第八章经典力学的哈密顿理论

第八章经典力学的哈密顿理论一．正则坐标和哈密顿函数

二．三种不同形式的哈密顿动力学方程

1．哈密顿正则方程

2．哈密顿原理

3．哈密顿-雅可比方程

一．正则坐标和哈密顿函数

为表述空间的位置，引入坐标。

常用坐标：<1）直角坐标；<2）平面极坐标；<3）柱坐标；<4）球坐标等

功能：<1）用三个坐标值表示空间的一点的位置

<2）确定空间一组相互正交的单位矢量

<有了单位矢量，任何一个有方向的力学量都可以统一用这组矢量表示）区别：<1）直角坐标与物体的运动无关，是固定不变的

<2）曲线坐标的单位矢量是随着质点所在的位置而改变的， <3）自然坐标由质点的速度方向决定坐标

1．广义坐标：

设

拉格朗日方程为：

又设：

拉格朗日方程为：

令：

上式中是变量的任意函数，则：

而

所以由：

可以得到：

即：通过拉格朗日方程，对于两个不同的拉格朗日量可以解得同一个广义坐标。

经典力学中，一个力学体系的拉格朗日函数不是唯一的，不同的拉格朗日函数可以相差一项：

由于是任意函数，因此，一个力学体系的拉格朗日函数可以有无穷多个。

2．广义动量:

若拉格朗日函数是唯一的，则与广义坐标相对应的广义动量也是唯一的，两者一一对应。

但是，由于拉格朗日函数都包含有广义速度因此和将是两个不同的力学

量，由于是任意函数的，因此，与广义坐标对应的广义动量也有无穷多个。用数学语言表述为：广义动量和广义坐标是完全独立的。b5E2RGbCAP

若取，只是时间的函数，则和就一一对应了。

但是，这是一个规范条件，这个规范条件并非理论本身所必需的。

条件：<1）保留广义坐标的概念不变

<2）保留广义动量的定义不变，

<3）对不做任何限制，

问题：若使和保持独立地位：

（A）力学理论如何？

（B）是否会带来经典力学和拉格朗日理论中没有的优点？

回答上述问题的理论即为哈密顿理论！

3．两个变量的勒让德变换

一组独立变数变为另一组独立变数的变化称为勒让德变换。

设：

则：

上式我们是以为变量，实际上我们可以用任意两个量作为变量。若取：为独立变量，则：

此时函数也为的函数记为：

此时我们不能将表述成为：

对于，

设：

则：

对于：

当自变量为时：

当自变量为时，若仍用，则：

即：勒让德变换！

4．哈密顿方程：

通过拉格朗日方程建立哈密顿方程：

广义动量和广义速度为：

式中的是以为变量的函数。上述方程是拉格朗日方程的另一种表述形式。但是上面方程并不对称。

定义哈密顿函数：

取全微分形式：

而：

所以：

同时：

则：

比较上面两式得到哈密顿正则方程：

拉格朗日方程是s个二阶微分方程，而哈密顿正则方程是2s个一阶微分方程，

拉格朗日方程和哈密顿正则方程完全等价哈密顿函数对时间的全微商：

将

代入上式：

当H 不显含时间时，

所以：

即：

若拉格朗日函数除包含之外还包含其它参数如，则：

代入

得到：

由：得：

所以：

非保守力体系下：

例1．写出粒子在中心势场中的哈密顿函数和正则方程。解：粒子的拉格朗日函数为：

由

得：

机械能：

由哈密顿函数定义得：

得：

上式与机械能形式相同。正则方程：

由：

例2．带电粒子在电磁场中的哈密顿函数：解：

由广义动量的定义得：

哈密顿函数的定义：