推荐--高级数理逻辑

数理逻辑复习题

一、选择题 1、永真式的否定是（2） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 2、设P ：2×2=5，Q ：雪是黑的，R ：2×4=8，S ：太阳从东方升起，则下列真命题为(1) (1)R Q P ∧→ (2)S P R ∧→ (3)R Q S ∧→ (4) )()(S Q R P ∧∨∧。 3、设P ：我听课，Q ：我看小说，则命题R “我不能一边听课，一边看小说”的符号化为⑵ ⑴ P Q → ⑵Q P ?→(3) Q P →? ⑷ P Q ?→?()P Q ?∧ 提示：()R P Q P Q ??∧?→? 4、下列表达式错误的有⑷ ⑴()P P Q P ∨∧? ⑵()P P Q P ∧∨? ⑶()P P Q P Q ∨?∧?∨ ⑷()P P Q P Q ∧?∨?∨ 5、下列表达式正确的有⑷ ⑴ P P Q ?∧ ⑵ P Q P ?∨ ⑶ ()Q P Q ???→⑷Q Q P ??→?)( 6、下列联接词运算不可交换的是(3) ⑴∧ ⑵∨ (3)→ ⑷ ? 6、设D ：全总个体域，F （x ）：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“有的人喜欢所有的花”的逻辑符号化为⑷ ⑴(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑵(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ (3) (()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ ⑷(()(()(,))x M x y F y H x y ?∧?→ 7、设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些 老 师”的逻辑符号化为⑵ ⑴)),()((y x A x L x →? ⑵))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? (3) )),()()((y x A y J x L y x ∧∧?? ⑷)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 8、谓词公式)())()((x Q y yR x P x →?∨?中的 x 是⑶ ⑴自由变元 ⑵约束变元 ⑶既是自由变元又是约束变元 ⑷既不是自由变元又不是约束变元 9、下列表达式错误的有⑴ ⑴(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨? ⑵(()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? (3) (()())()()x A x B x xA x xB x ?∧??∧? ⑷(()())()()x A x B x xA x xB x ?∨??∨?

北邮高级数理逻辑课件

形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。： 1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。 2、 设∑* 为∑上全体字的组合构成的集合。项集TERM 为∑* 的子集，其元素称为项； 项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。F(X) a, X, 3、 设∑* 为∑上全体字的组合构成的集合。公式结FORMULA 为∑* 的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。 A(f(a,x1,y)), A →B 4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。 5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即 RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ?∧≥∧?是正整数， 其元素称为形式系统的推理规则。 其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。 由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分 形式系统特性 1、 符号表∑为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。 2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合， 即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合（可判定的）。 3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。而公式是用来描述 这些研究对象的性质的。这个语言被称为对象语言。定义公式和项产生方法的规则称为词法。 公理： I ))((A B A →→ II ))()(())(((C A B A C B A →→→→→→ III ))())()(((A B B A →→?→? 证明：A →A (1) A →(A →A) ((A →(B →C))→((A →B)→(A →C)) ((A →(B →A))→((A →B)→(A →A)) ((A →((A →A)→A))→((A →(A →A))→(A →A)) A →((A →A)→A)) (A →(A →A))→(A →A) (A →(A →A)) A →A

