初中数学概率经典测试题及答案解析

初中数学概率经典测试题及答案解析

一、选择题

1．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部及边界（阴影）区域的概率为（）

A．3

4

B．

1

3

C．

1

2

D．

1

4

【答案】C

【解析】

【分析】

算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．【详解】

解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．

Q圆的直径正好是大正方形边长，

∴22，∴2，

222

=，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为1

2

．

故选：C．

【点睛】

概率=相应的面积与总面积之比，本题实质是确定圆的内接正方形和外切正方形的边长比．设较小吧边长为单位1是在选择填空题中求比的常见方法.

2．在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球

．．．．．．．，这两个球都是红球的概率是（）

A．1

2

B．

1

3

C．

2

3

D．

1

4

【答案】A

【解析】

【分析】

列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】

画树形图得：

一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况，

故这两个球都是红球相同的概率是

61

= 122

，

故选A．

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

3．一个布袋里放有红色、黄色、黑色三种球，它们除颜色外其余都相同，红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，则从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是（）

A．5

9

B．

1

3

C．

1

9

D．

3

8

【答案】B

【解析】

分析：用黄球所占的份数除以所有份数的和即可求得是黄球的概率．详解：∵红球、黄球、黑球的个数之比为5：3：1，

∴从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率是

31

=

5+3+13

.

故选：B．

点睛：此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

4．下列事件中，是必然事件的是( )

A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数

B．操场上小明抛出的篮球会下落

C．车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯

D．明天气温高达30C ，一定能见到明媚的阳光

【答案】B

【解析】

【分析】

根据必然事件的概念作出判断即可解答．

【详解】

解：A、抛任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故A错误；

B 、操场上小明抛出的篮球会下落是必然事件，故B 正确；

C 、车辆随机到达一个路口，刚好遇到红灯是随机事件，故C 错误；

D 、明天气温高达30C ?，一定能见到明媚的阳光是随机事件，故D 错误； 故选：B ． 【点睛】

本题考查了必然事件的定义，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，熟练掌握是解题的关键.

5．（2018?六安模拟）下列成语所描述的是必然事件的是（） A ．揠苗助长 B ．瓮中捉鳖 C ．水中捞月 D ．大海捞针 【答案】B

【解析】A ，是不可能事件，故选项错误；B ，是必然事件，选项正确；C ，是不可能事件，故选项错误；D ，是随机事件，故选项错误．故选B ．

6．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，则数

a 使关于x 的不等式组()124212

2123

x a x x ?--≤???-?<+??至少有四个整数解，且关于x 的分式方程

2

33

a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．

29

B ．

13

C ．

49

D ．

59

【答案】C 【解析】 【分析】

先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】 解不等式组得：7x a

x ≤??

>-?

， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝

52

a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，

则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个，

∴P ＝

49

故选：C ． 【点睛】

本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．

7．下列说法正确的是（ ）

A ．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查

B ．“367人中有2人同月同日生”为必然事件

C ．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会犮生

D ．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4 【答案】B 【解析】 【分析】

根据可能性大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断． 【详解】

检查某批次灯泡的使用寿命调查具有破坏性，应采用抽样调查，A 错； 一年有366天所以367个人中必然有2人同月同日生，B 对； 可能性是1％的事件在一次试验中有可能发生，故C 错；

3，5，4，1，-2按从小到大排序为-2，1，3，4，5，3在最中间故中位数是3，D 错． 故选B. 【点睛】

区分并掌握可能性、全面调查与抽样调查的定义及中位数的概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．

8．下列事件中，属于随机事件的是（ ）． A ．凸多边形的内角和为500? B ．凸多边形的外角和为360?

C ．四边形绕它的对角线交点旋转180?能与它本身重合

D ．任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边 【答案】C 【解析】 【分析】

随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义即可解答． 【详解】

解：A 、凸n 多边形的内角和180(2)n =?-，故不可能为500?，所以凸多边形的内角和

为500?是不可能事件；

B、所有凸多边形外角和为360?，故凸多边形的外角和为360?是必然事件；

C、四边形中，平行四边形绕它的对角线交点旋转180?能与它本身重合，故四边形绕它的对角线交点旋转180?能与它本身重合是随机事件；

D、任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边，即三角形中位线定理，故是必然事件．

故选：C．

【点睛】

本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解决本题关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

9．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（）

A．4

9

B．

1

3

C．

2

9

D．

1

9

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．

【详解】

画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，

∴两次都摸到黄球的概率为4

9

，

故选A．

【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗

漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．

10．有三张正面分别写有数字﹣2，1，3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后把这张放回去，再从三张卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第一象限的概率为

（）

A．1

6

B．

1

3

C．

1

2

D．

4

9

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意画出树状图，然后确定出总发生的可能数和符合条件的可能数，再用概率公式求解即可.

