大学物理机械波振动题目

0318

一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它

上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问：

(1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？

(2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在

何位置开始分离？

解：(1) 小物体受力如图． 设小物体随振动物体的加速度为a ，按牛顿第二定律有（取向下为正）

ma N mg =- 1分

)(a g m N -=

当N = 0，即a = g 时，小物体开始脱离振动物体，已知 1分 A = 10 cm ，N/m 3

.060=k 有

50/==m k ω rad ·s -1 2分

系统最大加速度为 52max ==A a ω m ·s -2 1分 此值小于g ，故小物体不会离开． 1分

(2) 如使a > g ，小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N = 0求得

x a g 2ω-== 2分

6.19/2

-=-=ωg x cm 1分

即在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离，由g A a >=2max ω，可得 2/ωg A >=19.6 cm ． 1分

3014

一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24

cm/s ，求

(1)周期T ；

(2)当速度是12 cm/s 时的位移．

解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v

(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有

t ωcos 126=

t ωωsin 1224-=

解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分

(2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由

t A ωωsin -=v

得 2sin )3/4(1212t ω??-=，

解上式得 1875.0sin 2-=t ω

相应的位移为 8.10sin 1cos 222±=-±==t A t A x ωω cm 3分

3021

一木板在水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速率是24 cm/s ．如

果一小物块置于振动木板上，由于静摩擦力的作用，小物块和木板一起运动（振动频率不变），

当木板运动到最大位移处时，物块正好开始在木板上滑动，问物块与木板之间的静摩擦系数

μ为多少？

解：若从正最大位移处开始振动，则振动方程为

)cos(

t A x ω=, t A x ωωsin -=

在6=x cm 处，24=x

cm/s ∴ 6 =12|cos ω t |， 24=|-12 ω sin ω t |，

解以上二式得 3/4=ωrad/s 3分

t A x ωωcos 2-=

， 木板在最大位移处x 最大，为 2ωA x

= ① 2分 若mA ω2稍稍大于μmg ，则m 开始在木板上滑动，取

2ωμmA mg = ② 2分

∴ 0653.0/2

≈=g A ωμ ③ 1分 3022

一质点在x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A 点时作为计时起点( t = 0 )，

经过2秒后质点第一次经过B 点，再经过2秒后质点第二次经过B

点，若已知该质点在A 、B 两点具有相同的速率，且AB = 10 cm 求：

(1) 质点的振动方程；

(2) 质点在A 点处的速率．

解：由旋转矢量图和 |v A | = |v B | 可知 T /2 = 4秒，

∴ T = 8 s ， ν = (1/8) s -1， ω = 2πν = (π /4) s -1 3分

(1) 以AB 的中点为坐标原点，x 轴指向右方．

t = 0时， 5-=x cm φcos A =

t = 2 s 时， 5=x cm φφωsin )2cos(A A -=+=

由上二式解得 tg φ = 1

因为在A 点质点的速度大于零，所以φ = -3π/4或5π/4（如图） 2分

25cos /==φx A cm 1分

∴ 振动方程 )4

34c o s (10252π-π?=-t x (SI) 1分 (2) 速率 )4

34sin(41025d d 2π-π?π-==-t t x v (SI) 2分 当t = 0 时，质点在A 点

221093.3)4

3sin(10425d d --?=π-?π-==t x v m/s 1分 3027

在一平板上放一质量为m =2 kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T

= 2

1s ，振幅A = 4 cm ，求 (1) 物体对平板的压力的表达式．

(2) 平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？

解：选平板位于正最大位移处时开始计时，平板的振动方程为

t A x π=4cos (SI)

t A x π4cos π162-=

(SI) 1分 (1) 对物体有 x m N mg

=- ① 1分 t A mg x m mg N ππ+=-=4cos 162

(SI) ② 物对板的压力为 t A mg N F ππ--=-=4cos 162 (SI)

t ππ--=4cos 28.16.192 ③ 2分

x

(2) 物体脱离平板时必须N = 0，由②式得 1分

04cos 162=ππ+t A mg (SI)

A q t 2164cos π-

=π 1分 若能脱离必须 14cos ≤πt (SI)