数理逻辑考试题及答案

“离散数学”数理逻辑部分考核试题答案 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━★━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 一、命题逻辑基本知识（5分） 1、将下列命题符号化（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。共2分） （0）小刘既不怕吃苦，又爱钻研。 解：p∧q，其中，P：小刘怕吃苦；q：小刘爱钻研。 （1）只有不怕敌人，才能战胜敌人。 解：q→p，其中，P：怕敌人；q：战胜敌人。 （2）只要别人有困难，老张就帮助别人，除非困难已经解决了。 解：r→(p→p)，其中，P：别人有困难；q：老张帮助别人；r：困难解决了。 （3）小王与小张是亲戚。 解：p，其中，P：小王与小张是亲戚。 2、判断下列公式的类型（总共5题，完成的题号为学号尾数取5的余，完成1题。共1分） （0）A：((p q)((p q) (p q))) r （1）B：(p(q p)) (r q) （2）C：(p r) (q r) （3）E：p(p q r) （4）F：(q r) r 解：用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。 3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。共2分） （0）设y=2|x|，x为实数。推理如下：如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。 解：设y=2|x|，x为实数。令P：y在x=0处可导，q：y在x=0处连续。由此，p为假，q为真。本题推理符号化为：(p q) q p。由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。 （1）若2和3都是素数，则6是奇数。2是素数，3也是素数。所以，5或6是奇数。 解：令p:2是素数，q:3是素数，r:5是奇数，s:6是奇数。由此，p=1，q=1，r=1，s=0。本题推理符号化为： ((p q) →s) p q) →(r s)。计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。 二、命题逻辑等值演算（5分） 1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。共2分） （0）求公式p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))的主析取范式。 解：p→((q∧r) ∧(p∨(q∧r)))p∨(q∧r∧p) ∨(q∧r∧q∧r) p∨(q∧r∧p) ∨0 (p∧q∧r) ∨ (p∧1∧1) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨(q∧r∧p) (p∧(q∨q)∧(r∨r)) ∨m7 (p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨m7 m0∨m1∨m2∨m3∨m7. （1）求公式((p→q)) ∨(q→p)的主合取范式。 解：((p→q)) (q→p) (p→q) (p→q) (p→q) p q M2.

高级数理逻辑第2讲全解

3命题逻辑形式系统（FSPC） 3.1 命题逻辑与命题演算 Leibniz提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL提出了布尔代数。布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。 1、命题（Propositions）：可以判断真假的陈述句。不涉及任何联结词的命题称为原 子命题。 2、联结词：?, →, ?, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。 ~A=1-A →如果A成立则B成立，<->如果A成立则B成立，并且如果B成立则A成立； A→B A∨B，或者A成立或者B成立；A∧B，A成立并且B成立。 3、真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。 A←→B T(~A)=1-T(A) A=1, ~A=0, 1-A True(?A)＝1- True(A)，如果True(A)＝0，True(?A)=1：True(A)=1, True(?A) ＝0 T(A→B)=1 或者A不成立，或者B成立； A=1, B=1, A→B =1 A=0, B=1, A→B=1 A=0, B=0, A→B=1 A=1,B=0 A→B=0 或者A=0, 或者B＝1 ~AvB=A→B A<=B;;;; A<=B A=0,B=1 A=0时，B=?,1;A=1,B=1,1;A=1,B=0,0; A=0,B=0,T(A→B)=1;A=0,B=1,T(A→B)=1;A=1,B=0,T(A→B)=1;A=1,B=1,T(A→B) =1; A=0;T(A→B)=1 B=1;T(A→B)=1 A→B是或者A=0,或者B=1；=～AvB A<=B A∨B=MAX(A,B) A=1, B=0, 1;A=1,B=1, 1, A=0,B=1;1, A=0,B=0, 0 A∧B=MIN(A,B) =~(~A v ~B) DEMORGAN ~A ∨B True(A->B)：True（A）《＝True（B）

高级数理逻辑第11讲全解

总复习 本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。 数理逻辑学科 学科发展 从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。这些理论都是以数理逻辑学为基础的。针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。 数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。 ●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。如模态 逻辑，二阶谓词逻辑等。 ●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。 数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统： 1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。认为世界是黑白的，对于一个命题 非真既假。 2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。 3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续 值的。 4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。经典逻辑是单调逻辑， 既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。 体系构成 在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。逻辑的体系过程主要包括以下几个方面： 1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。类似于形式语言系统。 2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法 和规则。 3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。从而保 证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。 4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。 以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。

