组合截面几何性质代换
不同材料组合截面几何参数代换
幕墙设计中经常采用不同材料（如钢铝结合）组合截面以减小构件截面尺寸，提高构件强度和刚度。解决不同材料组合截面构件内力或变形主要有两种计算方法：其一是按超静定结构进行结构计算。根据两种材料构件几何变形谐调条件，建立补充方程，与静力平衡方程联立求解；其二是按不同材料弹性模量（E ）的比例，确定不同材料几何参数的比例关系，用一种材料代替另一种材料，将不同材料组合截面变为同种材料新组合截面，再进行结构计算。随着计算机的广泛应用，复杂的截面参数计算及几何图形缩放已变得极其简便易行。本文仅以弹性模量分别为E1，E2的两种不同材料，截面积分别为A10，A20，自身惯性矩分别为I10，I20的组合截面为例，简要介绍两种不同材料组合截面几何参数代换原理以及用计算机运算步骤。
1，不同材料截面几何参数关系推导
两种不同材料，不同截面的构件，在相同荷载作用下变形相同的条件是两者的刚度 1D ，2D 相等，
即：21D D = （1-1） 根据定义：111I E D ⨯=；222I E D ⨯= （1-2） 式中：1I ，2I 分别为不同材料截面的惯性矩 由（1-1），（1-2）得：2211I E I E ⨯=⨯， 整理得：
1
22
1I I E E = （1-3）
若两种材料弹性模量比例系数：1
2E E K = （1-4）
由（1-3），（1-4）得：2
1I I K =
（1-5）
若以第一种材料代替第二种材料，代换截面边长21,L L 换算系数 ：2
11L L K =
（1-6）
由（1-6）得两种材料截面面积21A A ，比例换算系数为：
2
12
12A A K K == （1-7）
换算截面面积：221A K A ⨯= （1-8）
由（1-6）得两种材料截面惯性矩比例关系为：2
14
1I I K K =
= （1-9）
换算截面惯性矩：21I K I ⨯= （1-10）
由（1-9）得材料边长比与弹性模量比的相互关系为：
4
1K K =；或 4
1K K =
（1-11）
换算截面抵抗矩：max
21min Y I W =
（1-12）
换算截面实际上是不存在的虚截面，其抵抗矩只适用原截面范围。等效计算时，弹性模量采用代换材料的弹性模量1E 。
2，不同材料组合截面材料代换几何参数计算
1）基本数据
两种不同材料截面组成组合截面，其弹性模量；截面面积；自身惯性矩分别为1E ，2E ；
10A ，20A ；10I ，20I 。
2）两种材料相关系数
两种材料弹性模量比例系数：1
2E E K =
（1-4）
两种材料截面长度比例系数：214
1L L K K =
=
（2-1）
两种材料截面面积比例系数：212A A K K ==
（2-2）
两种材料截面惯性矩比例系数： 2
1I I K = （1-5）
3）代换截面几何参数
若以第一种材料代替第二种材料
代换截面面积：20221A K A = （3-1） 代换截面惯性矩：2021I K I = （3-2）
换算截面抵抗矩：max
21min Y I W =
（3-3）
换算截面实际上是不存在的虚截面，其抵抗矩只适用原截面边界范围。 4），组合截面形心坐标系
两种不同材料截面组成组合截面，以一种材料截面按比例代替另一种材料截面，构成同一种材料的新代换组合截面。组合截面物理性能不变的基本条件是截面代换前后代换截面的形心轴位置不变，即截面代换必须以截面形心轴为基线进行。
任选一坐标系，组合截面形心轴位置为：
∑∑===
21
2
1
*i i
i i
A
Xi
A
X ； （4-1）
∑
∑
===
2
1
2
1
*i i
i i
i A Y A Y （4-2） 以（X ，Y ）为原点，建立组合截面形心坐标系
5）组合截面几何参数
组合截面面积： 2110A A A +=101
210A K
A ⨯+= （5-1）
组合截面惯性矩：X I =x I 10+10A ×2
10Y +x I 21+21A ×2
21Y （5-2） y I =y I 10+10A ×2
10X +y I 21+21A ×2
21X （5-3） 组合截面抵抗矩：max
min i X X Y I W =
； （5-4）
max
min i Y Y X I W =
（5-5）
组合截面惯性半径：
A I r X X =； （5-6）
A
I r Y y = （5-7）
3 利用“AUTOCAD ”计算机辅助设计程序确定组合截面参数
两种不同材料组合截面的弹性模量分别为E1，E2的，截面积分别为A10，A20，自身惯性矩分别为I10，I20
1）截面放大系数1K 计算 4
1
24
1E E K K =
=
2）利用“AUTOCAD ”计算机辅助设计程序绘制组合截面图形（图--1）；
3）沿计算形心轴将被代换“截面2”平移出组合截面至“截面1”互不相碰处（图--2）； 4）以“截面2”形心为基点，缩放“截面2”，成“截面21”，缩放系数为1K 倍（图--3）； 5）确定“截面1”，“截面21”面域，计算代换后组合截面（图--4）几何参数； 所得截面惯性矩，抵抗矩仅对与图形平移方向平行的组合截面形心轴有效，与其垂直方向惯性矩，抵抗矩按2）~5）步骤另行计算（略）。
材料力学截面的几何性质答案
15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形 的底边平行，相距1 m。 解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用 平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩
再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-4(I-11) 试求图示各组合截面对其对称轴的惯性矩。
解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图 所示。惯性矩计算如下： 返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示， 试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和 。