即 221021.6)16/(-?=π≥g A m 2分

3264 一质点作简谐振动，其振动方程为 )4131cos(100.62

π-π?=-t x (SI) (1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？

(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？

解：(1) 势能 221kx W P = 总能量 22

1kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42

-?±=±=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2A

x ±=最短时间 ?t 为 T /8．

∴ ?t = 0.75 s ． 3分

3265

在一轻弹簧下端悬挂m 0 = 100 g 砝码时，弹簧伸长8 cm ．现在这根弹簧下端悬挂m = 250

g 的物体，构成弹簧振子．将物体从平衡位置向下拉动4 cm ，并给以向上的21 cm/s 的初速

度（令这时t = 0）．选x 轴向下, 求振动方程的数值式．

解： k = m 0g / ?l 25.12N/m 08

.08.91.0=?= N/m

11s 7s 25

.025.12/--===m k ω 2分 5cm )721(4/2222020=+=+=ωv x A cm 2分 4/3)74/()21()/(tg 00=?--=-=ωφx v ，φ = 0.64 rad 3分

)64.07cos(05.0+=t x (SI) 1分

3273

一弹簧振子沿x 轴作简谐振动（弹簧为原长时振动物体的位置取作x 轴原点）．已知振

动物体最大位移为x m = 0.4 m 最大恢复力为F m = 0.8 N ，最大速度为v m = 0.8π m/s ，又知t =

0的初位移为+0.2 m ，且初速度与所选x 轴方向相反．

(1) 求振动能量；

(2) 求此振动的表达式．

解：(1) 由题意 kA F m =，m x A =，m m x F k /=．

16.02

1212===m m m x F kx E J 3分 (2) π===2m

m m x A v v ω rad /s 2分

由 t = 0， φc o s

0A x ==0.2 m ， 0sin 0<-=φωA v 可得 π=3

1φ 2分 则振动方程为 )3

12cos(4.0π+π=t x 1分 3391

在一竖直轻弹簧的下端悬挂一小球，弹簧被拉长l 0 = 1.2 cm 而平衡．再经拉动后，该小

球在竖直方向作振幅为A = 2 cm 的振动，试证此振动为简谐振动；选小球在正最大位移处

开始计时，写出此振动的数值表达式．

解：设小球的质量为m ，则弹簧的劲度系数 0/l mg k =． 选平衡位置为原点，向下为正方向．小球在x 处时，根据牛顿第二定律得 220d /d )(t x m x l k mg =+- 将 0/l mg k = 代入整理后得 0//d d 022=+l gx t x

∴ 此振动为简谐振动，其角频率为． 3分

π===1.958.28/0l g ω 2分

设振动表达式为 )cos(φω+=t A x 由题意： t = 0时，x 0 = A=2

102-?m ，v 0 = 0，

解得 φ = 0 1分 ∴ )1.9cos(10

22t x π?=- 2分

3827 质量m = 10 g 的小球与轻弹簧组成的振动系统，按)3

18cos(5.0π+π=t x 的规律作自由振动，式中t 以秒作单位，x 以厘米为单位，求

(1) 振动的角频率、周期、振幅和初相；

(2) 振动的速度、加速度的数值表达式；

(3) 振动的能量E ；

(4) 平均动能和平均势能．

解：(1) A = 0.5 cm ；ω = 8π s -1；T = 2π/ω = (1/4) s ；φ = π/3 2分

(2) )3

18sin(1042

π+π?π-==-t x v (SI) )3

18cos(103222π+π?π-==-t x a (SI) 2分 (3) 2222

121A m kA E E E P K ω==+==7.90×10-5 J 3分 (4) 平均动能 ?=T K t m T E 02d 21)/1(v ?π+π?π-=-T

t t m T 0

222d )318(sin )104(21)/1( = 3.95×10-5 J = E 21

+x )

同理 E E P 2

1== 3.95×10-5 J 3分 3828

一质量m = 0.25 kg 的物体，在弹簧的力作用下沿x 轴运动，平衡位置在原点. 弹簧的劲

度系数k = 25 N ·m -1．

(1) 求振动的周期T 和角频率ω．

(2) 如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求初

速v 0及初相φ．

(3) 写出振动的数值表达式．

解：(1) 1s 10/-==m k ω 1分

63.0/2=π=ωT s 1分

(2) A = 15 cm ，在 t = 0时，x 0 = 7.5 cm ，v 0 < 0

由 2

020)/(ωv +=x A 得 3.12020-=--=x A ωv m/s 2分

π=

-=-31)/(tg 001x ωφv 或 4π/3 2分 ∵ x 0 > 0 ，∴ π=3

1φ (3) )3

110cos(10152π+?=-t x (SI) 2分 3834

一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ·m -1，

如果起始振动时具有势能0.06 J 和动能0.02 J ，求

(1) 振幅；

(2) 动能恰等于势能时的位移；

(3) 经过平衡位置时物体的速度．

解：(1) 22

1kA E E E p K =+= 2/1]/)(2[k E E A p K +== 0.08 m 3分

(2)

222

121v m kx = )(sin 22222φωωω+=t A m x m

)(sin 222φω+=t A x 2222)](cos 1[x A t A -=+-=φω 222A x =， 0566.02/±=±=A x m 3分

(3) 过平衡点时，x = 0，此时动能等于总能量

22

1v m E E E p K =+= 8.0]/)(2[2/1±=+=m E E p K v m/s 2分

3835

在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100 g 的物体，当物体处于平衡状态时，再对物体

加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放．已知物体在32 s 内完成48次振动，振

幅为5 cm ．

(1) 上述的外加拉力是多大？

(2) 当物体在平衡位置以下1 cm 处时，此振动系统的动能和势能各是多少？

解一：(1) 取平衡位置为原点，向下为x 正方向．设物体在平衡位置时弹簧的伸长量为?l ，

则有l k mg ?=, 加拉力F 后弹簧又伸长x 0，则

0)(0=+-+?x l k mg F

解得

F = kx 0 2分 由题意，t = 0时v 0 = 0；x = x

0 则 02020)/(x x A =+=ωv 2分 又由题给物体振动周期4832=T s, 可得角频率 T

π=2ω, 2ωm k = ∴ 444.0)/4(22=π==A T m kA F N 1分

(2) 平衡位置以下1 cm 处： )()/2(2222x A T -π=v 2分

221007.12

1-?==v m E K J 2分 2222)/4(2

121x T m kx E p π== = 4.44×10-4 J 1分 解二：(1) 从静止释放，显然拉长量等于振幅A （5 cm ）， kA F = 2分 2

224νωπ==m m k ，ν = 1.5 Hz 2分

∴ F = 0.444 N 1分 (2) 总能量 221011.12

121-?===FA kA E J 2分 当x = 1 cm 时，x = A /5，E p 占总能量的1/25，E K 占24/25． 2分 ∴ 210

07.1)25/24(-?==E E K J ， 41044.425/-?==E E p J 1分

5191

一物体作简谐振动，其速度最大值v m = 3×10-2 m/s ，其振幅A = 2×10-2 m ．若t = 0时，

物体位于平衡位置且向x 轴的负方向运动. 求：

(1) 振动周期T ；

(2) 加速度的最大值a m ；

(3) 振动方程的数值式．

解: (1) v m = ωA ∴ω = v m / A =1.5 s -1

∴

T = 2π/ω = 4.19 s 3分

(2) a m = ω2A = v m ω = 4.5×10-2 m/s 2 2分 (3) π=2

1φ 5511

如图，有一水平弹簧振子，弹簧的劲度系数k = 24 N/m ，重物的质量m = 6 kg ，重物静止在平衡位置上．设以一水平恒

力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置

向左运动了0.05 m 时撤去力F ．当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程．

解：设物体的运动方程为 )c o s

(φω+=t A x ． 恒外力所做的功即为弹簧振子的能量： F ×0.05 = 0.5 J ．

2分

当物体运动到左方最远位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5 J ，即：

5.0212=kA J ， ∴ A = 0.204 m ． 2分 A 即振幅． 4/2==m k ω (rad/s)2

ω = 2 rad/s ． 2分

按题目所述时刻计时，初相为φ = π．∴ 物体运动方程为 2分

)2c o s (204.0π+=t x (SI)． 2分

x = 0.02)2

15.1cos(π+t (SI) 3分 3078

一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形曲线如图所示．求

(1) x = 0处质点振动方程；

(2) 该波的表达式． 解：(1) 设x = 0 处质点的振动方程为 )2c o s (φν+π=t A y 由图可知，t = t ＇时 0)2cos(=+'π=φνt A y 1分

0)2sin(2d /d <+'ππ-=φννt A t y 1分

所以 2/2π=+'πφνt ， t 'π-π=νφ22

1 2分 x = 0处的振动方程为 ]2

1)(2cos[π+'-π=t t A y ν 1分 (2) 该波的表达式为 ]2

1)/(2cos[π+-'-π=u x t t A y ν 3分 3082

如图，一平面波在介质中以波速u = 20 m/s 沿x 轴负方向传播，已知A 点的振动方程为

t y π?=-4c o s 1032 (SI)．

(1) 以A 点为坐标原点写出波的表达式； (2) 以距A 点5 m 处的B 点为坐标原点，写出波的表达式． 解：(1) 坐标为x 点的振动相位为

)]/([4u x t t +π=+φω)]/([4u x t +π=)]20/([4x t +π= 2分

波的表达式为 )]20/([4cos 1032

x t y +π?=- (SI) 2分

(2) 以B 点为坐标原点，则坐标为x 点的振动相位为 ]20

5[4-+

π='+x t t φω (SI) 2分 波的表达式为 ])20(4cos[1032π-+π?=-x t y (SI) 2分 3083

一平面简谐纵波沿着线圈弹簧传播．设波沿着x 轴正向传播，弹簧中某圈的最大位移为

3.0 cm ，振动频率为25 Hz ，弹簧中相邻两疏部中心的距离为24 cm ．当t = 0时，在x = 0

处质元的位移为零并向x 轴正向运动．试写出该波的表达式．

解：由题 λ = 24 cm, u = λν = 24×25 cm/s ＝600 cm/s 2分

A = 3.0 cm ， ω = 2πν = 50 π/s 2分

y 0 = A cos φ = 0， 0s i n 0>-=φωA y

x u O

t =t ′y

A B x u

π-=2

1φ 2分 ]2

1)6/(50cos[100.32π--π?=-x t y (SI) 2分 3084

一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅和角频率分别为A 和ω ，波速为u ，设t = 0时的波形曲线如图所示．

(1) 写出此波的表达式．

(2) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点的振动方程． (3) 求距O 点分别为λ / 8和3λ / 8 两处质点在t = 0时的振动速度．

解：(1) 以O 点为坐标原点．由图可知，该点振动初始条件为

0c o s 0==φA y ， 0s i n 0<-=φωA v

所以 π=21

φ

波的表达式为 ]21

)/(c o s [π+-=u x t A y ωω

4分 (2) 8/λ=x 处振动方程为

]21

)8/2(cos[π+π-=λλωt A y )4/cos(π+=t A ω

1分 8/3λ=x 的振动方程为

]21

8/32cos[π+-=λλπωt A y )4/cos(π-=t A ω

1分 (3) )21

/2sin(/d d π+π--=λωωx t A t y

t = 0，8/λ=x 处质点振动速度

]21

)8/2sin[(/d d π+π--=λλωA t y 2/2ωA -=

1分 t = 0，8/3λ=x 处质点振动速度

]21

)8/32sin[(/d d π+?π--=λλωA t y 2/2ωA =

1分 3108

两波在一很长的弦线上传播，其表达式分别为：

)244(31

cos 1000.421t x y -π?=- (SI)

)244(31

cos 1000.42

2t x y +π?=- (SI)

求： (1) 两波的频率、波长、波速；

(2) 两波叠加后的节点位置；

(3) 叠加后振幅最大的那些点的位置．

解：(1) 与波动的标准表达式 )/(2cos λνx t A y -π= 对比可得：

ν = 4 Hz ， λ = 1.50 m ，

各1分 波速 u = λν = 6.00 m/s

1分 (2) 节点位置 )21

(3/4π+π±=πn x x u O

y

)21(3+±=n x m , n = 0，1，2，3, … 3分

(3) 波腹位置 π±=πn x 3/4

4/3n x ±= m , n = 0，1，2，3, … 2分

3109

设入射波的表达式为 )(2cos 1T

t x

A y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端．设反射时无能量损失，求

(1) 反射波的表达式； (2) 合成的驻波的表达式；

(3) 波腹和波节的位置．

解：(1) 反射点是固定端，所以反射有相位突变π，且反射波振幅为A ，因此反

射波的表达式为 ])//(2cos[2π+-π=T t x A y λ 3分

(2) 驻波的表达式是 21y y y +=

)21/2cos()21/2cos(2π-ππ+

π=T t x A λ 3分 (3) 波腹位置： π=π+

πn x 21/2λ, 2分 λ)2

1(21-=n x , n = 1, 2, 3, 4,… 波节位置： π+π=π+π2

121/2n x λ 2分 λn x 2

1= , n = 1, 2, 3, 4, (3110)

一弦上的驻波表达式为 t x y ππ?=-550c o s )6.1

(c o s 1000.32 (SI)． (1) 若将此驻波看作传播方向相反的两列波叠加而成，求两波的振幅及波速；

(2) 求相邻波节之间的距离；

(3) 求t = t 0 = 3.00×10-3 s 时，位于x = x 0 = 0.625 m 处质点的振动速度．

解：(1) 将 t x y ππ?=-550c o s 6.1c o s 1000.32

与驻波表达式 )2cos()/2cos(2t x A y νλππ= 相对比可知：

A = 1.50×10-2 m, λ = 1.25 m ， ν = 275 Hz

波速 u = λν = 343.8 m/s 5分 (2) 相邻波节点之间距离 λ21=

?x = 0.625 m 2分 (3) 2.460

0,-=??=t y t x v m/s 3分 3111 如图所示，一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC 为波密媒质的反射面．波由P 点反射，OP = 3λ /4，DP = λ /6．在t = 0时，O 处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动．求D 点处

入射波与反射波的合振动方程．（设入射波和反射波的振幅皆为

A ，频率为ν．）

解：选O 点为坐标原点，设入射波表达式为

])/(2c o s [

1φλν+-π=x t A y 2分 则反射波的表达式是 ])(2cos[2π++-+-π=φλνx

DP OP t A y 2分 合成波表达式（驻波）为 )2cos()/2cos(2φνλ+ππ=t x A y 2分

在t = 0时，x = 0处的质点y 0 = 0， 0)/(0

故得 π=2

1φ 2分 因此，D 点处的合成振动方程是

)2

2cos()6

/4/32cos(2π+π-π=t A y νλλλt A νπ=2sin 3 2分 3138

某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位

移处，求

(1) 该质点的振动方程；

(2) 此振动以波速u = 2 m/s 沿x 轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动表达式，（以

该质点的平衡位置为坐标原点）；

(3) 该波的波长．

解：(1) 振动方程 )2

2cos(

06.00π+π=t y )cos(06.0π+π=t (SI) 3分 (2) 波动表达式 ])/(c o s [06.0π+-π=u x t y 3分

])2

1(c o s [06.0π+-π=x t (SI) (3) 波长 4==uT λ m 2分 3141

图示一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，求 (1) 该波的波动表达式；

(2) P 处质点的振动方程． 解：(1) O 处质点，t = 0 时

0cos 0==φA y ，

0sin 0>-=φωA v

所以 π-

=21φ 2分 又 ==u T /λ (0.40/ 0.08) s= 5 s 2分

故波动表达式为 ]2)4.05(2c o s [04.0π--

π=x t

y (SI) 4分 (2) P 处质点的振动方程为

]2)4.02.05(2cos[04.0π--

π=t y P )2

34.0cos(04.0π-π=t (SI) 2分 3142 (m) -

图示一平面余弦波在t = 0 时刻与t = 2 s 时刻的波形图．已知波速为u ，求

(1) 坐标原点处介质质点的振动方程；

(2) 该波的波动表达式． 解：(1) 比较t = 0 时刻波形图与t = 2 s 时刻波形图，可知此波向

左传播．在t = 0时刻，O 处质点

φc o s 0A =， φωs i n 00A -=

=2

1φ 2分 又t = 2 s ，O 处质点位移为 )2

14cos(2/π-π=νA A 所以 π-π=π-2

1441ν， ν = 1/16 Hz 2分振动方程为 )218/c o s (0π-π=t A y (SI) 1分 (2) 波速 u = 20 /2 m/s = 10 m/s

波长 λ = u /ν = 160 m 2分

波动表达式 ]2

1)16016(2cos[π-+π=x t A y (SI) 3分 3143

如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz ，且此时质点P 的运动方向向下，求 (1) 该波的表达式； (2) 在距原点O 为100 m 处质点的振动方程与振动速度表达式． 解：(1) 由P 点的运动方向，可判定该波向左传播． 原点O 处质点，t = 0 时

φcos 2/2A A =, 0sin 0<-=φωA v

所以 4/π=φ

O 处振动方程为 )41500cos(0π+π=t A y (SI) 3分 由图可判定波长λ = 200 m ，故波动表达式为

]4

1)200250(2cos[π++π=x t A y (SI) 2分 (2) 距O 点100 m 处质点的振动方程是

)4

5500cos(1π+

π=t A y 1分 振动速度表达式是 )45500cos(500π+ππ-=t A v (SI) 2分 3144

一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点

的振动规律如图所示．

(1) 求P 处质点的振动方程；

(2) 求此波的波动表达式；

t (s)0

-A 1y P (m)

(3) 若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程．

解：(1) 由振动曲线可知，P 处质点振动方程为 ])4/2cos[(π+π=t A y P )2

1cos(π+π=t A (SI) 3分 (2) 波动表达式为 ])4(2c o s [π+-+π=λd x t

A y (SI) 3分

(3) O 处质点的振动方程 )2

1cos(0t A y π= 2分 3158

在均匀介质中，有两列余弦波沿Ox 轴传播，波动表达式分别为

)]/(2cos[1λνx t A y -π= 与 )]/(2cos[22λνx t A y +π= ，试求Ox 轴上合振幅最

大与合振幅最小的那些点的位置．

解：(1) 设振幅最大的合振幅为A max ，有

φ??++=cos 22)2(222max A A A A A

式中 λφ/4x π=?，

又因为 1/4c o s c o s =π=?λφx 时，合振幅最大，故

π±=πk x 2/4λ

合振幅最大的点 λk x 21±

= ( k = 0，1，2，…) 4分 (2) 设合振幅最小处的合振幅为A min

φ??++=cos 22)2(222min A A A A A

因为 1cos -=?φ 时合振幅最小

且 λφ/4x π=?

故 π+±=π)12(/4k x λ 合振幅最小的点 4/)12(λ+±=k x ( k = 0，1，2，…) 4分

3335

一简谐波，振动周期2

1=T s ，波长λ = 10 m ，振幅A = 0.1 m ．当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值．若坐标原点和波源重合，且波沿Ox 轴正方向传播，求：

(1) 此波的表达式；

(2) t 1 = T /4时刻，x 1 = λ /4处质点的位移；

(3) t 2 = T /2时刻，x 1 = λ /4处质点的振动速度．

解：(1) )1024cos(1.0x t y π-

π=)201(4cos 1.0x t -π= (SI) 3分 (2) t 1 = T /4 = (1 /8) s ，x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的位移

)80/4/(4cos 1.01λ-π=T y

m 1.0)818/1(4cos 1.0=-π= 2分

(3) 振速 )20/(4sin 4.0x t t y -ππ-=??=

v ． )4/1(2

12==T t s ，在 x 1 = λ /4 = (10 /4) m 处质点的振速

26.1)2

1sin(4.02-=π-ππ-=v m/s 3分 3410

一横波沿绳子传播，其波的表达式为 )2100cos(05.0x t y π-π= (SI)

(1) 求此波的振幅、波速、频率和波长．

(2) 求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度．

(3) 求x 1 = 0.2 m 处和x 2 = 0.7 m 处二质点振动的相位差．

解：(1) 已知波的表达式为)2100cos(05.0x t y π-π= 与标准形式

)/22cos(λνx t A y π-π= 比较得

A = 0.05 m ， ν = 50 Hz ， λ = 1.0 m 各1分

u = λν = 50 m/s 1分

(2) 7.152)/(max max =π=??=A t y νv m /s 2分

322m a x 22m a x 1093.44)/(?=π=??=A t y a ν m/s 2 2分

(3) π=-π=?λφ/)(212x x ，二振动反相 2分

3476

一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 )/(2cos λνx t A y -π=, 而另一

平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 )/(2cos 2λνx t A y +π=

求：(1) x = λ /4 处介质质点的合振动方程；

(2) x = λ /4 处介质质点的速度表达式．

解：(1) x = λ /4处

)212c o s (1π-

π=t A y ν , )2

12cos(22π+π=t A y ν 2分 ∵ y 1，y 2反相 ∴ 合振动振幅 A A A A s =-=2 , 且合振动的初相φ 和y 2的 初相一样为π2

1． 4分 合振动方程 )2

12cos(π+π=t A y ν 1分 (2) x = λ /4处质点的速度 )2

12sin(2/d d π+ππ-== v t A t y νν )2cos(2π+ππ=t A νν 3分 5199

有一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，其波速u = 400 m/s ，频率ν = 500 Hz ．

