统计学计算公式分解

第4章

计划任务数为平均数时

（ⅰ）当计划任务数表现为提高率时

ⅱ）当计划任务数表现为降低率时

时间进度=

）

（公式全期时间

截止到本期的累计时间

7-4%

100?)

13-4(公式联系的总量指标数值

另一性质不同但有一定某一总量指标数值

强度相对数=)

12-4(公式单位）的同一指标数值

同时期乙地区（部门或的某一指标数值

甲地区（部门或单位）比较相对指标=

)

11-4(公式总体中另一部分数值

总体中某一部分数值比例相对指标=

(%

100公

总体的全部数值

总体中某一部分数值

结构相对指标?=）

（公式水平计划规定末期应达到的平

计划末期实际达到的水计划完成程度相对指标9-4%100?=

8)

-4(%

100公式数计划期间计划规定累计数

计划期间实际完成累计计划完成程度相对指标?=）

（公式计划提高百分数

实际提高百分数

4-4%

10011?++=

K ）

（公式计划

实际平3-4%100?=

X X K ）

（公式计划

实际总

2-4%100?=

∑∑X

X K %

100?=

计划任务数

实际完成数

计划完成程度相对指标5)

-4( %100-11公式计划降低百分数

实际降低百分数

?-=K %

100?=

全期的计划任务数

本期内累计实际完成数

计划执行进度

对于分组数据，众数的求解公式为：

对于分组的数值型数据，中位数按照下述公式求解：

对于分组的数值型数据，四分位数按照下述公式求解：

（1）简单算数平均数 （2）加权算数平均数

各变量值与算术平均数的离差之和为零。

各变量值与算术平均数的离差平方和为最小。

2、调和平均数(Harmonic mean)

（1）简单调和平均数 （2）加权调和平均数

∑∑∑∑====?

==

k

i k

i i

i

i k

i i

k

i i

i f

f x f f

x x 1

1

1

1n

x

x n

i i

∑==

1

u

U

U U U d f S n

L Q ?-+≈-1

43L

L

L L L d f S n

L Q ?-+≈-1

4d

f f f f f f M m m m m m m ?-+---≈+-+)()(U 111

0上限公式：d

f f f f f f M m m m m m m ?-+---

≈+-+)()(U 111

0上限公式：14)

-4(%

100公式该指标基期数值

某指标报告期数值

动态相对数?=

d

f s n L M m

m e ?-+=-12下限公式：d

f s n

M m

m e ?-=+12

-U 上限公式：()0()0

x x x x f

-=-=∑∑或22

()min ()min x x x x f -=-=∑∑

或∑==

+++=n

i i

n

H x n x x x n x 1211

1...11∑∑===

++++++=n

i i

i n

i i

n

n n

H x m m

x m x m x m m m m x 11

22

1121......

3、几何平均数

（1）简单几何平均数 （2）加权几何平均数

一、分类数据：异众比率 二、顺序数据：四分位差

三、数值型数据的离散程度测度值

1、极差(Range)

2、平均差

（1）如果数据是未分组数据（原始数据），则用简单算术平均法来计算平均差：

（2）如果数据是分组数据，采用加权算术平均法来计算平均差：

3、方差(Variance)与标准差 总体方差和标准差的计算公式：

方差：（未分组数据） （分组数据）

)min()max(i i x x R -=N

f X K

i i i ∑=-=

1

2

2)(μσ)

(1

为变量值个数n n

x

x M n

i i d ∑=-=

N

X N

i i ∑=-=

12

2)(μσ)

(1

1

为组数k f

f x x

M k

i i

k

i i

i

d ∑∑==-=

n

n

i i

n n G x

x x x x ∏==???=1

21...∑???=

=n

i i

n

f f n

f

f G x x x x 1

21...21∑∑∑-

=-=

i

m

i

m

i

r

f f f

f f V 1L

u d Q Q Q -=

标准差：（未分组数据） （分组数据）

样本方差和标准差 方差的计算公式

未分组数据 ： 分组数据：

标准差的计算公式

未分组数据 ： 分组数据：

4、变异系数(离散系数) 标准差系数计算公式

一、分布的偏态

对未分组数据 对分组数据

二、分布的峰态

（未分组数据） 对已分组数据

x s

v s =1

)(12

--=

∑=n f x x s k

i i i 1

)(12

2--=

∑=n f x x s k

i i i N

f X K

i i i ∑=-=

1

2

)(μσX v σ

σ=1

)(12

--=

∑=n x x s n

i i 1

)(12

2--=

∑=n x x s n

i i N

X N

i i ∑=-=

12

)(μσ（总体离散系数）

（样本离散系数）

()

()()3

321s

n n x

x n sk i ---=

∑

()