解：先求形心主轴的位置 即 返回 15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。 根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对， 轴的惯性矩分别是 ； 若 即
工程力学-截面的几何性质
4 截面的几何性质 1、本章主要研究构件截面图形的几何性质，重点内容为静矩、惯性矩的定义，平行移轴公式，主轴和主惯性矩的概念。通过本章的学习，要求着重掌握对称组合截面形心主惯性矩的计算。 2、本章所介绍的截面几何性质的定义式在 平面内列表于下： 3、惯性矩和惯性积的平行移轴公式 A a I I zc z 2+= A b I I yc y 2 += abA I I zcyc zy += 应注意 和 轴通过截面形心。 4、转轴公式、主惯性轴 （1）转轴公式 αα2sin 2cos 221zy y z y z z I I I I I I --+ += αα2sin 2cos 2 2 1zy y z y z y I I I I I I +-- += αα2cos 2sin 2 11zy y z y z I I I I +-= 应注意：
① 角度α的正负号规定：从原坐标轴量起，以逆时针转向为正； 坐标系之间的惯性矩关系为：p z y z y I I I I I =+=+11。 （2）主惯性轴与主惯性矩 ① 惯性积为零的坐标轴称为主惯性轴。 ② 主惯性轴的方位 y z zy I I I -- =22tan 0α ③ 主惯性矩——面积对主惯性轴的惯性矩： 2222 0zy y z y z z I I I I I I +???? ??-++= ，2 2 220 zy y z y z y I I I I I I +??? ? ??--+= 5、任何截面图形必定存在一对形心主轴，它具有下列特性： (1) 整个截面对形心主轴的静矩为零； (2) 整个截面对-对形心主轴的惯性积为零； (3) 在所有与-形心主轴平行的轴中，截面对形心主轴的惯性矩最小； (4) 在所有通过形心的各轴中，截面对-对形心主轴的惯性矩，必取最大值和最小值。 (5) 通过截面形心并包含对称轴的-对轴，必定是形心主轴。 4.1 图4.1所示截面的抛物线方程为( ) 2 2/1b z h y -=，求此截面的静矩S z 、S y 及形心坐标。 [解] 图4.1所示的微面积dzdy dA =，图形的面积 () bh dy dz dA A b y h b A 32 2 2/10 = ==? ??- 对z 、y 轴的静矩分别为 ( ) ?? ??-===b b y h A z ydy dz ydydz ydA S 0 10 2 2/ 解题范例 图4.1
组合变形截面计算
附录I 截面的几何性质 15-115-215-315-415-515-615-7 15-1(I-8) 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。 解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得 截面对形心轴的惯性矩 所以 再次应用平行轴定理，得 返回 15-2(I-9) 试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩 再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩 返回 15-3(I-10) 试求图示组合截面对于形心轴的惯性矩。 解：由于三圆直径相等，并两两相切。它们的圆心构成一个边长为的等边三角形。该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴的距离是 上面一个圆的圆心到轴的距离是。 利用平行轴定理，得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回
15-4(I-11) 试求图示各组 合截面对其对称轴的惯性 矩。 解：（a）22a号工字钢对其对称轴的惯性矩是。 利用平行轴定理得组合截面对轴的惯性矩 （b）等边角钢的截面积是，其形心距外边缘的距离是28.4 mm，求得组合截面对轴的惯性矩如下： 返回 15-5(I-12) 试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。关于形心位置，可利用该题的结果。 解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。惯性矩计算如下： 返回 15-6(I-14) 在直径的圆截面中，开了一个的矩形孔，如图所示， 试求截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩和。 解：先求形心主轴的位置
即 返回 15-7(I-16) 图示由两个20a号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴 的惯性矩和相等，则两槽钢的间距应为多少？ 解：20a号槽钢截面对其自身的形心轴、的惯性矩是， ；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离 是。 根据惯性矩定义和平行轴定理，组合截面对，轴的惯性矩分别是 ； 若 即 等式两边同除以2，然后代入数据，得
惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式
惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式 截面图形的几何性质 一.重点及难点： (一).截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对y 、z 轴的静矩分别为 ??==A A y ydA Sx xdA S （I-1） 2.形心与静矩关系 图I-1 设平面图形形心C 的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = ， A S x y = （I-2） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ），则静矩0=y S ；同理，如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3.组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ??321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为??332211,,,y x y x y x ；；，则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 1 1 11S （I-3） 截面图形的形心坐标为 ∑∑=== n i i n i i i A x A x 1 1 ， ∑∑=== n i i n i i i A y A y 1 1 （I-4） 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。 (2) 静矩有的单位为3m 。 (3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。 （二）.惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩 定义 设任意形状的截面图形的面积为A （图I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为 ?=A p dA I 2ρ （I-5） 图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 ?=A y dA x I 2 ， dA y I A x ?=2 （I-6） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。
史上最全的常用截面几何特性计算公式
史上最全的常用截面几何特性计 算公式 构件截面的几何性质，如静力矩、形心、轴向惯性矩、极惯性矩、惯性积和主惯性轴位置等，对构件的承载能力有影响，常用于分析构件的弯曲、扭转和剪切。 1.静态力矩:也称为面积力矩或静态表面力矩。截面对轴线的静力矩等于每个微区的积分乘以整个截面上微区到轴线的距离。静力矩可以是正的，也可以是负的。它的维数是长度的三次方。静力矩的力学意义是:如果有均布载荷作用在截面上，其值表示为单位面积的量，则该载荷在某一轴上的合成力矩等于分布载荷乘以该轴的静力矩。 2、形心：又称面积中心或面积重心，是截面上具有如下性质的点：截面对通过此点任一个轴的静矩等于零。如果将截面看成一均质等厚板，则截面的形心就是板面的重心。形心坐标xo、yo的计算公式为： 3、惯性矩：反映截面抗弯特性的一个量，简称惯性矩。截面对某个轴的轴惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到轴的距离的平方在整个截面上的积分。下图所示的面积为A的截面对x、y轴的轴惯性矩分别为： 转动惯量总是正的，量纲是长度的四次方。构件的抗弯能力与轴的惯性矩成正比。一些典型截面的轴惯性矩可在专业手册中找到。例如，平行四边形对中心线的惯性矩为 4、极惯性矩：反映截面抗扭特性的一个量。截面对某个点的极惯性矩等于截面上各微面积乘微面积到该点距离的平方在整
个截面上的积分。下图所示面积为A的截面对某点O的极惯性矩为： 极惯性矩永远是正的，量纲是长度的四次方。构件的抗扭能力与惯性矩成正比。圆形截面相对于其中心的惯性矩为 5、惯性积：截面对于两个正交坐标轴的惯性积等于截面上各个微面积乘微面积到两个坐标轴的距离在整个截面上的积分。面积为A的截面对两个正交坐标轴x、y的惯性积为: 惯性积的量纲是长度的四次方。截面位于坐标系的一、三象限,Ixy为正，位于二、四象限则为负。 6.主惯性轴:使截面惯性积为零的一对正交坐标轴称为截面主惯性轴，简称主轴。截面对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。若两条主惯性轴的交点为质心，则这两条轴称为质心主惯性轴(或称主质心惯性轴)。截面对它们的惯性矩称为质心主惯性矩(或主质心惯性矩)。 一般结构件的截面特征主要包括形心、静力矩、惯性矩、惯性积、扭转截面系数、弯曲截面系等几何量。这些截面参数对实际的结构设计或优化具有非常重要的参考价值。以下是常用截面几何特性的计算公式。 【免责声明】本所发布的内容和资料来源于个人总结、技术论坛、文档、软件帮助文档和互联网等。，并且他们在判断文章中的观点时是中立的。如果您认为文章中的来源标签与事实不符，如有涉及版权，请告知我们，我们将及时修改删除。感谢您的关注！ 手指动一动，关注CAE之家，惊喜多多哦！
常用截面几何性质计算公式JX
常用截面几何性质计算公式JX 截面几何性质是指用于描述截面形状和尺寸的参数。在工程学和材料科学中，了解截面几何性质对于设计和分析结构是非常重要的。下面介绍一些常用的截面几何性质计算公式。 1. 惯性矩（Moment of Inertia）： 惯性矩是描述截面抗弯刚度的参数，通常用I表示。常见的几何形状的惯性矩公式如下： 矩形截面：I=(b*h^3)/12，其中b为截面宽度，h为截面高度。 圆形截面：I=π*d^4/64，其中d为截面直径。 方形截面：I=d^4/12，其中d为截面边长。 等边三角形截面：I=(b^4*√3)/36，其中b为截面边长。 2. 面积（Area）： 面积是描述截面尺寸大小的参数，通常用A表示。常见的几何形状的面积公式如下： 矩形截面：A=b*h，其中b为截面宽度，h为截面高度。 圆形截面：A=π*(d/2)^2，其中d为截面直径。 方形截面：A=d^2，其中d为截面边长。 等边三角形截面：A=(b^2*√3)/4，其中b为截面边长。 3. 弯曲半径（Radius of Gyration）：
