中考数学数形结合思想在几何中的应用专题练习

专题练习数形结合思想在几何中的应用

一. 填空题

1. 若A （-5，3）、B （3，3），则以AB 为底边、腰长为5的等腰三角形ABC 的顶点C （点C 不在坐标轴上）的坐标是______________。应填入：（-1，6）

2. 已知：半径为的圆与两坐标轴都相切，圆心在第二象限，则圆心坐标是5__

______________。应填入：()-55，

3. 若第四象限点A 到坐标原点O 的距离为2，OA 与x 轴正半轴夹角为30°，则A 点坐标是__________________。应填入：()31，-

4. 已知：A （3，-5），|AB|=13，点B 在x 轴负半轴上，则B 点坐标是_____________。应填入：()-90，

5. 已知：如图所示，△ABC 中，A 为坐标原点，AB 在x 轴上，∠BAC=180°－α（0°<α<90°），AC=m ，则C 点坐标（用α的三角函数及m 表示）是_____________。

应填入：

(cos sin )-m m αα，

6. 如图所示，在矩形ABCD 中，BD=10，△ABD 的内切圆半径为2，切三边于E 、

F 、

G ，则矩形两边AB=________________，AD=_______________。

B C

应填入：6，8 二. 解答题

7. 已知：如图所示，矩形AOBC 中，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上，A （0，4），∠OAB=60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标。（利用点到轴的距离等于点坐标的绝对值沟通形与数）

O A B x

解：()232，-

8. 如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，点D 在BC 上，BD=4，AD=BC ，

cos ∠=

ADC 3

5，求：

（1）DC 的长；

（2）sinB 的值。（图形中线段和差作为等量关系）

B D C

解：（1）

Rt ACD ADC CD AD ?中，cos ∠=

设CD=3k ，∴AD=5k

又， BC AD k k =∴+=345 ∴=∴==k CD k 236，

（），，23464104822 BC k AC AD CD k =+=+==-==

∴=+=+=AB AC BC 2222810241

∴=

==sin B AC AB 8241441

9. 已知：如图所示，在矩形ABCD 中，以AB 为直径作圆O 切CD 于F ，连AC 交圆O 于P ，PE ⊥AB 于E ，AB=a ，求PE 的长。（利用几何定理构造方程组）

D F C

略解：

依题意，，设，，则FC BC a PE x CP y AC a y ==

===-1252

∴?? ???=?? ?

??=-==?????

????a y a x a a y

PE x a 2522525

2252，解得

10. 已知：如图所示，△ABC 内接于圆O ，AD 是圆O 直径交BC 于E 。求证：

tan tan B C AE

DE ?=

。（构造直角三角形，将三角函数值转化为线段比，等比代换）

略证：作于，交圆于，AG BC F O G ⊥

tan tan B AF BF C AF FC =

=，

∴?=??=??==

tan tan B C AF AF BF FC AF AF AF FG AF FG AE

DE 11. 边长为2的正方形ABCD 的对角线交于O 点，若CD 、BA 同时分别绕C 点、B 点逆时针旋转到如图所示位置形成四边形A ′BCD ′，设A ′C 交BD ′于点O ′，若旋转60°时，点O 运动到O ′所经过的路径是线段还是曲线？长度是多少？（图形运动中的相关计算）

分析与解答：如图所示，当D 以C 为圆心，CD 为半径逆时针旋转60°到达D ′点时，A 同样地旋转到A ′点，此时O 以BC 中点M 为圆心，OM 长为半径，旋转到O ′

点，边长，，运动的路径是弧，

OM OMO O OO ==∠=?12160''

∴?=?=

OO'的长度6011803ππ

12. 如图所示，∠ABC=30°，D 为切点，FG ⊥AB 于F ，圆O 圆心在AB 上，连结

ED BD OF x S y EDGF ，且。设，四边形===3.

（1）求y 与x 的函数关系式；

（2）若S 四边形EDGF =5S △BED ，确定FG 与圆O 的位置关系，并说明理由。（线段、面积作为函数中的变量，图中面积和差作为等量关系）

B D G C

解：（）连结，于，1OD OD BC D ∴⊥

OD BD =?=?

