into appropriate form；the third，fully use the parity of integrand and symmetry of integral area to simplify calculation；finally，we can calculate the triple integral with the Gauss formula that could transform triple integral into a surface integral． 【Key words】triple integral iterated integral coordinate alternate symmetry Gauss formula 这里讨论的计算方法指的是利用现有的MATLAB函数来求解，而不是根据具体的数值计算方法来编写相应程序。目前最新版的2009a有关于一般区域二重积分的计算函数quad2d（详 细介绍见https://www.360docs.net/doc/ce256772.html,/viewthread.php?tid=873479），但没有一般区域三重 积分的计算函数，而NIT工具箱似乎也没有一般区域三重积分的计算函数。 本贴的目的是介绍一种在7.X版本MATLAB（不一定是2009a）里求解一般区域二重三重积 分的思路方法。需要说明的是，上述链接里已经讨论了一种求解一般区域二重三重积分的 思路方法，就是将被积函数“延拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入 很多乘0运算浪费时间。因此，新的思路将避免这些。由于是调用已有的MATLAB函数求解，在求一般区域二重积分时，效率和2009a的quad2d相比有一些差距，但是相对于"延拓"函数的做法，效率大大提高了。下面结合一些简单例子说明下计算方法。 譬如二元函数f(x,y) = x*y，y从sin(x)积分到cos(x)，x从1积分到2，这个积分可以 很容易用符号积分算出结果 1.syms x y 2.int(int(x*y,y,sin(x),cos(x)),1,2) ] 3.结果是 -1/2*cos(1)*sin(1)-1/4*cos(1)^2+cos(2)*sin(2)+1/4*cos(2)^2 = -0.635412702399943 复制代码 如果你用的是2009a，你可以用 1.quad2d(@(x,y) x.*y,1,2,@(x)sin(x),@(x)cos(x),'AbsTol',1e-12) 复制代码 得到上述结果。 如果用的不是2009a，那么你可以利用NIT工具箱里的quad2dggen函数。 那么我们如果既没有NIT工具箱用的也不是2009a，怎么办呢？ 答案是我们可以利用两次quadl函数，注意到quadl函数要求积分表达式必须写成向量化 形式，所以我们构造的函数必须能接受向量输入。见如下代码 1.function IntDemo 2.function f1 = myfun1(x) 3.f1 = zeros(size(x)); 4.for k = 1:length(x) 5.f1(k) = quadl(@(y) x(k)*y,sin(x(k)),cos(x(k))); 6.end 7.end 8.y = quadl(@myfun1,1,2) 9.end 三重积分的计算与应用 毕业论文 目录 摘要 ............................................................... I ABSTRACT .............................................................. II 目录 ............................................................. III 1 前言 (1) 2 三重积分的定义与性质 (2) 2.1 三重积分的定义 (2) 2.2 三重积分的性质 (2) 3 三重积分的计算 (4) 3.1 利用直角坐标计算三重积分 (4) 3.3.1 坐标面投影法 (4) 3.3.2 坐标轴投影法 (7) 3.3.3 利用对称性化简三重积分计算 (8) 3.2 利用换元法计算三重积分 (9) 3.2.1 柱坐标变换 (10) 3.2.2 球坐标变换 (11) 4 三重积分的应用 (14) 4.1 利用三重积分求重心 (14) 4.2 利用三重积分求转动惯量 (16) 4.3 利用三重积分求引力 (17) 5 结论 (20) 参考文献 (21) 致谢 (22) 1 前言 三重积分在现实中有着广泛的应用.利用三重积分求解不规则物体的体积，不仅仅是当代大学生要学习的基础知识，在很多的大型桥梁，建筑工程中，三重积分也有着不可替代的作用. 