弯曲半径是描述截面形状分布关于中性轴的离散程度的参数，通常用 r表示。它是惯性矩与截面面积的比值的平方根。常见的几何形状的弯曲 半径公式如下： 矩形截面：r=√(I/A) 圆形截面：r=d/2，其中d为截面直径。 方形截面：r=d/√12，其中d为截面边长。 等边三角形截面：r=b/√12，其中b为截面边长。 4. 抗剪面积（Shear Area）： 抗剪面积是描述截面在剪切载荷下的性能的参数，通常用As表示。 常见的几何形状的抗剪面积公式如下： 矩形截面：As=b*h，其中b为截面宽度，h为截面高度。 圆形截面：As=π*(d/2)^2，其中d为截面直径。 方形截面：As=d^2，其中d为截面边长。 等边三角形截面：As=(b^2*√3)/4，其中b为截面边长。 以上是一些常用的截面几何性质计算公式，这些公式在结构设计和分 析中有广泛的应用，帮助工程师计算结构的受力性能和刚度。实际工程中，还会涉及到一些复杂的截面形状，需要使用更加复杂的计算方法进行求解。在工程实践中，可以借助计算软件或者参考相关设计手册进行截面几何性 质的计算。
截面形心和惯性矩的计算[精彩]
截面形心和惯性矩的计算[精彩] 工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1(面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面的几何图形(以下简称图形)。定义:积分和 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静矩，用符号S和S，来表示，如式(2—2.1) zy (2—2.1) 面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的 33量纲是长度的三次方，其常用单位为m或mm。 2(面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2—2.2)
(2—2.2) 或改写成，如式(2—2.3) (2—2.3) 面积矩的几何意义:图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距 离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零;反之，图形对某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形心。 3(组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩的代数和。如式(2—2.4) (2—2.4) 式中，A和y、z分别代表各简单图形的面积和形ii 心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2—2.5)确定。 (2—2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积
1(极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为A。定义:积分称为图形对O点的极惯性矩，用符号I，P表示，如式(2—2.6) (2—2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正， 44其量纲是长度的4次方，常用单位为m或mm。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2—7) (2—2.7) (2)对于外径为D、内径为d的空心圆截面对圆心的极惯性矩，如式(2—2.8) (2—2.8) 式中，d/D为空心圆截面内、外径的比值。 2(惯性矩 在如图6-1所示中，定义积分，如式(2—2.9) (2—2.9) 称为图形对z轴和y轴的惯性矩。惯性矩是对一定的轴而言的，同一图形对不同的轴的惯性矩一般不同。惯性矩恒为正值，其量纲和单位与极惯性矩相同。 同一图形对一对正交轴的惯性矩和对坐标原点的极惯性矩存在着一定的关系。 如式2—2.10)
材料力学习题册答案-附录平面图形几何性质
附录 截面图形的几何性质 一、是非判断题 ⒈ 图形对某一轴的静矩为零，则该轴必定通过图形的形心。( √ ） ⒉ 图形在任一点只有一对主惯性轴。（ × ) ⒊ 有一定面积的图形对任一轴的轴惯性矩必不为零。（ √ ） ⒋ 图形对过某一点的主轴的惯性矩为图形对过该点所有轴的惯性矩中的极值。( √ ） 二、填空题 ⒈ 组合图形对某一轴的静矩等于 各组成图形对同一轴静矩 的代数和。 ⒉ 图形对任意一对正交轴的惯性矩之和，恒等于图形对 两轴交点的极惯性矩 . ⒊ 如果一对正交轴中有一根是图形的对称轴，则这一对轴为图形 主惯性轴 . ⒋ 过图形的形心且 图形对其惯性积等于零 的一对轴为图形的形心主惯性轴. 三、选择题 ⒈ 图形对于其对称轴的（ A ) A 静矩为零，惯性矩不为零； B 静矩和惯性矩均为零 C 静矩不为零,惯性矩为零； D 静矩和惯性矩均不为零 ⒉ 直径为d 的圆形对其形心主轴的惯性半径i =（ C ）. A d/2 B d/3 C d/4 D d/8 ⒊ 图示截面图形中阴影部分对形心主轴z 的惯性矩Z I =（ C ）。 A 123234dD D -π B 6323 4 dD D -π C 12643 4dD D -π D 6643 4 dD D -π z
四、计算题 1、求图示平面图形中阴影部分对z 轴的静矩. 232.0)2.06.0(4.0bh h h h b S Z =+⋅⋅= () 8842422222bh h H B h h b h H h h H B S Z +-=⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-⋅= 2、求图示平面图形对z 、y 轴的惯性矩. 4523231023.251040121040251040123010mm I I I II I Z ⨯=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+= 由于图形对称，4 51023.2mm I I Z Y ⨯=== 3、试求图示平面图形的形心主惯性轴的位置，并求形心主惯性矩。 mm y C 7.56100 20201401010020902010=⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅= 4723231021.17.46200.1012201003.33201401214020m m I I I II I Z ⨯=⋅⋅+⋅+⋅⋅+⋅=+=46331076.112100*********mm I Y ⨯=⋅+⋅= z z z