3

1

3

ns

f x x sk k

i i

i

∑=-=

()()

(

)[

]()()()()4

2

24

321131s

n n n n x

x x x n n k i i -------+=

∑∑

()

34

1

4

--=

∑=ns

f x x k k

i i i

第5章

离散型随机变量的概率分布 （2）二项分布

(3) 泊松分布:

当n 很大，p 很小时，B(n,p)可近似看成参数λ=np 的P(λ).即，

分布函数

F (x ) 的性质：

(a )单调性 若 ，则

(b )有界性

(c )右连续性

(d )对任意的x 0

若F (x )在X =x 0处连续，则

连续型随机变量的概率分布

概率密度函数 f (x )的性质 (a)非负性 f (x ) ≥0;

(b)归一性 ;

(c)

;

λ

λ-=

=e k k X P k

!

)({}lim (1),0,1,2,

!

k

k k

n k n n P X k C p p e k k λλ--→∞

==-≈

=()()()i i i i

x x x x

F x P X x P X x p ≤≤=≤===∑∑

12x x <12()()F x F x ≤()()()P a x b F b F a <≤=-0()1F x ≤≤lim ()1x F x →+∞=lim ()0

x F x →-∞=00lim ()()x x F x F x +→=000()()(0)P X x F x F x ==--0

()0

P X x ==?

∞-=x dt t f x F )()(()1f x dx ∞-∞

=?

()()()()b a

P a x b F b F a f x dx <≤=-=?

(d)在f (x )的连续点x 处，有 (e)

几种常见的连续型分布

(1)均匀分布

若随机变量X 的概率密度为

则称X 在(a ,b )上服从均匀分布，记为X ～U (a ,b ).

另：对于 , 我们有

.随机变量的数学期望

连续型随机变量的数学期望：

数学期望的性质

性质1. 设C 是常数，则E(C)=C ；

性质2. 若X 和Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)； 性质3. E(X ±Y) =E(X) ±E(Y) ； 性质4. 设C 是常数，则 E(CX)=C E(X)。

性质2可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形。

()()

f x F x '=()()()()

P a X b P a X b P a X b P a X b ≤≤=<≤=≤<=<<1()0

a x

b f x b a

?≤≤?=-???其他a c d b ≤<≤()d c

P c X d b a

-<≤=-(2)指数分布

若随机变量X 的概率密度为 其中常数 ，则称X 服从参数为λ 的指数分布，相应的分布函数为

,0

()0,0x e x f x x λλ-?>=?

≤?0

λ>1,0

()0,x e x F x x λ-?-≥=?

i EX x p ∞

==∑()EX xf x dx

+∞

-∞

=?

常见的离散型随机变量的数学期望 ： (a)两点分布 若X ～B(1，p)，则EX=p. (b)二项分布 若X ～B(n ，p)，则EX=np. (c)泊松分布 若X ～P( )，则EX= .

常见的连续型随机变量的数学期望：

(a ）均匀分布: 设X ～U (a ,b )，则EX =(a +b )/2。

(b ）指数分布: 设X 服从参数为 的指数分布，则 EX = 。

*方差的性质

性质1 设X 是一个随机变量，C 为常数，则有 D (C )=0； 性质2 D (CX )=C 2DX ；

性质3 若X 与Y 相互独立，则D (X ±Y ) =D (X ) +D (Y ) 特别地 D (X -C )=DX ； 性质3可以推广到n 个随机变量的情形。 性质4 DX =0的充要条件是X 以概率1取常数EX 。

常见的离散型随机变量的方差：

(a)两点分布 若X ～B (1，p )，则DX =p (1-p )； (b)二项分布 若X ～B (n ，p )，则DX =np (1-p )； (c)泊松分布 若X ～P ( )，则DX = 。

常见的连续型随机变量的方差：

(a ）均匀分布 设X ～U (a ,b )，则DX =(b -a )2/12；

λλλ

1

λ

λλ2

1

λλ

(b ）指数分布 设X 服从参数为 的指数分布，则 DX = 。

离散型随机变量的数字特征：

连续型随机变量的数字特征：

重置抽样下的抽样分布

考虑顺序时：样本个数=N n =52=25

()()

n σ

X σ n σ X σ==；22

()

2

22

22212

1i

n σn n σσσ X σ?=+++= λ()∑==+++=N

i i

i n n P X P X P X P X X E 1

2211 期望：()()[] P X E X X σ N

i i i ∑=?-=1

2

2

：方差()()[]∑=?-=N

i i

i P X E X X σ 1

2

：标准差统计学

概率论 方 差

数 学 期 望

方 差

平 均 数 ()∑

=?=N

i i

i

P X X E 1

∑∑=???

?

?

?=n

i i i

i f f x x 1()()[]

P X E X X σN

i i i ∑=?-=1

2

2

()(

)∑∑=?