=tan 3033

31 ，

∴===OB OE OD 21。由

()

∴==?=+BE FC BF x 130233，tan

()S S BE EO BDE BDO ??=

==1

21 ，等底等高

∴=

??=??=S BD OD BDE ?121214313

由四边形S S S BF FG EDGF BGF BDE =-=?-??123

+?+?-1222333

4()()x x

∴=

+-2y x 3623

4()

化简：y x x =

++362335

1232

（）若四边形25S S EDGF BED

∴=S S BFG BDE ??6

∴+=?==-32663

415

212()x x x ，解得，

当x=1时，即OF=1时，F 为圆上一点，且FG ⊥AB ，所以F 为切点，GF 为圆O 切线；当x=-5，不满足题意，舍。

初三数学模拟练习（一）

一. 选择题：（1~8题各3分，9~12题各4分） 1. 如果||||a b >，那么一定有（） A. a b >

B. a b =

C. a b <

D. a b ≠

2. 下面计算正确的是（） A.

62622-=-=

23235+=+=

323

3-=

- D.

2106-=-

3. 当

-<<++-111122

a a a 时，化简得（）()()

A. 2

B. -2

C. 2a

D. -2a

4. 若关于x 的一元二次方程k x x x x ()22

2120-+-+=有实数根，则k 的取值范围是（）

k >-

B. k k >-≠1

且

k ≥-

D. k k ≥-≠1

且

5. 关于x 、y 的方程组x y a

x y b +=?=??

只有一个实数解，那么a 、b 满足的条件是（）

A. a b 2

B. a b 2

C. a b 2

D. a b ≠≠00，

6. 直角坐标平面上有一点P ，点P 到y 轴的距离为2，点P 的纵坐标为-3，则P 点坐标一定是（）

A. ()--32，

B. ()--23，

C. ()23，-

D. ()()2323，或，---

7. 如果x >0时，函数

y k x b y k x =+=

和函数都是y 随x 的增大而减小，那么（）

A. k k 1200>>且

B. k k 1200<<且

C. k k 1200><且

D. k k 1200<>且

8. 若抛物线

y x x c =-+2

22的顶点在x 轴上，则c 值为（）

A. 2

B. 0

C. -2

D. 22

9. 如图所示，a 、b 、c 、d 的位置已经确定，则下列不等式中不成立的是（） A. a b >

B. ac d <

C. bd d >

D.a b c d +<+

b a 0

c d

10. 在?ABC 中，如果∠-∠=A B 90

，那么?ABC 是（） A. 直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

锐角三角形或钝角三角形

11. 已知两数a=16，b=4，则a 与b 的比例中项是（） A. 4

B. ±4

C. 8

±8

12. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则在这个圆锥的侧面展开图中，扇形圆心角的度数为（） A. 60° B. 90° C. 120° D.

180°

二. 填空题：（13~18题各3分，19、20两题各4分）

13. 已知关于x 的方程x x m 22

310--+=的两根之差是14，则m=______________。 14. 已知方程x x 2

410--=的两根为x x 1

2、，则()x x 122

-=_____________。 15. 若分式方程x x x a

x a 234

--=

-的增根为-1，则a=____________________。 16. 等腰三角形顶角的外角是100°，则它的一个底角是_____________________度。 17. 顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形的对角线的长分别是5和8，则等腰梯形的面积是____________________。

18. 矩形的一条对角线长为25cm ，这条对角线与一条边夹角的余弦值为25

5，则矩形

的面积是____________________cm 2

。

19. 半径分别为1和2的两圆交于A 、B ，过A 点分别作两圆的切线，恰好互相经过另一个圆圆心，则AB 长为__________________。

20. 如果扇形的半径为10，扇形的弧所对的圆周角为36°，那么扇形的弧长为__________。

试题答案

一. 选择题

1. D

2. C

3. A

4. D

5. B

6. D

7. D

8. A

9. C 10. C 11. D 12. D

二. 填空题

13. ±

214. 20

15. -116. 50 17. 40 18. 8

19. 4

20.