材料力学截面的几何性质
材料力学 第四讲截面的几何性质 【内容提要】 本节主要了解静矩和形心、极惯性矩和惯性积的概念，熟悉简单图形静矩、形心、惯性矩和惯性积的计算，掌握其计算公式。掌握惯性矩和惯性积平行移轴公式的应用，熟练掌握有一对称轴的组合截面惯性矩的计算方法。准确理解形心主轴和形心主惯性矩的概念，熟悉常见组合截面形心主惯性矩的计算步骤。 【重点、难点】 重点掌握平行移轴公式的应用，形心主轴概念的理解和有一对称轴的组合截面惯性矩的计算步骤和方法 一、静矩与形心 (一)定义 设任意截面如图4-1所示，其面积为A，为截面所在平面内的任意直角坐标系。c为截面形心，其坐标为，。则 截面对z轴的静矩 截面对轴的静矩 截面形心的位置 (二)特征 1．静矩是对一定的轴而言的，同一截面对不同轴的静矩值不同。静矩可能为正，可能为负，也可能为零。 2．静矩的量纲为长度的三次方．即。单位为或。 3．通过截面形心的坐标称为形心轴。截面对任一形心轴的静矩为零；反之，若截
面对某轴的静矩为零，则该轴必通过截面之形心。 4．若截面有对称轴，则截面对于对称轴的静矩必为零，截面的形心一定在该对称轴上。 5．组合截面(由若干简单截面或标准型材截面所组成)对某一轴的静矩，等于其组成部分对同一轴的静矩之代数和(图4-2)，即 合截面的形心坐标为： 图4-1
图4-2 二、惯性矩惯性积 (一)定义 设任意截面如图4-3所示，其面积为A，为截面所在平面内任意直角坐标系。则 图4-3
截面对轴的惯性矩 截面对y 轴的惯性矩 截面对0点的极惯性矩 截面对轴的惯性积 (二)特征 1．惯性矩是对某一坐标轴而言的．惯性积是对某一对坐标轴而言的，同一截面对不同的坐标轴，其数值不同。极惯性矩是对点(称为极点)而言的，同一截面对不同的点，其值也不相同。惯性矩。极惯性矩恒为正值，而惯性积可能为正，可能为负，也可能为零。2．惯性矩、惯性积、极惯性矩的量纲均为长度的四次方，即。，单位为m4或mm4 3．对某一点的极惯性矩恒等于以该点为原点的任一对直角坐标轴的惯性矩之和。即 4．惯性积是对某一对直角坐标的．若该对坐标中有一轴为截面的对称轴，则截面对这一对坐标轴的惯性积必为零；但截面对某一对坐标轴的惯性积为零，则这对坐标中不一定有截面的对称轴。 5．组合截面对某一轴的惯性矩等于其组成部分对同一轴的惯性矩之和。即 组合截面对某一对坐标轴的惯性积，等于其组成部分对同一对坐标轴的惯性积之和，即组合截面对某一点的极惯性矩，等于其组成部分对同一点极惯性矩之和，即 三、惯性半径 (一)定义设任意截面，其面积为A，则
材料力学知识点总结
材料力学总结一、基本变形
二、还有： （1）外力偶矩：)(9549 m N n N m •= N —千瓦；n —转/分 （2）薄壁圆管扭转剪应力：t r T 22πτ= （3）矩形截面杆扭转剪应力：h b G T h b T 3 2max ;βϕατ==
三、截面几何性质 （1）平行移轴公式：;2A a I I ZC Z += abA I I c c Y Z YZ += （2）组合截面： 1．形 心：∑∑=== n i i n i ci i c A y A y 1 1 ； ∑∑=== n i i n i ci i c A z A z 1 1 2．静 矩：∑=ci i Z y A S ； ∑=ci i y z A S 3. 惯性矩：∑=i Z Z I I )( ；∑=i y y I I )( 四、应力分析： （1）二向应力状态（解析法、图解法） a ． 解析法： b.应力圆： σ：拉为“+”，压为“-” τ：使单元体顺时针转动为“+” α：从x 轴逆时针转到截面的 法线为“+” ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 x y x +-= y x x tg σστα-- =220 22 min max 22 x y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛-±+= c ：适用条件：平衡状态 (2)三向应力圆： 1max σσ=； 3min σσ=；2 3 1max σστ-= x
（3）广义虎克定律： [])(13211σσνσε+-=E [] )(1 z y x x E σσνσε+-= [])(11322σσνσε+-=E [] )(1 x z y y E σσνσε+-= [])(12133σσνσε+-=E [] )(1 y x z z E σσνσε+-= *适用条件：各向同性材料；材料服从虎克定律 （4）常用的二向应力状态 1．纯剪切应力状态： τσ=1 ，02=σ，τσ-=3 2．一种常见的二向应力状态： 22 3122τσσ σ+⎪⎭ ⎫ ⎝⎛±= 2234τσσ+=r 2243τσσ+=r 五、强度理论 *相当应力：r σ 11σσ=r ，313σσσ-=r ，()()()][2 12 132322214σσσσσσσ-+-+-= r σx σ
附录I-截面几何性质-习题答案
习题 I −1 试求平面图形的形心位置。 解：由对称 m 3.0c =z m 357.02 .04.04.02.02.06.07 .02.04.04.04.02.01.02.06.0c =⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=y 解：m 093.04.01.01.03.005 .04.01.015.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=z m 193.04 .01.01.03.03 .04.01.005.01.03.0c =⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯= y I −2 试求平面图形的形心坐标。 解： O (c) (a) z (b)
