变化率问题的教学设计
《变化率问题》的教学设计
浙江省衢州高级中学舒燕芳
一.内容和内容解析
内容：平均变化率的概念及其求法。
内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
教学重点：函数平均变化率的概念。
二.目标和目标解析
目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。
目标解析：
1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，
体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
三.教学问题诊断分析
吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。
教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。
四.教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，准备投影仪、多媒体课件等。
1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。
2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。
五.教学过程设计
1.章引言
师生共同学习本章的章引言。
设计意图：充分利用章引言中提示的微积分史料，引导学生探寻微积分发展的线索，体会微积分的创立与人类科技发展之间的紧密联系，初步了解本章的学习内容，从而激发他们学习本章内容的兴趣。
2.形成概念
问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。
师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。
问题2：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。
师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。
思考：当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少?
设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现
从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。
师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正
确答案。
问题3：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么: （1）在00.5t ≤≤这段时间里,运动员的平均速度为多少？
（2）在12t ≤≤这段时间里, 运动员的平均速度
为多少？
设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。
师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。
探究：计算运动员在 65049
t ≤≤
这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。
师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（可以结合图像说明）。
思考：当运动员起跳后的时间从1t 增加到2t 时,运动员的平均速度是多
少?
设计意图：把问题3中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。
师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正
确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题2、3的共性。
定义：一般地,函数()y f x = 中，式子2121
()()f x f x x x --称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率。其中令21x x x ?=-，21()()y f x f x ?=-，则
2121()()f x f x y x x x
-?=-?。 设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。
思考：（1）,x y ??的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？ 设计意图：加深对概念内涵的理解。
师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。
思考：观察函数()f x 的图象平均变化率
2121()()f x f x y x x x
-?=-?表示什么?（图略）
设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。
3.应用举例
课堂练习一：求下列函数的平均变化率：
（1）1y = （2）1y x =+
设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。
师生活动：教师适当点拨，学生口答。
例：求函数21y x =+的平均变化率。
解：222()()()1(1)2y f x x f x x x x x x x ?=+?-=+?+-+=??+?
2
22y x x x x x x x ???+?==+??? 课堂练习二：设圆的面积为S ，半径为r ，求面积S 关于半径r 的平均
变化率.
设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。
从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。
师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：
（1）作差 （2）作商
最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。
4.总结提高
（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来
的？
（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？
（3）这节课主要用了哪些数学思想？
师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。
设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。
六.目标检测设计
（1）课本第10页习题1.1A 组:1
（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学来源于生活》、《生活中的平均变化率问题》
（3）备选作业：已知函数()(1)f x x x =+，求(0)(0)f x f x
+?-?的值： 设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置
（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。