4π

【中考必备】最新中考数学试题分类解析专题35 平面几何基础

2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题35：平面几何基础一、选择题 1. （2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于【】 A．38?B．104?C．142?D．144? 【答案】C。【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。 ∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。故选C。 2. （2012重庆市4分）已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB．若∠CEF=100°，则∠ABD 的度数为【】 A．60°B．50°C．40°D．30° 【答案】B。【考点】平行线的性质，角平分线的定义。【分析】∵EF∥AB，∠CEF=100°，∴∠ABC=∠CEF=100°。 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=1 2 ∠ABC= 1 2 ×100°=50°。故选B。 3. （2012山西省2分）如图，直线AB∥CD，AF交CD于点E，∠CEF=140°，则∠A等于【】

A ． 35° B ． 40° C ． 45° D ． 50° 【答案】B 。【考点】平行线的性质，平角定义。【分析】∵∠CEF =140°，∴∠FED =180°﹣∠CEF =180°﹣140°=40°。 ∵直线AB ∥CD ，∴∠A =∠FED =40°。故选B 。 4. （2012海南省3分）一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是【】 A ．3cm B ．4cm C ．7cm D ．11cm 【答案】C 。【考点】三角形的构成条件。【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，此三角形的第三边的长应在7－3=4cm 和7＋3=10cm 之间。要此之间的选项只有7cm 。故选C 。 5. （2012海南省3分）小明同学把一个含有450 角的直角三角板在如图所示的两条平行线m n ，上，测得0120α∠=，则β∠的度数是【】 A ．450 B ．550 C ．650 D ．750 【答案】D 。【考点】平行线的性质，平角定义，对顶角的性质，三角形内角和定理。【分析】∵m n ∥，∴∠ABn =0120α∠=。∴∠ABC =600 。又∵∠ACB =β∠，∠A =450， ∴根据三角形内角和定理，得β∠=1800－600－450=750。故选D 。 6. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【】 A ． 5 B ． 6 C ． 11 D ． 16 【答案】C 。【考点】三角形三边关系。【分析】设此三角形第三边的长为x ，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10﹣4＜x ＜10+4，即6＜x ＜14，四个选项中只有11符合条件。故选C 。

2015高考数学专题十四：数形结合思想教师版含高考试题.docx

2015 高考数学专题十四：数形结合思想 ( 教师版含 14 年高考试题

2015 高考数学专题十四：数形结合思想（教师版含 13 、 14 年高考题）数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来：研究方程根的情况，讨论函数的值域 (最值 )及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从今年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数定形”在今后的高考中将会有所加强，应引起重视，复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系． 1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图象； (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； (4)方程 ( 多指二元方程 ) 及方程的曲线； (5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式 (最值 )的问题，可通过函数的图象求解 (函数的零点、顶点是关键点 )，做好知识的迁移与综合运用．热点一利用数形结合思想讨论方程的根例 1 (2014 ·山东)已知函数 f(x) ＝| x－ 2| ＋1 ，g (x) ＝kx ，若方程 f (x) ＝g (x) 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是 () 11 A．(0 ， )B．( ，1) 22 C． (1,2) D ．(2 ，＋∞) 答案B 解析先作出函数 f (x )＝ |x －2| ＋1 的图象，如图所示，当直线 g ( x )＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为 1 ，当直线 g ( x )＝kx 过 A 点时斜率

关于数形结合思想的教学方式浅谈

关于数形结合思想的教学方式浅谈资料来源：大学生教育资源我有幸参加了由省教科所组织的四川省教育教学共同体举办的关于“小学生数形结合能力的研究”论坛，全省30个共同体研究单位进行了三年级和六年级数形结合能力调查与分析，共同体学校对此项工作非常重视，都给出了分析报告。论坛中来自7所学校的一线教师带来了七堂精彩的数形结合课，有以形来揭示数的《路程速度时间》、《相遇问题》、《合理安排提高效率》、《比赛场次》，有以数来表示形的《点阵中的规律》、《组合图形》、《方向与位置》等，七节课为此次论坛数形结合能力研究提供了很多研究素材，特别是经过小组讨论、专家点评、专家讲座后，给我的教学方法提供了启发。通过本次论坛，通过与专家面对面的评课、议课结合自己的教学实际和本次对三、六年级的数形能力的调查与分析，主要对以下问题提出了质疑： ●数形结合中“数”与“形”谁先谁后? ●教师在数学教学中如何充分渗透数形结合的思想? ●通过直观的图形揭示数，是否影响了学生的抽象思维能力? ●如何在教学中很好地通过数抽象出图形，看图提问题、解决问题? ●数学课堂中能否建立一种数一形一数或形一数一形的数