l n n dz z zdz z z l n l n 2 10 0c ++==⎰⎰ ()2 c += -=⎰⎰n l dz z ydy y l y n l n l n n 解：由对称 r z =c πππ342 322223 2 2 2c r r r r ydy y r y r ==-=⎰ I −3 试求图示截面的阴影线面积对z 轴的静矩。（图中C 为截面形心） 解：3 c **mm 24000302040=⨯⨯==y A S z z O (d) (a) (b)
解：3 c **mm 422505.322065=⨯⨯==y A S z I −4 求以下截面对z 轴的惯性矩。（z 轴通过截面形心） 解：() 64 64 64 42414 24 1d d d d I z -= - =πππ 解：12 12124 2 414241a a a a I z -=-= I −5 试求图示三角形截面对通过顶点A 并平行于底边BC 的z 轴的惯性矩。 解： 4302bh y bdy h y I h z =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⋅=⎰ I −6 试求图示r =1m 半圆形截面对于z 轴的惯性矩。其中z 轴与半圆形的底边平行，相距1m 。 (a) a (b) C
第7章截面几何性质答案
第七章截面几何性质 基本要求与重点 1.形心与重心 （1）理解重心与形心，熟知常见规则图形形心的位置。 （2）记住以下常见规则儿何图形的形心位置：圆及圆环、矩形、三角形。 （3）能熟练计算，由规则图形构成的组合图形的形心位置。 2•面积静矩（乂称静矩或面矩） （1）了解面积静矩的积分定义，掌握其有限式定义。 （2）能熟练计算组合图形的静矩。 （3）熟知面积静矩的重要性质。 3.惯性矩与极惯性矩。 （1）理解惯性矩与极惯性矩 （2）了解惯性矩与极惯性矩的定义 （3）掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系 （4）掌握平行轴定理及组合图形惯性矩的计算方法。 （5）记住圆及圆环对圆心的极惯性矩 （6）记住矩形截面对其对称轴的惯性矩。 4.了解惯性积、形心主轴的概念 主要内容 1.形心与重心 （1）概念与性质 重心是物体的重力中心，形心是儿何体的形状中心。对均质物体，重心与形心位置重合。若存在儿何对称同，则形心必在对称轴上。 （2）计算 形心位置的讣算公式分积分式与代数式两种。其中，常用的是代数形式的讣算公式：fx—AA, fydA y A ‘ A 2.面积静矩（又称静矩或面矩） （1）定义：分为代数式和积分式两种形式 有限式：儿何图形的面积乘以形心到某轴的距离的坐标值，称为该图形对该轴的静矩。积分式：儿何图形的元面积乘以点到某轴的距离的坐标值，称为该元面积对该轴的静矩; 所有点的元面积静矩之和，
为儿何图形的对该轴的静矩。
（2）面积静矩的重要性质：若图形对某轴的面积静矩为零，则该轴过这一图形的形心; 反之亦然。 也就是说，静矩为零与轴过形心互为充要条件。 （3）计算 根据实际情况可选用代数式或积分式进行讣算，工程中主要是利用代数式进行讣算。 s x =£ Six =£乳仏4 = y c • A i-l i-1 n n S’ =为Siy =为Xj • AA, = Xc • A i-i i-i 3. 惯性矩与极惯性矩。 （1）定义 点对轴的惯性矩：dI z = y 2 dA, dI y =z 2-dA 点对点的极惯性矩dI o = p 2-dA 图形对轴的惯性矩I z =£y 2dA, I y =J A Z 2dA 图形对点的惯性矩I p =£p 2dA （3） 掌握惯性矩与极惯性矩之间的关系 若I,、Iz 是某一图形对直角坐标系yOz 中两轴的惯性矩，打是对该坐标系原点0的极惯 性矩。贝9： Ip = 1/ +Iy （4） 惯性矩的平行轴定理：儿何图形对任意轴的惯性矩，等于对与该轴平行、且过形心 的轴的 惯性矩与两轴之间距离的平方与图形面积之积的和。（太长了，慢慢读）即： I z = I “ + A • d' （5） 组合图形对过图形形心轴的惯性矩的计算方法。 :将图形分割为儿个简单图形，按形心计算公式求岀总的形心位置。 :利用平行轴定理，计算各简单图形对过总形心轴的惯性矩。 :将各简单图形对同一轴的惯性矩求和。 4. 惯性积、形心主轴的概念 惯性积与主轴是对一个平面直角坐标系而言的。 lyz =J\z ・ydA 惯性积的值可为：正、负或零。 步步 步一 12 3 笫笫笫
截面形心和惯性矩的计算
工程构件典型截面几何性质的计算 2.1面积矩 1 •面积矩的定义 图2-2.1任意截 面的几何图形 如图2-31所示为一任意截面 的几何图形(以下简称图形)。定义：积分 分别定义为该图形对z轴和y轴的面积矩或静 矩，用符号S z和S y，来表示，如式(2 —2.1) 面积矩的数值可正、可负，也可为零。面积矩的量纲是长度的三次方，其常用单位为m3或mm 2 •面积矩与形心 平面图形的形心坐标公式如式(2 —2.2) 出］ 4 =— Ai(2 —2.2) 或改写成，如式(2 —2.3) 亏二乂汀(2 —2.3) 面积矩的几何意义：图形的形心相对于指定的坐标轴之间距离的远近程度。图形形心相对于某一坐标距
离愈远，对该轴的面积矩绝对值愈大。 图形对通过其形心的轴的面积矩等于零；反之, 图形对 某一轴的面积矩等于零，该轴一定通过图形形 心。 3 •组合截面面积矩和形心的计算 组合截面对某一轴的面积矩等于其各简单图形对 该轴面积矩的代数和。如式(2 — 2.4) 為二艺耳二迟堆％ (2 — 2.4) 式中，A 和y i 、乙分别代表各简单图形的面积和形 心坐标。组合平面图形的形心位置由式(2 — 2.5)确定 工二 4岛+血阳+:+4兀 f 掐十局+…+為 二甜乃十如 2十…十込儿 f 4 十& H — (2 — 2.5) 2.2极惯性矩、惯性矩和惯性积 1 •极惯性矩 任意平面图形如图2-31所示，其面积为定义： 积分门称为图形对0点的极惯性矩，用符号I P , 表示，如式(2 — 2.6) (2 — 2.6) 极惯性矩是相对于指定的点而言的，即同一图形对 不同的点的极惯性矩一般是不同的。极惯性矩恒为正， 其量纲是长度的4次方，常用单位为m 4 或mm 。 (1)圆截面对其圆心的极惯性矩，如式(2 — 7) j-d 1-1 S4
「建筑力学6截面图形的几何性质」
