高考数学专题-函数的单调性和最值(原卷版),题题经典!
一、函数单调性的判断
方法一 定义法
例1 证明函数()(0)a
f x x a x
=+>在区间)+∞是增函数。
例2 判断并证明：2
1
()1f x x =+在(,0)-∞上的单调性．
【变式演练1】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2
1()f x x x
=+. （1）求()f x 的表达式；
（2）判断并证明函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性.
例3 定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()
0f m f n m n
+>+.
（1）比较1()2f 与1()3
f 大小；
（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；
（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024
f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围.
【变式演练2】已知函数2
()1ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且12
()25
f =． （1）求()f x 的解析式；
（2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数； （3）解不等式(1)()0f t f t -+<．
方法二 导数法
例4 已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f ，讨论函数)(x f 的单调性；
【变式演练3】已知函数32()39f x x x x a =-+++．求()f x 的单调递减区间；
方法三 复合函数分析法
例5 求函数2
0.7log (32)y x x =-+的单调区间；
【变式演练4】已知定义在R 上的函数)(x f y =是偶函数，且0≥x 时，)22ln()(2
+-=x x x f . （1）当0 方法四 图像法 例6 求函数2()||f x x x =-+的单调区间。 二、利用函数的单调性求最值 例7 已知函数2 ()1 f x x =-，求函数在区间[2,4]上的最值. 【变式演练5】函数2 ()21f x x ax =-+在闭区间[1,1]-上的最小值记为()g a ． （1）求()g a 的解析式；（2）求()g a 的最大值． 【高考再现】 1. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0, log (1)13,0 3)a x a x a x x x ?+0,且a ≠1）在R 上单调递减， 且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0， 23] （B ）[23，3 4 ] （C ）[13，23] { 3 4 }（D ）[13，23） { 3 4 } 2.【2016高考天津理数】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）上单调递增.若实数a 足 1 (2 )(a f f ->，则a 的取值范围是______. 3.【2016年高考北京理数】设函数错误！未找到引用源。 ①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 4.【2015高考浙江，理10】已知函数223,1()lg(1),1x x f x x x x ?+-≥? =??+ ，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是 ． 5. 【2015高考湖北，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >?? ==??- ()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ） A ．sgn[()]sgn g x x = B ．sgn[()]sgn g x x =- C ．sgn[()]sgn[()]g x f x = D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 6.【2015高考北京，理14】设函数()()()2142 1.x a x f x x a x a x ?- =?--?? ???≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ； ②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 7. 【2015高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()2 1x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记 ()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为( ) （A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a << 8.【2015湖南，理2】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ） A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数 9.【2015高考北京，理14】设函数()( )()2142 1.x a x f x x a x a x ?- =?--?????≥ ①若1a =，则()f x 的最小值为 ； ②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 10. 【2014高考陕西，理7】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ） （A ）()1 2f x x = （B ） ()3f x x = （C ）()12x f x ?? = ??? （D ）()3x f x = 11. 【2014山东.理5】 已知实数,x y 满足(01)x y a a a <<<，则下列关系式恒成立的是（ ） A.3 3x y > B.sin sin x y > C.2 2ln(1)ln(1)x y +>+ D. 22 11 11 x y >++ 【反馈练习】 1. 【2017届山西康杰中学高三10月月考数学（理）试卷】已知(12),1()1 log ,1 3x a a x f x x x ?-≤? =?+>??，当12x x ≠时，1221 ()() 0f x f x x x ->-，则a 的取值集合是（ ） A ．? B ．1 (0,]3 C ．11,32 ?? ???? D ．1 (0,)3 2. 【2017届山西康杰中学高三10月月考数学（理）试卷】若函数2 ()2(2)||f x x x a x a =+--在区间(3,1)-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]4,1- B ．[] 3,1- C ．()6,2- D ．()6,1- 3. 【2017届山东寿光现代中学高三10月月考数学（文）试卷】设函数x x x f ln 92 1)(2 -= 在区间]1,1[+-a a 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21≤ B ．4≥a C ．2≤a D ．30≤ 4. 【2017届湖南衡阳八中高三10月月考数学（理）试卷】下列函数中，在区间()1,+∞上为增函数的是（ ） A ．21x y =-+ B ．1x y x = - C ．()12 log 1y x =- D ．()2 1y x =-- 5. 【2017届云南曲靖一中高三上月考二数学（理）试卷】若曲线x x x f ln 2 1)(2 +-=在其定义域内的一个子区间)2,2(+-k k 内不是单调函数，则实数k 的取值范围是______. 6. 【2017届山西康杰中学高三10月月考数学（文）试卷】已知函数2 ()f x x bx =+，若函数(())y f f x =的最小值与函数()y f x =的最小值相等，则实数b 的取值范围是 ． 7. 【2016-2017学年河北邢台市高一上学期月考一数学试卷】已知函数2 1()f x ax x =- ，且11 ()4()32 f f -=.（1）用定义法证明：函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（2）若存在[1,3]x ∈，使得()|2|f x x m <-+，求实数m 的取值范围 8. 【2017届山东潍坊临朐县高三10月月考数学（文）试卷】设函数31 ()2log 1x f x x ax -=+-为奇函数，a 为常数.（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性，并写出单调区间； 9. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学（理）试卷】函数9()log (8)a f x x x =+-在[)1,+∞上是增函数，求a 的取值范围． 10. 【2016-2017学年重庆市十八中高一上学期第一次月考数学试卷】已知二次函数bx ax x f +=2 )(满足：①0)2(=f ，②关于x 的方程x x f =)(有两个相等的实数根．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）求函数)(x f 在[0,3]上的最大值。 11.【2016-2017学年江西省上高二中高一上学期第一次月考数学试卷】已知函数22 1,1 ()1,1 x ax x f x ax x x ?++≥?=?++ 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） － 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间 (1)y＝|x2＋2x－3| (2)y (3)y ＝ ＝ x x x x x 2 2 2 11 23 - -- --+ || 解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4． 