学教学模式? ●在高段教学中，数形怎样结合才能促进学生主动发展? 在这次论坛中，通过专家对课例的点评和对数形结合的理解，结合课例对一线教师提出的质疑作出了解答，使一线教师对数形结合在实际教学中要注意的问题有了更深入的理解和认识，使我由最初的迷茫发展至现在的茅塞顿开，达到了参与这次论坛的目的。一、数形结合是一种数学思考方法数形结合是数学思考、数学研究、数学应用、数学教学的基本方式，数形结合是双向过程，要处理好数与形的结合，要根据教材的特点和学生的思维水平而定。 1．就教材内容而言，对于较新、较难的教学内容、对于学习较困难的学生可先形后数，用形来表示数，学生通过形来表示数量之间的关系；对于后继教材和较容易理解的内容可先数后形，通过数来揭示形。 2．就学生的年龄特征而言。中低段学生是以具体形象思维为主，实施先形后数，让学生从形中读懂重要的数学信息，并整理信息，提出数学问题并加以解决，对于逻辑思维能力较强的中高段学生，应该逐步过渡到先数后形，如在教学分数的乘、除法意义，教学长方体、正方体、圆柱体的拼、截引起的面积变化时，让学生通过画出直观图形，能让学生很快找出面的变化，

备战2021届高考数学二轮复习热点难点突破专题15 数形结合思想(解析版)

专题15 数形结合思想专题点拨数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合． (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种： ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围； ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围； ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系； ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； ⑤构建立体几何模型研究代数问题； ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； ⑦构建方程模型，求根的个数； ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等． (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： ①准确画出函数图像，注意函数的定义域； ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图像，由图求解． (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； ②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； ③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； ④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解．例题剖析一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用【例1】若方程x2－4x＋3＋m＝0在x∈(0，3)时有唯一实根，求实数m的取值范围．【解析】利用数形结合的方法，直接观察得出结果．

七年级数形结合数学专题训练

平面直角坐标系------数形结合思想的平台一、知识点： 1.平面直角坐标系的定义； 2.坐标平面内点的坐标的定义； 3.各象限内及坐标轴上点的坐标的特征； 4.一三（二四）象限角平分线上的坐标特点； 5.与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征； 6.一维、二维坐标； 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系， 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系； 9、面积割补法； 10、绝对值的性质； 11、图形面积公式； 12、平移的性质；二、基本思想方法： 1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法：画示意图、平移。三、典型题目（一）基础知识训练称点是点C，则点C所表示的数是．在x轴上，到原 2.（1）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得A，B两点的坐标分别为（4，1），（1，-2）；（2）在（1）的条件下，过点B作x轴的垂线，垂足为点M，在BM的延长线上截取MC=BM． ①写出点C的坐标； ②平移线段AB使点A移动到点C，画出平移后的线段CD，并写出点D 的坐标．（注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) 3．已知直角坐标平面内两点A（-2，-3）、B（3，-3），将点B向上平移5个单位到达点C，求：（1）A、B两点间的距离；（2）写出点C的坐标；（3）四边形OABC的面积． 4．在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0），B （5，0），C（3，3），D（2，4），求四边形ABCD的面积

5．计算图中四边形ABOD的面积． 6．已知点A（-4，-1），B（2，-1） =12．求点C的坐标（写必要的（1）在y轴上找一点C，使之满足S △AB C 步骤）； =12的点C有多少个？这些（2）在直角坐标系中找一点C，能满足S △AB C 点有什么特征？ 7．如图，每个小正方形的边长为单位长度1．（1）写出多边形ABCDEF各个顶点A、B、C、D、E、F的坐标，说出各点到两坐标轴的距离；并总结坐标平面内的点到坐标轴距离公式。（2）点C与E的坐标什么关系？（3）直线CE与两坐标轴有怎样的位置关系？（4）你能求出图中哪些线段的长度？（总结公式）哪些图形的面积？ 8．如图，在△ABC中，已知点A（0，3），B（-2，-3），C（3，-5）．（1）在给出的平面直角坐标系中画出△ABC；（2）将△ABC向左平移4个单位，作出平移后的△A′B′C′；（3）点B′到x、y轴的距离分别是多少？ 9．如，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（0，a），B（b，b），C（c，a），其中a，b满足关系式|a-4|+（b-2）2=0，c=a+b．（1）求A、B、C三点的坐标，并在坐标系中描出各点；（2）在坐标轴上是否存在点Q，使△COQ得面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果在第四象限内有一点P（2，m），请用含m的代数式表示四边形BCPO的面积．