=n

i i

i

i f

f

x x x σ1

2

2

－()()[]()dx x f X E x X σ ?

∞

∞

-?-=

2

2—方差()()[]()dx

x f X E x X σ ?∞

∞

-?-=2—标准差()n

222

2

212n i i 1

X

σσσσσ==++

+=∑则：

λ

不考虑顺序时：样本个数=

不重置抽样下的抽样分布 考虑顺序时：样本个数=

不考虑顺序时：样本个数=

与重复抽样相比，不重复抽样平均误差是在重复抽样平均误差的基础上，再乘以修正系数 即：

正态分布密度函数及其数学性质 正态分布的密度函数：

正态分布的分布函数：

标准正态分布的密度函数：

标准正态分布的分布函数：

()1()x x Φ-=-Φ

对任意正态分布 作变换

(

)() 2

2

2

x f x e μσ--=?()

2

X N μσ~记作，(

)() 2

2

2-1

dt

t x

F x e

μσ--∞

=??(

) 2

2

1

x x e

?-=?()

01X N ~记作，(

) 2

2

-1

dt

t x

x e -∞

Φ

=??(0)0.5Φ=()2N μσ，，

()

0 1X Z N μ

σ

-=

～，!

()!!n N

N C N n n =

-()E x μ

=2()1

N n

D x n N σ-=

-2

()D x n

σ

=

()E x μ

=1

(1)!(1)!!

n N n N n C N n +-+-=-!

()!

n N

N P N n =

-

第六章

二、 总体平均数的检验 1.大样本（ 30n ≥ ）(σ2 已知或σ2未知)

● 假定条件 总体服从正态分布

若不服从正态分布, 可用正态分布来近似(n ≥30) ● 使用Z-统计量 σ2 已知：

σ2 未知：

2. 小样本（

30n < ） (σ2 已知或σ2未知)

● 假定条件:

总体服从正态分布, 小样本(n < 30) ● 检验统计量 σ 2 已知：

σ 2 未知： 均值的单尾 t 检验

检验统计量:

三、总体比例的检验 ● 假定条件: 1、有两类结果；2、总体服从二项分布；3、可用正态分布来近似。

● 比例检验的 Z 统计量 )

1,0(~0

N n

X Z σμ-=

)1,0(~0

N n

S X Z μ-=

)

1,0(~0N n

x z σμ-=)

1(~0--=

n t n

s x t μ500040*********

894.020500040000410000

=-=-=

n s x t μ0

)

1,0(~)1(000

N n

P Z πππ--=

其中：π0为假设的总体比例

第八章

● 总体的简单线性相关系数： 样本的简单线性相关系数：

● 相关系数r 的取值范围是[-1,1]

● 当|r |=1，表示完全相关，其中r =-1此时表示完全负相关，r =1，表示完全正相关 ● r = 0时不存在线性相关关系

● 当-1≤r <0时，表示负相关，0

● 当|r |越趋于1表示相关关系越密切，|r |越趋于0表示相关关系越不密切

● 一般来说，当|r |在大于0.8时，即可认为存在高度相关关系，|r |在0.5到0.8之间时，可认为相关关系程度一般，|r |小于0.5时，可认为相关关系程度较弱。

一、一元线性回归模型的设定 ● 总体回归函数

条件均值形式：E (y ) = β0+ β1x 个别值形式：y = β0+β1 x+ ε

其中，β0和β1称为模型的参数 ，ε 是误差项

● 样本回归函数

条件均值形式： 个别值形式： )

var()var()

,cov(y x y x =

ρ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑---=

----=

2

2222

2

)()()

()())((y y n x x n y

x xy n y y x x y y x x r x y 1

0???ββ+=e x y ++=1

??ββ

是样本回归直线在 y 轴上的截距； 是直线的斜率； 是 y 的估计值；

是样本回归模型的残差，是样本回归函数预测结果与实际值的差。

最小二乘估计

三、一元线性回归模型的检验

即： SST=SSR+SSE

根据拟合优度的定义，计算模型的拟合优度，只需将SSR/SST 。计算的结果称为可决系数（或判定系数），记作R 2。 即： R 2 = SSR/SST = 1-SSE/SST

（4）检验步骤

提出假设：H 0: β1 = 0 (没有线性关系) H 1: β1 ≠ 0 (有线性关系)

计算检验的统计量： 确定显著性水平α，若|t |>t 2/α，则拒绝H 0，认为模型通过检验，认为x 对y 有显著影响；若|t |< t 2/α，不拒绝H 0，认为模型没有通过检验，认为x 对y 没有显著影响。

0?β1

?β

e

∑∑∑∑∑∑∑--=---=2

2

2

1

)()

()()