【详解】

根据题意，画出树状图如下：

一共有6种情况，在第二象限的点有（-1，1）（-1，2）共2个，

以，P=21 = 63

.

故选：B.

【点睛】

本题考查了列表法与树状图法，第一象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

11．下列说法正确的是( )

A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件

B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨

C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定

D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7

【答案】D

【解析】

【分析】

根据必然事件的意义、概率的意义、方差的意义、中位数和众数的概念逐一进行判断即可.【详解】

A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A选项错误；

B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B选项错误；

C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C选项错误；

D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确，

故选D．

【点睛】

本题考查了概率、方差、众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识的概念、意义以及求解方法是解题的关键.

12．下列事件是必然事件的是（）

A．打开电视机正在播放动画片B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50

C．车辆在下个路口将会遇到红灯D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用随机事件以及必然事件的定义分别判断得出答案．

【详解】

A、打开电视机正在插放动画片为随机事件，故此选项错误；

B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50为随机事件，故此选项错误；

C、“车辆在下个路口将会遇到红灯”为随机事件，故此选项错误；

D、在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°为必然事件，故此选项正确．

故选：D．

【点睛】

此题考查随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键．

13．在10盒红色的笔芯中混放了若干支黑色的笔芯，每盒20支笔芯，每盒中混放入的黑色笔芯数如下表：

下列结论：

①黑色笔芯一共有16支；

②从中随机取一盒，盒中红色笔芯数不低于14是必然事件；

③从中随机取一盒，盒中黑色笔芯数不超过4的概率为0.7；

④将10盒笔芯混在一起，从中随机抽取一支笔芯，恰好是黑色的概率是0.12．

其中正确的结论有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据表格的信息分别验证算出黑色笔芯的数量，由每盒黑色笔芯的数量可以算出每盒红色笔芯的数量，即可验证①②的正确性，再算出盒中黑色笔芯数不超过4的概率，即可判断③，用黑色的数量除以总的笔数，可验证④.

【详解】

解：① 根据表格的信息，得到

?+?+?+?+?=，

黑色笔芯数=021*********

故①错误；

② 每盒笔芯的数量为20支，

∵每盒黑色笔芯的数量都≤6，

∴每盒红色笔芯≥14，

因此从中任取一盒，盒中红色笔芯数不低于14是必然事件，

故②正确；

③ 根据图表信息，得到黑色笔芯不超过4的一共有7盒，因此

从中随机取一盒，盒中黑色笔芯数不超过4的概率为7÷10=0.7

故③正确

④ 10盒笔芯一共有10×20=200（支），

由详解①知黑色笔芯共有24支，

将10盒笔芯混在一起，从中随机抽取一支笔芯，恰好是黑色的概率是24÷200=0.12，

故④正确；

综上有三个正确结论，

故答案为C.

【点睛】

本题主要考查了与概率有关的知识点. 在本题中求出黑色笔芯的数量是关键，求某事件的概率时，主要求该事件的数量与总数量的比值；还需要掌握必然事件的概念，即必然事件是一定会发生的事件.

14．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（）

A ．两个转盘转出蓝色的概率一样大

B ．如果A 转盘转出了蓝色，那么B 转盘转出蓝色的可能性变小了

C ．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同

D ．游戏者配成紫色的概率为16

【答案】D 【解析】

A 、A 盘转出蓝色的概率为

1

2、B 盘转出蓝色的概率为13

，此选项错误； B 、如果A 转盘转出了蓝色，那么B 转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误； C 、由于A 、B 两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误； D 、画树状图如下：

由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种， 所以游戏者配成紫色的概率为1

6

， 故选D ．

15．下列问题中是必然事件的有（ ）个

（1）太阳从西边落山；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（3）221a b +=-（其中a 、b 都是实数）；（4）水往低处流． A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B 【解析】 【分析】

先分析（1）（2）（3）（4）中有那个必然事件，再数出必要事件的个数，即可得到答案. 【详解】

(1)太阳从西边落山，东边升起，故为必然事件；(2)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯绿灯都有可能，故为随机事件；(3)220a b +≥（其中a 、b 都是实数），故221a b +=-为不可能事件；(4)水往低处流是必然事件； 因此，（1）（4）为必然事件， 故答案为A. 【点睛】

本题的主要关键是理解必然事件的概念，再根据必然事件的概念进行判断；需要掌握： 必然事件：事先肯定它一定会发生的事件；

不确定事件：无法确定它会不会发生的事件；

不可能事件：一定不会发生的事件.