数形结合思想数形结合思想数形结合

数形结合 ———高考解题的一把利刃山东胡大波数形结合思想的实质是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，具有直观、明了、易懂等优越性，如能准确把握，威力巨大．这也是高考考查的重点，让我们看看其在函数中的神奇效果．一、研究函数的性质例1 （2005年北京卷13题）对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论： ①1212()()()f x x f x f x +=g ；②1212()()()f x x f x f x =+g ； ③1212()()0f x f x x x ->- ；④1212()()22x x f x f x f ++??< ??? ．当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是___．解析：作出图象如图1，由图可知④不正确；而①显然不成立；②为运算律，成立；③表示12x x -与12()()f x f x -同号，由增函数的定义知：()lg f x x =在其定义域上为增函数成立．所以答案为：②③．点评：本题综合考查函数的概念、图象及性质，选项③侧重考查单调性，选项④考查函数图象，若用代数方法研究，难度较大，通过图象的特征及其变化趋势则容易判断．二、研究函数的最值例2 （2006年全国Ⅱ理科12题）函数19 1()n f x x n ==-∑的最小值为（）．（Ａ）190 （Ｂ）171 （Ｃ）90 （Ｄ）45 解析：绝对值往往是使试题增加难度的“添加剂”．如果试图进行分类讨论，几乎不可能完成，必须另寻妙法!1x -的几何意义是什么？是数轴上的点 x 到点1的距离，那么 12x x -+-就是点x 到点1与到点2的距离之和，如图2，当[1 2]x ∈，时，12x x -+-的最小值为1；又当x =2时，123x x x -+-+-的最小值为2；…，依次类推，当x =10

数学思想方法专题数形结合思想

数学思想方法专题：数形结合思想【教学目标】知识目标数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。能力目标用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。情感目标在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。【教学重难点】重点：对数形结合思想方法的考查包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，代数问题几何化，几何问题代数化。难点：一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征，关键在于恰当应用图形来体现数的几何意义，巧妙运用数的精确性和严密性，来揭示形的某些属性。【考情分析】在高考中，利用客观题的题型特点来考查数形结合的思想方法，突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形来解决问题的意识，而在解答题中对数形结合思想的考查是由“形”到“数”的转化为主。高考题对数形结合思想方法的考查，一方面是通过解析几何或平面向量考查一些几何问题，如何用代数方法来处理，另一方面，有一些代数问题则依靠几何图形的构造和分析辅助解决，历年来高考试卷中的许多试题都富有鲜明的几何意义，运用数形结合思想可迅速做出正确的判断。【知识归纳】数形结合思想包含“数形结合”和“形数结合”两方面，“数形结合”就是将代数的问题转化为图形形式的问题，利用图形形式解决问题；“形数结合”就是将图形的问题转化为代数的问题，利用代数的方法解决问题。应用数形结合的思想，可实现以下类型的数与形的转化： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围，求零点的个数； (3)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题、比较大小关系和证明不等式； (5)构建立体几何模型将代数问题几何化； (6)建立坐标关系，研究图形的确定形状、位置关系、性质等. 【考点例析】题型1：数形结合思想在集合中的应用例1．设平面点集{ } 22 1(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x ??=--≥=-+-≤??? ? ，则B A ?所表示的平面图形的面积为（ D ） A ． 34π B ． 35π C ． 47π D ． 2 π

中考数学几何题集锦

地区：浙江省金华市年份：2011 分值：12.0 难度：难如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由. 地区：浙江省湖州市年份：2011 分值：14.0 难度：难如图1．已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M 是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D． (1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）； (2)当△APD是等腰三角形时，求m的值； (3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