先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像，如图2．3－1所示． 由图像易得： 递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞) 递减区间是(－∞，－3]，[－1，1] (2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x． 当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1) 减区间是[1，2)和(2，＋∞) (3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1． 令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1] 上是在x∈[－1，1] 上是． 而＝在≥上是增函数． y u0 u ∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]． 【例2】函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范 围． 解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数． 当≠时，对称轴＝ ， 若＞时，由＞≤，得＜≤． a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a a --??? ?? 若a ＜0时，无解． ∴a 的取值范围是0≤a ≤1． 【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小： (1)f(6)与f(4) (2)f(2)f(15)与 解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4) (2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜ ＜，函数在≥15 时为减函数． ∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2) 【例4】判断函数＝ ≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 2 1 - 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2． ∵－＝ ∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴ ＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 100 12121221a x x x x x x x x x x x x ()()()() ()()()() 122112 22 12 12 122112 22 111111+---+--- 当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数． 当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数． 【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数． 证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2． ∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0 2112221212 1212 1222 122 121212 1222证法一 单调性与最大（小）值 要点一、函数的单调性 1．增函数、减函数的概念 一般地，设函数f(x)的定义域为A ，区间D A ?： 如果对于D 内的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1 立体几何中探索性问题 立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法． 【例1】（2018?全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=?，1AA BC ⊥， 124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥． （1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ； （2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得//DE 平面1ABC ．若存在，求二面角1E AC B --的余弦值． 【解答】证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，1AA AB ∴⊥， 又1AA BC ⊥，AB BC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1A A AC ∴⊥． 又1A A AC =，11AC AC ∴⊥．又11 BC AC ⊥，111BC AC C =，1 AC ∴⊥平面1ABC ， 又1A C ?平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ． （2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ， //EF AB ，1//DF AC ，又EF DF F =，1AB AC A =， ∴平面//EFD 平面1ABC ，则有//DE 平面1ABC ． 设点E 到平面1ABC 的距离为d ， AB AC ⊥，且1AA AB ⊥，AB ∴⊥平面11A ACC ，1AB AC ∴⊥， ∴1 1 22 BAC S =?= 1A A AC ⊥，AB AC ⊥，AC ∴⊥平面11A ABB ， 11//AC AC ，11AC ∴⊥平面11ABB ， ∴111 1118 2243323 C ABE ABE V S AC -?=??=????=， 由118 3 E ABC C ABE V V --== ，解得1 88 3 33ABC d S =? == 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 经典例题透析 类型一、函数的单调性的证明 1．证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1>0 则 ∵x1>0，x2>0，∴∴上式<0，∴△y=f(x2)-f(x1)<0 ∴上递减. 总结升华： [1]证明函数单调性要求使用定义； [2]如何比较两个量的大小？(作差) [3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三： 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为，其中u=2x-1为增函数， 在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化→复合函数为增函数；内外层函数反向变化→复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值) 3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小. 解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则. 4. 求下列函数值域： (1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2]. 思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合. 解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图 1)f(x)在[5，10]上单增，； 1.3.1函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间 （1）12-=x y ; （2）322++-=x x y ; （3）2 )2(1-++=x x y ; （4）969622++++-=x x x x y 相应作业1：课本P32第3题. 题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 ?取值，即_____________________________； ?作差变形,作差____________,变形手段有__________、_____、_____、_______等； ?定号，即____________________________________________________________; ④下结论，即______________________________________________________。 例2.用定义法证明下列函数的单调性 （1）证明：1)(3 +-=x x f 在()+∞∞-,上是减函数. ▲定义法证明单调性的等价形式： 设[]b a x x ,21∈、，21x x ≠,那么 [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?>--? >--在[]b a ,上是增函数； [])(0) ()(0)()()(2 1212121x f x x x f x f x f x f x x ?<--? <--在[]b a ,上是减函数. (2)证明：x x x f -+=1)(2在其定义域内是减函数； （3）证明：21 )(x x f = 在()0,∞-上是增函数； 法一： 作差 法二：作商 备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品 第三篇 立体几何 专题04 立体几何的探索性问题 【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】 如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点． （1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值； （2）点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4 5 ，求λ的值． 