16．数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（）

A．3

4

B．

3

8

C．

9

16

D．

2

3

【答案】C

【解析】

【分析】

利用列表和画树状图可知所有的情况，在找出两次抽到的是既是中心对称图形又是轴对称图形的情况，利用求简单概率的公式即可求出.

【详解】

由题意可知：四张卡片正面的四种图形分别为矩形、菱形、等边三角形、圆，除等边三角形外其余三种都既是中心对称图形，又是轴对称图形.

设矩形、菱形、圆分别为Al、A2、A3，等边三角形为B，根据题意可画树状图如下图：

如图所示，共有16种等可能情况的结果数，其中两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称

图形的情况为9种，所以两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率

9

16

P ，

故选C.

【点睛】

本题主要考查了利用列表法和画树状图法求概率，熟知中心对称图形、轴对称图形的定义与画树状图的方法及求概率的公式是解题关键.

17．某单位进行内部抽奖，共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．若每张抽奖券获奖的可能性相同，则1张抽奖券中奖的概率是（）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.6

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用概率公式进行求解，即可得到答案．

【详解】

解：∵共准备了100张抽奖券，设一等奖10个，二等奖20个，三等奖30个．

∴1张抽奖券中奖的概率是：102030

100

++

＝0.6，

故选：D．

【点睛】

本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，现给出以下四个结论：（1）AE＝CF；（2）△EPF是等

腰直角三角形；（3）S四边形AEPF＝1

2

S△ABC；（4）当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时始终有

EF＝AP．（点E不与A、B重合），上述结论中是正确的结论的概率是（）

A．1个B．3个C．1

4

D．

3

4

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到选项A，B，C都是正确的，当EF＝AP 始终相等时，可推出22

2

AP PF

=，由AP的长为定值，而PF的长为变化值可知选项D不正确．从而求出正确的结论的概率．

【详解】

解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点P是BC的中点，

∴

1

2

45

EAP BAC

∠=∠=?，

1

2

AP BC CP

==．

（1）在△AEP与△CFP中，

∵∠EAP＝∠C＝45°，AP＝CP，∠APE＝∠CPF＝90°﹣∠APF，∴△AEP≌△CFP

∴AE＝CF．（1）正确；

（2）由（1）知，△AEP≌△CFP，

∴PE＝PF，

又∵∠EPF＝90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．（2）正确；

（3）∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．

∴

1

2

AEP APF CPF BPE ABC

AEPF

S S S S S S

=+=+=

V V V V V

四边形

．（3）正确；

（4）当EF＝AP始终相等时，由勾股定理可得：22

2

EF PF

=

则有：22

2

AP PF

=，

∵AP的长为定值，而PF的长为变化值，

∴2

AP与2

2PF不可能始终相等，

即EF与AP不可能始终相等，（4）错误，

综上所述，正确的个数有3个，

故正确的结论的概率是3

4

．

故选：D．

【点睛】

用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解决本题的关键是利用证明三角形全等的方法来得到正确结论．

19．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）

A．12个B．16个C．20个D．25个

【答案】B

【解析】

【分析】

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．

【详解】

解：设盒子中有红球x个，由题意可得：

4

4

x+

=0.2，

解得：x=16，

故选：B．

．

【点睛】

此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系

20．下列事件中，确定事件是（ ）

A ．向量BC uuu r 与向量CD uuu r

是平行向量

B 40=有实数根；

C ．直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交

D ．一组对边平行，另一组对边相

等的四边形是等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】

根据“必然事件和不可能事件统称确定事件”逐一判断即可． 【详解】

A. 向量BC uuu r 与向量CD uuu r

是平行向量，是随机事件，故该选项错误；

B. 40=有实数根，是确定事件，故该选项正确；

C. 直线()20y ax a =+≠与直线23y x =+相交，是随机事件，故该选项错误；

D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，是随机事件，故该选项错误； 故选：B ． 【点睛】

本题主要考查确定事件，掌握确定事件和随机事件的区别是解题的关键．