地区：山东省济宁市年份：2011 分值：10.0 难度：难如图，第一象限内半径为2的⊙C与y轴相切于点A，作直径AD，过点D作⊙C 的切线l交x轴于点B，P为直线l上一动点，已知直线PA的解析式为：y＝kx ＋3. (1)设点P的纵坐标为p，写出p随K变化的函数关系式. (2)设⊙C与PA交于点M，与AB交于点N，则不论动点P处于直线l上（除点B以外）的什么位置时，都有△AMN∽△ABP.请你对于点P处于图中位置时的两三角形相似给予证明; (3)是否存在使△AMN的面积等于的k值？若存在，请求出符合的k值;若不存在，请说明理由. 地区：湖南省邵阳市年份：2011 分值：10.0 难度：难如图（十一）所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（，0），点C（0,3）点B是x轴上一点（位于点A右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C. （1）求角ACB的度数；（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A，B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由.

广东高考理数大二轮专项训练专题数形结合思想(含答案)

2016广东高考理数大二轮专项训练第2讲数形结合思想 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则： (1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应． (2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错． (3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线． 3．数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围． (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围． (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系． (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式． (5)构建立体几何模型研究代数问题． (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题． (7)构建方程模型，求根的个数． (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点： (1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．

数形结合思想方法

八、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0b>1 D. b>a>1 3. 如果|x|≤π4 ,那么函数f(x)＝cos 2x ＋sinx 的最小值是_____。 (89年全国文) A. 212- B. －212+ C. －1 D. 122 - 4. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国) A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 5. 设全集I ＝{(x,y)|x,y ∈R}，集合M ＝{(x,y)| y x --32 ＝1}，N ＝{(x,y)|y ≠x ＋1}，那么M N ∪等于_____。 (90年全国) A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y ＝x ＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos θ2－sin θ2＝1-sin θ,那么θ2 是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7. 已知集合E ＝{θ|cos θ-+-=-???x x x m x 即：30212->-=-???x x m () 设曲线y 1＝(x －2)2 , x ∈(0,3)和直线y 2＝1－m ，图像如图所示。由图可知：① 当1－m ＝0时，有唯一解，m ＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3

《数形结合思想》专题(整理)

数形结合思想知识综述（1）函数几何综合问题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何问题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合问题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其原因，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式出现。（2）解答此类问题必须充分注意以下问题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 理解二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x轴的交点，横坐标是对应方程的根。 d. 熟练掌握几个距离公式：点P（x，y）到原点的距离 e. 具备扎实的几何推理论证能力。一、填空题（每空5分，共50分） 1. 如果a，b两数在数轴上的对应点如图所示：则化简：__________。 2. 已知A，B是数轴上的两点，AB=2，点B表示数－1，则点A表示的数为__________。 3. 已知△ABC的三边之比是，则这个三角形是__________三角形。 4. 已知点A在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，则点A的坐标是__________。（写出符合条件的一个点即可） 5. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E为CD的中点，△BCE的面积为1，则△ACD 的面积为__________。 6. 已知二次函数的图象如图所示，则由抛物线的特征写出如下含有系数

a，b，c的关系式：①②③④，其中正确结论的序号是__________（把你认为正确的都填上） 7. 如图，AB是半圆的直径，AB=10，弦CD∥AB，∠CBD=45°，则阴影部分面积为__________。 8. 某公司市场营销部的营销人员的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售时的收入是__________元。 9. 如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为 __________。 10. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若，则AD的长为__________。

中考数学之平面几何总结经典习题

平面几何知识要点（一）【线段、角、直线】 1.过两点有且只有一条直线。 2.两点之间线段最短。 3.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 4.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂直线段最短。垂直平分线，简称“中垂线”。定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的

集合。中垂线性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段。垂直平分线定理:垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 .三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。角 1.同角或等角的余角相等。

2.同角或等角的补角相等。 3.对顶角相等。角的平分线性质角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合定理1：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理2：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。三角形各内角平分线的交点，该点叫内心，它到三角形三边距离相等。【平行线】平行线性质1：两直线平行，同位角相等。平行线性质2：两直线平行，内错角相等。