【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】 如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ?==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且 ,EB CB ED CD ==. （1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论； （2）求二面角A EC D --的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】 如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，1 2 BC CD AD == . （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ； （Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AB ； （Ⅰ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由. 【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】 在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC E 、G 分别为PC 、P A 的中点. （1）求证：平面BCG ⊥平面P AC ； （2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求 AN NC 的值； （3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值 【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=?，1AB BC ==，2PA AD ==． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由． 【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】 直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=?， E 、 F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证： （1）//EF 平面11AAC C ； （2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】 如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝DE ＝ 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 二、探索性问题 近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人材的需要，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，学生在学习数学知识时，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程，其探索方法是学生应该学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。 一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探索性问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。 探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。 猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是：从所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。 存在型问题是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在，则需要说明理由。解答这一类问题时，我们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。 分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。 探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。 Ⅰ、再现性题组： 1.是否存在常数a、b、c，使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝n n() +1 12 (an2＋ bn＋c)对一切自然数n都成立？并证明你的结论。（89年全国理） 2.已知数列 81 13 22 · · ， 82 35 22 · · …， 8 2121 22 · · n n n ()() -+ ，…。S n 为其前n项和，求 S 1、S 2 、S 3 、S 4 ，推测S n 公式，并用数学归纳法证明。（93年全国理） 【简解】1题：令n＝1、2、3代入已知等式列出方程组，解得a＝3、b＝11、c＝10， 猜测a、b、c的值对所有的n∈N都成立，再运用数学归纳法进行证明。（属于是否存在型问题，也可属于猜想归纳型问题） 2题：计算得到S 1＝ 8 9 、S 2 ＝ 24 25 、S 3 ＝ 48 49 、S 4 ＝ 80 81 ，观察后猜测S n ＝ () () 211 21 2 2 n n +- + ， 再运用数学归纳法进行证明。 Ⅱ、示范性题组： 函数的性质的运用 1．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 y f x =()图象上的是（ ） A.(())a f a ，- B.(())--a f a ， C.(())---a f a ， D.(())a f a ，- 2. 已知函数)(1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?= 是奇函数，则a 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．1 D ．2 3．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若1 1)()(-= +x x g x f ，则f （x ） 的解析式为_______． 4．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有 实根之和为________． 5.定义在R 上的单调函数f (x )满足f (3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f (x+y )=f (x )+f (y )． (1)求证f (x )为奇函数； (2)若f (k ·3x )+f (3x -9x -2)＜0对任意x ∈R 恒成立， 求实数k 的取值范围． 6.已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f()2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 7.函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2 -m-2)＜3. 8.设f （x ）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，)()()(y f x f y x f -= （1）求证：f （1）=0，f （xy ）=f （x ）+f （y ）； （2）设f （2）=1，解不等式2)3 1 ( )(≤--x f x f 。 9.设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同 的实数根，则这6个实根的和为（ ） A ． 0 B ．9 C ．12 D ．18 10.关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 123 2 x x <<， 则实数m 的取值范围 11.已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =， 则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12.已知函数()f x 满足：4x ≥，则()f x ＝1()2 x ；当4x <时()f x ＝(1)f x +，则 2(2log 3)f +＝ A 124 B 112 C 18 D 38 13.已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f ( 2 1 )=－1,当且仅当0 函数的单调性和奇偶性 例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间． 解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数． 评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上． （2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围． 分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征． 解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x ＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3． 评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合． 例2判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝- （2）f（x）＝（x-1）． 