())((?i

i

i

i

i

i i

i

i

x x n y x y x n x x y y x x βx y 1

0??ββ

-=n

n

n

y y 2

22

)2(~)?(??)?(?0?1

1

11-=-=n t E S E S t ββββ

拉氏指数

帕氏指数

指数因素分析方法

拉氏指数

数量指标的拉氏指数质量指标的∑∑=0

01p q

p q ∑∑=0

010p q p q 帕氏指数

数量指标的∑∑=

1

11p q p q 帕氏指数

质量指标的

∑∑=0

1

11

p q

p q

总体现象的因素分析

平均数变动的因素分析 编制平均指标指数 :

011p q p q 0

1

01p p q q ?=0011p q p q -()()0

1110001p q p q p q p q -+-=()()0

11001p p q p q q -+-=??

???

01110001p q p q p q p q ?=?

???? ∑∑0011p q p q =

∑0

0p q p q ∑1

1?

∑0

1

p q ∑

01p q ∑∑-0011p q p q () p q p q ∑∑-=0001()

p q p q ∑∑-+0111 ＝

：结构影响指数结构 I ∑∑0

0f

x f 1

f ∑∑

x 0

1

f

1) 两因素分析

10

1x x f f ?

=

∑

∑

2. 指数体系:

＝

：固定构成指数固定 I ＝

：可变构成指数可变 I 1

f ∑∑

x 0

1

f 1f ∑∑

1

f

1

x ∑∑0

0f

x f 1

f ∑∑ 1

f 1

x

I I I 固定结构可变?=∑∑∑∑?=11

10

0f x

f

f

x f

???

????

??∑∑∑∑

f x f f x f

000111???

?

?

?-+∑∑∑∑1011

11f x f f x f f

x f

f

x f ∑∑∑∑-0

01

1

1∑∑1

1f

x f ∑∑1

1f x

f ???? ?

?-=∑∑∑∑000101f x f f x f ∑∑=

00

f

x f x ∑∑=

1

1f

x f x 假

∑∑=

1

1

11

f

x f x 假

假 x x x x

x x 1

001?=()()

x x x x x x 假假-+-=-1001?

???? ∑∑0

1

1f x

f

x ∑∑-0011

f x f x ()()

011001x x f x f f -?+?-=∑∑∑

3.建立平均指标指数体系 :

第10章

()0

1

x f f ?-=∑∑∑∑0

01

1f

x f x ?

??

?

????=∑∑假假x x x x f

f 1001

∑∑-0

01

1f x f x ()

01

x x

f -?+∑假

()

∑∑-+0111x f x f 假

假 x x

x x

x x 10

1?=∑∑=

00

f

x f x ∑∑=1

1f

x f x 假

∑∑=

1

1

11

f

x f x ()()

x x x x x x 假假-+-=-1001

3.1 增长量和平均增长量

增长量=报告期水平—基期水平

??

?-=-=?-0t t 1t t t y y s y y 累计增长量逐期增长量

增长量

.累计增长量1()∑--=1n t t

y y s ；逐期增长量∑=逐期增长量

.21--=t t t s s ?

累计增长量之差相邻两期

=

平均增长量数逐期增长量的序时平均

— 环比增产量项数

环比增长量

∑=

?数期累计增长量 =n

t

∑?=

?n

y 0n y -=

n

s n =?

?+=n y 0n y

累计法（总和法）计算平均增长量

3.2

3.3 平均发展速度和平均增长速度

（2）平均发展速度的计算方法：

几何平均法

()()1n n y n y y y 20n 21+?-+++=

? .1?

???

?定基发展速度

环比发展速度

发展速度

y t t 1

-=

y y 0t =

)

1定基发展速度()∏ 环比发展速度 ＝

y y y y y y 1t 12

010t -???=t y y )

基发展速度的比环比发展速度＝相邻定20

10

1y y y y y t t t -= .2()()??

?

?

?=定基环比增长速度 y 1

t 1

t t -- y y

y 0

0t

-1

1 +=-=增长速度发展速度发展速度增长速度：的绝对值增长

% 1.3对值绝增长 %1 100?=环比增长速度量长增期逐 1001

1

1

?--=---t t t t t y y y y y 100y 1t -=绝对值增长 %1 1 -平均发展速度＝平均增长速度n

n n

1n n 1201y y y y y y y y b =???=- ()

n

n

定基发展速度

环比发展速度==

∏

高次方程法

最小平方法（直线趋势）

如果将原数列的中间项作为原点，使∑t = 0 ，则联立方程式可简化为下式

季节变动的测定方法

按月(季)平均法 第二步，计算各年所有月(季)的总平均数 第三步，计算季节比率 第四步，预测

()()[

]∑==+++?n 1

i i

n

2

0y

b b b y