平面向量易错题

数学平面向量易错题

一、选择题：

1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则?的值为 ( )

A 20

B 20-

C 320

D 320-

错误认为,60BC CA C

=?∴uuu

r uu r

选,从而出错.

略解: ?

=120,

故BC 1,58202BC CA ??=??-=- ???

uu u r uu r .

2．关于非零向量r

a 和

b ，有下列四个命题：

（1）“a b a b +=+r r r r

”的充要条件是“r a 和r b 的方向相同”；

（2）“a b a b +=-r r

r r ” 的充要条件是“r a 和r b 的方向相反”；

（3）“+=-r r r r a b a b ” 的充要条件是“r

a 和r

b 有相等的模”；

（4）“-=-r r r r a b a b ” 的充要条件是“r

a 和r

b 的方向相同”；

其中真命题的个数是 （ ）

A 1

B 2

C 3

D 4

错误分析:对不等式a b a b a b -≤±≤+r r r r r r

取等号的条件认识不清.

答案: B.

3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，点P 在线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当 OP cos 最大时，

OA 2OP 即为最大。

4．若向量 a r =(cos ,sin ) ， b r

=()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定

满足（ ）

A ． a 与b 的夹角等于 -

B ．a ∥b

C ．(a +b ) (a -b )

D ． a ⊥b

正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。

5．已知向量 a =(2cos ，2sin )， (π

π

,2

)， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为

( )

A ．π

3

2

- B ．2π

+ C ． -2π

D ．

正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0， ]。

6．o 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0，则 ABC 是（ ）

A ．以A

B 为底边的等腰三角形 B ．以B

C 为底边的等腰三角形

C ．以AB 为斜边的直角三角形

D ．以BC 为斜边的直角三角形

正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．已知向量M={ a a =(1,2)+ (3,4) R}， N={a a =(-2,2)+ (4,5) R }，则M N=（ ）

A ｛（1，2）｝

B {})2,2(),2,1(--

C {})2,2(--

D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。

8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)AB k AC ==uu u r uuu r

，若≤uuu r AB ABC 是直角三角形的

概率是（

）

A ．17

B ．27

C ．37

D ．4

7

分析：由≤

uuu r

AB 及k Z ∈知

{}

3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若

(,1)(2,4)AB k AC ==uu u r uuu r

与垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3)BC AB AC k =-=--uu u r uu u r uuu r 与(,1)AB k =uu u r 垂直，则2

230--=k k 13?=-或k ，所

以△ABC 是直角三角形的概率是3

7.正确答案：C

9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3 正确答案：D 。

错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。

10．(磨中)已知|a |=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a 2b = 。

正确答案：。±15。

错误原因：容易忽视平行向量的概念。a 、b 的夹角为0°、180°。 11． O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足

)

,0[+∞∈+

+=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B 。

错误原因：对

)

,0[),(

+∞∈+

+=λλOA OP 理解不够。不清楚

+

与∠BAC 的角平分线有关。

12．如果,0a b a c a ?=?≠

且，那么 （ ）

A ．b c =

B ．b c λ=

C ． b c ⊥

D ．,b c 在a 方向上的投影相等

正确答案：D 。

错误原因：对向量数量积的性质理解不够。

13．向量→

AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为 （ ） A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8） 正确答案： C

错因：向量平移不改变。

14．已知向量(2,0),(2,2),)OB OC CA a a ===uu u r uuu r uu r 则向量,OA OB uu r uu u r

的夹角

范围是（ ）

A 、[π/12，5π/12]

B 、[0，π/4]

C 、[π/4，5π/12]

D 、 [5π/12，π/2] 正确答案：A

错因：不注意数形结合在解题中的应用。

15．将函数y=2x 的图象按向量 →a 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个命题：① →

a

的坐标可以是（-3，0） ②→

a 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③→

a 的坐标可以是（0，

6） ④→

a 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 正确答案：D

错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。

16．过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若,AB x AD =

AC y AE =,(0≠xy ),则y x

1

1

+

的值为( )

A 4

B 3

C 2

D 1

正确答案：A

错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。

17．设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围

是（ ）

A 、),2()2,21

(+∞?- B 、),2(+∞

C 、)

,21(+∞- D 、

)