平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。平行线判定1：同位角相等，两直线平行。平行线判定2：内错角相等，两直线平行。平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

七年级(下)数形结合数学专题训练

平面直角坐标系------数形结合思想的平台
一、知识点： 1. 平面直角坐标系的定义； 2. 坐标平面内点的坐标的定义； 3. 各象限内及坐标轴上点的坐标的特征； 4. 一三（二四）象限角平分线上的坐标特点； 5. 与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征； 6. 一维、二维坐标； 7、点的坐标与点到坐标轴的距离之间的关系， 8、坐标平面内线段长度与线段两端点坐标之间的关系； 9、面积割补法； 10 、绝对值的性质； 11 、图形面积公式； 12 、平移的性质；二、基本思想方法： 1、思想：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、算术法。 2、方法：画示意图、平移。三、典型题目（一）基础知识训练 1 ．如图，数轴上 A ， B 两点表示的数分别是 1 和 2 ，点 A 关于点 B 的对称点是点 C ，则点 C 所表示的数是点距离为 5 的坐标分别为（ 4， 1），（ 1 ， -2 ）；（ 2 ）在（ 1 ）的条件下，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为点 M ，在 BM 的延长线上截取 MC=BM ． ①写出点 C 的坐标； ② 平移线段 AB 使点 A 移动到点 C ，画出平移后的线段 CD ，并写出点 D 的坐标．（注：本题训练坐标平面内点的坐标与线段长度的关系，请尝试总结出公式) ．．在 x 轴上，到原
2.（ 1 ）请在下面的网格中建立平面直角坐标系，使得 A ， B 两点的坐标
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数形结合的思想

数形结合的思想中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意

义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

《数形结合思想》专题(整理)doc初中数学

《数形结合思想》专题（整理）doc 初中数学知识综述〔1〕函数几何综合咨询题是近年来各地中考试题中引人注目的新题型，这类试题将几何咨询题与函数知识有机地结合起来，重在考查学生的创新思维及灵活运用函数、几何有关知识，通过分析、综合、概括和逻辑推理来解决数学综合咨询题的能力，此类试题倍受命题者青睐，究其缘故，它是几何与代数的综合题，构题者巧妙地将几何图形置于坐标系中，通过函数图象为纽带，将数与形有机结合，并往往以开放题的形式显现。〔2〕解答此类咨询题必须充分注意以下咨询题： a. 认识平面坐标系中的两条坐标轴具有垂直关系 b. 灵活将点的坐标与线段长度互相转化 c. 明白得二次函数与二次方程间的关系——抛物线与x 轴的交点，横坐标是对应方程的根。 d. 熟练把握几个距离公式：点P 〔x ，y 〕到原点的距离PO x y =+22 AB x x a =-= |||| 12? e. 具备扎实的几何推理论证能力。一、填空题〔每空5分，共50分〕 1. 假如a ，b 两数在数轴上的对应点如下图：那么化简：||||a b a b ++-=__________。 2. A ，B 是数轴上的两点，AB=2，点B 表示数－1，那么点A 表示的数为__________。 3. △ABC 的三边之比是752：：，那么那个三角形是__________三角形。 4. 点A 在第二象限，它的横坐标与纵坐标之和是1，那么点A 的坐标是__________。〔写出符合条件的一个点即可〕 5. 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为CD 的中点，△BCE 的面积为1，那么△ACD 的面积为__________。 6. 二次函数y ax bx c =++2 的图象如下图，那么由抛物线的特点写出如下含有系数a ，

初中数学平面几何建系专题讲课讲稿

初中数学平面几何建系专题一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。（2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?