截面图形的几何性质 一.重点及难点: (一）.截面静矩和形心 1.静矩的定义式 如图１所示任意有限平面图形,取其单元如面积dA ,定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩,即 ydA dSx xdA dS y == 整个图形对ｙ、z 轴的静矩分别为 ｙ ⎰⎰==A A y ydA Sx xdA S (I －1) y x 2．形心与静矩关系 图I-1 ﻩ 设平面图形形心Ｃ的坐标为C C z y , 则 0 A S y x = , A S x y = (Ｉ-２） 推论1 如果y 轴通过形心（即0=x ）,则静矩0=y S ；同理,如果x 轴通过形心（即0=y ），则静矩0=Sx ；反之也成立。 推论2 如果ｘ、y 轴均为图形的对称轴,则其交点即为图形形心;如果y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。 3．组合图形的静矩和形心 设截面图形由几个面积分别为n A A A A ⋯⋯321,,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为⋯⋯332211,,,y x y x y x ；；,则图形对y 轴和x 轴的静矩分别为
∑∑∑∑========n i n i i i xi x n i i i n i yi y y A S S x A S 11 11 S （Ｉ-３) 截面图形的形心坐标为 ∑∑===n i i n i i i A x A x 11 , ∑∑===n i i n i i i A y A y 11 （I-４) 4.静矩的特征 (1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的,故静矩与坐标轴有关。 （2) 静矩的单位为3m 。 (３） 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之,若图形对某一轴的静矩为零,则该轴必通过图形的形心。 (4) 若已知图形的形心坐标。则可由式(I-1)求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩,则可由式(I-2)求图形的形心坐标。组合图形的形心位置,通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩,然后由式(I-4)求出其形心坐标。 （二)．惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩（极惯性矩、对ｙ轴和x 轴的惯性矩） 定义 设任意形状的截面图形的面积为Ａ(图I-3)，则图形对O 点的极惯性矩定义为 ⎰=A p dA I 2ρ (I-5) 图形对ｙ轴和ｘ轴的惯性矩分别定义为 ⎰=A y dA x I 2 , dA y I A x ⎰=2 （I-６） 惯性矩的特征 （1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐 标轴定义的。 （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m 。
附录A 截面图形几何性质题解
142 附录A 习题解答 A-1 试求图示三角形形心至其底边的距离。 解： dy h y b dy y b dA )/1()(-=⋅= 2 6 1)/1(bh ydy h y b ydA S h A z ⎰ ⎰ = -= = h bh bh A S y z C 312 1 61 2 === A-2 试求由20b 工字钢与14b 槽钢焊接在一起所形成组合截面的形心坐标y c 及z c 。 解：查型钢表得： 槽 钢：31.211=A cm 2 67.110=y cm 工字钢：5.392=A cm 2 1020=y cm h =20cm 形心坐标：09 .145 .3931.2110 5.39)67.120(31.212 120 2101=+⨯++⨯= ++= A A y A y A y C cm 0=C z A-3 一矩形b=2h /3，从左右两侧切去半圆形（d=h/2）。试求： （1）切去部分面积占原面积的百分比； （2）切后的惯性矩I z ’ 与原矩形的惯性矩I z 之比。 解：（1）切去部分的面积2 2 16 4 'h d A π π = = 原面积2 32h bh A = = 面积之比 % 45.2932 33 216 ' 2 2 == =ππ h h A A （2）切后惯性矩4 4 4 3 1024 18 164 121'h h d bh I z π π - = -= 原惯性矩4 3 18 112 1h bh I z = = 题A-3图 题A-1图 题A-2图
143 惯性矩之比 % 5.9418 1 102418 1 '4 4 4 =-= h h h I I z z π A-4 试求图示工字形截面的形心坐标y c 、惯性矩I z 和惯性积I yz 。C 为形心。 解：形心坐标5 .628210261 2872101326=⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=C y cm 惯性矩2 6)5.613(261212 3 ⨯⨯-+⨯⨯= z I 10 )5.67(2101212 3 ⨯-+⨯⨯+ 42 3 117228)15.6(2812 1cm =⨯⨯-+⨯⨯+ 惯性积I yz = 0 A-5 求图示两个10槽钢组成的组合图形的惯性矩I z 和I y 。 解：解：查表：10槽钢 4 10 3.198⨯=z I 4mm 4 10 6.25⨯=yc I 4 mm 2 10 74.12⨯=A 2 mm 48=b mm 2 .15=c z mm （a ）44106.396103.1982⨯=⨯⨯=z I 4 mm 4 44 22 1011010 )74.1252.16.25(2) (2mm A z I I c yc y ⨯=⨯⨯+⨯=⨯+⨯= （b ）4 4106.396103.1982⨯=⨯⨯=z I 4 mm 2 2 4 1074.12)2.1548(210 6.252⨯⨯-+⨯⨯=y I 4 10 3.325⨯=4 mm A-6 图示两个20a 槽钢组成的图形，C 点为组合图形的形心。试求b 两个形心轴的惯性矩相等。 解：查表：20a 槽钢4 10 128⨯=y I 4 mm 4 104.1780⨯=z I 4 mm 2 1083.28⨯=A 2 mm 1 .20=c z mm 组合图形： 4 4 10 8.356010 4.178022⨯=⨯⨯==z z I I c 4 mm ⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++=A b z I I c y y c 222⎥⎥ ⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯=22 41083.2821.20101282b 题A-4图 （a ） （b ） 题A-5图 题A-6图
