(完整word版)定积分应用题附答案

《定积分的应用》复习题

一．填空：

1．曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b y ===<<及轴所围成的平面图形的面积为A =

ln ln b

y a

e dy ?

=b-a______

2.

2y x y =

=曲线和 ____

13

____

二．计算题：

1．求由抛物线 y 2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。 解：（1）确定积分变量为y ，解方程组

2222

y x y x ?=?=-+? 得12121/22,12x x y y ==????

==-?? 即抛物线与直线的交点为（

2

1

，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－

21y ）-2

1

y 2 ］,底为dy 的矩形面积，从而得到面积元素 dA = [(１－

21y)- 2

1

y 2 ]dy (3)所求图形面积 A =

?

-1

2

[（1- 21y ）-21y 2 ]dy = [y - 41y 2 – 61y 3]1

2-= 94

2．求抛物线 y = - x 2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x 2 + 4x – 3 得 '24,

'(0)4,'(3)2y x y y =-+==-。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （ 3

2

，3 ）。 故 面积A =

33

2

2230

2

9[(43)(43)][(26)(43)]4

x x x dx x x x dx --+-+-+-+-=

?

?

3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（02t π≤≤）与

横轴所围成的图形的面积。 解：220

()(1cos )(1cos )a

A y x dx a t a t dt

ππ

=

=-?-?

?

22

20

1cos2(12cos )32

t

a

t dt a π

π+=-+=?

4． 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos θ 及 r = 1 + cos θ

解：两曲线的交点由3cos 33,1cos 3322r r r r ππθθθ

θ

??==-??=????

??=+???==???

?解得及

故 A = 2232

03112(1cos )(3cos )2

2d d ππ

πθθθθ??++????

?? = 32

031cos 295(12cos )(1cos 2)224

d d ππ

πθπθθθθ??+++++=??????

5．计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱（02t

π≤≤），

直线y = 0 所围成的图形分别绕X 轴、Y 轴旋转而成的旋转体的体积。 解： 222

220

()(1cos )(1cos )a

x

V y x dx a t a t dt

ππ

ππ==-?-?

?

23

23230

(13cos 3cos cos )5a

t t t dt a πππ=-+-=?

222

22

10

()()a

a

y V x y dy x y dy ππ=-??

=

22

2220

(sin )sin (sin )sin a t t a tdt a t t a tdt π

π

π

ππ-?--???

23

2330

(sin )sin 6a

t t tdt a π

ππ=--=?

6．求由x 2 + y 2 = 2和y = x 2所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积。

解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：

{2222

x y y x ==+ ， 得圆与抛物线的两个交点为

{11==y x ，{11

=-=y x ，所以积分区间为 [-1，1]。

（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x, x+dx]，与它对应的薄片体积近似于

[π（2 - x 2）- πx 4] dx ,从而得到体积元素

dV = π[（2 - x 2）- x 4]dx = π（2 - x 2- x 4）dx. （3）故x V = π?

-11

（2 - x 2- x 4

）dx = 15

44

π

7．求圆盘2

2(2)

1x y -+≤绕Y 轴旋转而成的旋转体的体积。

解 设旋转体积为V ，则

3

12*2V

x π=?

222

222

222

22

2sin (2sin )cos (1cos 2)sin cos 1

(sin 2)|42x t t t dt

t dt t tdt t t π

πππ

πππ

πππππ-----=+??=++ ?

??=+=???令则

V=444

8．设有抛物线C ：y = a – bx 2 ( a > 0 , b > 0 )，试确定常数a , b 的值，使得C 与直线y = x + 1 相切，且C 与X 轴所围图形绕Y 轴旋转所得旋转体的体积达到最大。

解：设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1相切， 故有 K = - 2bx = 1 , 得

12x b

=-

由

2

11122a b b b ??

--=-+ ???

解得 114a b +

= ，即：14(1)b a =- 由 2

2

200()2(1)2a

a

a y a V a x dy dy a a

b b

ππππ-====-??

令 '()2(23)0V a a a π=-= 得 23

,34

a b =

=

9．设星形线方程为33

cos sin x a t

y a t

?=?=?（ a > 0），求： （1）由星形线所围图形的面积 （2）星形线的长度。 解：（1）由对称性得 A

320

2

4()4sin 3cos (sin )a y x dx a t a t t dt

π==?-??

2422

20

312sin cos 8

a t tdt a π

π==

? （2）

L =

4dt

=

4dt

= 20

12sin cos 6a t t dt a π

=?

10．计算曲线1

1

cos sin ,t

t

x d y d θ

θ

θθ

θ

θ

==?

?

自原点到与具有铅直的切线

最近点的弧长。

解：

sin tan cos dy t

dy dt t t dx t

dx dt t

=== 曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为2

t

π

=

，原点对应的

参数t = 1 。故

s = 2

1

ln|ln

2

dt dt t

ππ

===

11．设S1为曲线y = x2 、直线y = t 2 （t为参数）及Y轴所围图形的面积；S2为曲线y = x2 、直线y = t 2 及x = 1所围图形的面积。问t 为何值时，S = S1+S2取得最大值、最小值。

解：

1

222232

41

()()()

33

t

t

S t t x dx x t dx t t

=-+-=-+

??

令2

12

1

'()420,0,

2

S t t t t t

=-===

解得

于是

1112

(0),(),(1)

3243

S S S

===

故S max = S(1) =

2

3

, S min =

11

()

24

S=

三．证明题：

1.证明：曲线y = sinx 的一个周期的弧长等于椭圆2x2+ y2 = 2的周长。

证明：y = sinx 的一个周期的弧长

L1

= 44

dx dx

=

椭圆2x2+ y2= 2 即

：

2

21

x+=化为参数方程

为

cos

(02)

x t

t

y t

π

=

??

≤≤

?

=

??

其弧长为L2

=

444

dt dt dt

==

故L1 = L2