（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。（3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。让学生讨论、交流后得到以下共识：（1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。（2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对,记作（a,b）利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法（1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。（2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习）巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？（2）写出马的下一步可以到达的位置。

中考总复习数学专题优化训练数形结合思想

专题训练五数形结合思想一、选择题 1.已知在第二象限内，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 A.(2，3) B.(-2，3) C.(-3，2) D.(3，2) 2.把不等式组? ??≤->+01,01x x 的解集表示在数轴上，正确的是图2-3 3.若M(-21,y 1)、N(-41,y 2)、P(21,y 3)三点都在函数y=x k (k ＜0)的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为 A.y 2＞y 3＞y 1 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 3＞y 1＞y 2 D.y 3＞y 2＞y 1 4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图2-4所示，则a 、b 、c 满足图2-4 A.a ＜0,b ＜0,c ＞0 B.a ＜0,b ＜0,c ＜0 C.a ＜0,b ＞0,c ＞0 D.a ＞0,b ＜0,c ＞0 5.已知二次函数y=x 2-2x-3，当_______________时，y 随x 的增大而增大；当_______________时，y 的值小于0 A.x ＜1；-1＜x ＜3 B.x ＞1；x ＜-1或x ＞3 C.x ＞1；-1＜x ＜3 D.x ＜-1；x ＜-1或x ＞3 二、填空题 6.实数a 、b 在数轴上的位置如图2-5所示,化简2a +∣a-b ∣=__________________. 图2-5 7.若不等式组???->+<1 2,1m x m x 无解，则m 的取值范围是________________.

8.青岛市是严重缺水地区，自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费是用水量的函数，其图象如图2-6所示：观察函数图象，回答自来水公司采取的收费标准______________________________________ _______________________________________________________________________________ . 图2-6 9.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；图2-7 (2)通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式为___________________. 10.如图2-8，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A(-1，0)、B(3，0)和C(0，-3)，一次函数的图象与抛物线交于B、C两点. 图2-8 (1)二次函数的解析式为_______________________. (2)当自变量x_______________时，两函数的函数值都随x增大而增大. (3)当自变量_______________时，一次函数值大于二次函数值. (4)当自变量x_______________时，两函数的函数值的积小于0. 三、解答题 11.某广电局与长江证券公司联合推出广电宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、影视欣赏、股市大户室等项服务，用户交纳上网费的方式有：方式一，每月80元包干；方式二，每月上网时间x(小时)与上网费y(元)的函数关系用图2-9中的折线表示；方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元.若设一用户每月上网x小时，月上网费为y元.

数形结合思想

数形结合思想数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合，相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽象思维与形象思维有机结合。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系,既分析其代数意义又提示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合，寻求解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。一、选择题１．设()y f x = 的图象经过点(1,2)--（ ) A.(2,1)- B ．(8,1)-- C.(4,-解:已知得(1)2f -=-,∴1(2)1f --=- 令1 222 x -= +,得8x =-，故选答案２.已知函数32 ()f x ax bx cx d =+++A.(,0)b ∈-∞ Ｂ.(0,1)b ∈ C.b 解:根据图象可知()(1)(2)f x ax x x =--展开得32()32f x ax ax ax =-+ 与32()f x ax bx cx d =+++比较系数知b 3．方程1 sin()44 x x π-=的实根个数是( ) A ．2 B.３解:分别作出sin(y x =

与直线1 :4 l y x =的图象如下只须考虑[4,4]x ∈-时交点个数，得答案 B. 4．设Ｐ (,) x y 是圆22(1)1x y +-=上的任意一点,欲使不等式 0x y c ++≥恒成立,则c 的取值范围是( ） A.[11]-- B.1,)+∞ C.(1) D.(,1]-∞ 解:由线性规划知识知0x y c ++≥表示点P 在直线:0l x y c ++=的上方 ∴圆在l 上方，即圆心(0,1)到l 的距离大于（或等于）1 1, ∴1c （舍去）或1c ≤,得答案D. 5.已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <)且α、β是方程()0f x =的两根(αβ<)，则实数,,,a b αβ的大小关系是( ）Ａ．a b αβ<<< Ｂ.a b αβ<<< C.a b αβ<<< Ｄ.a b αβ<<< 解:易知,a b 是()()()0g x x a x b =--= ∵()()2f x g x =-，作(),()f x g x 得答案Ａ. 6．平面上整点(横、纵坐标都是整数的点）到直线54 35 y x =+的最小值是( ） A. 170 B.85 C. 120 D ．1 30 解：直线方程化为2515120x y -+=,设整点坐标为(,)m n ，则距离 d = = ∵5(53)051015m n -=±±±或或或 ∴min |5(53)12|2m n -+=，此时2,4m n == ∴min 85 d ==，此时整点为(2,4),选答案B ． )