21,(--∞ 答案：A

点评：易误选C ，错因：忽视a 与b 反向的情况。

18．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）

①

存

在

一

个

实

数

λ

，

使

a =λ

b 或

b =λ

a ；

② |a 2b |=|a | |b |；

③ 2

121y y x x =； ④ (a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 答案：C

点评：①②④正确，易错选D 。

19．以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使

90=∠A ，则AB 的坐标为（ ）。

A 、（2，-5）

B 、（-2，5）或（2，-5）

C 、（-2，5）

D 、（7，-3）或（3，7） 正解：B

设),(y x AB =，则由

2

22225||||y x AB OA +=+?= ①

而又由AB OA ⊥得025=+y x ② 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或。

），（－或52)5,2(-=∴AB

误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。

20．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则212

1y

y x

x =

是b a //的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要

正解：C

若

2

12

1

y y x x =

则b a y x y x //,01221∴=-，若b a //，有可能2x 或2y 为0，故选C 。

误解：b a //?01221=-y x y x ?2

12

1

y y x

x =

，此式是否成立，未考虑，选A 。

21．在?OAB 中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=?OB OA =-5，则

OAB

S ?=（ ）

A 、3

B 、23

C 、35

D 、23

5

正解：D 。

5cos ||||-=??V OB OA 与OB 的夹角）

5

-=V

235sin |=

?V

误解：C 。将面积公式记错，误记为

V

OB OA S OAB sin ||||??=?

22．在ABC ?中，a AB =，b BC =，有0

（D ）

A. 锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、不能确定 错解：C

错因：忽视0

23．设平面向量a )()1,()1,2(R b ∈-=-=λλ，，

，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （A ）

A 、），（），（∞+?-2221

B 、（2，+）∞

C 、（—），∞+21

D 、（-）

，21-∞ 错解：C

错因：忽视使用0

正解：A

24．已知A （3，7），B （5，2），向量)21(，

a AB =→

→按平移后所得向量是 。 A 、（2，-5）， B 、（3，-3）， C 、（1，-7） D 、以上都不是 答案：A 错解：B

错因：将向量平移当作点平移。

25．已知ABC BC AB ABC ?>??→

→则中,0中， 。

A 、锐角三角形

B 、直角三角形

C 、钝角三角形

D 、不能确定 答案：C 错解：A 或D

错因：对向量夹角定义理解不清 26．正三角形ABC 的边长为1，设,,AB a BC b ==uu u r r uu u r r AC c =uuu

r r ，那么a b b c c a ?+?+?r r r r r r 的值

是 （ ）

A 、32

B 、21

C 、23

- D 、21

- 正确答案：(B)

错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。

27．已知0a c b c a b c ?-?=--?≠r r r r r r r ，且a b r r

和不垂直，则()

a b a b c -??r r r r r 与

（ ）

A 、相等

B 、方向相同

C 、方向相反

D 、方向相同或相反 正确答案：(D)

错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考b a ?可正可负，易选成B 。

28．已知2

0a x b x c ?+?+=r r r r 是关于x 的一元二次方程，其中,,a b c r r r

是非零向量，且向量b a 和不共线，则该方程 （ ）

A 、至少有一根

B 、至多有一根

C 、有两个不等的根

D 、有无数个互不相同的根 正确答案：(B)

错误原因：找不到解题思路。

29．设,,a b c r r r

是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：

①()()0a b c c a b ??-??=r r r r r r r ②a b a b ++r r r r f

③()()

b c a c a b c ??-??r r r r r r r 不与垂直 ④若,a b a b c ⊥?r r r r r

则与不平行

其中正确命题的个数是

（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个 正确答案：(B)

错误原因：本题所述问题不能全部搞清。

二填空题：

1．若向量a r =)(x x 2,，b r =)(2,3x -，且a r ，b r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是

______________.

错误分析：只由,a b v

r 的夹角为钝角得到0,a b ?

角的充要条件,因为,a b v r 的夹角为 180时也有0a b ?

正确解法: a r ，b r 的夹角为钝角, ()32a b x x x ∴?=?-+?r r 04322<+-=x x 解得0

34

>

x (1) 又由,a b v r 共线且反向可得

31-=x (2) 由(1),(2)得x 的范围是1,3??

-∞-? ??

U 1

4,0,3

3????-+∞ ?

?????

U 答案: 1,3??-∞-? ??

U 14,0,33????-+∞ ? ?????U .

