导学案013函数的应用教案

函数的应用

考纲要求

1．考查二次函数模型的建立及最值问题．

2．考查分段函数模型的建立及最值问题．

3．考查指数（型）、对数（型）、幂函数（型）函数模型的建立及最值问题．

考情分析

1.现实生活中的生产经营、环境保护、工程建设等热点问题中的增长、减少问题，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数模型等问题是重点，也是难点，主要考查建模能力及分析问题和解决问题的能力；

2.题型方面选择题、填空题及解答题都有所体现，但以解答题为主.

教学过程

基础梳理

1．常见的函数模型及性质

(1)几类函数模型

①一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．

②二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

③指数函数型模型：y＝ab x＋c(b＞0，b≠1)．

④对数函数型模型：y＝m log a x＋n(a＞0，a≠1)．

⑤幂函数型模型：y＝ax n＋b.

(2)三种函数模型的性质

函数性质y＝a x(a>1) y＝log

a

x(a>1) y＝x n(n>0)

在(0，＋∞)上的增减性增长速度

图象的变化随x的增大逐渐表

现为与平行

随x的增大逐渐表

现为与平行

随n值变化而各有

不同

值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x

双基自测

1．若22x x ，则x 的取值范围是____________。

2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )．

A ．100台

B ．120台

C ．150台

D ．180台

3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为( )．

A ．1 000米2

B ．2 000米2

C ．2 500米2

D ．3 000米2

4．(2011·湖北)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪

记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，

测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．

5．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：

明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文

已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．

解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.

答案 4

典例分析

考点一一次函数、二次函数函数模型的应用

【例1】(2012·温州模拟)西部大开发是中华人民共和国中央政府的一项政策，提高了西部的经济和社会发展水平．西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得

利润P＝－

1

160(x－40)

2＋100万元．当地政府借助大开发拟在新的十年发展规划

中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入

x万元，可获利润Q＝－159

160(60－x)

2＋

119

2(60－x)万元．问从10年的总利润看，

该规划方案是否具有实施价值？

变式1．(2012·嘉兴月考)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y(元)的关系如图所示．

则通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式分别为________，________.

：

1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解．

2. 有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决．

3.在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域．

考点二、分段函数模型

例2 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天价格

为g(t)＝1

2

t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈

N)．

(1)写出该种商品的日销售额S与时间t的函数关系；

(2)求日销售额S的最大值．

1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

2.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.

考点三、指数函数模型的应用

【例3】?某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．

(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；

(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？

：

可根据图象利用待定系数法确定函数解析式，然后把实际问题转化为解不等式问题进行求解．

变式：某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：

(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；

(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；

(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；

(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？

(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127，lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.3010，lg 1.012≈0.005，lg 1.009≈0.003 9)

解(1)1年后该城市人口总数为

y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)

2年后该城市人口总数为

y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%

＝100×(1＋1.2%)2.

3年后该城市人口总数为

y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%

＝100×(1＋1.2%)3.

x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x.

(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．

(3)设x年后该城市人口将达到120万人，

即100×(1＋1.2%)x＝120，

x＝log

1.012120

100

＝log

1.012

1.20≈16(年)．

(4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg

1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤0.079

20

＝0.003 95，

所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，

即年自然增长率应该控制在0.9%.

[考题范例]

(12分)(2012·天津质检)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000

元．

(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；

(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？

[规范解答]

设该店月利润余额为L ，

则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2000，①

由销量图易得

Q ＝????? －2P ＋50 (14≤P ≤20)，

－32P ＋40 (20＜P ≤26)，(2分)

代入①式得L ＝

????? (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，

? ????－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20

(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，

此时P ＝19.5元；

当20

此时P ＝613元．

故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元． (8分)

(2)设可在n 年内脱贫，

依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，

解得n ≥20.

即最早可望在20年后脱贫． (12分)

一个防范

特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

四个步骤

(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质；

(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；

(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；

(4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．

本节检测

1．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( ) A．10% B．12%

C．25% D．40%

2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品

x万件时的生产成本为C(x)＝1

2

x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获

取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )

A．36万件 B．18万件

C．22万件 D．9万件

3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件( )

A．100元 B．110元

C．150元 D．190元

4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．

5．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．

自我反思