截面的几何性质
zdA z C 利用公式（ I - 1），上式可写成 附录Ⅰ I-1 截面的几何性质 截面的静矩和形心位 置 如图 I - 1 所示平面图形代表一任意截面， 以下两 积分 S z A ydA S y A zdA I - 1） 分 别定义为该截面对于 z 轴和 y 轴的静矩。 静矩可用来确定截面的形心位置。由静力学中确 定物体重心的公式可得 y C A ydA A y C A A ydA S z A zdA S z C A S z Ay C S y Az C y C z S y z C C A 如果一个平面图形是由若干个简单图形组成的组合图形， 形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即： 则由静矩的定义可知， I - 2) I - 4 ） 整个图 n S z A i y ci i n 1 S y A i z ci i1 I - 5 ） 式中 A i 、 y ci 和 z ci 分别表示某一组成部分的面积和其形心坐标， n 为简单图形的个数。 将式（ I - 5）代入式（ I - 4），得到组合图形形心坐标的计算公式为
另外， 微面积 d A 与它到两轴距离的乘积 分 zy d A 称为微面积 d A 对 y 、z 轴的 惯性积 ，而积 I yz A zydA （I - 9） 定义为该截面对于 y 、 z 轴的惯性积。 0.12m y c z c 0.6m 0.4m y C C ⅠⅠ C Ⅱ y Ⅱ 0.2m 例题 I - 1 图 A i y ci i1 n A i i1 A i z ci i1 n A i i1 y Ⅰ （ I - 6） 例题 I - 1 图 a 所示为对称 T 型 截面，求该截面的形心位置。 解： 建立直角坐标系 zOy ，其中 y 为截面的对称轴。因图形相对于 y 轴对称，其形心一定在该对称轴上， 因此 z C = 0，只需计算 y C 值。将截面 分成Ⅰ、Ⅱ两个矩形，则 22 A Ⅰ=0.072m 2，A Ⅱ=0.08m 2 y Ⅰ=0.46m ，y Ⅱ=0.2m y c A i y ci i1 n A i i1 A I y I A II y II A I A II 0.072 0.46 0.08 0.2 0.323m 0.072 0.08 §I - 2 惯性矩、惯性积和极惯性矩 如图 I - 2 所示平面图形代表一任意截面， 在图形平面内建立直角坐标系 zOy 。现 在图形内取微面积 d A ，d A 的形心在坐标系 zOy 中的坐标为 y 和 z ， 到坐标原点的距离为 ρ。现定义 y 2d A 和 z 2d A 为微面积 d A 对 z 轴和 y 轴的惯 2 性矩， ρ2d A 为微面积 d A 对坐标原点的 极惯性矩 ，而以下三个积分 2 I z A y 2dA 2 I y z 2 dA y A I P A ρ 2 dA I - 7) 分别定义为该截面对于 z 轴和 y 轴的惯性矩以及对坐标原点的极惯性矩。 图 I - 2 2 2 2 由图（ I - 2）可见， y z ，所以有 I P A ρ 2dA A (y 2 z 2)dA I z I y I - 8) 即任意截面对一点的极惯性矩， 等于截面对以该点为原点的两任意正交坐标轴的惯性矩 之和。
midas截面几何性质计算
看大家对横向力分布系数计算疑惑颇多,特在这里做一期横向力分布系数 计算教程（本教程讲(de)比较粗浅,适用于新手）. 总(de)来说,横向力分布系数计算归结为两大类（对于新手能够遇到(de)）： 1、预制梁（板梁、T梁、箱梁） 这一类也可分为简支梁和简支转连续 2、现浇梁（主要是箱梁） 首先我们来讲一下现浇箱梁（上次lee_2007兄弟问了,所以先讲这个吧） 在计算之前,请大家先看一下截面 这是一个单箱三室跨径27+34+27米(de)连续梁,梁高1.55米,桥宽12.95 米 支点采用计算方法为为偏压法（刚性横梁法） mi=P/n±Peai/(∑ai ai) 跨中采用计算方法为修正偏压法（大家注意两者(de)公式,只不过多了一 个β） mi=P/n±Peaiβ/(∑ai ai) β---抗扭修正系数β=1/(1+L^2G∑It/(12E∑ai^2 Ii)
其中：∑It---全截面抗扭惯距 Ii ---主梁抗弯惯距 Ii=K Ii` K为抗弯刚度修正系数,见后 L---计算跨径 G---剪切模量 G= 旧规范为 P---外荷载之合力 e---P对桥轴线(de)偏心距 ai--主梁I至桥轴线(de)距离 在计算β值(de)时候,用到了上次课程 我们讲到(de)计算截面几何性质中(de)抗弯惯矩和抗扭惯矩,可以采用midas计算抗弯和抗扭,也可以采用桥博计算抗弯, 或者采用简化截面计算界面(de)抗扭,下面就介绍一下这种大箱梁是如何简化截面(de)： 简化后箱梁高度按边肋中线处截面高度(1.55m)计算,悬臂比拟为等厚度板.
①矩形部分(不计中肋): 计算公式:It1=4b^2h1^2/(2h/t+b/t1+b/t2) 其中：t,t1,t2为各板厚度 h,b为板沿中心线长度 h为上下板中心线距离 It1= 4(+/2)^2^2/(2++ =5.454 m4 ②悬臂部分 计算公式: It2=∑Cibiti3 其中：ti,bi为单个矩形截面宽度、厚度 Ci为矩形截面抗扭刚度系数,按下式计算: