历年上海高考试题(立体几何)

历年上海高考试题(立体几何)

(01春)若有平面α与β，且l P P l ?α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为（ ）

（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β．（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β． （C ）过点P 且垂直于β的直线在α内． （D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内． （01）已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是（ ）D

A. 若a ∥b ，则α∥β

B.若α⊥β，则a ⊥b

C.若a 、b 相交，则α、β相交

D.若α、β相交，则a 、b 相交

(02春)下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有 对。3

(02)若正四棱锥的底面边长为cm 32,体积为34cm ，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是 30

(03春)关于直线l b a ,,以及平面N M ,，下列命题中正确的是( ).

(A) 若M b M a //,//,则b a // (B) 若a b M a ⊥,//,则M b ⊥

(C) 若M b M a ??,,且b l a l ⊥⊥,,则M l ⊥ (D) 若N a M a //,⊥,则N M ⊥ D

(03) 在正四棱锥P —ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线PA 与BC 所成角的大小等于 .（结果用反三角函数值表示）arctg2 (03)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）

1C C

B

1B

1A

A

A ．α、β都垂直于平面r .

B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.

C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.

D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β. D (04春)如图,在底面边长为2的正三棱锥V-ABC 中,

E 是BC 的中点,

若△V AE 的面积是

4

1

,则侧棱V A 与底面所成角的大小为 (结果用反三角函数表示) arctg 4

1

(04) 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( ) (A)若l ?β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α. (C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. B

(05春)已知直线n m l 、、

及平面α，下列命题中的假命题是 （A ）若//l m ，//m n ，则//l n . （B ）若l α⊥，//n α，则l n ⊥.

（C ）若l m ⊥，//m n ，则l n ⊥. （D ）若//l α，//n α，则//l n .D

(05)有两个相同的直三棱柱,高为

a

2

,底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a(a>0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情况中,全面积最小的是一个四棱柱,则a 的取值范围是 ．0

3

15 (06春)正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为 .

3

16 (06文)若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 A

(06理)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 [答]（ ）A （A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件；（C ）充要条件；（D ）非充分非必要条件． (07文) 如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，

90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．

6

6

arccos

(07理)在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知αβ，是两个 相交平面，空间两条直线12l l ，在α上的射影是直线12s s ，，12l l ，在β上的射影是

直线12t t ，．用1s 与2s ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异 面直线的充分条件：

．21//s s ，并且1t 与2t 相交（//1t 2t ，并且1s 与2s 相交）

(01春) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．

（1）求a 关于h 的函数解析式； （2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．

（求解本题时，不计容器的厚度） 解（1）设'h 为正四棱锥的斜高

由已知???

????=+=?+,'h a 41h ,2a 'h 2

14a 2222

解得)0(1

12

>+=

h h a

（2）)0()

1(33122>+=

=h h h

ha V 易得)

h

1h (31V +=

因为2121=?≥+

h h h h ，所以6

1≤V 等式当且仅当h

h 1

=

，即1=h 时取得。 故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为

6

1

立方米． (01春) 在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥。

（1）求证：AEF C A 平面⊥1；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等。

试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小。（用反三角函数值表示）

证（1）因为B A CB 1平面⊥，所C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1

由B A AE AE B A 11,平面?⊥，得AE C A ⊥1， 同理可证AF C A ⊥1 因为AE C A AF C A ⊥⊥11, 所以AEF C A 平面⊥1

解（2）过A 作BD 的垂线交CD 于G ， 因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥

设AG 与C A 1所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角．

由已知，计算得4

9=

DG ． 如图建立直角坐标系，则得点(0,0,0)A ， )0,3,4(),5,0,0(),0,3,49

(1C A G ， }5,3,4{},0,3,49

{1-==C A AG ，

因为AG 与C A 1所成的角为α

所以252

12||||cos 11=??=

αC A AG C A AG

25

2

12arccos

=α 由定理知，平面AEF 与平面CEF 所成角的大小为25

2

12arccos

(01) 在棱长为a 的正方体OABC －O'A'B'C'中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE=BF.

（1）求证：A'F ⊥C'E ；

（2）当三棱锥B'－BEF 的体积取得最大值时，求二面角B'－EF －B 的大小.（结果用反三角函数表示）

（1）利用空间直角坐标系证明；

（2）arctan2

(02春) 如图，三棱柱OAB-O 1A 1B 1，平面OBB 1O 1

⊥平面OAB ，O 1OB=60°，∠AOB=90°，且OB= OO 1=2，OA=√3。

求：（１）二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；

（２）异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。

（上述结果用反三角函数值表示）

[解] （1）取OB 的中点D ，连结O 1D ，则O 1D ⊥OB 。 ∵平面OBB 1O 1⊥平面OAB ， ∴O 1D ⊥平面OAB

过D 作AB 的垂线，垂足为E ，连结O 1E ，则O 1E ⊥AB 。 ∴∠DEO 1为二面角O 1-AB-O 的平面角。 由题设得O 1D=√3， ∴DE=DBsin ∠OBA=√21/7. ∵在Rt △O 1DE 中，tg ∠DEO 1=√7, ∴∠DEO 1=arctg√7.即二面角O 1-AB-O 的大小为arctg√7.

(2)以O 点为原点，分别以OA 、OB 所在直线为x 、y 轴、过O 点且与平面AOB 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则 O （0，0，0），O1（0，1，√3），A （√3，0，0），A1（√3，1，√3），B （0，2，0）。 设异面直线A 1B 与AO 1所成角为α，

(02)如图，在直三棱柱'''O B A ABO -中，4'=OO ， 90,3,4=∠==AOB OB OA ，D 是

线段''B A 的中点，P 是侧棱'BB 上的一点，若BD OP ⊥

OP 与底面AOB 所成角的大小。（结果用反三角函数值表

示）

[解法一]

如图,以O 点为原点建立空间直角坐标系

由题意，有)4,2,2

3

(),0,0,3(D B 设),0,3(z P ，则

},0,3{},4,2,2

3

{z =-=

因为OP BD ⊥

042

9

=+-=?z

8

9=z

因为⊥'BB 平面AOB

POB ∴是OP 与底面AOB 所成的角

8

38

3arctg

POB POB tg =∠∴=

∠

[解法二]取''B O 中点E ，连结DE 、BE ，则

y

P

B

P

⊥DE 平面''O OBB

BE ∴是BD 在平面''O OBB 内的射影。 又因为BD OP ⊥

由三垂线定理的逆定理，得BE OP ⊥

在矩形''O OBB 中，易得E BB Rt OBP Rt '~?? ,''BB OB E B BP =∴得8

9=BP

（以下同解法一）

(03春)已知三棱柱111C B A ABC -，在某个空间直角坐标系中， 1A 1B

}.,0,0{},0,0,{},0,2

3,2{1n AA m m m ==-= 其中0,>n m C

(1) 证明：三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱； A B (2) 若n m 2=，求直线1CA 与平面11ABB A 所成角的大小.

（2）

4

π (03)已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥平面ABCD ，AB=4，AD=2.若B 1D ⊥BC ，直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，求平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积. [解]连结BD ，因为B 1B ⊥平面ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以BC ⊥BD.

在△BCD 中，BC=2，CD=4，所以BD=32.

又因为直线B 1D 与平面ABCD 所成的角等于30°，所以 ∠B 1DB=30°，于是BB 1=

3

1BD=2.

故平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为S ABCD ·BB 1=38. (04春)如图,点P 为斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点,PM ⊥BB 1交AA 1于点M,PN ⊥BB 1交CC 1于点N. (1) 求证：CC 1⊥MN;(6分)

(2) 在任意△DEF 中有余弦定理： DE 2=DF 2+EF 2－2DF·EFcos ∠DFE.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明.(8分) 证明：(1) ∵CC 1∥BB 1, ∴CC 1⊥PM, CC 1⊥PN,且PM 、PN 相交于点P,

∴CC 1⊥平面PMN. ∵MN ?平面PMN, ∴CC 1⊥MN. 解：(2)在钭三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,有 S 2

11A ABB =S 2

11B BCC +S 2

11A ACC －2S 11B BCC S 11A ACC cosα

其中α为平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角

∵ CC 1⊥平面PMN, ∴平面CC 1B 1B 与平面CC 1A 1A 所组成的二面角为∠MNP … 在△PMN 中,PM 2=PN 2+MN 2－2PN·MNcos ∠MNP,

PM 2·CC 21= PN 2·CC 21+ MN 2·CC 21－2(PN·CC 1)(MN·CC 1) cos ∠MNP

由于S 11B BCC = PN·CC 1, S 11A ACC = MN·CC 1, S 11A ABB =PM·BB 1及CC 1=BB 1,

则S 211A ABB =S 211B BCC +S 211A ACC －2S 11B BCC S 11A ACC cosα

(04)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 【解】由题意得

xy+41x 2=8,∴y=

x x 482-

=4

8x x -(0

2

)=(23+2)x+x 16≥4246+.

当(

23+2)x=x

16

,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.

(05春)已知正三棱锥ABC P -的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为 60. （1）证明：BC PA ⊥；

（2）求底面中心O 到侧面的距离

[证明]（1）取BC 边的中点D ，连接AD 、PD ，

则BC AD ⊥，BC PD ⊥，故⊥BC APD . …… 4分

∴

BC PA ⊥. [解]（2）如图， 由（1）可知平面⊥

PBC 平面APD ，则PDA ∠是侧面与底面所成二面角的平面角.

过点O 作E PD OE ,⊥为垂足，则OE 就是点O 到侧面的距离. …… 9分

设OE 为h ，由题意可知点O 在AD 上， ∴ 60=∠PDO ，h OP 2=.

h BC h OD 4,3

2=∴=

, …… 11分

∴ 2234)4(43

h h S ABC ==

?， ∵ 3

23

3823431372h h h =

??=，∴ 3=h . 即底面中心O 到侧面的距离为3.

(05文)已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,AB=4,AD=2.B 1D 与平面ABCD 所成角的大小为60°,求异面直线B 1D 与MN 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解]联结B 1C,由M 、N 分别是BB 1和BC 的中点,得B 1C ∥MN, ∴∠DB 1C 就是异面直线B 1D 与MN 所成的角.

联结BD,在Rt △ABD 中,可得BD=25,又BB 1⊥平面ABCD, ∠B 1DB 是B 1D 与平面ABCD 所成的角, ∴∠B 1DB=60°.

在Rt △B 1BD 中, B 1B=BDtan60°=215, 又DC ⊥平面BB 1C 1C, ∴DC ⊥B 1C, 在Rt △DB 1C 中, tan ∠DB 1C=

2

12

121=

+=BB BC DC C

B DC

, ∴∠DB 1C=arctan

2

1

. 即异面直线B 1D 与MN 所成角的大小为arctan

2

1. (05理)已知直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中, AA 1=2底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD,AB=4,AD=2,DC=1,.求异面直线BC 1与DC 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

[解]由题意AB ∥CD,∴∠C 1BA 是异面直线BC 1与DC 所成的角.连结AC 1与AC,在Rt △ADC 中,可得AC=5. 又在Rt △ACC 1中,可得AC 1=3. 在梯形ABCD 中,过C 作CH ∥AD 交AB 于H, 得∠CHB=90°,CH=2,HB=3, ∴CB=13. 又在Rt △CBC 1中,可得BC 1=17,

在△ABC 1中,cos ∠C 1BA=

17173,∴∠C 1BA=arccos 17

17

3

异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos

17

17

3 另解:如图,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在 直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系. 则C 1(0,1,2),B(2,4,0), ∴1BC =(-2,-3,2),

CD =(0,-1,0),设1BC 与CD 所成的角为θ,

则

=

17173,θ= arccos 17

17

3. 异面直线BC 1与DC 所成角的大小为arccos

17

17

3 (06春)在长方体1111D C B A ABCD -中，已知DA=DC=4,DD 1=3,求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小(结果用反三角函数表示). [解法一]连接A 1D ∵A 1D ∥B 1C, ∴∠BA 1D 是异面直线A 1B 与B 1C 所成的

角 ……4分 连接BD,在△A 1DB 中,AB=A 1D=5,BD=42 ……6分

cos ∠BA 1D=D

A B A BD D A B A 112

21212??-+

=

552322525??-+=25

9

……10分

∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为arccos

25

9

……12分 [解法二]以D 为坐标原点,DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. ……2分 则A 1(4,0,3) 、B(4,4,0) 、B 1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得A 1=(0,4,-3),B 1=( -4,0,-3) ……6分 设A 1与B 1的夹角为θ,

=

25

9

……10分 ∴异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小为arccos

25

9 (06文)在直三棱柱ABC ABC -中，90,1ABC AB BC ∠===.

（1）求异面直线11B C 与AC 所成的角的大小；

（2）若1AC 与平面

ABC S 所成角为45，求三棱锥1A ABC 的体积 解：(1) ∵BC ∥B 1C 1, ∴∠ACB 为异面直线B 1C 1与AC 所成角(或它的补角)

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°, ∴异面直线B 1C 1与AC 所成角为45°. (2) ∵AA 1⊥平面ABC,

∠ACA 1是A 1C 与平面ABC 所成的角, ∠ACA =45°.

∵∠ABC=90°, AB=BC=1, AC=2, ∴AA 1=2.

∴三棱锥A 1-ABC 的体积V=

31S △ABC ×AA 1=2

6

. (06理)在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60

．

（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；

（2）若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）

[解]（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO ⊥平面ABCD,得

∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角,

∠PBO=60°.

在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO, 于是,PO=BOtg60°=3,而底面菱形的面积

为23.

∴四棱锥P-ABCD 的体积V=3

1

×23×3=2.

（2）解法一：以O 为坐标原点,射线OB 、OC 、

OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.

在Rt △AOB 中OA=3,于是,点A 、B 、 D 、P 的坐标分别是A(0,－3,0), B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, 3).

E 是PB 的中点,则E(

21,0,23) 于是=(23,0, 2

3),=(0, 3,3).

P A

C

D

O

E

设与的夹角为θ,有cosθ=

42334

3

4923

=+?+,θ=arccos 42, ∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos 4

2

； 解法二：取AB 的中点F,连接EF 、DF.

由E 是PB 的中点,得EF ∥PA ， ∴∠FED 是异面直线DE 与PA 所成 角(或它的补角)，

在Rt △AOB 中AO=ABcos30°=3=OP ， 于是, 在等腰Rt △POA 中，

PA=6，则EF=

2

6. 在正△ABD 和正△PBD 中,DE=DF=3，

cos ∠FED=34621=DE EF

=4

2

∴异面直线DE 与PA 所成角的大小是arccos

4

2

. (07春)如图，在棱长为2的正方体D C B A ABCD ''''-中，F E 、分别是B A ''和AB 的中点，求异面直线F A '与CE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示） [解法一] 如图建立空间直角坐标系. …… 2分 由题意可知)0,1,2(),2,1,2(),0,2,0(),2,0,2(F E C A '. )2,1,2(),2,1,0(-=-='∴A . …… 6分 设直线F A '与CE 所成角为θ，则

3

5

3

55c o s =

?=

=θ

. …… 10分 3

5

a r c c o s =∴θ，

即异面直线F A '与CE 所成角的大小为3

5

arccos

. …… 12分 [解法二] 连接EB ， …… 2分

BF E A //' ，且BF E A ='，FBE A '∴是平行四边形，则EB F A //'， ∴ 异面直线F A '与CE 所成的角就是CE 与EB 所成的角. …… 6分

由⊥CB 平面A B AB ''，得BE CB ⊥. 在Rt △CEB 中，5,

2==BE CB ，则

5

5

2t a n

=∠C E B ， …… 10分 ∴ 5

5

2arctan

=∠CEB . ∴ 异面直线F A '与CE 所成角的大小为5

5

2arctan

. (07文)在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为

60，求

正四棱锥ABCD P -的体积V ．

解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O

是 正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 A B C D 所成的角．

PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．

1=AO ，2=

AB ，

11233ABCD V PO S ∴==?=

17．解： 由题意，得3

cos 5B B =，为锐角，5

4sin =B ，

10

2

74π3sin )πsin(sin =

??? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7

10

=

c ， ∴ 1

11048sin 22

2

757

S ac B ==??

?=． (07理) 如图，在体积为1的直三棱柱111C B A ABC -中，1,90===∠BC AC ACB ．

求直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 解法一： 由题意，可得体积

11

111

122

ABC V CC S CC AC BC CC ====△， ∴ 211==CC AA ．

连接1BC ．

1111111AC B C AC CC ⊥⊥，，

P

B

C

A D

⊥∴11C A 平面C C BB 11，

11BC A ∠∴是直线B A 1与平面C C BB 11所成的角． 522

11=+=

BC CC BC ，

5

1

t a n 11111=

=

∠∴BC C A BC A ，则 11BC A ∠＝55arctan ． 即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为5

5

arctan

． 解法二： 由题意，可得 体积11111

122

ABC V CC S CC AC BC CC ?====， 21=∴CC ，

如图，建立空间直角坐标系． 得点(010)B ，，， 1(002)C ，，，1(102)A ，，． 则1(112)A B =--，，，

平面C C BB 11的法向量为(100)n =，，．

设直线B A 1与平面C C BB 11所成的角为θ，A 1与的夹角为

?， 则116

cos 6A B n A B

n

?=

=-

6

6arcsin ,66|cos |sin ===∴θ?θ，

即直线B A 1与平面C C BB 11所成角的大小为6

6

arcsin

． 17．解： 由题意，得3

cos 5B B =，为锐角，5

4sin =B ，

102

74π3sin )πsin(sin =

??

? ??-=--=B C B A ， 由正弦定理得 7

10=c ， ∴ 111048

sin 222757S ac B ==???=．