在国，三重积分的实际应用远远比不上国外应用广泛，因此，国的学生很多情况下只限于对三重积分的书面认识，意识不到它在现实中的广泛应用.很多学生在学习三重积分时，不了解三重积分的几何意义，因而不能熟练掌握求解三重积分的方法.当面临求解三重积分问题时，往往不知如何下手.即便是知道将三重积分化为累次积分，也不知道该选用哪种方法求解，求解过程中更是会出现各种各样的错误.为了让学生更好地掌握三重积分的相关知识，本文系统的总结了三重积分的求解方法，以便学生尽快掌握相关容. 本文主要是将三重积分所有的求解方法系统的进行归纳总结，详尽介绍运用三重 三重积分得计算方法： 三重积分得计算就是化为三次积分进行得。其实质就是计算一个定积分（一重积分)与一个二重积分。从顺序瞧: 如果先做定积分,再做二重积分,就就是“投影法”,也即“先一后二”。步骤为:找及在ｘｏy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定ｚ得积分限,完成了“先一”这一步(定积分);进而按二重积分得计算步骤计算投影域D上得二重积分,完成“后二”这一步。 如果先做二重积分再做定积分,就就是“截面法”,也即“先二后一”。步骤为:确定位于平面之间,即,过z作平行于xｏy面得平面截,截面。区域得边界曲面都就是ｚ得函数。计算区域上得二重积分，完成了“先二”这一步(二重积分）;进而计算定积分,完成“后一”这一步。 当被积函数ｆ（z)仅为z得函数(与x,y无关),且得面积容易求出时,“截面法”尤为方便。 为了简化积分得计算,还有如何选择适当得坐标系计算得问题。可以按以下几点考虑:将积分区域投影到xｏy面,得投影区域D(平面) （1）D就是X型或Y型,可选择直角坐标系计算(当得边界曲面中有较多得平面时,常用直角坐标系计算) （2）Ｄ就是圆域(或其部分)，且被积函数形如时,可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时,常用柱面坐标计算） (3)就是球体或球顶锥体,且被积函数形如时,可选择球面坐标系 计算 以上就是一般常见得三重积分得计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出得情形不赘述。 三重积分得计算方法小结: １、对三重积分,采用“投影法”还就是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z ） 得情况选取。 一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握; 截面法(先二后一): 就是在z 处得截面,其边界曲线方程易写 错,故较难一些。 特殊地，对积分时,f(ｘ,y ，z)与x,y 无关，可直接计算。因而中只要, 且 f(x,y,z)仅含z 时,选取“截面法”更佳。 2、对坐标系得选取,当为柱体，锥体,或由柱面,锥面,旋转抛物面与其它曲面所围 成得形体；被积函数为仅含z 或时,可考虑用柱面坐标计算。 三重积分得计算方法例题: 补例1：计算三重积分,其中为平面与三个坐标面围成得闭区域。 解1“投影法” 1、画出及在ｘoy 面投影域D 、 2、 “穿线” X 型 D: ∴： ３、计算 ???? ?? ???-----Ω +---=--===1 0103221 10 10 1 10 2]3 1)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dy dx zdxdydz I x x y x x 解2“截面法”1、画出。2、 过点z 作垂直于z 轴得平面截得。 就是两直角边为ｘ,y 得直角三角形， 3、计算??????????====Ω 1 1 1 0][][z z z D D D dz zS dz dxdy z dz zdxdy zdxdydz I ???=+-=--==1 0321010241 )2(21)1)(1(21)21(dz z z z dz z z z dz xy z 补例2:计算,其中就是与ｚ=1围成得闭区域。 解1“投影法” 1、画出及在xo ｙ面投影域Ｄ、 由消去z, 得即Ｄ: 2、 “穿线”， X 型 D: ∴ 3、计算高等数学积分公式大全
三重积分的计算方法与例题
高等数学中三重积分曲面积分的计算问题
[整理]三重积分的计算方法小结与例题76202
曲线积分与曲面积分 期末复习题 高等数学下册 上海电机学院
高等数学曲面积分与曲线积分重点难点
(完整版)高等数学不定积分例题、思路和答案(超全)
高等数学定积分复习题
高等数学三重积分计算方法总结
高等数学-曲面积分试题
三重积分概念及其计算
高等数学第五章定积分总结
(初稿)三重积分计算方法小结
二重积分计算方法
三重积分的计算与应用毕业论文
三重积分的计算方法与例题