第05讲-函数的单调性与最值(解析版)
第05讲-函数的单调性与最值
一、考情分析
借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
二、知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称
函数y＝f(x)在区间M上是增
函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y
＝f(x)在区间M上是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的
(2)上是增函数或是减函数，
性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论M为最大值M为最小值
[微点提醒]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1
f （x ）
的单调性相反.
3.“对勾函数”y ＝x ＋a
x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ].
三、 经典例题
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ．
()()1212
f x f x x x -->0
B ．f(a) C ．(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0 D ．()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析：函数在[a ，b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ，当12x x <时有()()12f x f x <，因此 ()()1212 0f x f x x x ->-，(x 1－x 2) [f(x 1)－f(x 2)]>0， ()() 21 210x x f x f x ->-均成立，因为不能确定12,x x 的 大小，因此f(a) 【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数2y x =-的单调递增区间为( ) A ．(],0-∞ B ．[)0,+∞ C ．()0,∞+ D ．(,)-∞+∞ 【答案】A 【分析】 由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为y 轴,故可得出其单调增区间. 【详解】 ∵函数2y x =-, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为y 轴 ∴函数的单调增区间为(],0-∞. 规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接. 2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y ＝f [g (x )]的单调性应根据外层函数y ＝f (t )和内层函数t ＝g (x )的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 考点二 求函数的最值 【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数()22 23 1x f x x +=+，则()f x 的值域为（ ） A ．(],3-∞ B ．()2,3 C ．(]2,3 D ．[)3,+∞ 【答案】C 【分析】 利用分子分离法化简()f x ，再根据不等式的性质求函数的值域. 【详解】 ()22222 232(1)11 2111x x f x x x x +++===++++， 又2 22 11 110122311x x x +≥?< ≤?<+≤++， ∴()f x 的值域为(]2,3，故选：C. 【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( ) A ．当2x ≥时，1 x x + 的最小值为2 B ．当0x >时，2≥ C ．当02x <≤时，1 x x -无最大值 D ．当0x >且1x ≠时，1 lg 2lg x x + ≥ 【答案】B 【分析】 结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可． 【详解】 对于A ，x + 1 x 在[2，+∞）上单调增，所以x =2时，1x x +的最小值为52 ，故A 错误； 对于B ，当x ＞0时，2x x + ≥，当且仅当x =1时，等号成立，故B 成立； 对于C ，1x x -在（0，2]上单调增，所以x =2时，1 x x -取得最大值，故C 不成立； 对于D ，当0＜x ＜1时，lgx ＜0，1 lg x ＜0，结论不成立； 规律方法 求函数最值的四种常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值. (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 考点三 函数单调性的应用 【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数32 ,1()3,1x e a x f x x x x ?->=?-+≤?有最小值，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1]-∞ B ．(–],e ∞ C ．(01]， D ．(0,]e 【答案】B 【分析】 分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数a 的取值范围. 【详解】 作出32 ,1 ()3,1x e x f x x x x ?>=?-+≤? 的图象： 当1x >时，()f x =x e a e a ->-， 当1x ≤时，'2()363(2),f x x x x x =-+=--在(),0-∞上'()0, 函数32 ,1 ()3,1x e a x f x x x x ?->=?-+≤?有最小值，则0e a -≥， 即a e ≤，故选：B 【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数()11x x e f x e -=+（e 是自然对数的底数）的图象大致为（ ） . A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【分析】 利用分离常数的方法，将式子化简，可得()2 11 x f x e =-+ +，根据单调性以及值域，可得结果. 【详解】因为()112 11 x x x x e e f x e e -+-= =-++ 所以()2 11 x f x e =-+ +， 可知y=x e 是递增的函数， 所以2 y= 1 x e +为递减的函数， 则()2 11 x f x e =-++是递减的函数， 且0,1x x e >> 所以11 12,012 x x e e +>< <+ 则2 1101 x e -<-+<+，所以A 正确 故选：A 【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数23,1,()2 , 1. x x x f x x x x ?-+≤? =?+>?? 设a R ∈，若关于x 的不等式()||2 x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47 [,2]16 - B ．4739[,]1616 - C ．[- D ．39[]16 - 【答案】A 【解析】 不等式()2x f x a ≥ +为()()2 x f x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为2 2332x x x a x x -+-≤ +≤-+，223 3322 x x a x x -+-≤≤-+， 又2 214747 3()241616x x x -+ -=---≤-（14 x =时取等号）， 22333939 3()241616 x x x -+=-+≥（34x =时取等号）， 所以47391616 a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，322 22x x a x x --≤≤+， 又3232()22x x x x --=-+≤- x =， 222x x +≥=（当2x =时取等号）， 所以2a -≤≤， 综上47 216 a -≤≤．故选A ． 规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”. [思维升华] 1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤： (1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式. [易错防范] 1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f (x )在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f (x )＝1 x . 四、 课时作业 1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） A ．[1,1]- B ．[1,3] C ．[3,5] D ．[1,5]- 【答案】B 【分析】 根据递减区间的性质分析即可. 【详解】 由图像可得,函数在[1,3]内单调递减. 2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．||y x = B ．1y x =-+ C ．23y x x =- D ．2 y x = 【答案】A 【分析】 根据四个函数解析式，依次判断即可得解. 【详解】 对于A ，||y x =在(),0-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增，所以A 正确； 对于B ，1y x =-+在R 内单调递减，所以在(0,)+∞内也单调递减，所以B 错误； 对于C ，2 3y x x =-在3, 2??-∞ ? ??内单调递减，在3,2?? +∞ ??? 内单调递增，所以在(0,)+∞内单调递增错误，即C 错误； 对于D ，2 y x = 在在(0,)+∞内也单调递减，所以D 错误. 综上可知，A 为正确选项，故选：A. 3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．y x = B ．3y x =- C ．1 y x = D ．24y x =-+ 【答案】A 【分析】 根据一次函数，反比例函数，二次函数性质可得3y x =-，1y x =，2 4y x =-+在0,1不是增函数，在区间0,1上，y x x ==是增函数. 【详解】 ()0,1x ∈时， y x x ==，所以y x =在0,1上是增函数； 1 3,y x y x =-= 在0,1上均是减函数； 24y x =-+是开口向下以0x =为对称轴的抛物线，所以24y x =-+在在0,1上是减函数，所以A 正确． 故选：A 4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间()0,∞+上是增函数的是（ ） A ．y x =- B ．1 y x =- C ．1y x =- D ．2 y x x 【答案】B 【分析】 A 选项讲0x >的表达式写出易判断； B 选项注意改变单调性的两个因素：取倒数和加负号，易判断； C 选项一次函数看斜率正负，易判断； D 选项二次函数看对称轴，易判断。 【详解】 A ：当0x >时，y x =-，为减函数； B ：1 y x =-，为增函数； C ：斜率10k =-<，为减函数； D ：对称轴1 2 x = ，所以在在区间()0,∞+不为减函数. 5．（2020·吉林省高三二模（理） ）下列与函数y = 定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2 x y = B ．21log 2x y ??= ??? C ．2 1log y x = D ．14 y x = 【答案】C 【分析】 分析函数y =的定义域和单调性，然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性，由此确定正确选项. 【详解】 函数y = 的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数. A 选项，2log 2x y =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为增函数，不符合. B 选项，21log 2x y ??= ??? 的定义域为R ，不符合. C 选项，2 1 log y x =的定义域为()0,∞+，在()0,∞+上为减函数，符合. D 选项，14 y x =的定义域为[)0,+∞，不符合. 6．（2020·北京高三零模）下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ） A ．y = B ．2 1y x =- C ．12x y ??= ??? D ．2log y x = 【答案】C 【分析】 利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出结果. 【详解】 对于A 选项，函数y = ()0,∞+上为增函数； 对于B 选项，函数2 1y x =-在区间()0,∞+上为增函数； 对于C 选项，函数12x y ??= ??? 在区间()0,∞+上为减函数； 对于D 选项，函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数. 7．（2019·全国高三二模（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=，且当1x <时，()x x f x e =，则满足()()1f a f a ->的a 的取值范围是 A ．()2,+∞ B ．1,2??+∞ ??? C ．()3,+∞ D ．3,2?? +∞ ??? 【答案】D 【分析】 利用函数的单调性与对称性，把抽象不等式转化为具体不等式即可. 【详解】当1x <时，1 ()0x x f x e ' -=->， 则()f x 在(,1)-∞内是增函数. 由()()2f x f x -=得()f x 的图象关于直线x=1对称， ∴()f x 在(1,)+∞内是减函数. 将()f x 的图象向左平移1个单位长度，得到函数()(1)y g x f x ==+的图象， 则()g x 为偶函数，且在(0,)+∞内是减函数. (1)(21)(2)f a f a g a -=-+=-,()(11)(1)f a f a g a =-+=-, 从而()()1f a f a ->等价于(2)(1)g a g a ->-， 即(|2|)(|1|)g a g a ->-，∴|2||1|a a -<-， 解得32 a > . 8．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））函数()y f x =是定义在R 上的增函数，则函数(2)f x -的单调减区间是（ ） A ．(,2)-∞- B ．(,2)-∞ C ．(2,)+∞ D ．R 【答案】B 【分析】 首先求出函数2t x =-的单调性，再根据复合函数的性质即可求出函数(2)f x -的单调减区间. 【详解】 解：令2t x =-，由题知： 在区间(,2)-∞，t 为减函数，在区间(2,)+∞，t 为增函数， 又因为()y f x =是定义在R 上的增函数，根据复合函数的性质， (2)f x -的单调减区间是(,2)-∞. 9．（2020·湖北省高一期末）用{}min ,a b 表示a ，b 两个数中的最小值，设{}()min 2,4f x x x =---，则()f x 的最大值为（ ） A ．-2 B ．-3 C ．-4 D ．-6 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意4,1 (){ 2,1 x x f x x x -<=--≥，所以max ()(1)3f x f ==-，故选B ． 10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 12 2 (()log 35)x f x ax =-+在(1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(8,6)-- B ．(,6]-∞- C ．[8,6]-- D ．(8,6]-- 【答案】C 将问题转化为函数235y x ax =-+在(1,)-+∞上递增,且0y >在(1,)-+∞上恒成立,再根据对称轴与区间的关系和min 0y ≥可得答案. 【详解】 因为函数12 2 (()log 35)x f x ax =-+在(1,)-+∞上是减函数, 所以函数235y x ax =-+在(1,)-+∞上递增,且0y >在(1,)-+∞上恒成立, 所以123 a -- ≤-?,且23(1)(1)50a ?--?-+≥, 所以86a -≤≤-. 11．（2019·河南省高三月考（理））若函数()1 31 x f x m =--的图象关于原点对称，则函数()f x 在(),0-∞上的值域为（ ） A ．1,2??+∞ ??? B ．1,2?? -+∞ ??? C ．()1,+∞ D ．2,3?? +∞ ??? 【答案】A 【分析】 根据函数()f x 的图象关于原点对称，可知()f x 为奇函数，可得m ，再由函数单调性可得值域. 【详解】 由题得，函数()f x 为奇函数，故()()f x f x -=-，解得12m =- ，故()11231 x f x =---，故函数()f x 在(),0-∞上单调递增，当x →-∞时，()1 2 f x → ，当0x →时，()f x →+∞，故函数()f x 在(),0-∞上的值域为1,2?? +∞ ??? . 12．（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知函数()f x x =+()f x 有（ ） A ．最小值 1 2 ，无最大值 B ．最大值 1 2 ，无最小值 C ．最小值1，无最大值 D ．最大值1，无最小值 【答案】D 【分析】 利用换元法，设t =，将函数f （x ）转化为二次函数g （t ）在t 0≥上的值域，利用配方法求值域即可. ∵函数f （x ）的定义域为（﹣∞，12 ] 设t =t 0≥， 且x 2 12 t -=， ∴f （x ）＝g （t ）2 12 t -=+t 12=-t 2+t 1122+=-（t ﹣1）2+1，t 0≥， ∴g （t ）≤g （1） 即g （t ）≤1 ∴函数f （x ）的最大值1，无最小值. 13．（2020·九台市第四中学高一期末）给定函数： ①12 y x =，②()12 log 1y x =+，③1y x =-，④12x y +=，其中在区间()01，上单调递减的函数序号是__________． 【答案】②③ 【分析】 根据函数的单调性对四个函数逐一分析，由此确定正确的命题序号. 【详解】 对于①，函数1 2y x =在()0,1上递增，不符合题意. 对于②，根据复合函数单调性同增异减可知，函数()12 log 1y x =+在()0,1上递减，符合题意. 对于③，当()0,1x ∈时，11y x x =-=-为减函数，符合题意. 对于④，1 2x y +=在()0,1上递增，不符合题意. 14．（2019·江苏省高三月考）已知函数()2 23f x x x a =-+，()2 1 g x x = -．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，则实数a 的值为____． 【答案】13 - 【分析】 将问题转化为()()max max f x g x ≤，根据二次函数和分式的单调性可求得()f x 在[]0,3上的最小值和最大值 及()g x 在[]2,3上的最大值；分别讨论()f x 最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到()f x 每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果. 【详解】 不等式()()12f x g x ≤恒成立可转化为：()()max max f x g x ≤ 当[]0,3x ∈时，()()min 113f x f a ==-+，()()max 333f x f a ==+ 当[]2,3x ∈时，()()max 22g x g == ①若330a +≤，即1a ≤-时，()max 1313f x a a =-+=- 132a ∴-≤，解得：13 a ≥-（舍） ②若13033a a -+≤<+，即1 13 a -<≤时，()()(){}max max 1,3f x f f =- 又()113f a -=-，()333f a =+ 当1333a a ->+，即1 13 a -<<- 时，()max 13f x a =- 132a ∴-≤，解得：1 3a ≥-（舍） 当1333a a -≤+，即11 33 a -≤≤时，()max 33f x a =+ 332a ∴+≤，解得：1 3 a ≤- 13a ∴=- ③若130a -+>，即1 3a >时，()max 3333f x a a =+=+ 332a ∴+≤，解得：1 3 a ≤-（舍） 综上所述：1 3a =- 本题正确结果：1 3 - 15．（2019·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知t 为常数，函数2 2y x x t =--在区间[0，3]上的最大值为2，则t = 【答案】1 【详解】 显然函数2 2y x x t =--的最大值只能在1x =或3x =时取到， 若在1x =时取到，则|12|2t --=，得1t =或3t =- 1t =，31x =或时，max 2y =；3t =-，3x =时，6y =（舍去）； 若在3x =时取到，则|96|2t --=，得1t =或5t = 1t =，31x =或时，max 2y =； 5t =，1x =时，6y =（舍去） 所以1t = 16．（2018·安徽省六安二中高一月考）定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=且(1)1f =，又当 12,[1,1]x x ∈-且120x x +≠时，有 ()() 1212 0f x f x x x +>+.若2()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1] a ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】(,2]{0}[2,)-∞-+∞ 【分析】 由题设可判断函数()f x 为[1,1]-上的奇函数且为增函数，求出()f x 的最大值后可得2211m am -+≥对任意 的[1,1]a ∈-恒成立，令()2 2g a m am =-，由()()10 10 g g ?≥??-≥??可得实数a 的取值范围. 【详解】 解：定义在[1,1]-上的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，故函数()f x 为奇函数， 设任意的12,,1[]0x x ∈，12x x <，则120x x -≠，由题设有 ()() () 12120f x f x x x +->+-， 因为120x x -<，故()()120f x f x +-<即()()120f x f x -<， 所以()()12f x f x <，故()f x 为[0,1]上的增函数， 而()f x 为[1,1]-上奇函数，故()f x 在[1,1]-上为增函数. 若2 ()21f x m am ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立， 所以2 max ()(1)21f x f m am -=≤+，即2211m am -+≥， 设2 ()2g a m am =-，则有()0g a ≥在[1,1]a ∈-上恒成立， 因()g a 在[1,1]-上的图象为线段，故(1)0 (1)0g g ≥??-≥?，所以222020 m m m m ?-≥?+≥?， 解得2m ≥或2m ≤-或0m =. 故答案为：(,2]{0}[2,)-∞-+∞. 17．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数2 ()21(,0)g x ax ax b a b =-++≥在[]1,2x ∈时有最大值1 和最小值0，设() ()g x f x x = . （1）求实数a b ，的值； （2）若不等式()22log 2log 0f x k x -≤在[]4,8x ∈上恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1,0a b ==（2）2 ,9??+∞???? 【分析】 ()1由题意可分析知()g x 在区间[]1,2上是增函数，故()21g =，()10g =，由此解得a 、b 的值； ()2不等式可化为2221 log 22log 0log x k x x +--在[]4,8x ∈上恒成立恒成立，换元法从而求得k 的取值范 围； 【详解】 ()1函数()2221(1)1g x ax ax b a x b a =-++=-++-， 若0a =时，()1g x b =+，无最大值最小值，不符合题意， 所以0a >， 所以()g x 在区间[] 1,2上是增函数， 故()() 211 110g b g b a ?=+=??=+-=??，解得10a b =??=?． ()2由已知可得()221g x x x =-+， 则()()1 2g x f x x x x = =+ -， 所以不等式()22log 20f x klog x -≤， 转化为2221 log 22log 0log x k x x + --在[]4,8x ∈上恒成立， 设2log t x =，则[] 2,3t ∈， 即1220t kt t +--≤，在[] 2,3t ∈，上恒成立， 即2 212121(1)k t t t ≥+ -=-， []2,3t ∈，111,32t ?? ∴∈????， ∴当 113t =时，21(1)t -取得最大值，最大值为214(1)9t -=， 则4 29k ≥， 即2.9k ≥ 所以k 的取值范围是2,9∞?? +???? ． 18．（2018·湖南省衡阳市八中高一月考）已知函数()y f x =，若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()f x 的局部对称点. （1）证明：函数()21x f x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点； （2）若函数()1 242 3x x f x m m +=-?+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2 ）1m ≤【分析】 （1）设()2 12x t x =-≤≤，可求出12t t +=的解为11,42t ?? =∈???? ，从而可知当00x =时，001221x x --=+-成立，即可证明函数()21x f x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点； （2）由题意知()()0f x f x -+=在R 上有解，令22x x t -+=，则222280t mt m -+-=在[ )2,t ∈+∞上有解，结合二次函数零点的分布，分别讨论方程在[ )2,t ∈+∞上根的个数，得到关于m 的不等式，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】 证明：（1）设()2 12x t x =-≤≤，则12t ≤≤4，令12t t +=，则2210t t -+=， 解得11,42t ??=∈??? ? ，即当00x =时，001221x x --=+-，即()()00f x f x -=-成立， 即函数()21x f x =-在区间[]1,2-内必有局部对称点 解：（2）()124 23x x f x m m --+-=-?+-，则()()0f x f x -+=在R 上有解. 即12124234230x x x x m m m m --++-?+-+-?+-=在R 上有解， 于是( )()()244 22 2230x x x x m m --+-?++-=（*）在R 上有解. 令22x x t -+=，则2442x x t -+=-，所以方程（*）变为222280t mt m -+-=， 设120x x <<，则()()()12 1212 112212 12 22212221212222222 x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=， 由120x x <<，2x y =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +<，1220x x +>， 即此时()11 2222 220x x x x --+-+>，所以函数22x x y -=+在(),0-∞上单调递减； 设120x x <<，则()()()12 1212112212 12 22212221212222222 x x x x x x x x x x x x x x +--+--+++-+=-=， 由120x x <<，2x y =在R 上单调递增知，12220x x -<，1221x x +>，1220x x +>， 即此时()11 2222 220x x x x --+-+<，所以函数22x x y -=+在()0,∞+上单调递增； 故[)2,t ∈+∞，从而已知即222280t mt m -+-=在[ )2,t ∈+∞上有解. 设()2 2 228g t t mt m =-+-（2t ≥），分为两种情况： ①当方程有在[ )2,t ∈+∞唯一解时： 则()2 244280g m m =-+-<或()2244280 222g m m m ?=-+-=??--≤? ? ， 解()20g < 得，11m <<；解()2244280222g m m m ?=-+-=? ?--≤? ? 得，1m =， 则11m ≤<； ②当方程在[ )2,t ∈+∞有两个解时：()( ) 222 244280114428012222 g m m m m m m m m m m ? ??=-+-≥≥≤?????=--≥?-≤≤?≤≤????>-???->??或 综上得1m ≤19．（2020·湖南省高一开学考试）已知函数()()2log 1f x a x =++，且()11f =. （1）求实数a 的值，并指出函数()f x 的定义域； （2）将函数()f x 图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图象，写出函数()g x 的表达式； （3）对于（2）中的()g x ，关于x 的函数()()2 23y g x m g x =-?+在[]1,4上的最小值为2，求m 的值. 【答案】(1) 0a =；定义域()1,-+∞；(2)()2 log g x x =；(3)1m =. 【分析】 （1）根据()11f =，结合对数运算，即可求得参数；由真数大于零，即可求得定义域. （2）根据左加右减的平移原则，即可容易求得； （3）利用换元法，将问题转化为求二次函数最小值的问题，根据动轴定区间问题的处理方式，分类讨论即可. 【详解】 （1）因为()()2log 1f x a x =++，且()11f =， 故可得2log 21a +=，解得0a =. 故()()2log 1f x x =+，要使得函数有意义， 则10x +>，解得()1,x ∈-+∞， 故函数()f x 的定义域为()1,-+∞. （2）()f x 图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数()g x 的图象， 又因为()()2log 1f x x =+， 故可得()2log g x x =. （3）由（2）可知()2log g x x =， 故()()2 23y g x m g x =-?+等价于： ()2 22log 23y x mlog x =-+， 令2log x t =，则[] 0,2t ∈ 则2 23y t mt =-+在[] 0,2上的最小值为2. 又因为其对称轴为t m =， ①当0m ≤时，二次函数在[] 0,2上单调递增， 故3min y =，不符合题意，故舍去； ②当02m <<时，二次函数在[ )0,m 单调递减，在(),2m 单调递增， 故2 32min y m =-+=，解得1m =±， 故此时满足题意的1m =； ③当2m ≥时，二次函数在[] 0,2上单调递减， 故742min y m =-=，解得5 4 m =，故舍去. 综上所述：1m =. 20．（2019·安徽省蚌埠二中高二月考）若对定义域内任意x ，都有()()f x a f x +>（a 为正常数．．．），则称函数()f x 为“a 距”增函数. （Ⅰ）若3 1 ()44 f x x x =-+，x ∈R 是“a 距”增函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）若2 ()3x k x f x +=，(1,)x ∈-+∞，其中k ∈R ，且为“2距”增函数，求k 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1a >；（Ⅱ）2k >-. 【解析】 【分析】 （I ）根据题干条件得到2 2 3 1 3304 ax a x a a ++- >恒成立，故只需要判别式小于0即可；（II ）原题等价于2 2 (2) |2| || 33x k x x k x ++++>恒成立，2 2 (2)|2|||x k x x k x +++>+恒成立，分0x ≥和10x -<<两种情况得结果即 函数的单调性与最值 1.下列函数中，在区间（-1，1）为减函数的是（ ） A ．x y -=11 B ．x y cos = C ．)1ln(+=x y D ．x y -=2 2.函数)82ln()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ） A ．)2,(--∞ B ．)1,(-∞ C ．),1(+∞ D ．),4(+∞ 3.若函数m x x x f +-=2)(2在),3[+∞上的最小值为1，则实数m 的值为（ ） A ．-3 B ．-2 C ．-1 D ．1 4函数x x x f -=1)(的单调递增区间是（ ） A ．)1,(-∞ B ．),1(+∞ C ．)1,(-∞，),1(+∞ D ．)1,(--∞，),1(+∞ 5设函数)1()(,0,10,00,1)(2-=?? ???<-=>=x f x x g x x x x f ，则函数g (x)的单调递减区间是（ ） A ．]0,(-∞ B ．)1,0[ C ．),1[+∞ D ．]0,1[- 6.若函数R x x a x x f ∈++=,2)(2在区间),3[+∞和]1,2[--上均为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]3,311[-- B ．]4,6[-- C ．]22,3[-- D ．]3,4[-- 7.函数],(,1 2n m x x x y ∈+-=的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．)2,1( B ．)2,1(- C ．)2,1[ D ．)2,1[- 8.已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D ．是增函数 9.若函数2)(2-+=x a x x f 在),0(+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 10.已知函数f (x)的值域为]9 4,83[，则函数)(21)()(x f x f x g -+=的值域为 1.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．]1,0( B ．]2,1[ C ．+∞,1[) D ．+∞,2[) 三角函数的单调性和最值问题 例1已知函数22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++，x R ∈．求: (I) 函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； (II) 函数()f x 的单调增区间． 解(I)1cos 23(1cos 2)()sin 21sin 2cos 222sin(2)224 x x f x x x x x π-+=++=++=++ ∴当2242x k π ππ+=+,即()8x k k Z π π=+∈时, ()f x 取得最大值22+. 函数()f x 的取得最大值的自变量x 的集合为{/,()}8x x R x k k Z ππ∈=+ ∈. (II) ()22sin(2)4f x x π=++ 由题意得: 222()242k x k k Z πππππ- ≤+≤+∈ 即: 3()88 k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 因此函数()f x 的单调增区间为3[,]()88 k k k Z ππππ- +∈. 例2 已知函数f (x )＝π2sin 24x ??-+ ???＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间π0,2 ?? ???? 上的最大值和最小值． (3)求f (x )在区间π0,2?????? 的单调区间和值域。 解：(1)f (x )＝2-sin 2x ·ππcos 2cos 2sin 44 x -?＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ??- ?? ?. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2 ＝π. (2)因为f (x )在区间3π0,8??????上是增函数，在区间3ππ,82?????? 上是减函数．又f (0)＝－2，3π228f ??= ???，π22f ??= ???，故函数f (x )在区间π0,2??????上的最大值为22，最小值为－2. 函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a －2. 评分细则(1)函数求导正确给1分； (2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分； (3)求出最大值给2分； (4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分； (5)通过分类讨论得出a的范围，给2分． 跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)＝a x，g(x)＝log a x，其中a>1. (1)求函数h(x)＝f(x)－x ln a的单调区间； (2)若曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(x2， g(x2))处的切线平行，证明x1＋g(x2)＝－2ln ln a ln a； (3)证明当a≥1e e时，存在直线l，使l是曲线y＝f(x)的切线，也是曲线y＝g(x)的切线． (1)解由已知得h(x)＝a x－x ln a， 则h′(x)＝a x ln a－ln a. 令h′(x)＝0，解得x＝0. 由a>1，可知当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表： 所以函数h(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． (2)证明由f′(x)＝a x ln a，可得曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a．由g′(x)＝ 1 x ln a，可得曲线y＝g(x)在点 1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时） 教学设计 一、教学内容解析： (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点； 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》（以下简称“新教材”）第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质． 函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质． 函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画． 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位． 教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)（或f(x1)＞f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）． (2)教学内容的知识类型； 在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题----提出问题----解决问题的研究模式，以及从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识； 在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+，能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料，树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置： 本课教学以《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下： (1)知识与技能： 理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念； 能利用图象法直观判断函数的单调性； 函数的单调性与最值练习题 学校:__＿____＿__＿姓名：___________班级:______＿__＿_考号:___＿＿＿＿_＿_＿ 一、选择题(每小题4分） 1.函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( ) A.1- B.0 C.１ Ｄ．2 2.已知212()log (2)f x x x =-的单调递增区间是（ ） A.(1,)+∞ B.(2,)+∞ C.(,0)-∞ D ．(,1)-∞ 3.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ,总有 ()()0f a f b a b ->-成立, 则必有（ ） A.()f x 在R 上是增函数 B.()f x 在R 上是减函数 Ｃ．函数()f x 是先增加后减少 D.函数()f x 是先减少后增加 4．若在区间（-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A. [1,2) ? B. [1，2] ? Ｃ. ［1,＋∞)???D. [2,+∞） 5.函数y=x ２﹣2x ﹣1在闭区间［０，３]上的最大值与最小值的和是( ) Ａ.﹣1 Ｂ．0 C.1 Ｄ.2 6．定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈,有 2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -＜1()3 f 的x 取值范围是( ） A.(12,23） B.［13，23） Ｃ. (13,23) D.［12,23 ) 7.已知（x)=???≥<+-)1(log )1(4)13(x x x a x a a 是（－∞,+∞）上的减函数，那么ａ的取值范围是( ) Ａ.(０，1) B ．（0，31 ） C.[71，31） D.[71,１） 8.函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ) Ａ.（-∞，－3） B ．(-∞，－1) C.(１，+∞) D ．(-3,-１) 9．已知函数()f x 是定义在[0,) +∞的增函数，则满足(21)f x -<1()3f 的x 取值范围是( ) (A ）(∞-,23） （B ）[13，23） (Ｃ）(12，∞+） (Ｄ)［12,23 ) 10．下列函数中，在定义域内是单调递增函数的是（ ） A ．2x y = B.1y x = C.2y x = D ．tan y x = 第三节函数的单调性与最值 [知识能否忆起] 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 图象描述 自左向右看图象逐渐上升 自左向右看图象逐渐下降 2．单调区间的定义 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 二、函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足 条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M 结论 M 为最大值 M 为最小值 [小题能否全取] 1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1 x D ．y ＝x |x | 解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D. 2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12 B ．k <12 C ．k >－1 2 D ．k <－1 2 解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数， 则2k ＋1<0，即k <－1 2 . 3．(教材习题改编)函数f (x )＝1 1－x 1－x 的最大值是( ) A.4 5 B.54 C.3 4 D.43 解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2 －x ＋1＝? ????x －122＋34≥34 ，∴0<11－x 1－x ≤43. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2 －2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m 函数的单调性与最值 【知识要点】 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝ f (x )的单调区间． （3）判断函数单调性的方法 ①根据定义；②根据图象；③利用已知函数的增减性；④利用导数；⑤复合函数单调性判定方法。 2．函数的最值 求函数最值的方法： ①若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法； ②利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用单调性求最值； ③基本不等式法：当函数是分式形式且分子、分母不同次时常用此法。 【复习回顾】 一次函数(0)y kx b k =+≠具有下列性质： (1)当0k >时，函数y 随x 的增大而增大 (2)当0k <时，函数y 随x 的增大而减小 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质： (1)当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a - 时，y 随着x 的增大而增大； (2)当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时， y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小； 提出问题: ①如图所示为一次函数y=x ，二次函数y=x 2和y=-x 2的图象,它们的图象有什么变化规律?这反映了相应的函数值的哪些变化规律? ①这些函数走势是什么？在什么范围上升，在什么区间下降？ ②如何理解图象是上升的？如何用自变量的大小关系与函数值的大小关系表示函数的增减性？ ③定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 函数的基本性质——单调性与最大(小)值 【教学目标】 1．知识与技能：了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 2．过程与方法：理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 3．情感、态度与价值观：掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 【教学重难点】 教学重点：函数的单调性的概念。 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 【教学过程】 一、复习引入。 1 分别画函数2x y =和3x y =的图象。2 x y =的图象如图1，3x y =的图象如图2． 2．引入：从函数2x y = 的图象（图1）看到： 图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞），得到1y =)(1x f ，2y =)(2x f ，那么当 1x ＜2x 时，有1y ＜2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0，+∞）上是增函数。图象在y 侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（－∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（－∞，0），得到1y =)(1x f ， 2y =)(2x f ，那么当1x ＜2x 时，有1y >2y 。 这时我们就说函数y =)(x f =2x 在（－∞，0）上是减函数。函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的。 二、讲解新课。 1．增函数与减函数。 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21,x x ，（1）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f ＜)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是 增函数（如图3）；（2）若当1x ＜2x 时，都有)(1x f >)(2x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）。 说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数。例如函数2 x y =（图1），当x ∈[0，+∞）时是增 函数，当x ∈（－∞，0）时是减函数。 2．单调性与单调区间。 若函数y=f （x ）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ， （3）除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f ＜)(2x f 或)(1x f >)(2x f ，”改为“)(1x f )(2x f 或) (1x f ≥ )(2x f ，”即可； （4）定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减。 ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数。 三、讲解例题。 第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) 函数的单调性与最值 基础梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数 f ( x) 的定义域为 I . 如果对于定义域I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2 定义当x1＜x2时，都有 f ( x1 ) 当x1＜x2时，都有 f ( x1) ＜f ( x2) ，那么就 ＞f ( x2 ) ，那么就说函数f 说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数 ( x ) 在区间 D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义 若函数 f ( x) 在区间 D上是增函数或减函数，则称函数 f ( x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性，区间 D 叫做 f ( x) 的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数 y＝f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈ I ，都①对于任意 x∈I ，都有 条件有 f ( x) ≤ M； f ( x) ≥ M； .②存在 x0∈ I ，使得②存在 x0∈ I ，使得 f ( x0 ) f ( x0 ) ＝ M M ＝ . 结论M为最大值M为最小值注意： 一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝x分别在 ( －∞， 0) ，(0 ，＋∞ ) 内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即 ( －∞，0) ∪(0 ，＋∞ ) 内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为 ( －∞，0) 和(0 ，＋∞ ) ，不能用“∪”连 接．两种形式 设任意 x1，x2∈[ a， b] 且 x1＜x2，那么 f x1－f x2 f x1－f x2 ①＞ 0? f ( x) 在 [ a，b] 上是增函数；＜0? f ( x) x1－x2x1－x2 在 [ a，b] 上是减函数． ②( x1－ x2 )[ f ( x1) －f ( x2)] ＞0? f ( x) 在[ a，b] 上是增函数；( x1－x2)[ f ( x1) －f ( x2)] ＜0? f ( x) 在 [ a，b] 上是减函 数．两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最 值一定在端点取到． (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大 ( 小 ) 值． 四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论． (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函 数． (3)导数法：利用导数研究函数的单调性． (4)图象法：利用图象研究函数的单调性． 单调性与最大（小）值同步练习 一、选择题 1、下列函数中，在 (0 ，2) 上为增函数的是 ( ) 函数的单调性与最值 一、知识梳理 1．增函数、减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1 函数的单调性及最值之二 一、例题讲解 例1.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例2、已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ （1）如3a b ==-，求()f x 的单调区间； （1）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明: βα-＜6. 例3.已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??-- ???，内是减函数，求a 的取值范围． 例4.已知a 是实数，函数())f x x a =-。 （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；Ⅱ）设)(a g 为()f x 在区间[]2,0上的最小值。 （i ）写出)(a g 的表达式；（ii ）求a 的取值范围，使得2)(6-≤≤-a g 。 二、课后作业 1.(2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 2.（2009天津重点学校二模）已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式0)()('<+x xf x f 成立， 若)3(33.03.0f a =，),3(log )3(log ππf b = )9 1(log )91(log 33f c =，则c b a ,,的大小关系是 （ ）A ．c b a >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 3.（2009浙江文）若函数2()()a f x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是 （ ） A.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B.a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C.a ?∈R ，()f x 是偶函数 D.a ?∈R ，()f x 是奇函数 4.（2007年福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x > 时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 （ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 5.（ 08年湖北卷）若21()ln(2)2 f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值 范围是 （ ） A . [1,)-+∞ B . (1,)-+∞ C . (,1]-∞- D . (,1)-∞- 6（2009辽宁卷文）若函数2()1 x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = 7.（2009江苏卷）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 第二节函数的单调性与最值 1．函数的单调性 理解函数的单调性及其几何意义． 2．函数的最值 理解函数的最大值、最小值及其几何意义． 知识点一函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为 I .如果对于定义域 I 内某个区间 A 上的任意两个 自变量的值 x1 2 ， x 定义 当 x1 f x1－ f x2 ①>0? f(x)在 [a， b]上是增函数； x1－ x2 f x1－ f x2 <0? f(x) 在[a， b] 上是减函数． x1－ x2 ②(x1－ x2)[f(x1)－ f(x2 )]>0 ? f(x)在 [a， b]上是增函数； (x1－ x2 )[f(x1)－ f(x2)]<0? f(x)在[ a，b]上是减函数． 2．复合函数y＝ f[ g(x)] 的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝ f[g(x)]为增函数，若具有不同的单调性，则y＝ f[g(x)] 必为减函数． [ 自测练习 ] 1．下列函数中，在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ( ) 1 A ． f(x)＝x B ． f(x)＝ (x－ 1) 2 C．f(x)＝ e x D ．f(x)＝ ln( x＋1) 2．函数 f(x)＝ log5(2x＋ 1)的单调增区间是________． － x2－ ax－ 5， x≤ 1， 3．已知函数 f(x)＝ a 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是 () x， x>1 A ． [－ 3,0) B ． [－3，－ 2] C．( －∞，－ 2] D ．(－∞， 0) 知识点二函数的最值 前提设函数 y＝ f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈ I ，都有 f(x) ≤M 对于任意 x∈ I，都有 f(x)≥ M 条件 存在 x0∈I ，使得 f( x0)＝ M 存在 x0∈ I，使得 f(x0)＝ M 结论M 为最大值M 为最小值 易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 函数专题：单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： y 的值有什么变化？ ○ 2 能否看出函数的最大、最小值？ ○ 3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间． 2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1 第三讲 函数的基本性质------单调性 【教学目标】 1.理解函数的单调性； 2.会写出函数的单调区间,能运用函数的图象研究函数的单调性及性质； 3.会证明函数的单调性． 4.会求函数在给定区间上的最大(小)值； 【知识梳理】 1. 函数的单调性定义 设函数的定义域为I ： 如果对于定义域I 内 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数. 2.函数的单调性：如果函数)(x f y =在区间D 上是 ，那么就说函数)(x f 在区间D 上具有 ； 区间D 叫做函数的 . 3. 函数单调性的几何意义： 在函数图像上，沿着ｘ轴的正方向看，在区间M 中，图像是上升（下降）的就说)(x f 在上M 是 （ ）.（如下图） 4.证明函数单调性的方法及步骤 (1)定义法 取值：任取1x ，2x A ∈，且21x x <； 作差：)()(21x f x f -； 变形定号：将)()(21x f x f -通过因式分解、通分、有理化、配方等手段变形到能判断其符号； 下结论：若0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，则)(x f y =是增函数；若 0)()(21>-x f x f ，即)()(21x f x f >，则)(x f y =是减函数。 (2)图象法：通过观察函数图象判断其单调性； 若在某区间上沿x 轴正方向从左到右是逐渐上升（下降）的，则函数)(x f y =在该区间上是增（减）函数 5.单调性法求最值 这是求最值的重要方法，特别是当函数图象作不出来时，单调性几乎成为首选方法． （2） ) （1） 高中数学-函数的单调性与最值练习 1．(·菏泽一模)给定函数①y ＝x 1 2；②y ＝log 12 (x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1 ，其中在区 间(0，1)上递减的函数序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 解析：选B.①y ＝x 1 2在区间(0，1)上递增；②y ＝log 12 (x ＋1)在区间(0，1)上递减；③y ＝|x －1|＝? ????x －1，x ≥1，1－x ，x <1在区间(0，1)上递减；④y ＝2x ＋1 在区间(0，1)上递增．故选B. 2．若函数f (x )＝x 2 －2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1 解析：选B.因为f (x )＝(x －1)2 ＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的 最小值为1，所以f (3)＝1，即22 ＋m －1＝1，m ＝－2. 3．(·北京海淀区模拟)下列函数y ＝f (x )的图像中，满足f ? ?? ??14>f (3)>f (2)的只可能是( ) 解析：选D.因为f ? ????14>f (3)>f (2)，所以函数y ＝f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ? ????14 函数的单调性与最值 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，且x 1≠x 2有(x 1－x 2)[f (x 1)－ f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数.( ) (2)函数y ＝1 x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( ) (3)对于函数y ＝f (x )，若f (1) 【例1】 (1)函数y ＝log 12(－x 2 ＋x ＋6)的单调增区间为( ) A.? ????12，3 B.? ????－2，12 C.(－2，3) D.? ???? 12，＋∞ (2)(一题多解)试讨论函数f (x )＝ax x －1 (a ≠0)在(－1，1)上的单调性. 【训练1】 (1)设函数f (x )＝???1，x >0， 0，x ＝0，－1，x <0， g (x )＝x 2 f (x －1)，则函数 g (x )的递减 区间是________. 考点二 求函数的最值 【例2】 (1)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，且a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C.2 D.4 (2)(一题多解)(2020·惠州一中月考)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝???a ，a ≤b ，b ，a >b . 设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______. 【训练2】 (1)定义max{a ，b ，c }为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)设函数f (x )＝???x 2，x ≤1， x ＋6 x －6，x >1， 则f (x )的最小值是________. 考点三 函数单调性的应用 多维探究 角度1 利用单调性比较大小高中数学函数的单调性与最值练习题
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