解：（1）f（x）的定义域为R．因为 f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜ ＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）． 所以f（x）为奇函数． （2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数． 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： （1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称． （2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f（-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性． 例3已知函数f（x）＝． （1）判断f（x）的奇偶性． （2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论． 解：因为f（x）的定义域为R，又 f（-x）＝＝＝f（x）， 所以f（x）为偶函数． （2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数． 其证明：取x1＜x2＜0， f（x1）-f（x2）＝- ＝＝． 因为x1＜x2＜0，所以 x2-x1＞0，x1+x2＜0， x21+1＞0，x22+1＞0， 得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）． 所以f（x）在（-∞，0）上为增函数． 评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反． 例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论． 高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法：)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法：设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f （x ）=x 3﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169=--y x ） （2）若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围、 （提示：设曲线)(x f y =上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。（答案：m 的范围是()2,3--） 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= （1）求过点（1，-3）与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案：（03=+y x 或027415=--y x ） （2）证明：过点（-2,5）与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切，求a 的值. （答案：1） 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法：设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为（)(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问 题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值. 3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2. (1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值. 5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD为菱形,且∠A=60°,取AD中点为E.现将四边形EBCD沿BE折起至EBHG,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE⊥平面EBHG; (2)求二面角A-GH-B的余弦值; (3)若点F满足=λ,当EF∥平面AGH时,求λ的值. 函数的单调性及典型习题 一、函数的单调性 1、定义： （1）设函数y f (x) 的定义域为A，区间 M A ，如果取区间 M 中的任意两个值x1, x2 ,当改变量x 2 x1 时，都有f ( x 2) f ( x1 ) 0，那么就称函数y f ( x) 在区间M上是增函数，如图（1）当改变量x2x10 时，都有 f ( x2 ) f (x1) 0，那么就称函数y f (x) 在区间M上是减函数，如图（2） 注意：函数单调性定义中的x1,x2有三个特征,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．2、巩固概念： 1、定义的另一种表示方法 如果对于定义域I内某个区间 D 上的任意两个自变量x1,x2,若f ( x 1 ) f (x2 )0 即 x1x2 y ，则函数 y=f(x)是增函数，若f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即y0 ，则函数y=f(x)为减函数。 x1x2 x x 判断题： ①已知 f (x)1 1) f(2) ，所以函数 f ( x) 是增函数． 因为 f ( x ②若函数 f ( x) 满足 f (2) f (3)则函数 f ( x) 在区间2,3 上为增函数． ③若函数 f ( x) 在区间 (1,2] 和 (2,3) 上均为增函数，则函数 f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数． ④ 因为函数 1 在区间,0),(0,) 上都是减函数，所以 f ( x) 1 f ( x)在 x x ( ,0)(0, ) 上是减函数. 通过判断题，强调几点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域 ( 如一次函数 ) ，可以是定义域内某个 区间 ( 如二次函数 ) ，也可以根本不单调 ( 如常函数 ) ． ③单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 ④函数在定义域内的两个区间A,B 上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在 A B 上 是增（或减）函数． 熟记以下结论，可迅速判断函数的单调性． 1．函数 y ＝－ f （ x ）与函数 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 1 2．当 f （ x ）恒为正或恒为负时，函数 y ＝ f ( x) 与 y ＝ f （ x ）的单调性相反． 3．在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等 3．判断函数单调性的方法 （ 1）定义法． （ 2）直接法．运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数，二次函数的单 调性均可直接说出． （ 3）图象法． 例 1、证明函数 f ( x) 1 ）是减函数． 在（ 0， + x 练习 1：证明函数 f ( x) x 在 0, 上是增函数． 1 1 x 例 2、设函数 f （x ）＝ x 2 ＋ lg 1 x ,试判断 f （ x ）的单调性，并给出证明． 例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y ＝ |x 2 ＋ 2x － 3| x 2 2x (2)y ＝ 1| 1 |x (3)y ＝ x 2 2x 3 导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0 lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表 示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 例2：若' 0()3f x =-，则000 ()(3) lim h f x h f x h h →+--=（ ） A.3- B ．6- C ．9- D ．12- 例3：求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232 f x x x f '+=，则()='2f 例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π，则??? ??4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。 例1：一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） 高考数学必考知识点：数列问题篇 ?高考数学之数列问题的题型与方法 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3) 数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合 题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名 家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强 语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作 中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力， “教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
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