(1) 某时刻t ，波线上x 1处的相位为φ 1，x 2处的相位为φ 2，试写出 x 2 - x 1与φ 2 - φ 1的关

系式，并计算出当x 2 - x 1 = 0.12 m 时φ 2 - φ 1的值．

(2) 波线上某定点 x 在t 1时刻的相位为1φ'，在t 2时刻的相位为2

φ'， 试写出t 2 - t 1与12

φφ'-'的关系式，并计算出t 2 - t 1 = 10-3 s 时12φφ'-'的值． 解：该波波长 λ = u /ν = 0.8 m

(1) x 2点与x 1点的相位差为

λφφ/)(2)(1212x x -π=--

λφφ/)(21212x x -π-=- 3分

当=-12x x 0.12 m 时 π-=-3.012φφ rad 1分

(2) 同一点x ，时间差12t t -，相应的相位差

T t t /)(21212-π='-'φφ)(212t t -π=ν 3分 当 31210-=-t t s 时，

π='-'12φφ rad 1分

5319

已知一平面简谐波的表达式为 )24(cos x t A y +π= (SI)．

(1) 求该波的波长λ ，频率ν 和波速u 的值；

(2) 写出t = 4.2 s 时刻各波峰位置的坐标表达式，并求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；

(3) 求t = 4.2 s 时离坐标原点最近的那个波峰通过坐标原点的时刻t ．

解：这是一个向x 轴负方向传播的波．

(1) 由波数 k = 2π / λ 得波长 λ = 2π / k = 1 m 1分

由 ω = 2πν 得频率 ν = ω / 2π = 2 Hz 1分 波速 u = νλ = 2 m/s 1分

(2) 波峰的位置，即y = A 的位置．

由 1)24(cos =+πx t

有 π=+πk x t 2)24( ( k = 0，±1，±2，…)

解上式，有 t k x 2-=．

当 t = 4.2 s 时， )4.8(-=k x m ． 2分

所谓离坐标原点最近，即| x |最小的波峰．在上式中取k = 8，可得 x = -0.4

的波峰离坐标原点最近． 2分

(3) 设该波峰由原点传播到x = -0.4 m 处所需的时间为?t ，

则 ?t = | ?x | /u = | ?x | / (ν λ ) = 0.2 s 1分 ∴ 该波峰经过原点的时刻 t = 4 s 2分 5516

平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2 cm ，频率为 50 Hz ，波速为 200 m/s ．在t = 0时，x = 0处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求x = 4 m 处媒质质点振动的表达式及该点在t = 2 s 时的振动速度．

解：设x = 0处质点振动的表达式为 )c o s

(0φω+=t A y ， 已知 t = 0 时，y 0 = 0，且 v 0 > 0 ∴π-=2

1φ ∴ )2cos(0φν+π=t A y )2

1100cos(1022π-π?=-t (SI) 2分 由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为 )/22c o s (0u x t A y νφνπ-+π=)2121100c o s (1022x t π-π-

π?=- (SI) 2分 x = 4 m 处的质点在t 时刻的位移 )2

1100cos(10

22π-π?=-t y (SI) 1分 该质点在t = 2 s 时的振动速度为 )21200sin(1001022π-π??-=-πv 2分 = 6.28 m/s 1分

5519

在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λωx

t A y π+=，入射波在x = 0处绳端反射，反

射端为自由端．设反射波不衰减，求驻波表达式．

解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ω

c o s 10=，由于反射端为自由端，所以反射波在O 点的振动方程为 t A y ω

c o s 20= 2分 ∴反射波为 )2cos(2λωx

t A y π-= 3分

合成的驻波方程为 21y y y +=)2cos(λωx t A π

+=)2cos(λωx t A π-+ t x A ωλcos )2cos(2π

= 3分

5520 在绳上传播的入射波表达式为)2cos(1λπωx t A y +=，入射波在x = 0处反射，反射端

为固定端．设反射波不衰减，求驻波表达式．

解：入射波在x = 0处引起的振动方程为 t A y ω

c o s 10=，由于反射端为固定端,∴反射波在 x = 0处的振动方程为

)cos(20π+=t A y ω 或 )c o s (20π-=t A y ω 2分 ∴反射波为 )2cos(2λωx

t A y π-π+=

或 )2cos(2λωx

t A y π-π-=

3分 驻波表达式为 21y y y += )2cos(λωx

t A π+=)2cos(λωx

t A π-π-+

)21

cos()21

2cos(2π+π-π=t x

A ωλ

3分 或 )21

cos()21

2cos(2π-π+π=t x

A y ωλ