数理逻辑2.1

1.4 将自然语言转化为命题公式 *要把自然语言转化为命题公式, 按以下步骤进行. 1.首先判定这个句子是否命题逻辑中所研究的命题, 排除 一些不是陈述句的句子,以及一些不具有真假值的句子. 2.其次,找出这个句子中所包含的原子命题.通常只有一个主 语和一个谓语的句子就是一个原子命题. 3.再次,将句子中的原子命题用命题变量表示,在整个句子中, 若相同的原子命题出现多次,则用相同的命题变量表示同一原子命题. 4.然后,分析句子中连词的逻辑含义,确定句子的整体结构, 以及各支命题之间的逻辑关系. 5.最后,使用合适的命题联结词将各支命题符号化,最后写出 整个句子的命题公式. 例1.12: 1.我们在学好逻辑学的同时,还应学好其它学科. 2.我虽人到中年, 但求知欲并未减弱. 3.液体沸腾的原因是温度增高,或是压力下降. 4.李晓霞是湖南人或江西人. 5.逆水行舟,不进则退. 解: 1.设p: 我们要学好逻辑, q: 我们要学好其它学科. 公式: p∧q .

2.设p: 我人到中年, q: 我求知欲减弱. 公式: p∧┐q . 3.设p: 液体沸腾的原因是温度增高. q: 液体沸腾的原因是压力下降. 公式: p∨q . 4.设p: 李晓霞是江西人. q: 李晓霞是湖南人. 公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) . 5.设p: 逆水行舟会进, q: 逆水行舟会退. 公式: (p∧┐q)∨(┐p∧q) . 例1.13: 1.如果看不到事物的否定方面, 就不能科学地预见事物的 发展方向. 2.只有懂了事物的对立统一规律, 才能懂得事物的发展. 3.只要你努力, 就会取得成果. 4.会休息的人, 才会工作. 5.不会休息的人, 就不会工作. 6.哪里有他, 哪里就有歌声. 7.若要人不知, 除非己莫为. 8.除非他真心悔改, 才能得到群众的谅解. 9.除非整数x是奇数, 否则x会被2整除. 10.整数x能被2整除, 除非x是奇数.

高级数理逻辑第3讲全解

3命题逻辑形式系统（FSPC）－续3.4 命题逻辑语义 P(X)→Q(F(X－a)) A(X)-->A(X) X是复数，则（x-a）平方大于等于0； X=R Px是复数 Q(x)代表的是大于等于0 F代表的是平方 X复数 T(P(X))=0.5 P(X)→(Q(X)→P(X)) A→B 3.4.1基本概念 1、什么是形式系统的语义 （1）形式系统与具体的系统无关 （2）能够用形式系统来描述现实系统 （3）把从形式系统解释成“→”现实系统的过程成为语义 语义有多种类型：指称语义，克里普克语义，操作语义，公理语义等2．语义构成(指称语义) 语义主要有两部分： （1）结构：（有两个主要部分构成） *确定研究对象集合，论域或个体域 *把形式系统中的变量到论域中的一组规则映射规则（2）域值：指一组给公式赋值的规则 根据这项规则将－Atomic→Value中

3.4.2 命题逻辑语义 1、语义结构 由于没有变量，所以只有第二部分赋值，值域为{0,1} 赋值规则： I. {}1,0∈V P II. ???? ?===?0 ,11 ,0)(V V V A A A T(~A)= 当T （A ）＝0时，T(~A)=1。当T （A ）＝1时，T(~A)=0。 III. ?????=====∧0 0,01,1)(V V V V V B A B A B A 或 当T(A)=T(B)=1时，T(B A ∧)=1，其他情况T(B A ∧)=0。 IV. ?????=====∨0 01 11)(V V V V V B A B A B A ，或， 当T(A)＝1或者T （B ）＝1情况下，T （B A ∨）＝1，其他情况T （B A ∨）＝0。 V. ???===→，否则 或，01 01)(V V B A B A 当T(A)=0时候，T （B A →）=1,当T(B)=1时候，T （B A →）=1。其他情况下T （B A →）=0。 A B VI. ?????≠==?V V V V V B A B A B A ，，01)( 2、 语义的特殊公式 1) 公式A 为永真式，重言式tautologies ，如果对一切赋值v ，1=V A .

第一篇 数理逻辑复习题

第一篇 数理逻辑复习题 第1章 命题逻辑 一、单项选择题 1. 下列命题公式等值的是( ) B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),() C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )． (A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨ 5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为 ( ) Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A ( 二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是 2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为 3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的 真值是 5. 命题公式P →?(P ∧Q )的类型是 ． 6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是 式(重言式、矛盾式或可满足式) 三、解答化简计算题 1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数. (3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人. 2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型． 3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值． (2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式 ))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值． 4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧ 5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式. 6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值． 7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值．

数理逻辑2.2

2.2 析取范式与合取范式 1.简单析取式与简单合取式 定义2.2: 命题变项及其否定统称为文字. 仅由有限个文字构成的析取式称作简单析取式. 仅由有限个文字构成的合取式称作简单合取式. *解释: 析取, 合取. 例子: p, ┐q, p∨┐p, ┐p∨q, p∨┐q∨r, p∨┐p∨r 都是简单析取式. ┐p, q, p∧┐p, p∧┐q, p∧q∧┐r, ┐p∧p∧q 都是简单合取式. 定理2.1: (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及其的否定式; (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含某个命题变项及其否定式. *举例说明: p∨┐p∨q∨r, p∨┐q∨r p∧┐p∧┐q∧r, ┐p∧q∧r 2.合取范式与析取范式 定义 2.3: 由有限个简单合取式的析取构成的命题公式称为析取范式. 由有限个简单析取式的合取构成的命题公式称为合取范式. 析取范式与合取范式统称为范式. *析取范式的一般形式为A1∨A2∨…∨A s, 其中, A i为简单合取式, i =1, 2, …,s. 合取范式的一般形式为B1∧B2∧…∧B t, 其中, B j为简单析

取式, j = 1, 2, …, t. 例如: (p∧┐q)∨(┐q∧r)∨p是析取范式. (p∨q∨r)∧(┐p∨┐q)∧r∧(┐p∨┐r∨s)为合取范式. 定理 2.2: (1)一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式; (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式; 例如: (p∧┐p∧q)∨(q∧┐q∧p∧r)∨(p∧┐p∧┐r)是矛盾式; (p∨r∨q∨┐q)∧(p∨┐q∨r∨┐r)∧(┐p∨p∨q∨┐r)是重言式. 3. 将合式公式转化为析取范式与合取范式 命题公式有5个联结词{∧,∨,┐,→,?}, 如何把包含这5个联结词的公式转化为合取范式或析取范式? (1) 蕴涵式与等值式 A→B?┐A∨B A?B?(A→B)∧(B→A) ?(┐A∨B)∧(┐B∨A) (2) 公式中的否定 ┐┐A?A ┐(A∧B)?┐A∨┐B ┐(A∨B)?┐A∧┐B (3) 析取范式与合取范式互换

高级数理逻辑第4讲分析

4一阶谓词逻辑 4.1 一阶谓词逻辑的基本概念 4.1.1命题逻辑的局限性 命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。 1、例如： 所有自然数都大于它的素数 A ?x(A(x)→y?(P(x,y) ∧Q(y))) A(2100)→y?(P(2100,y) ∧Q(y)) ?x(A(x)→y?(P(y,x) ∧Q(y))) 2100是自然数B A(2100) 2100有大于它的素数C y?(P(y, 2100) ∧Q(y)) 对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。而这些原子命题之间无法建立关联关系。 因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。所以用命题逻辑描述它不能进行推理。然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。 2、再例如： 所有实数的平方是非负的A -是实数B 3 -的平方是非负的C 3 4.1.2一阶谓词逻辑 1、概述 一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。 ●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。个体域 即论域包含所描述问题域中的常元和变元。P(x) ●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。这些运算被称为函数，在一 阶谓词里被称为的函词（函数）。F(x,y)=x*y ●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。这些有关个体性质的描 述称为谓词。 Q(y), P(x,y) ::x

●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。有的对一个范围内成 立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。为了描述这种范围特征，一 阶谓词引入了量词。 2、谓词和函词 ●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。它附带放置对象的空位，只 有空位被填充对象，谓词才有意义。没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式； 相反为谓词填式。谓词后面的空位个数为谓词的元数。谓词是一个体域上的n 元关系。 通常P(x,y,z)=0,1，表示x,y之间具有关系P(1,2)。 ●函词定义：函词是表示某种操作的语言成份。用于在给定的个体基础上，产生 新的个体对象。与谓词一样，函词具有空位的概念。函词后面空位的个数为函 词的元数。 通常用F(x,y,z)=x+y+z表示。 3、变元和常元 ●常元：常元表示个体域中的一个确定个体。如：5，Zhang San 等。 ●变元：变元可以用来表示个体域上的任意个体，是不确定的。 例如：（1）z+y=0 P(f(y,z)) 二元谓词表示方程 P(f(x,z))==;P(f(-3,2)) －3＋2＝0 Z+y=x+y=0 （2）对所有z，x，y?x=x?y Q(x*Z,Z*x) 二元谓词表示乘法交换率 Q(x,z)=1 3*2=2*3 Q (f(x,y),f(y,x))= Q (f(1,2),f(2,1))=1 从这个例子来看，变元是具有不同的性质的。因此，在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。f(x)+x+z=0 对于所有的X,Y,P(x,y)<=P(X,Y) ●自由变元：自由变元是真正的变元，可以将个体域中的任意个体代入到自由变 元中。类似于数学中的变元。 ●约束变元：约束变元并不是实际意义的变元（数学意义上的变元）。约束变元 是为表达某种想的辅助符号。 ●自由变元与约束变元的对比： 自由变元约束变元 可代入不可代入 不可改名可改名 举例说明：采用上例。 4、量词 我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念，还不能充分的描述现实中的命题。例如对于下面的命题： 如果P(x)对任意x恒真，则P(x+1)恒真。

高级数理逻辑第8讲

模态逻辑 汉语中“模态”是英语词Modal的音译。英语词modality(模态性)源出于拉丁文modalitas，含形态、样式和形式的意思。 现代模态逻辑是现代逻辑的重要分支，它在科学和技术领域的应用越来越广泛，它的许多课题不仅受到逻辑学家的注意，而且也受到计算机科学家和计算机工程技术人员以及其他工程技术人员的关注。因此，深入研究和发展这门科学，已成为逻辑工作者的一项重要任务。 逻辑学中在两种意义上，即在狭义和广义上使用“模态”这个术语。涉及必然性，或然性（偶然性），遗传性和相容性等模态属于狭义模态。从某种观点来看，它们表达的是命题的真假强度。因此，也称为真值模态。例如：“物体间存在着引力是必然的”；“到本世纪末我国国民生产总值翻两翻是可能的”等都属于这类模态命题。我们这章的模态系统主要研究这类狭义模态性。 广义模态性是指命题本身所具有的非真值函项的（或非外延的）种种性质。广义模态词较多，除了必然、可能之外，尚有必须（应该）、允许、禁止；知道、相信、可接受、可疑、可证；曾经、总是、将是、优先、中立等。这些模态词分别是道义逻辑，认识逻辑，时态逻辑，和价值逻辑研究的对象。还有希望、需要等尚未深入研究的模态词。其例子为：“宇宙间存在着黑洞是可信的”；“在商品生产的社会中价值规律起着重要作用是众所周知的”；“子女赡养扶助父母是应该的”；“世界上还存在着野人是可疑的”等。 在这章，我们将讨论一些模态命题逻辑的系统，但首先将给出现代模态系统所要表达的某些模态概念的一般叙述。 6.1 模态逻辑介绍 本章主要来介绍模态逻辑系统基本概念，然后，具体介绍命题模态逻辑和一阶谓词模态逻辑。Modal logic 6.1.1模态逻辑引入 逻辑系统的发展从命题逻辑发展到了一阶谓词逻辑，主要是因为命题逻辑系统的描述能力有限。模态逻辑的出现同样是为了扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。 1、命题逻辑的缺陷：命题逻辑的原子命题不能细化，层次太高，而不能完全描述世界； 例：所有实数的平方是非负的； -3是实数； -3的平方是非负的； 一阶谓词逻辑，利用谓词，函词和量词来解决这样的问题；

高级数理逻辑第7讲

5.5 归结策略 归结算法：：： 用归结原理来证明定理，我们最终倒出空子句。怎么样最快的得到空子句是我们考虑的最主要问题。如果人用归结的方法，得到空子句通常是根据人们对子句集中子句的认识，可以最快的得到空子句。 然而，归结原理的主要思想是用机械的方法使计算机能够快速得到空子句。这需要我们考虑高效的计算算法来提高得到空子句的效率。本节主要目的是给出各种得到空子的算法，这些算法都从不同角度提高了得到空子句的归结效率。这些算法又称作为归结策略。 5.5.1 宽度优先 宽度优先是归结策略中最简单的算法。下图说明了，宽度优先策略的主要思想： S 将S 重所有能归结的子句间都归结 S 1 归结产生的子句集 S ∨S 1 将归结产生的子句集与原子句集析取 将S ∨S 1与S 1上能归结的子句间都归结 S 2 归结产生的子句集 ┆ 重复以上过程 □ 这样的归结过程中，有大量的冗余存在。因为，在每个归结步骤中，将有所能够归结的子句之间都归结，从而避免不了产生大量多余的归结步骤。 例如：对于子句集{P ?，Q P ∨，Q P ?∨，Q P ?∨?}，宽度优先归结策略将产生以下步骤完成： {Q,~Q,~P,P } （1） 对子句集中，能够归结的子句之间进行归结。归结产生的子句集为：{Q ?，Q ， Q Q ∨?，P P ∨?，Q Q ?∨?} （2） 将归结得到的子句集与原子句集合并得到{P ?， Q P ∨，Q P ?∨，Q P ?∨?，Q ?，Q ，Q Q ∨?，P P ∨?，Q Q ?∨?}，与{Q ?， Q ，Q Q ∨?，P P ∨? }子句进行归结。 （3） 在进行归结得到{□，…}. 这个归结过程中存在了Q Q ∨?，P P ∨?两个多余的归结步骤。

高级数理逻辑第5讲全解

4.5 一阶谓词语义系统 4. 5.1 什么是形式系统语义 抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。 怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子： 如果我们要知道)),1((x f xP ?的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情： 1、 x 在什么范围之内，x 范围是实数。 2、 f 是什么？ (X+1) 3、 P 是什么？P 代表的是大于＝0 4、 a=？a=1 5、 x=?，x ＝5，－4 例如，我们可以作出以下解释： 1、解释1： ● x 在实数中取值 ● P 表示等于0 ● ),(a x f 表示x-a ● a=5 因此，公式解释为05==-x 。 令x=5, 则1))),(((=x a f P v s(x) ->5 s(f(a,x) ->I(f)(I(a),s(x)) 令x=6，则0))),(((=x a f P u 2、解释2： ● x 在实数中取值 ● P 表示大于等于0 ● ),(a x f 表示2)(a x - 因此，公式解释为0)(2 >=-a x 。这个公式不必对a 和x 作出具体解释，就可以确定公式的真值。即对于任何实数x ，和赋值映射v ，1)))(((2 =-a x P v 。 由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：

?x取值于哪里？即规定讨论问题的领域。 ?给出谓词的含义和谓词的真值 ?给出函数的解释 ?给出变量和常量的值 ?根据连接词的赋值规则，赋值 这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。 现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A. Tarski，其奠基性文章是 他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。后来被称为模型论—标准语义学理论。进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。这体现在他1947年发表的《意义和必然性》一书中；卡普兰·克里普克(S.kripke)和蒙太古作出了进一步的贡献，提出了非经典逻辑的语义学理论—模态逻辑语义学(克里普克结构)。 4.5.2形式语义基本概念 1、指称语义：语义是由语义结构和以及在这种结构下公式赋真值的规定构成的。 2、语义结构：对于抽象公理系统或形式系统作出的一种解释。包括个体域和在这种个 体域上的个体运算和个体间关系。 下面给出形式系统语义的定义： 3、形式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组 成： a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二 元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。其中U和I的性质如下： i.U为非空集合，称为论域或者个体域； ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U 中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关 U的子集）。 系（n b)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派： s：varibles－>U。 对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上： s：TERM－>U； s＝S(t) 当t 为变元 S指派t中变元由解释确定当t为非变元 F(x,a) = I(f) (x, I(a)) = s1( I(f) (x, I(a))) = I(f) (s(x), I(a)) P(f(a,x)) =I(P)(I(f)(a,s(x))) c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一 由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。根据这个赋值规则，可以将赋值 映射进行扩展：v为v：

数理逻辑1.1

第一章命题逻辑的基本概念 1.1命题 *数理逻辑是研究推理的数学分支, 推理由一系列陈述句组成. 例如: 因为3>2, 所以3≠2. 3>2和3≠2是两个可以判断真或假的陈述句, 称为命题. 命题: 可以判断真假的陈述句称为命题. 例1.1: 1. 中国的首都是北京. 2. 英国的首都是北京. 3. 5―3=2. 4. 如果你是人, 你就要呼吸. 5. 广东省的人口比黑龙江省多. 6. 起步走! 7. 你好吗? 8. 这幅画真美呀! 9. x ≤y. 1, 2, 3, 4, 5是命题, 6, 7, 8, 9不是命题. 命题的真值: 作为命题陈述句所表达的判断结果称为命题的真值. 真值只有两个取值: 真(T)或假(F). 我们用1表示真, 用0表

示假. 真命题: 真值为真的命题称为真命题. 假命题: 真值为假的命题称为假命题. 例子: 上例中1, 3, 4, 5为真命题, 2为假命题. 命题“因为3>2, 所以3≠2”中3>2和3≠2不能分解成更简单的命题了. 简单命题(原子命题): 不能分解成更简单的命题的命题称为简单命题(原子命题). 复合命题: 由简单命题通过联结词联结而成的命题称为复合命题. 例1.2: 1. 因为3>2, 所以3≠ 2. 2. 如果你是人, 你就要呼吸. 3. 2是素数当且仅当3也是素数. 4. 吴颖既用功又聪明. *悖论: 由真能推出假, 由假又能推出真, 从而既不能为真又不能为假的陈述句称为悖论. 例1.3: 1. 我这句话是假话.

1.2 联结词 *命题逻辑有5个联结词: 如果……, 则…… ……并且…… ……或…… 并非…… ……当且仅当…… 设p和q为两个命题: (1) p∧q 表示p并且q (2) p∨q 表示p或q (3) ┐p 表示并非p (4) p→q 表示如果p, 则q . (5) p q 表示p当且仅当q 联结词的真值表:(1表示T, 0表示F) p q p∧q p q p∨q 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 p ┐p 0 1 10

离散数学 数理逻辑 课后答案

第一章命题逻辑基本概念 4.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 8.p:2<1，q:3<2 （1）p→q， （2）p→┐q， （3）┐q→p， （4）┐q→p， （5）┐q→p， （6）p→q， 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 16.设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)?0∨(0∧1) ?0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0. （3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1）? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1 17．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1

高级数理逻辑-习题

1. 逻辑语言由哪些内容构成？现代逻辑扩张的方法有哪些？举例说明。 （1）逻辑语言构成 1. 一个字母表（alphabet ）：记为A 或∑，其元素称为符号，符号（symbol,sign ）的有限串构成字（word ）。 2. 一个项集（term set ）：记为TERM ，其元素称为项（term ），是某种合法的字。 3. 一个公式集（formula set,well-formed formula--wff ）：记为FORMULA ，其元素称为合式公式（wff ），简称公式，是某种合法的字。 一般地，项集与公式集是不相交的，即TERM ?FORMULA=?。 4. 有关的一些语法理论： 1）项形成规则（formation rule of terms ）：规定合法的项； 2）公式形成规则（formation rule of wffs ）：规定合法的公式； 3）括号省略的原则：缩写约定； 4）代入规则（substitution rule ）：代入的原则及为保持这一原则所作的规定； 5）其它语法概念：为涉及的其它语法问题所作的规定。 （2）现代逻辑扩张方法 1. 先从语义开始，对已有的各种联结词、算子做出新的语义解释，从而引出有关这些联结词、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统（从语义到语法）；例如：三值逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、归纳逻辑等。 2. 先从语法开始，对已有的逻辑系统增加新的词项及新的算子，从而引出有关这些词项、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统，新的逻辑体系立即引发出全新的语义解释（从语法到语义） 3. 两种扩张的方法混合使用。 （3）扩张方法举例 1. 三值逻辑是如何从二值逻辑扩张而来的 （1）（2）（3）（4）见PPT ...... 2. 从语法到语义的扩张 例如：以下是各非经典逻辑所增加的新算子。 模态逻辑：?（必然），◇（可能）； 时态逻辑：?（总是），◇（有时），o （下一个），O （下一时），U （直到）； 二阶逻辑：二阶变项，二阶量词； 道义逻辑：O （必须），P （允许），F （禁止）； 优先逻辑：P （优先）； 时间逻辑：P （过去），R （现在），F （将来）； 时相逻辑：H （发生），B （未发生），A （事后），G （完成）； 信念逻辑：B （相信）； 断定逻辑：A （断定）；……等。 3. 两种扩张的方法混合使用。 例如：非经典的莱欣巴哈（Reichenbach ）三值量子逻辑。 在联结词方面莱欣巴哈三值量子逻辑增加了： 两种否定词：～（循环否定），——（完全否定），（原否定词（（）称为直接否定（－））； 两种蕴涵词：（（二者择一蕴涵）， （准蕴涵），（原蕴涵词（（）称为标准蕴涵（（））； 一种等价词： （二者择一等价），（原等价词（（）称为标准等价（（））； （并且原合取词（∧）记为（?））。 2. 求命题公式)()(Q P Q P ∧?∨?的析取范式与合取范式。

数理逻辑试题 2005_2006

哈尔滨工业大学（威海）2005 /2006学年秋季学期 一. 根据题意解答下列各式.（共15分） 1.将下列各试用前置方式表示出来. 1）（（a÷（b х（（（c+d）-e）хf）））-g）（2.5分） 2）（a÷b）х（c÷b）（2.5分） 2.判别下列各句是否为命题，在括号中回答T与F（共10分） 银是白的。（）（1分） 雪是黑的。（）（1分） 9为质数。（）（1分） 全体立正！（）（1分） 天气多么好啊！（）（1分） 5大于3。（）（1分） 祝您健康！（）（1分） 太阳系外有宇宙人。（）（1分） 如果天气好，那么我去散步。（）（1分） 1+101=110。（）（1分） 二. 请用命题演算理论解答下列各式. （共15分） 1.将下列句子表示成符号公式. 1）他虽然有理论知识但无实践知识. （2分） 2）如果a大于b，c不大于0，则aхc不大于bхc . （2分） 3）2<3当且仅当3-2>0. （2分） 4）如果明天上午7点不是雨加雪则我去学校. （2分） 5）凡进入机房者，必须换拖鞋，穿工作服，否则罚款5元. （2分）2. 证明下列等式. 1）p→（q→r）=p∧q→r （2.5分） 2）┐（┐p→┐q）=q∧┐p （2.5分） 三. 请用谓词演算理论解答下列各式. （共15分） 1.将下列句子用谓词填式表示 1）小赵是优秀学生且书是红的. （2.5分） 2）小张学习很好工作也很好. （2.5分） 3）小王如果学习很好工作也很好.（2.5分） 2. 将下列谓词译成句子.

1）H（x，y）表示“x比y长的高”设l表示李四，c表示张三。 （2.5分） 2）（P（x，y）∧P（y，z））→P（x，z）设P（x，y）为 x小于 y 3）?x（I（x）∧≥（x，l）∧≤（x，50）→≠（A（x），0））（2.5分） 提示：某种高级语言使用数组问题： 四. 请用谓词演算理论及量词解答下列各式.（共20分） 1.指出下列公式中的自由变元，约束变元及约束关系. 1）?x（x=y+x）→y≤x （5分） 2）（（x=x）?（x