2．有两个向量1(1,0)e =u r

，2(0,1)e =u r

，今有动点P ，从0(1,2)P -开始沿着与向量12e e +u r u r

相同

的方向作匀速直线运动，速度为12||e e +u r u r

；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量1232e e +u r u r 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e +u r u r ．设P 、Q

在时刻0t =秒时分别

在0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥uu u r uuuu r

时，t = 秒．正确答案：2

3．设平面向量),1,(),1,2(-=-=→

→λb a 若→

→b a 与的夹角是钝角，则λ的范围是 。

答案：)

,2()2,21

(+∞?-

错解：)

,21

(+∞-

错因：“0

→b a 和的夹角为钝角”不是充要条件。

4．→→b a ,是任意向量，给出：,

→

→=b a →

→

=b

a ，→

→b a 与方向相反，,00→→→→==b a 或→

→b a ,都

是单位向量，其中 是→

→

b a 与共线的充分不必要条件。 答案： 错解：

错因：忽略→

0方向的任意性，从而漏选。

5．若()()方向在则b c c a b a ,0,7,4,3,2=+-==上的投影为 。 正确答案：5

65-

错误原因：投影的概念不清楚。

6．已知o 为坐标原点，()(),5,5,1,1-=-=nm om 集合{}

|2,,A or rn op oq ==u u r u u r uu r uu r

A ∈,

且()，则且0,≠∈=λλλR mq mp =?mq mp 。

正确答案：46

错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。

三、解答题：

1．已知向量33cos ,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ????==- ? ?????r r ,且

,2,0??????∈πx 求 (1) a b ?r

r 及a b +r r ;

(2)若()2f x a b a b λ=?-+r r r r

的最小值是23-,求实数λ的值.

错误分析:(1)求出a b +r

r =x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,人为增加

难度;

(2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论.

答案: (1)易求cos 2a b x ?=r

r , a b +r r =x cos 2 ;

(2)

()2f x a b a b λ=?-+r r r r =x x cos 222cos ?-λ=1cos 4cos 22--x x λ

=

()12cos 22

2

---λλx

?

?????∈2,0πx []1,0cos ∈∴x 从而:当0≤λ时,()1

min -=x f 与题

,0≤λ 不合题意;

当10<<λ时,

()21

,23122min =

∴-=--=λλx f ; 当1≥λ时,

(),2341min -=-=λx f 解得85

=

λ,不满足1≥λ; 综合可得: 实数λ的值为21

.

2．在ABC ?中,已知

()()k ,1,3,2==,且ABC ?的一个内角为直角,求实

数k 的值.

错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论.

答案: (1)若,90?=∠BAC 即,AC AB ⊥ 故0=?AC AB ,从而,032=+k 解得

32-

=k ;

(2)若,90?=∠BCA 即AC BC ⊥,也就是0=?AC BC ,而

(),3,1--=-=k AB AC BC 故

()0

31=-+-k k ,解得

2133±=

k ;

(3)若,90?=∠ABC 即⊥,也就是,0=?而

()3,1--=k ,故()0332=-+-k ,解得

.311

=

k

综合上面讨论可知,

32-

=k 或2133±=k 或

.

311=k 3．已知向量m=(1,1)，向量n →

与向量m →

夹角为π

43

，且m →2n →

=-1，

(1)求向量n →

；

(2)若向量n →

与向量q →

=(1,0)的夹角为2π

，向量p →

=(cosA,2cos 2

2c

)，其中A 、C 为 ABC

的内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，试求 n →

+p →

的取值范围。 解：(1)设n →

=(x,y)

则由

>=π

4

3

得：cos

>=

n

m n

m →

→

→→

??=

2

222

2-

=+?+y x y

x ①

由m →

2n →

=-1得x+y=-1 ②

联立①②两式得?????-==1

0y x 或?????=-=01y x

∴n →

=(0,-1)或(-1,0)

(2) ∵

,q →

>=2π

得n →

2p r

=0

若n →

=(1,0)则n →

2p

=-1 0

故n → (-1,0) ∴n →

=(0,-1)

∵2B=A+C ，A+B+C=

B=3π

∴C=A

-3

2π n →

+p →

=(cosA,2cos 21

2

-c

)

=(cosA,cosC)

∴ n →

+p →

=C A 2

2cos cos +=

2

2cos 12

2cos 1C

A

++

+=

1

2

2cos 2cos ++C

A

=1

2

)

23

4cos(2cos +-+A A π

=1

2

2sin 2

322cos 2cos +-

-

A

A A

=

1

22sin 2

32cos 21+-

A

A

=

1

2

)32cos(++

π

A

∵0

∴0<2A<34π

353

23πππ<

+

∴-1

)<21

∴ n →

+p →

(25,

2

2

)

4．已知函数f(x)=m x-1 (m R 且m 0)设向量θ2cos ,1(=→

a )，)1,2(=→

b ，

)1,sin 4(θ=→

c ，)1,sin 21(θ=→

d ，当 (0，4π)时，比较f(b a →→?)与f(d c →→?)的大小。

解：b a →→?=2+cos2 ，d c →

→?=2sin 2

+1=2-cos2

f(b a →

→?)=m 1+cos2 =2mcos 2

f(d c →

→?)=m 1-cos2 =2msin 2

于是有f(b a →→?)-f(d c →

→?)=2m(cos 2 -sin 2

)=2mcos2

∵ (0,4π) ∴2 (0, 2π

) ∴cos2 >0 ∴当m>0时，2mcos2 >0，即f(b a →

→

?)>f(d c →

→

?)

当m<0时，2mcos2 <0，即f(b a →

→

?)

→

?)

5．已知 A 、 B 、 C 为 ABC 的内角，且f(A 、B)=sin 22A+cos 2

2B-3sin2A-cos2B+2

(1)当f(A 、B)取最小值时，求 C

(2)当A+B=2π

时，将函数f(A 、B)按向量

p

→

平移后得到函数f(A)=2cos2A 求p →

解：(1) f(A 、B)=(sin 22A-3sin2A+43

)+(cos 2

2B-cos2B+41

)+1

=(sin2A-23)2+(sin2B-21

)2

+1

当sin2A=23,sin2B=21

时取得最小值，

∴A=30 或60 ，2B=60 或120 C=180 -B-A=120 或90

(2) f(A 、B)=sin 2

2A+cos 2

2(A

-2

π

)-

2

)2

(

2cos 2sin 3+--A A π

=22cos 2sin 32cos 2sin 2

2++-+A A A A

=

3

)3

32cos(23)3

2cos(2++

=++

A A π

p

→

=)

3,23

(

ππ

k +

6．已知向量2

1(,1),(,)1

a mx

b x mx =-=-r r （m 为常数），且a ,b 不共线，若向量a ,b 的

夹角落

>为锐角，求实数x 的取值范围.

解：要满足为锐角 只须b

a ?>0且

b

a λ≠（R ∈λ）

b

a ?=x

mx mx --1

2

=

1

22-+-mx x

mx mx

=0

1

>-mx x

即 x (mx-1) >0 1°当 m > 0时

x<0 或m x 1>

2°m<0时

x ( -mx+1) <0

1

>

3°m=0时 只要x<0 综上所述：x > 0时，)

,1(

)0,(+∞-∞∈m x

x = 0时，)0,(-∞∈x

x < 0时，

)

,0()1,

(+∞-∞∈ m

x

7．已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0，

（1）用k 表示a 2b ;

（2）求a 2b 的最小值，并求此时a 2b 的夹角的大小。

解 （1）要求用k 表示a 2b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得 |k a +b |2

=(3|a －k b |)2

k 2a 2+b 2+2k a 2b =3(a 2+k 2b 2

－2k a 2b )

∴8k 2a 2b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2

a 2

b =k k k 8)13()3(2

222b a -+-

∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)， ∴a 2=1, b 2

=1,

∴a 2b =

k

k k 813322-+-=k

k 41

2+

（2）∵k 2

+1≥2k ，即k

k 41

2+≥k k 42=21

∴a 2b 的最小值为21

，

又∵a 2b =| a |2|b |2cos γ，|a|=|b|=1

∴21

=1313cos γ。

∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°。

错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的

式子左右两边平方，且有|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a 2b 或|a |2+|b |2

+2a 2b 。

8．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r

，a b -=r r ．

（Ⅰ）求cos()αβ-的值；

（Ⅱ）若

02π

α<<

，

02

π

β-

<<，且

5

sin 13β=-

，求sin α的值．

解（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ==v v

Q ，

，，, ()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--v v

，

. a b θ-=v v Q ,

=

,

即

()4

22cos 5αβ--=

.

()3cos 5αβ∴-=

.

（Ⅱ）0,0,0.2

2

π

π

αβαβπ<<

-

<<∴<-

αβ-=

Q ，

()4

sin .5αβ∴-=

5

sin 13

β=-

Q ，

12

cos .

13β∴=

()()()sin sin sin cos cos sin ααββαββαββ

∴=-+????

=-+-

412353351351365??=

?+?-=

???.